第28课时-矩形、菱形、正方形

首页课件目录末页第二部分图形与几何第八章四边形考点管理中考再现课时作业归类探究第28课时矩形、菱形、正方形首页课件目录末页考点管理1．矩形定义：有一个角是的平行四边形叫做矩形．性质：(1)矩形的四个角都是；(2)矩形的对角线．注意：(1)矩形的定义可作为性质；(2)矩形具备平行四边形的所有性质．直角直角相等且互相平分首页课件目录末页判定：(1)有三个角是直角的四边形是；(2)对角线相等的平行四边形是．注意：矩形的定义可作为判定．证明方法：(1)先证明一个四边形是平行四边形，再证明它有一个角是直角；(2)先证明一个四边形是平行四边形，再证明它的对角线相等．矩形矩形首页课件目录末页2．菱形定义：有一组邻边的平行四边形是菱形．性质：(1)菱形的四条边；(2)菱形的对角线，并且每一条对角线．注意：(1)菱形的定义可作为性质；(2)菱形具备平行四边形的所有性质；(3)菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形，有条对称轴．相等相等互相垂直平分平分一组对角两首页课件目录末页判定：(1)四条边都相等的四边形是；(2)对角线互相垂直的平行四边形是．注意：(1)菱形的定义可作为判定；(2)对角线平分一组对角的平行四边形是菱形．菱形菱形首页课件目录末页证明方法：(1)先证明一个四边形是平行四边形，再证明它的一组邻边相等或者对角线互相垂直；(2)可以证明一个四边形的四条边相等．面积：(1)可用平行四边形的面积计算公式，即底×高；(2)两条对角线乘积的一半．若菱形的两条对角线长为a和b，则S菱形＝.12ab首页课件目录末页3．正方形定义：四边且四个角都是的四边形叫做正方形．注意：(1)正方形既是有一组邻边相等的，又是有一个角是直角的；(2)正方形不仅是特殊的平行四边形，又是特殊的矩形、菱形．正方形、矩形、菱形都是特殊的平行四边形，它们的包含关系如下：相等直角矩形菱形首页课件目录末页性质：(1)正方形的四条边都，四个角都是；(2)正方形的对角线，并且互相，每一条对角线．注意：(1)平行四边形、矩形和菱形的所有性质正方形都具备；(2)正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形，有四条对称轴，对称中心是对角线的交点．相等直角相等垂直平分平分一组对角首页课件目录末页判定：(1)有一组邻边相等的矩形是正方形；(2)有一个角是直角的菱形是正方形；(3)四条边都相等，且四个角都相等的四边形是正方形；(4)对角线互相垂直的矩形是正方形；(5)对角线相等的菱形是正方形；(6)对角线相等，且互相垂直平分的四边形是正方形．首页课件目录末页注意：正方形的定义可作为判定．证明方法：判定一个四边形是正方形，可以先判定它是一个平行四边形，再判定它是矩形或是菱形，然后再证明它是正方形．首页课件目录末页中考再现1．[2019·株洲]对于任意的矩形，下列说法一定正确的是()A．对角线垂直且相等B．四边都互相垂直C．四个角都相等D．是轴对称图形，但不是中心对称图形C首页课件目录末页【解析】根据矩形的性质可知，矩形的对角线相等但不一定垂直．选项A是错误的；矩形相邻的两边互相垂直，对边互相平行．选项B是错误的；矩形的四个角都是直角所以相等；选项C是正确的；矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形．选项D是错误的．故选C.首页课件目录末页2．[2019·娄底]顺次连接菱形四边中点得到的四边形是()A．平行四边形B.菱形C．矩形D.正方形C首页课件目录末页【解析】如答图．在菱形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，第2题答图首页课件目录末页∴EH∥FG∥BD，EH＝FG＝12BD.EF∥HG∥AC，EF＝HG＝12AC，故四边形EFGH是平行四边形．又∵AC⊥BD，∴EH⊥EF，∴∠HEF＝90°.∴四边形EFGH是矩形．故选C.首页课件目录末页3．[2019·怀化]如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，E，F分别为垂足．求证：(1)△ABE≌△CDF；(2)四边形AECF是矩形．首页课件目录末页证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∠B＝∠D.∵AE⊥BC，CF⊥AD，∴∠AEB＝∠CFD＝90°.∴△ABE≌△CDF(AAS)．首页课件目录末页(2)∵△ABE≌△CDF，∴BE＝DF.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC.∴AF∥CE，AF＝CE.∴四边形AECF是平行四边形．∵AE⊥BC，∴∠AEC＝90°.∴四边形AECF是矩形．首页课件目录末页4．[2019·娄底]如图，点E，F，G，H分别在矩形ABCD的边AB，BC，CD，DA(不包括端点)上运动，且满足AE＝CG，AH＝CF.(1)求证：△AEH≌△CGF；(2)试判断四边形EFGH的形状，并说明理由．首页课件目录末页(1)证明：∵四边形ABCD为矩形，∴∠A＝∠C＝90°.又∵AE＝CG，AH＝CF，∴△AEH≌△CGF(SAS)．(2)解：四边形EFGH是平行四边形．理由：由(1)中△AEH≌△CGF，可得HE＝FG.首页课件目录末页∵在矩形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝CD，BC＝AD，且有AE＝CG，AH＝CF，∴HD＝FB，BE＝DG.∴△BEF≌△DGH(SAS)．∴EF＝GH.∴四边形EFGH为平行四边形．首页课件目录末页归类探究类型之一矩形的判定[2019·原创]如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，点G为AD的中点，连接CG，CG的延长线交BA的延长线于点F，连接FD.(1)求证：AB＝AF；(2)若AG＝AB，∠BCD＝120°，试判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论．首页课件目录末页(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AF∥CD，AB＝CD.∴∠FAG＝∠CDG.∵G为AD的中点，∴AG＝DG.首页课件目录末页在△AGF与△DGC中，∠FAG＝∠CDG，AG＝DG，∠AGF＝∠DGC，∴△AGF≌△DGC(ASA)．∴AF＝DC.∴AB＝AF.首页课件目录末页(2)解：四边形ACDF为矩形．证明：∵∠BCD＝120°，∴∠BAD＝120°.∴∠FAG＝180°－∠BAD＝60°.又∵AG＝AB，AB＝AF，∴AG＝AF.∴△AGF为等边三角形．首页课件目录末页∴AG＝FG.∵AF∥CD，AF＝CD，∴四边形ACDF为平行四边形．∴AD＝2AG，CF＝2FG.∴AD＝CF.∴四边形ACDF为矩形．【点悟】证明一个四边形是矩形，常用的方法有：(1)有三个角是直角的四边形；(2)有一个角是直角的平行四边形；(3)对角线相等的平行四边形等．首页课件目录末页1．[2019·新疆]如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是CD中点，连接OE.过点C作CF∥BD交OE的延长线于点F，连接DF.求证：(1)△ODE≌△FCE；(2)四边形OCFD是矩形．首页课件目录末页证明：(1)∵CF∥BD，∴∠ODE＝∠FCE.∵E是CD中点，∴EC＝ED.∵∠CEF＝∠DEO，∴△ODE≌△FCE(ASA)．首页课件目录末页(2)∵△ODE≌△FCE，∴OE＝FE.∵DE＝EC，∴四边形OCFD是平行四边形．∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC.∴∠DOC＝90°.∴四边形OCFD是矩形．首页课件目录末页类型之二矩形的性质[2018·张家界]如图，在矩形ABCD中，点E在BC上，AE＝AD，DF⊥AE，垂足为F.(1)求证：DF＝AB；(2)若∠FDC＝30°，且AB＝4，求AD的长．首页课件目录末页(1)证明：如答图，在矩形ABCD中，AD∥BC，∴∠1＝∠2.又∵DF⊥AE，∴∠DFA＝90°.∴∠DFA＝∠B.又∵AD＝EA，∴△ADF≌△EAB(AAS)．∴DF＝AB.首页课件目录末页(2)解：∵∠1＋∠3＝90°，∠FDC＋∠3＝90°，∴∠1＝∠FDC＝30°.∴AD＝2DF.又∵DF＝AB＝4，∴AD＝2×4＝8.首页课件目录末页2．[2017·荆州]如图，在矩形ABCD中，连接对角线AC，BD，将△ABC沿BC方向平移，使点B移到点C，得到△DCE.(1)求证：△ACD≌△EDC；(2)请探究△BDE的形状，并说明理由．首页课件目录末页(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝DC，AD＝BC.由平移的性质，可得DE＝AC，CE＝BC，∴AD＝EC.在△ACD和△EDC中，AD＝EC，AC＝ED，CD＝DC，∴△ACD≌△EDC(SSS)．首页课件目录末页(2)解：△BDE是等腰三角形．理由如下：在矩形ABCD中，AC＝BD，由平移可得DE＝AC，∴BD＝DE，∴△BDE是等腰三角形．首页课件目录末页类型之三菱形的判定[2019·贺州]如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边BC，AD上的点，且AE＝CF.(1)求证：△ABE≌△CDF；(2)当AC⊥EF时，四边形AECF是菱形吗？请说明理由．首页课件目录末页(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠D＝90°，AB＝CD.在Rt△ABE和Rt△CDF中，AB＝CD，AE＝CF，∴Rt△ABE≌△Rt△CDF(HL)．首页课件目录末页(2)解：当AC⊥EF时，四边形AECF是菱形，理由如下：∵矩形ABCD中，AD＝BC，AD∥BC，由(1)知Rt△ABE≌△Rt△CDF，∴BE＝DF，∵BC＝AD，∴CE＝AF，∵CE∥AF，∴四边形AECF是平行四边形．又∵AC⊥EF，∴四边形AECF是菱形．首页课件目录末页3．[2018·日照]如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO.添加下列条件，不能判定四边形ABCD是菱形的是()BA．AB＝ADB．AC＝BDC．AC⊥BDD．∠ABO＝∠CBO首页课件目录末页4．[2018·北京]如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E，连接OE.(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)若AB＝5，BD＝2，求OE的长．首页课件目录末页(1)证明：∵AC平分∠BAD，∴∠DAC＝∠BAC.∵AB∥DC，∴∠DCA＝∠BAC.∴∠DAC＝∠DCA.∴DA＝DC.又∵AB＝AD，首页课件目录末页∴AB＝DC.又∵AB∥DC，∴四边形ABCD是平行四边形．又∵AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形．首页课件目录末页(2)解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，OB＝OD＝12BD＝1，AC⊥BD.在Rt△ABO中，由勾股定理，得OA＝AB2－OB2＝52－12＝2.∴AC＝2OA＝4.∵CE⊥AB，在Rt△ACE中，∴OE＝12AC＝2.首页课件目录末页类型之四菱形的性质[2019·原创]如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，且AB＝2.(1)求菱形ABCD的周长；(2)若AC＝2，求BD的长．首页课件目录末页解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA＝2.∴菱形ABCD的周长为8.(2)∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC＝12AC＝1，OB＝OD，且∠AOB＝90°.首页课件目录末页在Rt△AOB中，OB＝AB2－OA2＝22－12＝3，∴BD＝2OB＝23.【点悟】菱形的四条边都相等，有一个角是60°的菱形可以被其中一条对角线分成两个等边三角形．首页课件目录末页5．[2019·湖州]如图，已知在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，连接DF，EF，BF.(1)求证：四边形BEFD是平行四边形；(2)若∠AFB＝90°，AB＝6，求四边形BEFD的周长．首页课件目录末页(1)证明：∵D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，∴EF∥AB，DF∥BC.∴四边形BEFD是平行四边形．(2)解：∵∠AFB＝90°，AB＝6，D点是AB的中点，∴DF＝DB＝12AB＝3.∴平行四边形BEFD是菱形．∴BE＝EF＝DF＝BD＝3.∴C四边形BEFD＝4DF＝12.首页课件目录末页类型之五正方形的性质与判定[2019·长沙]如图，正方形ABCD，点E，F分别在边AD，CD上，且DE＝CF，AF与BE相交于点G.(1)求证：BE＝AF；(2)若AB＝4，DE＝1，求AG的长．首页课件目录末页(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAE＝∠ADF＝90°，AB＝AD＝CD.∵DE＝CF，∴AE＝DF.在△BAE和△ADF中，BA＝AD，∠BAE＝∠ADF，AE＝DF，∴△BAE≌△ADF(SAS)，∴BE＝AF.首页课件目录末页(2)解：由(1)得：△BAE≌△ADF，∴∠EBA＝∠FAD，∴∠EBA＋∠AEG＝90°，∴∠FAD＋∠AEG＝90°，∠AGE＝90°.∵AB＝4，DE＝1，首页课件目录末页∴AE＝3，∴BE＝AB2＋AE2＝5.在Rt△ABE中，12AB·AE＝12BE·AG，∴AG＝3×45＝125.首页课件目录末页6．[2019·凉山]如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是OC上一点，连接EB.过点A作AM⊥BE，垂足为M，AM与BD相交于点F.求证：OE＝OF.证明：在正方形ABCD中．∵AC⊥BD，AM⊥BE，∴∠AOF＝∠BOE＝∠AME＝90°，∴∠FAO＋∠AEB＝∠EBO＋∠AEB＝90°，∴∠FAO＝∠EBO.首页课件目录末页∵AC＝BD，OA＝12AC，OB＝12BD，∴OA＝OB，∴△AOF≌△BOE(ASA)，∴OE＝OF.首页课件目录末页7．[2018·白银]如图，在矩形ABCD中，E是AD边上一个动点，点F，G，H分别是BC，BE，CE的中点．(1)求证：△BGF≌△FHC；(2)设AD＝a，当四边形EGFH是正方形时，求矩形ABCD的面积．首页课件目录末页(1)证明：∵点F是BC边上的中点，∴BF＝FC.∵点F，G，H分别是BC，BE，CE的中点，∴GF，FH是△BEC的中位线．∴GF＝HC，FH＝BG.在△BGF和△FHC中，BF＝FC，BG＝FH，FG＝CH，∴△BGF≌△FHC(SSS)．首页课件目录末页(2)解：当四边形EGFH是正方形时，∠BEC＝90°，FG＝GE＝EH＝HF.∵GF，FH是△BEC的中位线，∴BE＝CE.∴△BEC是等腰直角三角形．首页课件目录末页如答图，连接EF.∴EF⊥BC，EF＝12BC＝12AD＝12a.∴S矩形ABCD＝BC·EF＝a·12a＝12a2.【点悟】正方形中含有很多相等的边和角，这些相等的边和角是证明三角形全等的有力工具．首页课件目录末页类型之六平行四边形的折叠问题[2019·滨州]如图，在矩形ABCD中，点E在边CD上，将△BCE沿BE折叠，使点C落在AD边上的点F处，过点F作FG∥CD交BE于点G，连接CG.(1)求证：四边形CEFG是菱形；(2)若AB＝6，AD＝10，求四边形CEFG的面积．首页课件目录末页(1)证明：由题意可得△BCE≌△BFE，∴∠BEC＝∠BEF，FE＝CE.∵FG∥CE，∴∠FGE＝∠CEB，∴∠FGE＝∠FEG，∴FG＝FE，∴FG＝EC.∴四边形CEFG是平行四边形．又∵CE＝FE，∴四边形CEFG是菱形．首页课件目录末页(2)解：在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝10，BC＝BF，∴∠BAF＝90°，AD＝BC＝BF＝10，∴AF＝8，∴DF＝2.设EF＝x，则CE＝x，DE＝6－x.∵∠D＝90°，∴22＋(6－x)2＝x2，解得x＝103，∴CE＝103，∴S四边形CEFG＝CE·DF＝103×2＝203.首页课件目录末页8．[2017·衢州]如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝6，将△ABC沿AC折叠，使点B落在点E处，CE交AD于点F，则DF的长为()BA.35B.53C．73D.54首页课件目录末页【解析】∵矩形ABCD沿对角线AC折叠，使△ABC落在△AEC的位置，∴AE＝AB＝4，∠E＝∠B＝90°.又∵四边形ABCD为矩形，∴AB＝CD，∠D＝90°.∴AE＝CD，∠E＝∠D.在△AEF与△CDF中，首页课件目录末页∠AFE＝∠CFD，∠E＝∠D，AE＝CD，∴△AEF≌△CDF(AAS)．∴EF＝DF，AF＝CF.设DF＝x，则CF＝AF＝6－x.首页课件目录末页在Rt△CDF中，CF2＝CD2＋DF2，即(6－x)2＝42＋x2，解得x＝53.∴DF＝53.故选B.首页课件目录末页9．[2019·青岛]如图，在正方形纸片ABCD中，E是CD的中点，将正方形纸片折叠，点B落在线段AE上的点G处，折痕为AF.若AD＝4cm，则CF的长为cm.6－25首页课件目录末页【解析】由勾股定理，得AE＝25cm.根据题意，得GE＝(25－4)cm.设BF＝xcm，则FC＝(4－x)cm.∴(25－4)2＋x2＝22＋(4－x)2，解得x＝25－2，∴CF＝(6－25)cm.首页课件目录末页10．[2019·天水]如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，点E在边DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，使点D恰好落在BC边上的点F处，那么sin∠EFC的值为____.45首页课件目录末页【解析】∵四边形ABCD为矩形，∴AD＝BC＝5，AB＝CD＝3.∵矩形ABCD沿AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的点F处，∴AF＝AD＝5，EF＝DE，在Rt△ABF中．BF＝AF2－AB2＝4，∴CF＝BC－BF＝5－4＝1，设CE＝x，则DE＝EF＝3－x.首页课件目录末页在Rt△ECF中，CE2＋FC2＝EF2，即x2＋12＝(3－x)2，解得x＝43.∴EF＝3－x＝53.∴sin∠EFC＝CEEF＝45.【点悟】折叠的实质是轴对称，折叠前后对应部分重合，即对应角相等，对应边相等，对应图形全等．首页课件目录末页类型之七中点四边形[2019·遵义]我们把顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形，已知四边形ABCD的中点四边形是正方形，对角线AC与BD的关系，下列说法正确的是()A．AC，BD相等且互相平分B．AC，BD垂直且互相平分C．AC，BD相等且互相垂直D．AC，BD垂直且平分对角C首页课件目录末页【解析】由于中点四边形是正方形，正方形的对角线相等且垂直平分，根据中位线定理可证任意四边形的中点四边形都是平行四边形，∴原四边形的对角线AC，BD相等且互相垂直．故选C【点悟】依次连接四边形各边中点所得到的新四边形的形状与原四边形对角线的关系(相等、垂直、相等且垂直)有关．首页课件目录末页11．[2019·雅安]如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，AC，BD是对角线，E，F，G，H分别是AD，BD，BC，AC的中点，连接EF，FG，GH，HE，则四边形EFGH的形状是()A．平行四边形B.矩形C．菱形D.正方形C首页课件目录末页【解析】∵点E，F，G，H分别是AD，BD，BC，CA的中点，∴EF＝GH＝12AB，EH＝FG＝12CD.∵AB＝CD，∴EF＝FG＝GH＝EH，∴四边形EFGH是菱形．故选C.首页课件目录末页12．如图，已知菱形ABCD的边长为10，∠A＝60°.顺次连接菱形ABCD各边中点，可得四边形A1B1C1D1，顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，可得四边形A2B2C2D2，顺次连接四边形A2B2C2D2各边中点，可得四边形A3B3C3D3，……按此规律继续下去，则四边形A2B2C2D2的周长是，四边形A2019B2019C2019D2019的周长是.2053＋521008首页课件目录末页课时作业(70分)一、选择题(每题5分，共25分)1．[2019·无锡]下列结论中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是()A．内角和为360°B.对角线互相平分C．对角线相等D.对角线互相垂直C首页课件目录末页【解析】本题考查了矩形的性质、菱形的性质，矩形的对角线相等且互相平分，菱形的对角线垂直且互相平分，∴矩形具有而菱形不具有的性质为对角线相等．故选C.首页课件目录末页2．[2018·上海]已知▱ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是()A．∠A＝∠BB.∠A＝∠CC．AC＝BDD.AB⊥BCB首页课件目录末页3．如图，在△ABC中，点D是BC边上的点(与B，C两点不重合)，过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB，AC于E，F两点，则下列说法正确的是()DA．若AD⊥BC，则四边形AEDF是矩形B．若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是矩形C．若BD＝CD，则四边形AEDF是菱形D．若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形首页课件目录末页【解析】根据DE∥AC，DF∥AB，可证明四边形AEDF是平行四边形，再根据矩形、菱形的判定方法依次分析即可做出判断．若AD⊥BC，无法判定四边形AEDF是矩形，A错误；若AD垂直平分BC，可以判定四边形AEDF是菱形，B错误；若BD＝CD，无法判定四边形AEDF是菱形，C错误；若AD平分∠BAC，则∠EAD＝∠FAD＝∠ADF，∴AF＝DF.又∵四边形AEDF是平行四边形，∴四边形AEDF是菱形．D正确．故选D.首页课件目录末页4．[2019·眉山]如图，在矩形ABCD中AB＝6，BC＝8，过对角线交点O作EF⊥AC交AD于点E，交BC于点F，则DE的长是()A．1B.74C．2D.125B首页课件目录末页【解析】如答图，连接CE.∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，OC＝OA，AD＝BC＝8，DC＝AB＝6.∵EF⊥AC，OA＝OC，∴AE＝CE.在Rt△DEC中，DE2＋DC2＝CE2，即DE2＋36＝(8－DE)2，DE＝74.故选B.首页课件目录末页5．[2019·包头]如图，在正方形ABCD中，AB＝1，点E，F分别在边BC和CD上，AE＝AF，∠EAF＝60°，则CF的长是()A.3＋12B.32C．3－1D.23C首页课件目录末页【解析】本题考查了正方形的性质、等边三角形的判定、勾股定理的应用等．如答图，连接EF.则由HL可证Rt△ABE△≌Rt△ADF.∴BE＝DF，CE＝CF.∵∠EAF＝60°，∴EF＝AE＝AF.设CF＝x，则DF＝1－x.在Rt△EFC中，EF2＝2x2.在Rt△ADF中，AF2＝1＋(1－x)2，∴2x2＝1＋(1－x)2，解得x1＝－1＋3，x2＝－1－3(舍去)，∴x＝－1＋3.故选C.首页课件目录末页二、填空题(每题5分，共25分)6．[2018·黔东南州]已知一个菱形的边长为2，较长的对角线长为23，则这个菱形的面积是.7．[2019·徐州]如图，在矩形ABCD中，AC，BD交于点O，M，N分别为BC，OC的中点．若MN＝4，则AC的长为.2316首页课件目录末页【解析】本题考查了矩形的性质和三角形中位线的性质．∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OB＝OC＝OD.∵M，N分别为BC，OC的中点，∴OB＝2MN＝2×4＝8，∴AC＝2OB＝16.首页课件目录末页8．[2019·镇江]将边长为1的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转到FECG的位置(如图)，使得点D落在对角线CF上，EF与AD相交于点H，则HD＝(结果保留根号)．2－1首页课件目录末页【解析】∵四边形ABCD为正方形，∴CD＝1，∠CDA＝90°.∵边长为1的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转到FECG的位置，使得点D落在对角线CF上，∴CF＝2，∠CFE＝45°，∴△DFH为等腰直角三角形，∴DH＝DF＝CF－CD＝2－1.首页课件目录末页9．[2019·泰安]如图，在矩形ABCD中，AB＝36，BC＝12，E为AD中点，F为AB上一点，连接CF.将△AEF沿EF折叠后，点A恰好落到CF上的点G处，则折痕EF的长是.215首页课件目录末页【解析】如答图，连接CE.∵点E是AD的中点，∴AE＝ED＝EG，∠EGC＝∠D＝90°，∴△EGC≌△EDC(HL)，∴GC＝AB＝36.设AF＝GF＝x，∴FB＝36－x.首页课件目录末页在Rt△FBC中，FB2＋BC2＝FC2，即(36－x)2＋122＝(x＋36)2，解得x＝26.在Rt△AFE中，EF＝AE2＋AF2＝215.首页课件目录末页10．[2018·天水]如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.若AC＝6，BD＝8，AE⊥BC，垂足为E，则AE的长为.245首页课件目录末页【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，AC⊥BD，CO＝12AC＝3，BO＝12BD＝4.在Rt△BCO中，BC＝CO2＋BO2＝5.∵S△ABC＝12AC·BO＝12BC·AE，∴12×6×4＝12×5AE.解得AE＝245.首页课件目录末页三、解答题(共20分)11．(10分)[2019·江西]如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OD.求证：四边形ABCD是矩形．首页课件目录末页证明：∵AB＝CD，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AC，BD互相平分．又∵OA＝OD，∴AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形．首页课件目录末页12．(10分)[2019·聊城]如图，在菱形ABCD中，点P是BC边上一点，连接AP，点E，F是AP上的两点，连接DE，BF，使得∠AED＝∠ABC，∠ABF＝∠BPF.求证：(1)△ABF≌△DAE；(2)DE＝BF＋EF.首页课件目录末页证明：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，AD∥BC，∴∠BPA＝∠DAE.在△ABP和△DAE中．∵∠ABC＝∠AED，∴∠BAF＝∠ADE.∵∠ABF＝∠BPF且∠BPA＝∠DAE，∴∠ABF＝∠DAE.又∵AB＝DA，∴△ABF≌△DAE(ASA)．首页课件目录末页(2)∵△ABF≌△DAE，∴AE＝BF，DE＝AF.∵AF＝AE＋EF＝BF＋EF，∴DE＝BF＋EF.首页课件目录末页(20分)13．(5分)[2018·天津]如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，P为对角线BD上的一个动点，则下列线段的长等于AP＋EP最小值的是()A．ABB.DEC．BDD.AFD首页课件目录末页【解析】如答图，取CD的中点E′，连接AE′，PE′.由正方形的轴对称性质，可知EP＝E′P，AF＝AE′.∴AP＋EP＝AP＋E′P.∴AP＋EP的最小值是AE′，即AP＋EP的最小值是AF.故选D.首页课件目录末页14．(5分)[2018·贵港]如图，在菱形ABCD中，AC＝62，BD＝6，E是BC的中点，P，M分别是AC，AB上的动点，连接PE，PM，则PE＋PM的最小值是()CA．6B.33C．26D.4.5首页课件目录末页【解析】如答图，作点M关于AC的对称点M′，则点M′在AD上．显然，当E，P，M′在同一直线上，且EM′⊥AD时，EM′最短，此时PE＋PM最小．∵AD＝32＋322＝33，且S菱形ABCD＝AD·EM′＝12AC·BD，∴33EM′＝12×62×6.解得EM′＝26.∴PE＋PM的最小值为26.故选C.首页课件目录末页15．(10分)[2019·甘肃]如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，连接DE，过点A作AG⊥ED交DE于点F，交CD于点G.(1)证明：△ADG≌△DCE；(2)连接BF，证明：AB＝BF.首页课件目录末页证明：(1)∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADG＝∠C＝90°，AD＝DC.又∵AG⊥DE，∴∠DAG＋∠ADF＝90°＝∠CDE＋∠ADF，∴∠DAG＝∠CDE，∴△ADG≌△DCE(ASA)．首页课件目录末页(2)如答图，延长DE交AB的延长线于点H.∵E是BC的中点，∴BE＝CE.又∵∠C＝∠HBE＝90°，∠DEC＝∠HEB，∴△DCE≌△HBE(ASA)．∴BH＝DC＝AB，即B是AH的中点．又∵∠AFH＝90°，∴在Rt△AFH中，BF＝12AH＝AB.首页课件目录末页(10分)16．(10分)阅读下面材料：在数学课上，老师请同学们思考如下问题：如图①，我们把四边形ABCD四边的中点E，F，G，H依次连接起来，得到的四边形EFGH是平行四边形吗？小敏在思考这个问题时，有如下思路：首页课件目录末页结合小敏的思路，解答以下问题：首页课件目录末页(1)若只改变图①中四边形ABCD的形状(如图②)，则四边形EFGH还是平行四边形吗？说明理由；(2)如图②，在(1)的条件下，若连接AC，BD.Ⅰ.当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是菱形？写出结论并证明；Ⅱ.当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是矩形？直接写出结论．首页课件目录末页解：(1)四边形EFGH是平行四边形．理由如下：连接AC(图略)．∵E，F分别是AB，BC的中点，∴EF∥AC，EF＝12AC.∵G，H分别是CD，AD的中点，∴GH∥AC，GH＝12AC.∴EF∥GH，EF＝GH.∴四边形EFGH是平行四边形．首页课件目录末页(2)Ⅰ.当AC＝BD时，四边形EFGH是菱形．理由如下：由(1)可知四边形EFGH是平行四边形．当AC＝BD时，EF＝12AC，FG＝12BD，∴EF＝FG.∴四边形EFGH是菱形．Ⅱ.当AC⊥BD时，四边形EFGH是矩形．