第22课时-全等三角形,全等三角形的判定第3课时

首页课件目录末页第二部分图形与几何第七章三角形考点管理中考再现课时作业归类探究第22课时全等三角形首页课件目录末页考点管理1．命题与定理定义：判断一件事情的语句叫做．命题的组成：命题都是由和两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．命题题设结论首页课件目录末页命题的形式：命题通常写成“如果……那么……”的形式．“如果”后面是题设，“那么”后面是结论．命题的真假：正确的命题是，错误的命题是．判断一个命题为假命题时，只需举出一个反例；要论证一个命题是真命题时，则需要加以推理和证明．真命题假命题首页课件目录末页逆命题：若命题2与命题1的题设、结论正好相反，则这样的两个命题叫做互逆命题，如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题．定理：经过证明被确认正确的命题叫做．互逆定理：一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么这个逆命题也是一个定理，称这两个定理互为逆定理．定理首页课件目录末页2．证明定义：的过程叫做证明．证明的步骤：(1)分析题意，画出图形，并结合图形写出已知和求证的结论；(2)根据图形分析证明思路；(3)写出证明的过程，每一步均应有理有据．基本方法：(1)综合法，从已知条件入手，探索解题途径的方法；(2)分析法，从结论出发，用倒推来寻求证题思路的方法；(3)两头“凑”的方法，综合应用以上两种方法从而找到证明思路的方法．推理首页课件目录末页3．反证法定义：先假设命题中结论的反面成立，推出与已知条件或与定义、定理等相矛盾，从而得出结论的反面不可能成立，从而证明原命题结论是成立的，这种证明的方法叫做反证法．步骤：(1)假设命题的结论的反面成立；(2)从假设的结论出发，推出矛盾；(3)由矛盾的结果说明假设的结论不成立，从而肯定原命题的结论是正确的．方法：(1)有些用直接证法不易证明的问题可考虑反证法；(2)证明唯一性和存在性问题常用反证法．首页课件目录末页4．全等形定义：能够完全的图形叫做全等形．5．全等三角形定义：能够完全的两个三角形叫做全等三角形．6．全等三角形的性质性质：(1)对应角相等，对应边相等；(2)对应线段(角平分线、中线、高)相等，周长相等，面积相等．重合重合首页课件目录末页7．全等三角形的判定判定：(1)一般三角形全等的判定方法有四种：，，，；(2)直角三角形全等，除了可用以上方法外，还有.注意：“AAA”和“SSA”不能判定两个三角形全等．规律：(1)在角的两边截相等线段，构造全等三角形；SSSSASASAAASHL首页课件目录末页(2)过角平分线上一点向角两边作垂线；(3)公共边是对应边，公共角是对应角；(4)若有中线时，常加倍中线，构造全等三角形．首页课件目录末页8．角平分线的性质性质：角平分线上的点到角两边的距离．判定：角的内部到角两边的距离相等的点在．相等角的平分线上首页课件目录末页中考再现1．[2019·岳阳]下列命题是假命题的是()A．平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形B．同角(或等角)的余角相等C．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等D．正方形的对角线相等，且互相垂直平分【解析】平行四边形一定是中心对称图形，但不一定是轴对称图形，选项A是假命题．故选A.A首页课件目录末页2．[2019·张家界]如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，DC＝13AD，BD平分∠ABC，则点D到AB的距离等于()A．4B.3C．2D.1C首页课件目录末页【解析】本题考查了角平分线的性质．如答图，过点D作DE⊥AB于点E.∵AC＝8，DC＝13AD，∴CD＝2.∵BD平分∠ABC，∴DC＝DE＝2.即点D到AB的距离等于2.故选C.首页课件目录末页3．[2017·常德]写出命题“如果m是整数，那么它是有理数”的逆命题为：．4．[2019·邵阳]如图，已知AD＝AE，请你添加一个条件，使得△ADC≌△AEB，你添加的条件是．(不添加任何字母和辅助线)如果m是有理数，那么它是整数AB＝AC或∠ADC＝∠AEB或∠B＝∠C等首页课件目录末页【解析】∵∠A＝∠A，AD＝AE，∴可以添加AB＝AC，此时满足SAS；添加条件∠ADC＝∠AEB，此时满足ASA；添加条件∠B＝∠C，此时满足AAS.首页课件目录末页5．[2019·益阳]如图，AB＝AE，AB∥DE，∠ECB＝70°，∠D＝110°，求证：△ABC≌△EAD.首页课件目录末页证明：由∠ECB＝70°，得∠ACB＝110°.∵∠D＝110°，∴∠ACB＝∠D.∵AB∥DE，∴∠CAB＝∠E.又∵AB＝EA，∴△ABC≌△EAD(AAS)．首页课件目录末页归类探究类型之一命题、真假命题及互逆命题[2019·娄底]下列命题是假命题的是()A．到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上B．等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形C．n边形(n≥3)的内角和是n·180°－360°D．旋转不改变图形的形状和大小B首页课件目录末页【解析】A．由线段垂直平分线的判定知该选项是真命题；B．等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形；故该选项为假命题；C．由n边形(n≥3)的内角和是n－2·180°知该选项是真命题；D．由旋转的性质知该选项是真命题．故选B.首页课件目录末页1．[2019·常州]判断命题“如果n<1，那么n2－1<0”是假命题，只需举出一个反例．反例中的n可以为()A．－2B.－12C．0D.12A首页课件目录末页【解析】本题考查了用举反例的方法证明一个假命题．根据反例的意义：即命题的条件成立，但命题的结论不成立的例子即可为反例，本题中，－2<1，而(－2)2－1＝3>1，∴反例中的n可以为－2.故选A.首页课件目录末页2．[2019·北京]用三个不等式a>b，ab>0，1a<1b中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为()A．0B.1C．2D.3D首页课件目录末页【解析】共能组成3个命题：命题①：如果a>b，ab>0，那么1a<1b.∵a>b，∴a－b>0.又∵ab>0，∴a－bab>0，化简得1a<1b，该命题为真命题．命题②：如果a>b，1a<1b，那么ab>0.∵1a<1b，∴1a－1b<0，b－aab<0.首页课件目录末页∵a>b，∴b－a<0，∴ab>0.该命题为真命题．命题③：如果ab>0，1a<1b，那么a>b.∵1a<1b，∴1a－1b<0，b－aab<0.∵ab>0，∴b－a<0，∴a>b.该命题为真命题．故选D.首页课件目录末页【点悟】(1)两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．(2)正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题真假的关键是要熟悉课本中的性质定理．(3)举反例是说明假命题的常用方法，但需要注意所举反例需要满足命题的题设，但结论不成立．首页课件目录末页类型之二反证法[2017·山西]公元前5世纪，毕达哥拉斯学派中的一名成员希伯索斯发现了无理数2，导致了第一次数学危机．“2是无理数”的证明如下：假设2是有理数，那么它可以表示成qp(p与q是互质的两个正整数)．于是qp2＝(2)2＝2，∴q2＝2p2.于是q2是偶数，进而q是偶数，从而可设q＝2m，∴(2m)2＝2p2，p2＝2m2，于是可得p也是偶数．这与“p与q是互质的两个正整数”矛盾，从而可知“2是有理数”的假设不成立，∴2是无理数．首页课件目录末页上述证明“2是无理数”的方法是()A．综合法B.反证法C．举反例法D.数学归纳法B首页课件目录末页3．[2018·舟山]用反证法证明时，假设结论“点在圆外”不成立，那么点与圆的位置关系只能是()A．点在圆内B.点在圆上C．点在圆心上D.点在圆上或圆内D【解析】点和圆的位置关系有点在圆上、点在圆内、点在圆外三种，若“点在圆外”不成立，则“点在圆内或圆上”．故选D.首页课件目录末页【点悟】反证法的步骤是：(1)假设结论不成立；(2)从假设出发推出矛盾；(3)假设不成立，则原结论成立．在假设结论不成立时，要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了；如果有多种情况，那么必须一一否定．首页课件目录末页类型之三全等三角形的证明[2019·淄博]已知，在如图所示的“风筝”图案中，AB＝AD，AC＝AE，∠BAE＝∠DAC.求证：∠E＝∠C.首页课件目录末页证明：∵∠BAE＝∠DAC，∴∠BAE＋∠EAC＝∠DAC＋∠EAC，即∠BAC＝∠DAE.在△ABC和△ADE中，AB＝AD，∠BAC＝∠DAE，AC＝AE，∴△ABC≌△ADE(SAS)，∴∠E＝∠C.首页课件目录末页【点悟】(1)全等三角形的判定方法有：SSS，SAS，ASA，AAS，HL(仅限在直角三角形中)．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．(2)判定两个三角形全等，一般可以从三个角度思考：一是从三边考虑；二是从两边和它们的夹角考虑；三是从两角和任意一个角的对应边考虑．(3)轴对称、平移、旋转前后的两个图形全等．首页课件目录末页4．[2019·兰州]如图，AB＝DE，BF＝EC，∠B＝∠E.求证：AC∥DF.证明：∵BF＝EC，∴BF＋FC＝EC＋FC，即BC＝EF.又∵AB＝DE，∠B＝∠E，∴△ABC≌△DEF(SAS)，∴∠ACB＝∠DFE，∴AC∥DF.首页课件目录末页5．[2019·宜昌]如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，AB＝DB，BE平分∠ABC，交AC边于点E，连接DE.(1)求证：△ABE≌△DBE；(2)若∠A＝100°，∠C＝50°，求∠AEB的度数．首页课件目录末页(1)证明：∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠DBE，在△ABE和△DBE中，AB＝DB，∠ABE＝∠DBE，BE＝BE，∴△ABE≌△DBE(SAS)．首页课件目录末页(2)解：∵∠A＝100°，∠C＝50°，∴∠ABC＝30°.∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝12∠ABC＝15°，在△ABE中，∠AEB＝180°－∠A－∠ABE＝180°－100°－15°＝65°.首页课件目录末页类型之四全等三角形的开放探究型问题[2019·嘉兴]如图，在矩形ABCD中，点E，F在对角线BD上，请添加一个条件，使得结论“AE＝CF”成立，并加以证明．首页课件目录末页解：添加条件：BE＝DF(或DE＝BF或AE∥CF或∠AEB＝∠DFC或∠DAE＝∠BCF或∠AED＝∠CFB或∠BAE＝∠DCF或∠DCF＋∠DAE＝90°等)．证明：在矩形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，∴∠ABE＝∠CDF.∵BE＝DF，∴△ABE≌△CDF(SAS)，∴AE＝CF.首页课件目录末页6．如图，已知在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，BF＝CE，点B，F，C，E在同一条直线上，若使△ABC≌△DEF，则还需添加的一个条件是(只填一个即可)．∠B＝∠E(或∠ACB＝∠DFE)首页课件目录末页【解析】由已知条件知两三角形全等的条件已经有一边一角对应相等，需要添加的条件是添加另外的任一组角构造AAS，或者间接添加可以证明这些结论的条件即可．首页课件目录末页类型之五利用全等三角形设计测量方案[2020·中考预测]杨阳同学沿一段笔直的人行道行走，在由A处步行到达B处的过程中，通过隔离带的空隙O，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语，其具体信息汇集如下：首页课件目录末页如图，AB∥OH∥CD，相邻两平行线间的距离相等，AC，BD相交于点O，BD⊥CD，垂足为D.已知AB＝20m，请根据上述信息，求标语CD的长度．首页课件目录末页解：∵AB∥CD，∴∠ABO＝∠CDO.∵OD⊥CD，∴∠CDO＝90°.∴∠ABO＝90°，即OB⊥AB.∵相邻两平行线间的距离相等，∴OB＝OD.首页课件目录末页在△ABO与△CDO中，∠ABO＝∠CDO，OB＝OD，∠AOB＝∠COD，∴△ABO≌△CDO(ASA)．∴CD＝AB＝20m.首页课件目录末页类型之六角平分线[2018·广安]如图，∠AOE＝∠BOE＝15°，EF∥OB，EC⊥OB于点C.若EC＝1，则OF＝.2首页课件目录末页【解析】如答图，过点E作ED⊥OA于点D.∵EF∥CO，∴∠FEO＝∠BOE＝15°.∴∠EFA＝∠AOB＝∠AOE＋∠BOE＝30°.∵∠OEF＝∠AOE，∴OF＝EF.首页课件目录末页∵OE是∠AOC的平分线，CE⊥OB，ED⊥OA，∴ED＝CE＝1.在Rt△EFD中，∠EFD＝30°，ED＝1，∴EF＝2ED＝2，即OF＝2.首页课件目录末页7．[2019·青岛]如图，BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，垂足为F.若∠ABC＝35°，∠C＝50°，则∠CDE的度数为()CA．35°B.40°C．45°D.50°首页课件目录末页【解析】本题考查角平分线的性质．∵BD平分∠ABC，AE⊥BD，∴△ABF≌△EBF，∴BD是线段AE的垂直平分线，∴AD＝ED，∴∠BAD＝∠BED＝180°－35°－50°＝95°，∴∠CDE＝∠BED－∠C＝95°－50°＝45°.故选C.首页课件目录末页8．[2019·湖州]如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是()BA．24B.30C．36D.42首页课件目录末页【解析】如答图，过点D作DH⊥AB交BA的延长线于点H.∵BD平分∠ABC，∠BCD＝90°，∴DH＝CD＝4，∴S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝12AB·DH＋12BC·CD＝12×6×4＋12×9×4＝30.首页课件目录末页课时作业(60分)一、选择题(每题5分，共25分)1．[2019·衡阳]下列命题是假命题的是()A．n边形(n≥3)的外角和是360°B．线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等C．相等的角是对顶角D．矩形的对角线互相平分且相等C【解析】对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角．故选C.首页课件目录末页2．[2019·安顺]如图，点B，F，C，E在一条直线上，AB∥DE，AC∥DF，添加下列一个条件后，仍无法判断△ABC≌△DEF的是()BA．AB＝DEB.∠A＝∠DC．AC＝DFD.BF＝EC首页课件目录末页【解析】∵AB∥DE，AC∥DF，∴∠B＝∠E，∠ACB＝∠DFE，A．添加AB＝DE可利用AAS判断△ABC≌△DEF，此选项不合题意；B．添加∠A＝∠D无法判断△ABC≌△DEF，此选项符合题意；C．添加AC＝DF可利用AAS判断△ABC≌△DEF，此选项不合题意；D．添加BF＝EC可得BC＝EF，可利用ASA判断△ABC≌△DEF，此选项不合题意；故选B.首页课件目录末页3．[2018·大庆]如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC＝110°，则∠MAB的度数是()A．30°B.35°C．45°D.60°B首页课件目录末页【解析】如答图，过点M作MN⊥AD于点N.∵DM平分∠ADC，MC⊥CD，MN⊥AD，∴MC＝MN.∵M是BC的中点，∴MC＝MB.∴MN＝MB.又∵MN⊥AD，MB⊥AB，∴AM是∠DAB的平分线．∵∠ADC＝110°，∴∠DAB＝70°.∴∠MAB＝35°.故选B.首页课件目录末页4．[2019·菏泽]如图，在△ABC中，D是边AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，FC∥AB，若AB＝4，CF＝3，则BD的长是()A．0.5B.1C．1.5D.2B首页课件目录末页【解析】∵CF∥AB，∴∠A＝∠FCE，∠ADE＝∠F，在△ADE和△CFE中，∠A＝∠FCE，∠ADE＝∠F，DE＝FE，∴△ADE≌△CFE(AAS)．∴AD＝CF＝3.∵AB＝4，∴DB＝AB－AD＝AB－CF＝4－3＝1.故选B.首页课件目录末页5．[2019·陕西]如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AB，垂足为点E.若DE＝1，则BC的长为()A．2＋2B.2＋3C．2＋3D.3A首页课件目录末页【解析】如答图，过点D作DF⊥AC，垂足为点F.∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∴DE＝DF＝1.∵∠B＝30°，∴BD＝2DE＝2.∵∠C＝45°，∴DC＝2DF＝2.∴BC＝BD＋DC＝2＋2.故选A.首页课件目录末页二、填空题(每题5分，共15分)6．[2019·襄阳]如图，已知∠ABC＝∠DCB，添加下列条件中的一个：①∠A＝∠D；②AC＝DB；③AB＝DC.其中不能确定△ABC≌△DCB的是(只填序号)．②【解析】本题考查了全等三角形的判定方法．已知∠ABC＝∠DCB，图中有公共边BC＝CB，因而添加①可用AAS证明全等，添加③可用SAS证明全等，添加②就变成了“边边角”，不能确定全等．首页课件目录末页7．[2018·金华丽水]如图，△ABC的两条高AD，BE相交于点F.请添加一个条件，使得△ADC≌△BEC(不添加其他字母及辅助线)，你添加的条件是．【解析】由题意可知∠ADC＝∠BEC，∠C＝∠C，可考虑全等三角形的判定ASA或AAS.故答案不唯一，如CA＝CB，CE＝CD等．(答案不唯一)如CA＝CB，CE＝CD等首页课件目录末页8．[2019·菏泽]如图，在△ABC中，∠ACB＝120°，BC＝4，D为AB的中点，DC⊥BC，则△ABC的面积是.83首页课件目录末页【解析】∵DC⊥BC，∴∠BCD＝90°.∵∠ACB＝120°，∴∠ACD＝30°，如答图，延长线段CD到点H使DH＝CD，连接AH.首页课件目录末页∵D为AB的中点，∴AD＝BD.在△ADH与△BDC中，DH＝DC，∠ADH＝∠BDC，AD＝BD，首页课件目录末页∴△ADH≌△BDC(SAS)，∴AH＝BC＝4，∠H＝∠BCD＝90°.∵∠ACH＝30°，∴CH＝3AH＝43，∴CD＝23，∴S△ABC＝2S△BCD＝2×12×4×23＝83.首页课件目录末页三、解答题(共20分)9．(10分)[2019·黄冈]如图，ABCD是正方形，E是CD边上任意一点，连接AE，作BF⊥AE，DG⊥AE，垂足分别为F，G.求证：BF－DG＝FG.证明：在△ABF和△DAG中，∵BF⊥AE，DG⊥AE，∴∠AFB＝∠DGA＝90°.∵∠DAG＋∠FAB＝∠DAG＋∠ADG＝90°，∴∠FAB＝∠GDA.首页课件目录末页又∵AB＝DA，∴△ABF≌△DAG(AAS)．∴BF＝AG，AF＝DG，∴BF－DG＝AG－AF＝FG.首页课件目录末页10．(10分)[2018·怀化]如图，已知点A，F，E，C在同一直线上，AB∥DC，AB＝CD，∠B＝∠D.(1)求证：△ABE≌△CDF；(2)若E，G分别为线段FC，FD的中点，连接EG，且EG＝5，求AB的长．首页课件目录末页(1)证明：∵AB∥DC，∴∠A＝∠C.在△ABE和△CDF中，∠B＝∠D，AB＝CD，∠A＝∠C，∴△ABE≌△CDF(ASA)．首页课件目录末页(2)解：∵点E，G分别为线段FC，FD的中点，∴线段EG为△CDF的中位线．∴CD＝2EG＝10.又∵△ABE≌△CDF，∴AB＝CD＝10.首页课件目录末页(20分)11．(10分)如图，在△ABC中，AB＝AC，点E，F分别在AB，AC上，AE＝AF，BF与CE相交于点P，求证：PB＝PC，并直接写出图中其他相等的线段．证明：在△ABF与△ACE中，AB＝AC，∠A＝∠A，AF＝AE，∴△ABF≌△ACE(SAS)．∴∠ABF＝∠ACE.首页课件目录末页∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∴∠ABC－∠ABF＝∠ACB－∠ACE，即∠FBC＝∠ECB.∴PB＝PC.相等的线段还有：PE＝PF，CE＝BF，BE＝CF.首页课件目录末页12．(10分)[2019·苏州]如图，在△ABC中，点E在边BC上．AE＝AB，将线段AC绕点A旋转到AF的位置．使得∠CAF＝∠BAE.连接EF，EF与AC交于点G.(1)求证：EF＝BC；(2)若∠ABC＝65°.∠ACB＝28°，求∠FGC的度数．首页课件目录末页(1)证明：∵线段AC绕点A旋转到AF的位置，∴AC＝AF.∵∠CAF＝∠BAE.∴∠CAF＋∠CAE＝∠BAE＋∠CAE.即∠EAF＝∠BAC.首页课件目录末页在△ABC和△AEF中，AE＝AB，∠BAC＝∠EAF，AC＝AF，∴△ABC≌△AEF(SAS)，∴EF＝BC.首页课件目录末页(2)解：∵AE＝AB，∴∠AEB＝∠ABC＝65°.∵△ABC≌△AEF，∴∠AEF＝∠ABC＝65°，∠FEC＝180°－∠AEB－∠AEF＝180°－65°－65°＝50°.∵∠FGC是△EGC的外角，∠ACB＝28°，∴∠FGC＝∠FEC＋∠ACB＝50°＋28°＝78°.首页课件目录末页(20分)13．(20分)[2019·安顺](1)如图①，在四边形ABCD中，AB∥DC，点E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试判断AB，AD，DC之间的等量关系．首页课件目录末页解决此问题可以用如下方法：延长AE交DC的延长线于点F，易证△AEB≌△FEC，得到AB＝FC，从而把AB，AD，DC转化在一个三角形中即可判断．AB，AD，DC之间的等量关系为；(2)问题探究：如图②，在四边形ABCD中，AB∥CD，AF与DC的延长线交于点F，E是BC的中点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，并证明你的结论．AD＝AB＋DC首页课件目录末页解：(1)如答图①，延长AE交DC的延长线于点F.∵AB∥DC，∴∠BAF＝∠F.∵E是BC的中点，∴CE＝BE，在△AEB和△FEC中，∠BAE＝∠F，∠AEB＝∠FEC，BE＝CE，第13题答图①首页课件目录末页∴△AEB≌△FEC(AAS)，∴AB＝FC.∵AE是∠BAD的平分线，∴∠DAF＝∠BAF，∴∠DAF＝∠F，∴DF＝AD，∴AD＝DC＋CF＝DC＋AB.首页课件目录末页(2)AB＝AF＋CF，证明如下：如答图②，延长AE交DF的延长线于点G.∵E是BC的中点，∴CE＝BE.∵AB∥DC，∴∠BAE＝∠G，在△AEB和△GEC中，∠BAE＝∠G，∠AEB＝∠GEC，BE＝CE，第13题答图②首页课件目录末页∴△AEB≌△GEC(AAS)，∴AB＝GC.∵AE是∠BAF的平分线，∴∠BAG＝∠FAG.∴∠FAG＝∠G，∴FA＝FG，∴AB＝CG＝AF＋CF.