一元二次方程根与系数的关系课件沪科版数学八年级下册

17.4一元二次方程的根与系数的关系知识回顾ax2+bx+c=0（a≠0）1、一元二次方程的一般形式？2、一元二次方程有实数根的条件是什么？△=b²-4ac≥04、当△＞0，△=0，△＜0根的情况如何？3、一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是什么？224,a402bbacxbaca（0，）△＞0一元二次方程有两个不相等的实数根△=0一元二次方程有两个相等的实数根一元二次方程无实数根△＜0224,a402bbacxbaca（0，）方程x1x2x1+x2x1∙x2x2-3x+2=0x2-2x-3=0x2-5x+4=0问题1：当二次项系数为1时，方程x2+px+q=0两根x1+x2，x1•x2与系数有什么规律？2132-132-31454qxxpxx2121新知探究完成下表填空qxxpxx2121方程x1x2xx21xx21.01692xx01432xx02732xx31313291372343131-23732372问题2：当二次项系数为a时，一元二次方程ax2+bx+c=0的两根x1+x2，x1∙x2与系数有什么规律?abxx21acxx21完成下表填空x1x2xx21xx21.01692xx01432xx02732xx313132913723431313732372abxx21acxx21猜想：如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c是常数且a≠0）的两根为x1、x2，则x1+x2和x1.x2与系数a，b，c的关系.abxx21acxx21新知讲解已知方程的两个根，请大家化简计算两根和与两根积221244,22bbacbbacxxaaabxx21acxx21221244,22bbacbbacxxaa12xx224422bbacbbacaa20(0)axbxca中22442bbacbbaca22baba221244,22bbacbbacxxaa证明：12xx224422bbacbbacaa20(0)axbxca中22442bbacbbaca22baba221244,22bbacbbacxxaa12xx224422bbacbbacaa2222()(4)4bbaca222(4)4bbaca244acaca12xx224422bbacbbacaa2222()(4)4bbaca222(4)4bbaca244acaca一元二次方程根与系数的关系注：能用根与系数的关系的前提条件为b2-4ac≥0.（韦达定理）新知讲解如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c是常数且a≠0）的两根为x1、x2，则：abxx21acxx21一元二次方程根与系数的关系是法国数学家“韦”达发现的,所以我们又称之为韦达定理.abxx21acxx21一、直接运用根与系数的关系公式例1.不解方程，求下列方程两根的和与积.222415)3(0973)2(0156)1(xxxxxx注意：⑴不是一般式的要先化成一般式；⑵在使用x1+x2=－时，注意“－”不要漏写.ab新知应用x1+x2=-6，x1∙x2=15解：（1）a=1，b=-6，c=-15（2）a=3，b=7，c=-9（3）a=4，b=-5，c=+1x1+x2=-，x1∙x2=-3x1+x2=-，x1∙x2=4222415)3(0973)2(0156)1(xxxxxxab例2、已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值。二、运用根与系数的关系求字母系数的值新知应用解：设方程的另外一个根为x2，由一元二次方程根与系数关系定理得：2+x2=-,2x2=-∴由2x2=-得：x2=-把x2=-入2+x2=-解得：k=-7答：另一个根是-k的值是-7。同类变式练习．已知关于x的方程x2＋2mx＋m2－1＝0.(1)不解方程，判别方程根的情况；(2)若方程有一个根为3，求m的值及另一个根．解：∵△=b²-4ac=（2m）²-4×1×（m²-1）=4∴不论m取何值，△＞0∴方程由两个不相等的实数根（1）（2）设方程的另外一个根为x2，由一元二次方程根与系数关系定理得：3+x2=-2m,3x2=m²-1解得：x2=1x2=5m=-2或m=-4三、求关于两根的对称式或代数式的值2221)1(xx2111)2(xx例2.设x1，x2是方程2x²+4x-3=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值)1)(1)(3(21xx221221)4(xxxx2112)5(xxxx221))(6(xx新知应用2221)1(xx2111)2(xx)1)(1)(3(21xx221221)4(xxxx2112)5(xxxx221))(6(xx解：由一元二次方程根与系数关系定理得x1+x2=-2x1x2=-2221212122(1)xx=xx-2xx3=--2-=2++´（）（2）（）7121212x+x11-24(2)===3xxxx3-2+·121212(3)(x1)(x1)=xxxx135=--2+1=-22+++++（）22121212123(4)xxxx=xxxx)2()32+·+=-´-=（2221121212xxx+x714(5)===-3xx3xx-2+·22121212(6)(xx)=xx-4xx=10-+（）2221212122(1)xx=xx-2xx3=--2-=2++´（）（2）（）7121212x+x11-24(2)===3xxxx3-2+·121212(3)(x1)(x1)=xxxx135=--2+1=-22+++++（）22121212123(4)xxxx=xxxx)2()32+·+=-´-=（2221121212xxx+x714(5)===-3xx3xx-2+·22121212(6)(xx)=xx-4xx=10-+（）关于两根几种常见的求值2111.4xx2121xxxx)1)(1.(321xx1)(2121xxxx1221.5xxxx212221xxxx21212212)(xxxxxx21.6xx221)(xx212214)(xxxx212xx2221.1xx221)(xx221).(2xx221)(xx214xx2111.4xx2121xxxx)1)(1.(321xx1)(2121xxxx1221.5xxxx212221xxxx21212212)(xxxxxx21.6xx221)(xx212214)(xxxx212xx2221.1xx221)(xx221).(2xx221)(xx214xx练习：已知方程2x²+4x+2m=0的两个根的倒数和等于6，求m的值设x1，x2是方程2x²+4x+2m=0的两个根由一元二次方程根与系数关系定理得x1+x2=-2x1x2=m解：1211=6xx+∵1212x+x=6xx\·-2=6m1m=-3\\1211=6xx+∵1212x+x=6xx\·-2=6m1m=-3\\三、构造新方程已知关于x的方程x²+px+q=0的两个根是x1和x2，则p和q的值为：1212()pxxqxx新知应用反之：以数x1和x2为跟的一元二次方程为x²+px+q=0，其中：1212()pxxqxx1212()pxxqxx1212()pxxqxx例3.求一个一元二次方程，使它的两个根是2和3设关于x的方程形式为：x²+px+q=0解：∵x1=2，，x2=31212()=-5=6pxxqxx∴所求一元二次方程形式为：x²-5x+6=01212()=-5=6pxxqxx例4:方程有一个正根，一个负根，求m的取值范围.解:由已知,0)1(442mmm△=0121mmxx即m>0m-1<0∴0