《等差数列的性质》高二年级上册PPT课件（第2.2.2课时）.pptx

某某市区县乡高级中学第二章数列主讲人：办公资源人教A版数学高一年级下册2.2.2等差数列第2课时等差数列的性质学习目标LEARNINGOBJECTIVES011.掌握等差数列的有关性质(重点、易错点).2.能灵活运用等差数列的性质解决问题(难点)．目录CONTENS01学习目标LEARNINGOBJECTIVES学习目标LEARNINGOBJECTIVES1．等差数列的图象等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d，当d＝0时，an是一固定常数；当d≠0时，an相应的函数是一次函数；点(n，an)分布在以为斜率的直线上，是这条直线上的一列孤立的点．思考：由上式可得d＝an－a1n－1，d＝an－amn－m，你能联系直线的斜率解释一下这两个式子的几何意义吗？d1．等差数列的图象等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d，当d＝0时，an是一固定常数；当d≠0时，an相应的函数是一次函数；点(n，an)分布在以为斜率的直线上，是这条直线上的一列孤立的点．思考：由上式可得d＝an－a1n－1，d＝an－amn－m，你能联系直线的斜率解释一下这两个式子的几何意义吗？学习目标LEARNINGOBJECTIVES[提示]等差数列的通项公式可以变形为an＝nd＋(a1－d)，是关于n的一次函数，d为斜率，故两点(1，a1)，(n，an)直线的斜率d＝an－a1n－1，当两点为(n，an)，(m，am)时有d＝an－amn－m.[提示]等差数列的通项公式可以变形为an＝nd＋(a1－d)，是关于n的一次函数，d为斜率，故两点(1，a1)，(n，an)直线的斜率d＝an－a1n－1，当两点为(n，an)，(m，am)时有d＝an－amn－m.学习目标LEARNINGOBJECTIVES2．等差数列的性质(1){an}是公差为d的等差数列，若正整数m，n，p，q满足m＋n＝p＋q，则am＋an＝.①特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N)时，am＋an＝2ak.②对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝….ap＋aq和2．等差数列的性质(1){an}是公差为d的等差数列，若正整数m，n，p，q满足m＋n＝p＋q，则am＋an＝.①特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N)时，am＋an＝2ak.②对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝….学习目标LEARNINGOBJECTIVES(2)从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为数列．(3)若{an}是公差为d的等差数列，则①{c＋an}(c为任一常数)是公差为的等差数列；②{can}(c为任一常数)是公差为的等差数列；③{an＋an＋k}(k为常数，k∈N)是公差为的等差数列．(4)若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pan＋qbn}(p，q是常数)是公差为的等差数列．(5){an}的公差为d，则d>0⇔{an}为数列；d<0⇔{an}为数列；d＝0⇔{an}为常数列．等差dcd2dpd1＋qd2递增递减(2)从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为数列．(3)若{an}是公差为d的等差数列，则①{c＋an}(c为任一常数)是公差为的等差数列；②{can}(c为任一常数)是公差为的等差数列；③{an＋an＋k}(k为常数，k∈N)是公差为的等差数列．(4)若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pan＋qbn}(p，q是常数)是公差为的等差数列．(5){an}的公差为d，则d>0⇔{an}为数列；d<0⇔{an}为数列；d＝0⇔{an}为常数列．学习目标LEARNINGOBJECTIVES思考：若{an}为等差数列，且m＋n＝p(m，n，p∈N)，则am＋an＝ap一定成立吗？[提示]不一定．如常数列{an},1＋2＝3，而a1＋a2＝2a3.思考：若{an}为等差数列，且m＋n＝p(m，n，p∈N)，则am＋an＝ap一定成立吗？[提示]不一定．如常数列{an},1＋2＝3，而a1＋a2＝2a3.学习目标LEARNINGOBJECTIVES[基础自测]1．思考辨析(1)若{an}是等差数列，则{an}也是等差数列．()(2)若{an}是等差数列，则{an}也是等差数列．()(3)若{an}是等差数列，则对任意n∈N都有2an＋1＝an＋an＋2.()(4)数列{an}的通项公式为an＝3n＋5，则数列{an}的公差与函数y＝3x＋5的图象的斜率相等．()[答案](1)×(2)×(3)√(4)√[基础自测]1．思考辨析(1)若{an}是等差数列，则{an}也是等差数列．()(2)若{an}是等差数列，则{an}也是等差数列．()(3)若{an}是等差数列，则对任意n∈N都有2an＋1＝an＋an＋2.()(4)数列{an}的通项公式为an＝3n＋5，则数列{an}的公差与函数y＝3x＋5的图象的斜率相等．()[答案](1)×(2)×(3)√(4)√学习目标LEARNINGOBJECTIVES提示：(1)错误，如－2，－1,0,1,2是等差数列，但其绝对值就不是等差数列．(2)错误，如数列－1,2，－3,4，－5其绝对值为等差数列，但其本身不是等差数列．(3)正确，根据等差数列的通项可判定对任意n∈N都有2an＋1＝an＋an＋2成立．(4)正确．因为an＝3n＋5的公差d＝3，而直线y＝3x＋5的斜率也是3.提示：(1)错误，如－2，－1,0,1,2是等差数列，但其绝对值就不是等差数列．(2)错误，如数列－1,2，－3,4，－5其绝对值为等差数列，但其本身不是等差数列．(3)正确，根据等差数列的通项可判定对任意n∈N都有2an＋1＝an＋an＋2成立．(4)正确．因为an＝3n＋5的公差d＝3，而直线y＝3x＋5的斜率也是3.学习目标LEARNINGOBJECTIVES2．在等差数列{an}中，若a5＝6，a8＝15，则a14＝________.33[由题意得d＝a8－a58－5＝15－68－5＝3.∴a14＝a8＋6d＝15＋18＝33.]2．在等差数列{an}中，若a5＝6，a8＝15，则a14＝________.33[由题意得d＝a8－a58－5＝15－68－5＝3.∴a14＝a8＋6d＝15＋18＝33.]学习目标LEARNINGOBJECTIVES3．在等差数列{an}中，已知a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝________.180[因为a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450，所以a5＝90，a2＋a8＝2a5＝2×90＝180.]3．在等差数列{an}中，已知a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝________.180[因为a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450，所以a5＝90，a2＋a8＝2a5＝2×90＝180.]学习目标LEARNINGOBJECTIVES4．已知等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12＝________.15[由等差数列的性质得a7＋a9＝a4＋a12＝16，又∵a4＝1∴a12＝15.]4．已知等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12＝________.15[由等差数列的性质得a7＋a9＝a4＋a12＝16，又∵a4＝1∴a12＝15.]02合作探究COOPERATIVEINQUIRY合作探究COOPERATIVEINQUIRY灵活的设元解等差数列例1、已知四个数成等差数列，它们的和为26，中间两项的积为40，求这四个数.灵活的设元解等差数列例1、已知四个数成等差数列，它们的和为26，中间两项的积为40，求这四个数.合作探究COOPERATIVEINQUIRY[解]法一：(设四个变量)设这四个数分别为a，b，c，d，根据题意，得b－a＝c－b＝d－c，a＋b＋c＋d＝26，bc＝40，解得a＝2，b＝5，c＝8，d＝11或a＝11，b＝8，c＝5，d＝2，∴这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.[解]法一：(设四个变量)设这四个数分别为a，b，c，d，根据题意，得b－a＝c－b＝d－c，a＋b＋c＋d＝26，bc＝40，解得a＝2，b＝5，c＝8，d＝11或a＝11，b＝8，c＝5，d＝2，∴这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.合作探究COOPERATIVEINQUIRY法二：(设首项与公差)设此等差数列的首项为a1，公差为d，根据题意，得a1＋a1＋d＋a1＋2d＋a1＋3d＝26，a1＋da1＋2d＝40，化简，得4a1＋6d＝26，a21＋3a1d＋2d2＝40，解得a1＝2，d＝3，或a1＝11，d＝－3，∴这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.法二：(设首项与公差)设此等差数列的首项为a1，公差为d，根据题意，得a1＋a1＋d＋a1＋2d＋a1＋3d＝26，a1＋da1＋2d＝40，化简，得4a1＋6d＝26，a21＋3a1d＋2d2＝40，解得a1＝2，d＝3，或a1＝11，d＝－3，∴这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.合作探究COOPERATIVEINQUIRY法三：(灵活设元)设这四个数分别为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，根据题意，得a－3d＋a－d＋a＋d＋a＋3d＝26，a－da＋d＝40，化简，得4a＝26，a2－d2＝40，解得a＝132，d＝±32.∴这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.法三：(灵活设元)设这四个数分别为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，根据题意，得a－3d＋a－d＋a＋d＋a＋3d＝26，a－da＋d＝40，化简，得4a＝26，a2－d2＝40，解得a＝132，d＝±32.∴这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.合作探究COOPERATIVEINQUIRY[规律方法]1．当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设首项为a1，公差为d，利用已知条件建立方程组求出a1和d，即可确定数列．2．当已知数列有2n项时，可设为a－(2n－1)d，…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，a＋(2n－1)d，此时公差为2d.3．当已知数列有2n＋1项时，可设为a－nd，a－(n－1)d，…，a－d，a，a＋d，…，a＋(n－1)d，a＋nd，此时公差为d.[规律方法]1．当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设首项为a1，公差为d，利用已知条件建立方程组求出a1和d，即可确定数列．2．当已知数列有2n项时，可设为a－(2n－1)d，…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，a＋(2n－1)d，此时公差为2d.3．当已知数列有2n＋1项时，可设为a－nd，a－(n－1)d，…，a－d，a，a＋d，…，a＋(n－1)d，a＋nd，此时公差为d.合作探究COOPERATIVEINQUIRY[跟踪训练]1．已知五个数成等差数列，它们的和为5，平方和为859，求这5个数．[解]设第三个数为a，公差为d，则这5个数分别为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d.由已知有a－2d＋a－d＋a＋a＋d＋a＋2d＝5，a－2d2＋a－d2＋a2＋a＋d2＋a＋2d2＝859，整理得5a＝5，5a2＋10d2＝859.解得a＝1，d＝±23.当d＝23时，这5个分数分别是－13，13，1，53，73；当d＝－23时，这5个数分别是73，53，1，13，－13.综上，这5个数分别是－13，13，1，53，73或73，53，1，13，－13.[跟踪训练]1．已知五个数成等差数列，它们的和为5，平方和为859，求这5个数．[解]设第三个数为a，公差为d，则这5个数分别为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d.由已知有a－2d＋a－d＋a＋a＋d＋a＋2d＝5，a－2d2＋a－d2＋a2＋a＋d2＋a＋2d2＝859，整理得5a＝5，5a2＋10d2＝859.解得a＝1，d＝±23.当d＝23时，这5个分数分别是－13，13，1，53，73；当d＝－23时，这5个数分别是73，53，1，13，－13.综上，这5个数分别是－13，13，1，53，73或73，53，1，13，－13.合作探究COOPERATIVEINQUIRY等差数列的实际应用例2、甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡业规模进行调查，提供两个不同的信息图如图2­2­1.甲调查表明：从第1年每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个养鸡场出产2万只鸡．乙调查表明：由第1年养鸡场个数30个减少到第6年10个．等差数列的实际应用例2、甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡业规模进行调查，提供两个不同的信息图如图2­2­1.甲调查表明：从第1年每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个养鸡场出产2万只鸡．乙调查表明：由第1年养鸡场个数30个减少到第6年10个．合作探究COOPERATIVEINQUIRY甲乙图2­2­1甲乙图2­2­1合作探究COOPERATIVEINQUIRY请你根据提供的信息回答问题．(1)第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数；(2)到第6年这个县的养鸡业规模比第1年是扩大了还是缩小了？请说明理由.思路探究：解决本题关键是构造两个数列：一个是每年的养鸡只数的平均值构成的数列，一个是每年的养鸡场的个数构成的数列．请你根据提供的信息回答问题．(1)第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数；(2)到第6年这个县的养鸡业规模比第1年是扩大了还是缩小了？请说明理由.思路探究：解决本题关键是构造两个数列：一个是每年的养鸡只数的平均值构成的数列，一个是每年的养鸡场的个数构成的数列．合作探究COOPERATIVEINQUIRY[解]由题图可知，从第1年到第6年平均每个养鸡场出产的鸡数成等差数列，记为{an}，公差为d1，且a1＝1，a6＝2；从第1年到第6年的养鸡场个数也成等差数列，记为{bn}，公差为d2，且b1＝30，b6＝10；从第1年到第6年全县出产鸡的总只数记为数列{cn}，则cn＝anbn.[解]由题图可知，从第1年到第6年平均每个养鸡场出产的鸡数成等差数列，记为{an}，公差为d1，且a1＝1，a6＝2；从第1年到第6年的养鸡场个数也成等差数列，记为{bn}，公差为d2，且b1＝30，b6＝10；从第1年到第6年全县出产鸡的总只数记为数列{cn}，则cn＝anbn.合作探究COOPERATIVEINQUIRY(1)由a1＝1，a6＝2，得a1＝1，a1＋5d1＝2，∴a1＝1，d1＝0.2，得a2＝1.2；由b1＝30，b6＝10，得b1＝30，b1＋5d2＝10，∴b1＝30，d2＝－4，得b2＝26.∴c2＝a2b2＝1.2×26＝31.2，即第2年养鸡场有26个，全县出产鸡31.2万只．(2)∵c6＝a6b6＝2×10＝200；当n≥9时an<0.又a8＝3，a9＝－1.故绝对值最小的项为a9＝－1.]3．（2019年齐齐哈尔期末）在首项为31，公差为－4的等差数列中，绝对值最小的项是________.【答案】－1[可求得数列的通项公式为an＝35－4n.则当n≤8时an>0；当n≥9时an<0.又a8＝3，a9＝－1.故绝对值最小的项为a9＝－1.]当堂达标REACHINGTHEGOALINCOURT4．（2019年厦门模拟）一架飞机在起飞时，第一秒滑行了2m，以后每秒都比前一秒多滑行4m，又知离地前一秒滑行了58m，则这架飞机起飞所用的时间为________秒．【答案】15[飞机每秒滑行的距离组成等差数列，记为{an}，其中a1＝2，d＝4，an＝58，代入等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d，得2＋4(n－1)＝58，所以n＝15(秒)．]4．（2019年厦门模拟）一架飞机在起飞时，第一秒滑行了2m，以后每秒都比前一秒多滑行4m，又知离地前一秒滑行了58m，则这架飞机起飞所用的时间为________秒．【答案】15[飞机每秒滑行的距离组成等差数列，记为{an}，其中a1＝2，d＝4，an＝58，代入等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d，得2＋4(n－1)＝58，所以n＝15(秒)．]当堂达标REACHINGTHEGOALINCOURT5．（2019年桥西区模拟）已知三个数成等差数列并且数列是递增的，它们的和为18，平方和为116，求这三个数.【答案】法一：设这三个数为a，b，c(a