2020-2021学年山东省枣庄市薛城区高二(下)期中数学试卷(附答案详解)

('2020-2021学年山东省枣庄市薛城区高二（下）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率是()A.16B.13C.23D.562.一物体做直线运动，其位移s¿单位：米¿与时间t¿单位：秒¿的关系是s=−t2+5t，则该物体在t=2秒时的瞬时速度为()A.3米¿秒B.7米¿秒C.6米¿秒D.1米¿秒3.在一次运动会上有四项比赛的冠军在甲、乙、丙三人中产生，那么不同的夺冠情况共有()种．A.A❑43B.43C.34D.C❑434.已知函数f(x)=xcosx−sinx，则f′(π2)的值为()A.π2B.−π2C.−1D.−π5.从0，2，4，6，8中任取2个数字，从1，3，5，7中任取1个数字，共可以组成没有重复数字的三位奇数的个数为()A.64B.80C.96D.2406.已知随机变量X的分布列是，X123P1213a则E(2X+a)=()A.53B.73C.72D.2367.(1−1x2)¿展开式中x3的系数为()A.11B.−11C.9D.−98.已知f′(x)是函数f(x)在R上的导函数，函数f(x)在x=−2处取得极小值，则函数y=xf′(x)的图象可能是()A.B.C.D.二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）第1页，共1页9.抛掷一枚骰子1次，记“向上的点数是4，5，6“为事件A，“向上的点数是1，2“为事件B，“向上的点数是1，2，3“为事件C，“向上的点数是1，2，3，4“为事件D，则下列关于事件A，B，C，D判断正确的有()A.A与B是互斥事件但不是对立事件B.A与C是互斥事件也是对立事件C.A与D是互斥事件D.C与D不是对立事件也不是互斥事件10.关于¿的说法，正确的是()A.展开式中的二项式系数之和为2048B.展开式中只有第6项的二项式系数最大C.展开式中第6项和第7项的二项式系数最大D.展开式中第6项的系数最大11.有3台车床加工同一型号的零件．第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床的零件数分别占总数的25%，30%，45%，则下列选项正确的有()A.任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为0.06B.任取一个零件是次品的概率为0.0525C.如果取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为37D.如果取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为3712.已知函数f(x)={3x−9,x≥0xex,x<0，若f(x)的零点为α，极值点为β，则()A.α=0B.α+β=1C.f(x)的极小值为−e−1D.f(x)有最大值三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.学校从3名男同学和2名女同学中任选2人参加志愿者服务活动，则选出的2人中至少有1名女同学的概率为______¿结果用数值表示¿14.作家马伯庸小说《长安十二时辰》中，靖安司通过长安城内的望楼传递信息.同名改编电视剧中，望楼传递信息的方式有一种如下：如图所示，在九宫格中，每个小方格可以在白色和紫色¿此处以阴影代表紫色¿之间变换，从而一共可以有512种不同的颜色组合，即代表512种不同的信息.现要求每一行、每一列上都有且只有1个紫色小方格¿如图所示即满足要求¿.则一共可以传递______种信息.¿用数字作答¿15.已知¿，则a9=¿______．16.曲线y=a−lnx在点(1,a)处的切线与曲线y=−ex相切，则a=¿______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.在二项式¿的展开式中．¿Ⅰ¿求展开式中含x3项的系数；¿Ⅱ¿如果第3k项和第k+2项的二项式系数相等，试求k的值．第2页，共2页18.已知函数f(x)=x3−2x2+x．¿Ⅰ¿求曲线y=f(x)在点(−1,−4)处的切线方程；¿Ⅱ¿求曲线y=f(x)过点(1,0)的切线方程．19.玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0，1，2只残次品的概率分别为0.8，0.1，0.1，一顾客欲购一箱玻璃杯，售货员随意取一箱，顾客开箱随意地察看4只，若无残次品，则买下该箱，否则退回．试求：(1)顾客买下该箱的概率α；(2)在顾客买下的一箱中，求无残次品的概率β．20.已知函数f(x)=2x3−ax2+2．(1)f(x)在区间[0,1]上单调递减，求a的取值范围；(2)当0−1时，f′(x)>0，∴x=−1时，f(x)取到极小值，即f(x)的极值点β=−1，且f(−1)=−1e，∴α+β=2−1=1，故选：BC．令f(x)=0可求得其零点，即α的值，再利用导数可求得其极值点，即β的值，从而可得答案．本题考查利用导数研究函数的极值，考查函数的零点，考查分段函数的应用，突出分析运算能力的考查，属于中档题．13.【答案】710【解析】解：学校从3名男同学和2名女同学中任选2人参加志愿者服务活动，基本事件总数n=C52=10．选出的2人中至少有1名女同学包含的基本事件个数m=C31C21+C22=7，则选出的2人中至少有1名女同学的概率为p=mn=710．故答案为：710．基本事件总数n=C52=10.选出的2人中至少有1名女同学包含的基本事件个数m=C31C21+C22=7，由此能求出选出的2人中至少有1名女同学的概率．本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．第8页，共2页14.【答案】6【解析】解：根据题意，分3步分析：①，在第一行中，有且只有1个紫色小方格，有3种情况，②，在第二行的三个方格，要求每一列上都有且只有1个紫色小方格，则第二行有2种情况，③，在第三行，只有1种情况，则有3×2×1=6种情况，即可以传递6种信息，故答案为：6．根据题意，分3步依次分析三行方格的可能情况数目，由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．15.【答案】−10【解析】解：∵¿，∴a9是¿项的系数，通项公式T9+1=C109⋅¿，∴a9=−10．故答案为：−10．由¿，再结合通项公式，得解．本题考查二项式展开式中的系数问题，熟练掌握二项式定理的通项公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．16.【答案】−2【解析】解：对y=a−lnx求导，得y′=−1x，∴y′¿x=1=−1，则曲线y=a−lnx在点(1,a)处的切线方程为y−a=−(x−1)，即y=−x+a+1．设y=−x+a+1与y=−ex相切于点(x0,−ex0)，对y=−ex求导，得y′=−ex，由−ex0=−1，得x0=0，即切点为(0,−1)．又切点在切线y=−x+a+1上，∴a+1=−1，即a=−2．故答案为：−2．利用导数求得曲线y=a−lnx在点(1,a)处的切线方程，再设所求曲线与曲线y=−ex相切于点(x0,−ex0)，由斜率相等求得切点坐标，把切点坐标代入切线方程即可得到a值．本题考查利用导数研究过某点处的切线方程，熟记基本初等函数的导函数是关键，考查运算求解能力，是中档题．17.【答案】解：¿Ⅰ¿展开式中第r+1项是Tr+1=C12rx12−r2¿，令6−32r=3，第9页，共1页解得r=2；∴展开式中含x3项的系数为¿；¿Ⅱ¿∵第3k项的二项式系数为C123k−1，第k+2项的二项式系数为C12k+1；∴C123k−1=C12k+1，∴3k−1=k+1，或3k−1+k+1=12；解得k=1，或k=3．【解析】本题考查了二项式定理的应用问题，也考查了一定的逻辑推理与计算能力，是基础题目．¿Ⅰ¿根据展开式中第r+1项的通项公式，求出展开式中含x3项的系数是多少；¿Ⅱ¿由第3k项的二项式系数与第k+2项的二项式系数相等，列出方程，求出k的值．18.【答案】解：¿Ⅰ¿由题意得f′(x)=3x2−4x+1，∴f′(−1)=8，∴曲线y=f(x)在点(−1,−4)处的切线方程为y+4=8(x+1)，即8x−y+4=0；¿Ⅱ¿设切点为(x0,y0)，∵切点在函数图象上，∴y0=x03−2x02+x0，故曲线在该点处的切线为y−(x03−2x02+x0)=(3x02−4x0+1)(x−x0)，∵切线过点(1,0)，∴0−(x03−2x02+x0)=(3x02−4x0+1)(1−x0)即¿，解得x0=1或x0=12，当x0=1时，切点为(1,0)，∵f′(1)=0，∴切线方程为y=0；当x0=12时，切点为(12,18)，∵f′(12)=−14，∴切线方程为x+4y−1=0．综上可得：切线方程为y=0或x+4y−1=0．【解析】¿Ⅰ¿求出原函数的导函数，得到函数在x=−1处的导数，再由直线方程的点斜式得答案；¿Ⅱ¿设出切点坐标，得到函数在切点处的切线方程，代入已知点的坐标，求得切点坐标，进一步求解过点(1,0)的切线方程．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，明确“在点处”与“过点处”的区别是关键，是中档题．第10页，共2页19.【答案】解：设A=¿“顾客买下该箱”，Bi=¿“箱中恰有i件残次品”，i=0，1，2，(1)α=P(A)=P(B0)P(A∨B0)+P(B1)P(A∨B1)+P(B2)P(A∨B2)¿0.8+0.1×C194C204+0.1×C184C204≈0.94．(2)β=P(B0∨A)=P(AB0)P(A)=0.80.94≈0.85．【解析】(1)根据已知条件，结合全概率公式，即可求解．(2)根据已知条件，结合条件概率公式，即可求解．本题主要考查全概率公式和条件概率公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．20.【答案】解：(1)由f(x)=2x3−ax2+2，得f′(x)=6x2−2ax.¿分¿因为f(x)在区间[0,1]上单调递减，所以有f′(x)=6x2−2ax≤0在[0,1]上恒成立．即a≥3x在[0,1]上恒成立．¿分¿所以a≥¿，故a≥3.¿分¿(2)由(1)知f′(x)=6x2−2ax=6x(x−a3)．若0q，解得p=23，q=13，设事件表示“小明下班回家途中在第三个道口首次遇到红灯”，则小明下班回家途中在第三个道口首次遇到红灯的概率为：P(B)=P(A−1A−2A3)=15×13×13=145．(3)由题意知ξ的所有可能取值为0，1，2，3，其中，P(ξ=0)=245，P(ξ=3)=845，P(ξ=1)=P(A1A−2A−3)+P(A−1A2A−3)+P(A−1A−2A3)=15×13×23+15×23×23+15×13×13=1345P(ξ=2)=1−P(ξ=0)−P(ξ=1)−P(ξ=3)=2245，∴ξ的分布列为ξ0123P24513452245845∴Eξ=0×245+1×1345+2×2245+3×845=95．【解析】(1)设事件Ai表示“小明在第个路口遇到红灯”，P(A1)=45，设P(A2)=p，P(A3)=q，由于事件“小明下班回家途中至少有一个道口遇到红灯”与事件“在三个道口都没遇到红灯”是对立的，由此能求出小明下班回家途中至少有一个道口遇到红灯的概率．(2)由题意知P(A−1A−2A−3)=15(1−p)(1−q)=245，P(A1A2A3)=45pq=845，由第12页，共2页p>q，解得p=23，q=13，由此利用相互独立事件概率乘法公式能求出小明下班回家途中在第三个道口首次遇到红灯的概率．(3)ξ的所有可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．22.【答案】解：(1)由函数f(x)=lnx−ax的定义域是(0,+∞)，则f′(x)=1x−a=1−axx2，当a≤0时，f′(x)>0恒成立，故函数f(x)在(0,+∞)单调递增，无递减区间；当a>0时，令f′(x)>0，解得：01a，故f(x)在(0,1a)递增，在(1a,+∞)递减；综上：当a≤0时，函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞)，无递减区间；当a>0时，f(x)的单调递增区间为(0,1a)，单调递减区间为在(1a,+∞)．(2)证明：当a=1时，g(x)=f(x)−(x−2)ex=(x−2)ex−x+lnx，则g′(x)=(x−1)ex−1+1x=(x−1)(ex−1x)，当140，故h(x)在[14,1]上单调递增，∵h(14)=e14−2<0，h(1)=e−1>0，故存在x0∈(14,1)，使得h(x0)=0，即ex0=1x0，即lnx0=−x0，故当x∈(14,x0)时，h(x)<0，此时g′(x)>0，当x∈(x0,1)时，h(x)>0，此时g′(x)<0，即g(x)在(14,x0)上单调递增，在(x0,1)上单调递减，则m=g¿，令G(x)=1−2x−2x，x∈(14,1)，则G′(x)=2x2−2=2(1−x2)x2>0，故G(x)在x∈(14,1)上单调递增，则G(x)