第18课时-二次函数的应用,二次函数的应用第三课时教案

首页课件目录末页第一部分数与代数第五章函数及其图象考点管理中考再现课时作业归类探究第18课时二次函数的应用首页课件目录末页考点管理1．利用二次函数解决实际问题建模：把问题中的各个量用两个变量来表示，并建立两种量的二次函数关系，再求二次函数的最大(小)值，从而解决实际问题．注意：在实际问题中，自变量的取值往往受到制约，不要忽略自变量的取值范围，要在允许的范围内取值．2．建立平面直角坐标系，利用二次函数的图象解决实际问题注意：建立平面直角坐标系时，遵从“就简避繁”的原则，这样求解析式比较简便．首页课件目录末页中考再现[2018·衡阳]一名在校大学生利用“互联网＋”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价为10元/件．已知售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的售价不高于16元/件．市场调查发现，该产品每天的销售量y(件)与售价x(元/件)之间的函数关系如图所示．(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(2)求每天的销售利润W(元)与售价x(元/件)之间的函数关系式．每件售价为多少元时，一天的销售利润最大？最大利润是多少？首页课件目录末页解：(1)设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b(k≠0)．把(10,30)，(16,24)代入，得10k＋b＝30，16k＋b＝24.解得k＝－1，b＝40.∴y与x之间的函数关系式为y＝－x＋40(10≤x≤16)．首页课件目录末页(2)W＝(x－10)(－x＋40)＝－x2＋50x－400＝－(x－25)2＋225.∵10≤x≤16，∴当x＝16时，W最大，最大为144，即当售价为16元/件时，一天的销售利润最大，最大利润是144元．首页课件目录末页归类探究类型之一利用二次函数解决抛物线形问题[2018·衢州]某游乐园有一个直径为16m的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线形，在距水池中心3m处达到最高，高度为5m，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合，如图所示，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立平面直角坐标系．首页课件目录末页(1)求水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数关系式．(2)王师傅在水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8m的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？(3)经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到32m，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物(高度不变)处汇合．请探究扩建改造后水柱的最大高度．首页课件目录末页解：(1)∵抛物线的顶点坐标为(3,5)，∴设其函数关系式为y＝a(x－3)2＋5(a≠0)．将(8,0)代入关系式，求得a＝－15.∴抛物线的函数关系式为y＝－15(x－3)2＋5，即y＝－15x2＋65x＋165(04时，y随x值的增大而减小，B正确；首页课件目录末页联立方程y＝4x－12x2与y＝12x，解得x＝0，y＝0或x＝7，y＝72，则抛物线与直线的交点坐标为(0,0)和7，72，C正确；由点7，72知坡度为72∶7＝1∶2(也可以根据y＝12x中系数12的意义判断坡度为1∶2)，D正确．故选A.首页课件目录末页类型之二利用二次函数解决商品销售问题[2019·黔三州]某山区不仅有美丽风光，还有许多令人喜爱的土特产，为实现脱贫奔小康，某村组织村民加工包装土特产销售给游客，以增加村民收入．已知某种土特产每袋成本为10元．试销阶段每袋的售价x(元)与该土特产的日销售量y(袋)之间的关系如下表：首页课件目录末页x/元152030…y/袋252010…若日销售量y是售价x的一次函数，试求：(1)日销售量y(袋)与售价x(元)的函数关系式；(2)假设后续销售情况与试销阶段效果相同，要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的售价应定为多少元？每日销售的最大利润是多少元？首页课件目录末页【解析】(1)首先设日销售量y(袋)与售价x(元)的函数关系式为y＝kx＋b(k≠0)，然后在表格中选取两组数代入关系式，解出k和b的值即可；(2)写出利润w的解析式并配方即可得出当x取何值时w取得最大值．解：(1)设日销售量y(袋)与售价x(元)的函数关系式为y＝kx＋b(k≠0)，由题意，得15k＋b＝25，20k＋b＝20.解得k＝－1，b＝40.∴日销售量y(袋)与售价x(元)的函数关系式为y＝－x＋40.首页课件目录末页(2)根据题意可得这种土特产的利润w＝(x－10)(－x＋40)＝－x2＋50x－400＝－(x－25)2＋225.∴当x＝25时w取得最大值，w最大值＝225.答：每袋的售价应定为25元，每日销售的最大利润是225元．首页课件目录末页4．[2019·宿迁]超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为40元(市场管理部门规定，该种玩具每件利润不能超过60元)，那么每天可售出50件．根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天的销售量就会减少1件．设销售单价增加x元，每天售出y件．(1)请写出y与x之间的函数表达式；(2)当x为多少时，超市每天销售这种玩具可获利2250元？(3)设超市每天销售这种玩具可获利w元，当x为多少时w最大，最大值是多少？首页课件目录末页解：(1)根据题意，得，y＝－12x＋50.(2)根据题意，得(40＋x)－12x＋50＝2250，解得x1＝50，x2＝10.∵每件利润不能超过60元，∴x＝10.答：当x为10时，超市每天销售这种玩具可获利2250元．首页课件目录末页(3)根据题意，得w＝(40＋x)－12x＋50＝－12x2＋30x＋2000＝－12(x－30)2＋2450.∵a＝－12<0，∴当x<30时，w随x的增大而增大，∴当x＝20时，w最大为2400.答：当x为20时w最大，最大值是2400.首页课件目录末页5．[2019·衢州]某宾馆有若干间标准房，当标准房的价格为200元时，每天入住的房间数为60间，经市场调查表明，该宾馆每间标准房的价格在170～240元之间(含170元，240元)浮动时，每天入住的房间数(间)与每间标准房的价格x(元)的数据如下表：首页课件目录末页(1)根据所给数据在坐标系中描出相应的点，并画出图象；(2)求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；(3)设客房的日营业额为w(元)，若不考虑其他因素，问宾馆标准房的价格定为多少元时，客房的日营业额最大？最大为多少元？首页课件目录末页解：(1)如答图．变式跟进5答图首页课件目录末页(2)设y＝kx＋b(k≠0)，把(200,60)和(220,50)代入，得200k＋b＝60，220k＋b＝50.解得k＝－12，b＝160.∴y＝－12x＋160(170≤x≤240)．首页课件目录末页(3)w＝x·y＝x·－12x＋160＝－12(x－160)2＋12800.∵a＝－12<0，∴当170≤x≤240时，w随x的增大而减小．故当x取170时，w有最大值，最大为12750.【点悟】此题是二次函数在销售问题方面的应用．利用二次函数解决销售问题是我们生活中经常遇到的问题，解决这类问题一般是先求出两个变量的一次函数关系，再求二次函数关系，然后转化为求二次函数的最值．首页课件目录末页类型之三二次函数在几何图形中的应用[2017·绍兴]某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠墙(墙足够长)，已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为50m．设饲养室的长为x(m)，占地面积为y(m2)．首页课件目录末页(1)如图①，问饲养室的长为多少时，占地面积最大？(2)如图②，现要求在图中所示位置留2m宽的门，且仍使饲养室的占地面积最大．小敏说：“只要饲养室的长比(1)中的长多2m就行了．”请你通过计算，判断小敏的说法是否正确．解：(1)∵y＝x·50－x2＝－12(x－25)2＋6252，∴当x＝25时，占地面积最大，即饲养室的长为25m时，占地面积最大．首页课件目录末页(2)不正确，∵y＝x·50－x－22＝－12(x－26)2＋338，∴当x＝26时，占地面积最大，即饲养室的长为26m时，占地面积最大．∵26－25＝1≠2，∴小敏的说法不正确．首页课件目录末页6．[2018·沈阳]如图，一块矩形土地ABCD由篱笆围着，并且由一条与CD边平行的篱笆EF分开．已知篱笆的总长为900m(篱笆的厚度忽略不计)，当AB＝m时，矩形土地ABCD的面积最大．150首页课件目录末页【解析】设AB＝xm，矩形土地ABCD的面积为ym2.由题意，得y＝x·900－3x2＝－32(x－150)2＋33750.∵－32<0，∴该函数图象开口向下，当x＝150时，该函数有最大值，即AB＝150m时，矩形土地ABCD的面积最大．首页课件目录末页7．某农场拟建三间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠墙(墙长50m)，中间用两道墙隔开(如图)．已知计划中的建筑材料可建墙的总长度为48m，则这三间矩形种牛饲养室的总占地面积的最大值为m2.144首页课件目录末页【解析】如答图．变式跟进7答图设总占地面积为Sm2，AB的长度为xm.由题意，知AB＝CD＝EF＝GH＝xm，∴BH＝48－4x.∵00，∴0≤x<12.∴S＝AB·BH＝x(48－4x)＝－4(x－6)2＋144.∴当x＝6时，S取得最大值，最大值为144.首页课件目录末页【点悟】二次函数在几何图形中的实际应用是数形结合思想的应用，融代数与几何为一体，把代数问题与几何问题进行相互转化，充分运用几何知识求解析式是解题关键．二次函数与三角形、圆等几何图形结合时，往往涉及最大面积、最小距离等问题，需要建立函数关系式及运用函数的性质解题．首页课件目录末页课时作业(60分)一、选择题(每题5分，共15分)1．图②是图①中拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可以近似看成抛物线y＝－1400(x－80)2＋16，桥拱与桥墩AC的交点C恰好在水面上，有AC⊥x轴．若OA＝10m，则桥面离水面的高度AC为()首页课件目录末页A．16940mB.174mC．16740mD.154m【答案】B首页课件目录末页【解析】∵AC⊥x轴，OA＝10m，∴点C的横坐标为－10.当x＝－10时，y＝－1400(－10－80)2＋16＝－174，∴C－10，－174.∴桥面离水面的高度AC为174m．故选B.首页课件目录末页2．[2019·菏泽]从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m)与小球运动时间t(单位：s)之间的函数关系如图所示．下列结论：①小球在空中经过的路程是40m；②小球抛出3s后，速度越来越快；③小球抛出3s时速度为0；④小球的高度h＝30m时，t＝1.5s.其中正确的是()A．①④B.①②C．②③④D.②③D首页课件目录末页【解析】①由图象知小球在空中达到的最大高度是40m；①错误；②小球抛出3秒后，速度越来越快；②正确；③小球抛出3秒时达到最高点即速度为0；③正确；④设函数的解析式为：h＝a(t－3)2＋40，把O(0,0)代入，得0＝a(0－3)2＋40，解得a＝－409，首页课件目录末页∴函数的解析式为h＝－409(t－3)2＋40，把h＝30代入解析式得，30＝－409(t－3)2＋40，解得t＝4.5或t＝1.5，∴小球的高度h＝30m时，t＝1.5s或4.5s，④错误．故选D.首页课件目录末页3．[2019·连云港]如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD，其中∠C＝120°.若新建墙BC与CD总长为12m，则该梯形储料场ABCD的最大面积是()A．18m2B.183m2C．243m2D.4532m2C首页课件目录末页【解析】如答图，过点C作CE⊥AB于点E.则四边形ADCE为矩形，设CD＝AE＝x，∠DCE＝∠CEB＝90°，则∠BCE＝∠BCD－∠DCE＝30°，BC＝12－x，在Rt△CBE中．∵∠CEB＝90°，∠CBE＝60°，首页课件目录末页∴BE＝12BC＝6－12x，∴AD＝CE＝3BE＝63－32x，AB＝AE＋BE＝x＋6－12x＝12x＋6，∴S梯形ABCD＝12(CD＋AB)·CE＝12x＋12x＋6·63－32x首页课件目录末页＝－338x2＋33x＋183＝－338(x－4)2＋243，∴当x＝4时，S最大＝243.故选C.首页课件目录末页二、填空题(每题7分，共21分)4．[2019·广安]在广安市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系为y＝－112x2＋23x＋53，由此可知该生此次实心球训练的成绩为m.【解析】当y＝0时，y＝－112x2＋23x＋53＝0，解得x＝－2(舍去)或x＝10.10首页课件目录末页5．竖直上抛的小球的离地高度是运动时间的二次函数，小军相隔1s依次竖直向上抛出两个小球，假设两个小球离手时离地高度相同，在各自抛出后1.1s时到达相同的最大离地高度，第一个小球抛出后ts时在空中与第二个小球的离地高度相同，则t＝.1．6s首页课件目录末页【解析】设各自抛出后1.1s时到达相同的最大离地高度为h，则第一个小球的高度y＝a(t－1.1)2＋h.由题意，得a(t－1.1)2＋h＝a(t－1－1.1)2＋h.解得t＝1.6.故第一个小球抛出后1.6s时在空中与第二个小球的离地高度相同．首页课件目录末页6．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12mm，BC＝24mm，动点P从点A开始沿边AB向点B以2mm/s的速度移动(不与点B重合)，动点Q从点B开始沿边BC向点C以4mm/s的速度移动(不与点C重合)．如果P，Q分别从A，B同时出发，那么经过s，四边形APQC的面积最小．3首页课件目录末页【解析】S四边形APQC＝12×12×24－12(12－2t)·4t＝4t2－24t＋144＝4(t－3)2＋108，∴当t＝3时，S四边形APQC最小．首页课件目录末页三、解答题(共24分)7．(12分)[2018·滨州]如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度y(m)与飞行时间x(s)之间具有函数关系y＝－5x2＋20x.请根据要求，解答下列问题：(1)在飞行过程中，当小球的飞行高度为15m时，飞行的时间是多少？(2)在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？(3)在飞行过程中，小球的飞行高度何时最大？最大高度是多少？首页课件目录末页解：(1)当y＝15时，有－5x2＋20x＝15，化简，得x2－4x＋3＝0.因式分解，得(x－1)(x－3)＝0.故x＝1或3，即飞行时间是1s或3s.首页课件目录末页(2)飞出和落地的瞬间，高度都为0，故y＝0.∴0＝－5x2＋20x.解得x＝0或4.∴从飞出到落地所用时间是4－0＝4(s)．(3)当x＝－b2a＝－202×－5＝2时，小球的飞行高度最大，最大高度为20m.首页课件目录末页8．(12分)[2019·绵阳]辰星旅游度假村有甲种风格客房15间，乙种风格客房20间．按现有定价：若全部入住，一天营业额为8500元；若甲、乙两种风格客房均有10间入住，一天营业额为5000元．(1)求甲、乙两种客房每间现有定价分别是多少元；(2)度假村以乙种风格客房为例，调研市场情况发现：若每个房间每天按现有定价，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加20元时，就会有两个房间空闲．如果游客居住时，度假村需对每个房间每天支出80元的各种费用．那么当每间房间定价为多少元时，乙种风格客房每天的利润m最大？最大利润是多少元？首页课件目录末页解：设甲、乙两种客房每间现有定价分别是x元，y元，根据题意，得15x＋20y＝8500，10x＋10y＝5000.解得x＝300，y＝200.答：甲、乙两种客房每间现有定价分别是300元、200元．首页课件目录末页(2)设每间房间定价为x元，m＝(x－80)20－x－20020×2＝－110(x－240)2＋2560，∴当x＝240时，m取得最大值，此时m＝2560.答：当每间房间定价为240元时，乙种风格客房每天的利润m最大，最大利润是2560元．首页课件目录末页(24分)9．(12分)[2018·贵阳]六盘水市梅花山国际滑雪场自建成以来，吸引了大批滑雪爱好者，一滑雪者从山坡滑下，测得滑行距离y(cm)与滑行时间x(s)之间的关系可以近似地用二次函数来表示.滑行时间x/s0123…滑行距离y/cm041224…首页课件目录末页(1)根据表中数据求出二次函数的表达式，现测量出滑雪者的出发点与终点的距离大约为800m，他大约需要多少时间才能到达终点？(2)将得到的二次函数图象先向左平移2个单位，再向上平移5个单位，求平移后的函数表达式．首页课件目录末页解：(1)设这个二次函数表达式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由(0,0)，(1,4)，(2,12)在该抛物线上，得c＝0，a＋b＋c＝4，4a＋2b＋c＝12.解得a＝2，b＝2，c＝0.∴该二次函数的表达式为y＝2x2＋2x.首页课件目录末页当y＝800m＝80000cm时，80000＝2x2＋2x，解此方程，得x1＝－1＋1600012≈200，x2＝－1－1600012(不符合题意，舍去)．∴他大约需要200s才能到达终点．首页课件目录末页(2)∵y＝2x2＋2x＝2x＋122－12，∴将抛物线y＝2x＋122－12向左平移2个单位，再向上平移5个单位后，得到的抛物线为y＝2x＋12＋22－12＋5＝2x＋522＋92.首页课件目录末页10．(12分)[2017·金华]甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，如图，甲在点O正上方1m的P处发出一球，羽毛球飞行的高度y(m)与水平距离x(m)之间满足函数关系式y＝a(x－4)2＋h.已知点O与球网的水平距离为5m，球网的高度为1.55m.首页课件目录末页(1)当a＝－124时，求出h的值，并通过计算判断此球能否过网；(2)若甲发球过网后，羽毛球飞行到离点O的水平距离为7m，离地面的高度为125m的Q处时，乙扣球成功，求a的值．首页课件目录末页解：(1)把点(0,1)，a＝－124代入y＝a(x－4)2＋h，得1＝－124×16＋h.解得h＝53.把x＝5代入y＝－124(x－4)2＋53，得y＝－124×(5－4)2＋53＝1.625.∵1.625>1.55，∴此球能过网．首页课件目录末页(2)把点(0,1)，7，125代入y＝a(x－4)2＋h，得16a＋h＝1，9a＋h＝125.解得a＝－15，h＝215.∴a＝－15.首页课件目录末页(16分)11．(16分)[2019·绍兴]有一块形状如图的五边形余料ABCDE，AB＝AE＝6，BC＝5，∠A＝∠B＝90°，∠C＝135°，∠E>90°.要在这块余料中截取一块矩形材料，其中一边在AE上，并使所截矩形的面积尽可能大．(1)若所截矩形材料的一条边是BC或AE，求矩形材料的面积；(2)能否截出比(1)中面积更大的矩形材料？如果能，请求出矩形材料面积的最大值，如果不能，请说明理由．首页课件目录末页解：(1)截法一：如答图①，S四边形ABCF＝AB·BC＝6×5＝30.截法二：如答图②.过点C作CH⊥FG于点H.则四边形BCHG为矩形，△CHF为等腰直角三角形，∴HG＝BC＝5，BG＝CH，FH＝CH，∴BG＝CH＝FH＝FG－HG＝AE－HG＝6－5＝1，∴AG＝AB－BG＝6－1＝5.∴S四边形AGFE＝AE·AG＝6×5＝30.首页课件目录末页(2)如答图③，在CD上取点F，过点F作FM⊥AB于点M，FN⊥AE于点N，过点C作CG⊥FM于点G.则四边形AMFN，BCGM为矩形，△CGF为等腰直角三角形，∴MG＝BC＝5，BM＝CG，FG＝CG.设AM＝x，则BM＝6－x，第11题答图③首页课件目录末页∴FM＝GM＋FG＝GM＋CG＝BC＋MB＝11－x，∴S四边形AMFN＝AM·FM＝x(11－x)＝－(x－5.5)2＋30.25，∴当x＝5.5时，S的最大值为30.25.∵30.25>30，∴能截出此(1)中面积更大的矩形材料．