专题16-与圆有关的计算(课件)2023年中考数学一轮复习(全国通用)

专题16与圆有关的计算备战2023年数学中考一轮复习MarketingPlanningLOGO考点1：正多边形和圆正多边形的有关概念一个正多边形的外接圆的圆心叫作正多边形的中心；外接圆的半径叫作正多边形的半径；正多边形每一边所对的圆心角叫作正多边形的中心角；正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫作正多边形的边心距。中心角边心距?半径????????考点1：正多边形和圆正n边形的画法将圆n等分,然后顺次连接等分点即得到所要作的正多边形，如图，正五边形先用尺规做出圆的五等分点A、B、C、D、E，再顺次连接各点。作正六边形，可以先画一个半径与已知正六边形边长相等的圆，然后在上面截取等分点，顺次连接各等分点可得到所要作的正六边形，但并非所有的正多边形都可以只用尺规作出。中心角边心距?半径????????考点1：正多边形和圆正多边形的有关计算设正多边形的边数为n,半径为R,边心距为r,边长为a,则有:正多边形的内角:；正多边形的外角:；正多边形的中心角:；正多边形的半径:；正多边形的周长:；正多边形的面积:；例1．如图，正六边形ABCDEF内接于O，O的半径是1，则正六边形ABCDEF的周长是（）A．63B．6C．62D．12【答案】B【分析】连接OAOB，．证明OAB是等边三角形，求得1ABOA，据此求解即可．【详解】解：如图，连接OAOB，．由题意1OAOB，60AOB，∴OAB是等边三角形，∴1ABOA，∴正六边形ABCDEF的周长是166．故选：B．例1．如图，正六边形ABCDEF内接于O，O的半径是1，则正六边形ABCDEF的周长是（）A．63B．6C．62D．12【答案】B【分析】连接OAOB，．证明OAB是等边三角形，求得1ABOA，据此求解即可．【详解】解：如图，连接OAOB，．由题意1OAOB，60AOB，∴OAB是等边三角形，∴1ABOA，∴正六边形ABCDEF的周长是166．故选：B．例2．如图，已知正五边形ABCDE，ABBCCDDEAE，A、B、C、D、E均在O上，连接AC，则ACD的度数是（）A．72B．70C．60D．45【答案】A【详解】解：连接OA，OE，OD，如图所示：∵ABBCCDDEAE，∴1360725AOEDOE，∴7272144AOD，∴1722ACDAOD，故A正确．故选：A．例2．如图，已知正五边形ABCDE，ABBCCDDEAE，A、B、C、D、E均在O上，连接AC，则ACD的度数是（）A．72B．70C．60D．45【答案】A【详解】解：连接OA，OE，OD，如图所示：∵ABBCCDDEAE，∴1360725AOEDOE，∴7272144AOD，∴1722ACDAOD，故A正确．故选：A．例3．若一个圆内接正多边形的中心角是40，则这个多边形是（）A．正九边形B．正八边形C．正七边形D．正六边形【答案】A【分析】根据正多边形的中心角的计算公式计算即可．【详解】解：设这个多边形的边数是n，由题意得36040n解得，9n，故选：A例3．若一个圆内接正多边形的中心角是40，则这个多边形是（）A．正九边形B．正八边形C．正七边形D．正六边形【答案】A【分析】根据正多边形的中心角的计算公式计算即可．【详解】解：设这个多边形的边数是n，由题意得36040n解得，9n，故选：A考点2：弧长和扇形的面积弧长公式如图：圆心角为n°、半径为R的弧AB的长为?=???????°????考点2：弧长和扇形的面积扇形面积公式如图：圆心角为n°、半径为R、弧长为l的扇形的面积为?=????????°??????或?=????考点2：弧长和扇形的面积圆锥及其展开图圆锥是由一个侧面和一个底面构成，其侧面展开图是一个扇形.圆锥顶点与底面圆周上任何一点间的线段叫作母线.圆锥底面圆的周长等于展开扇形的弧长，圆锥的母线长是展开扇形的半径.母线顶点RRl考点2：弧长和扇形的面积圆锥的有关计算如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，容易得到，圆锥的侧面展开图是一个扇形.设圆锥的母线长为l,底面圆的半径为r,那么这个扇形的半径为l,扇形的弧长为2πr,因此圆锥的侧面积为;圆锥的全面积为：。rl例4．如图，已知⊙O的半径为6，ABBC，是O的弦，若50ABC，则弧AC的长是（）A．53B．10C．103D．12【答案】C【分析】连接OAOC，，利用圆周角定理求出2100AOCABC，再根据弧长公式计算即可．【详解】解：连接OAOC，，∵50ABC，∴2100AOCABC，∴弧AC的长1006101803，故选：C．例4．如图，已知⊙O的半径为6，ABBC，是O的弦，若50ABC，则弧AC的长是（）A．53B．10C．103D．12【答案】C【分析】连接OAOC，，利用圆周角定理求出2100AOCABC，再根据弧长公式计算即可．【详解】解：连接OAOC，，∵50ABC，∴2100AOCABC，∴弧AC的长1006101803，故选：C．例5．如图，已知点C，D是以AB为直径的半圆O的三等分点，弧CD的长为13，则图中阴影部分的面积为（）A．16B．316C．124D．13124【答案】A【分析】连接OC、OD，根据C，D是以AB为直径的半圆的三等分点，可得60COD，OCD是等边三角形，将阴影部分的面积转化为扇形OCD的面积，根据OCDSS阴影扇形求解即可．【详解】解：连接CD、OC、OD，C，D是以AB为直径的半圆的三等分点，60AOCCODDOB，ACCD，又OAOCOD，OAC、OCD是等边三角形，AOCOCD，∴CDAB∥，ACDOCDSS，弧CD的长为13，6011803r，解得：1r，26013606OCDrSS阴影扇形．故选：A．例5．如图，已知点C，D是以AB为直径的半圆O的三等分点，弧CD的长为13，则图中阴影部分的面积为（）A．16B．316C．124D．13124【答案】A【分析】连接OC、OD，根据C，D是以AB为直径的半圆的三等分点，可得60COD，OCD是等边三角形，将阴影部分的面积转化为扇形OCD的面积，根据OCDSS阴影扇形求解即可．【详解】解：连接CD、OC、OD，C，D是以AB为直径的半圆的三等分点，60AOCCODDOB，ACCD，又OAOCOD，OAC、OCD是等边三角形，AOCOCD，∴CDAB∥，ACDOCDSS，弧CD的长为13，6011803r，解得：1r，26013606OCDrSS阴影扇形．故选：A．例6．如图用圆心角为120，半径为6的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则这个圆锥的高是（）A．6B．8C．33D．42【答案】D【分析】根据扇形的周长等于圆锥的底面周长，得到圆锥的底面半径，然后用勾股定理即可求得圆锥的高．【详解】设圆锥的底面圆的半径为r，根据题意得：1206π2π180r，解得：2r，∴圆锥的高226242故选：D．例6．如图用圆心角为120，半径为6的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则这个圆锥的高是（）A．6B．8C．33D．42【答案】D【分析】根据扇形的周长等于圆锥的底面周长，得到圆锥的底面半径，然后用勾股定理即可求得圆锥的高．【详解】设圆锥的底面圆的半径为r，根据题意得：1206π2π180r，解得：2r，∴圆锥的高226242故选：D．强化训练1．如图，正六边形ABCDEF内接于O，正六边形的周长是12，则正六边形的边心距是（）A．3B．2C．23D．41．如图，正六边形ABCDEF内接于O，正六边形的周长是12，则正六边形的边心距是（）A．3B．2C．23D．4【答案】A【分析】连接OB、OC，求出60BOC，可得BOC是等边三角形，即可求出正六边形的边长和O的半径，再解直角三角形即可求得边心距．【详解】解：连接OB、OC，如图所示：∵六边形ABCDEF为正六边形，∴3601660BOC，∴BOC是等边三角形，∵正六边形的周长是12，∴11226BC，∴2BOCOBC，∵OMBC，60BOC∴33=sin60=2=322OMOBOB，即边心距为3，故选：A．【答案】A【分析】连接OB、OC，求出60BOC，可得BOC是等边三角形，即可求出正六边形的边长和O的半径，再解直角三角形即可求得边心距．【详解】解：连接OB、OC，如图所示：∵六边形ABCDEF为正六边形，∴3601660BOC，∴BOC是等边三角形，∵正六边形的周长是12，∴11226BC，∴2BOCOBC，∵OMBC，60BOC∴33=sin60=2=322OMOBOB，即边心距为3，故选：A．2．如图，已知正五边形ABCDE内接于O，连结BD，则CDB的度数是（）A．72°B．54°C．36°D．64°【答案】C【分析】连接OB、OC，先求出正五边形的中心角72BOC，再根据圆周角知识即可求出1362BDCBOC．【详解】解：连接,OBOC，如图，∵正五边形ABCDE内接于O，∴360725BOC，∵BCBC，∴1362BDCBOC．故选：C2．如图，已知正五边形ABCDE内接于O，连结BD，则CDB的度数是（）A．72°B．54°C．36°D．64°【答案】C【分析】连接OB、OC，先求出正五边形的中心角72BOC，再根据圆周角知识即可求出1362BDCBOC．【详解】解：连接,OBOC，如图，∵正五边形ABCDE内接于O，∴360725BOC，∵BCBC，∴1362BDCBOC．故选：C3．如图，从一块半径是2的圆形铁片上剪出一个圆心角为90°的扇形，将剪下来的扇形围成一个圆锥．那么这个圆锥的底面圆的半径是（）A．4B．24C．22D．2【答案】C【详解】解：∵O的半径是2，∴224OS，连接BCAO、，根据题意知BCAO，2AOBO，在RtABO中，22222222ABOBOA，即扇形的对应半径22R，弧长90222180l，设圆锥底面圆半径为r，则有22r，解得：22r=，故选：C3．如图，从一块半径是2的圆形铁片上剪出一个圆心角为90°的扇形，将剪下来的扇形围成一个圆锥．那么这个圆锥的底面圆的半径是（）A．4B．24C．22D．2【答案】C【详解】解：∵O的半径是2，∴224OS，连接BCAO、，根据题意知BCAO，2AOBO，在RtABO中，22222222ABOBOA，即扇形的对应半径22R，弧长90222180l，设圆锥底面圆半径为r，则有22r，解得：22r=，故选：C4．如图，在半径为2，圆心角为90的扇形内，以BC为直径作半圆，交弦AB于点D，则图中阴影部分的面积是（）A．1B．2C．112D．121＋【答案】A【详解】解：在RtACB△中，AB222222，∵BC是半圆的直径，∴90CDB，在等腰RtACB△中，CD垂直平分AB，2CDBD，∴D为半圆的中点，∴221122142ADCACBSSS△阴影部分扇形．故选：A．4．如图，在半径为2，圆心角为90的扇形内，以BC为直径作半圆，交弦AB于点D，则图中阴影部分的面积是（）A．1B．2C．112D．121＋【答案】A【详解】解：在RtACB△中，AB222222，∵BC是半圆的直径，∴90CDB，在等腰RtACB△中，CD垂直平分AB，2CDBD，∴D为半圆的中点，∴221122142ADCACBSSS△阴影部分扇形．故选：A．5．如图，圆的半径为4，则图中阴影部分的周长是_____．【答案】243【分析】根据正六边形的性质即可解决问题．【详解】解：如图，连接OA，OB，过点O作OCAB于C，根据图形可知：90OCB，30OBA，圆的半径4OB，2OC，23BC，243ABBC，图中阴影部分的周长643243．故答案为：243．5．如图，圆的半径为4，则图中阴影部分的周长是_____．【答案】243【分析】根据正六边形的性质即可解决问题．【详解】解：如图，连接OA，OB，过点O作OCAB于C，根据图形可知：90OCB，30OBA，圆的半径4OB，2OC，23BC，243ABBC，图中阴影部分的周长643243．故答案为：243．6．如图，正三角形ABC的边长为2，点A，B在半径为2的圆上，点C在圆内，将正三角形ABC绕点A逆时针旋转，当点C第一次落在圆上时，点C运动的路线长是___________．【答案】3【分析】作辅助线，首先求出DAO，OAB的大小，进而求出旋转的角度，再利用弧长公式即可得出答案．【详解】解：如图，分别连接OA、OB、OD；∵2OAOB，2AB，∴222OAOBAB，∴OAB是等腰直角三角形，∴45OAB；∵正三角形ABC，∴2ACAB，60CAB，由旋转的性质可得：2ADAC，同理可证：45OAD，∴90DAB；∴906030DAC，∴CD的长度为3021803，∴点C运动的路线长是3．故答案为3．6．如图，正三角形ABC的边长为2，点A，B在半径为2的圆上，点C在圆内，将正三角形ABC绕点A逆时针旋转，当点C第一次落在圆上时，点C运动的路线长是___________．【答案】3【分析】作辅助线，首先求出DAO，OAB的大小，进而求出旋转的角度，再利用弧长公式即可得出答案．【详解】解：如图，分别连接OA、OB、OD；∵2OAOB，2AB，∴222OAOBAB，∴OAB是等腰直角三角形，∴45OAB；∵正三角形ABC，∴2ACAB，60CAB，由旋转的性质可得：2ADAC，同理可证：45OAD，∴90DAB；∴906030DAC，∴CD的长度为3021803，∴点C运动的路线长是3．故答案为3．7．如图，在半径为6，圆心角为90的扇形OAB中，2BCAC，点D是半径OB的中点，点P从点D出发，沿DOA的方向运动到A的过程中（包括DA，点），线段BPCP，与BC所围成的区域（如图中阴影部分）面积的最小值为_____．7．如图，在半径为6，圆心角为90的扇形OAB中，2BCAC，点D是半径OB的中点，点P从点D出发，沿DOA的方向运动到A的过程中（包括DA，点），线段BPCP，与BC所围成的区域（如图中阴影部分）面积的最小值为_____．【答案】2π13【分析】如图，连接BCOCAB，，，过点C作CHOA于点H，观察图象可知，当点E与点A重合时，阴影部分的面积最小，此时=+=+ACBBCBOCAOCAOBOBCBOCSSSSSSSS阴弓形扇形．【详解】解：如图，连接BCOCAB，，，过点C作CHOA于点H，=90AOBQ，2BCAC，=60=30BOCCOA，，112CHOC㎝，观察图象可知，当点E与点A重合时，阴影部分的面积最小，此时ACBBCSSS阴弓形BOCAOCAOBOBCBOCSSSSS扇形2116022122223602213㎝，故答案为：213．【答案】2π13【分析】如图，连接BCOCAB，，，过点C作CHOA于点H，观察图象可知，当点E与点A重合时，阴影部分的面积最小，此时=+=+ACBBCBOCAOCAOBOBCBOCSSSSSSSS阴弓形扇形．【详解】解：如图，连接BCOCAB，，，过点C作CHOA于点H，=90AOBQ，2BCAC，=60=30BOCCOA，，112CHOC㎝，观察图象可知，当点E与点A重合时，阴影部分的面积最小，此时ACBBCSSS阴弓形BOCAOCAOBOBCBOCSSSSS扇形2116022122223602213㎝，故答案为：213．8．如图，AB是圆锥底面的直径，6cmAB，母线9cmPB．点C为PB的中点，若一只蚂蚁从A点处出发，沿圆锥的侧面爬行到C点处，则蚂蚁爬行的最短路程为_____________．8．如图，AB是圆锥底面的直径，6cmAB，母线9cmPB．点C为PB的中点，若一只蚂蚁从A点处出发，沿圆锥的侧面爬行到C点处，则蚂蚁爬行的最短路程为_____________．【答案】932【分析】先画出圆锥侧面展开图（见解析），再利用弧长公式求出圆心角APA的度数，然后利用等边三角形的判定与性质、勾股定理可得932AC，最后根据两点之间线段最短即可得．【详解】画出圆锥侧面展开图如下：如图，连接AB、AC，设圆锥侧面展开图的圆心角APA的度数为n，因为圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的弧长等于底面圆的周长，扇形的半径等于母线长，所以π92π3180n，解得120n，则1602APBAPA，又9APBP，ABP是等边三角形，点C为PB的中点，ACBP，1922CPBP，在RtACP中，22932ACAPCP，由两点之间线段最短可知，蚂蚁爬行的最短路程为932AC，故答案为：932．【答案】932【分析】先画出圆锥侧面展开图（见解析），再利用弧长公式求出圆心角APA的度数，然后利用等边三角形的判定与性质、勾股定理可得932AC，最后根据两点之间线段最短即可得．【详解】画出圆锥侧面展开图如下：如图，连接AB、AC，设圆锥侧面展开图的圆心角APA的度数为n，因为圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的弧长等于底面圆的周长，扇形的半径等于母线长，所以π92π3180n，解得120n，则1602APBAPA，又9APBP，ABP是等边三角形，点C为PB的中点，ACBP，1922CPBP，在RtACP中，22932ACAPCP，由两点之间线段最短可知，蚂蚁爬行的最短路程为932AC，故答案为：932．9．如图，AB为O的直径，点C为O上一点，BDCE于点D，BC平分ABD．(1)求证：直线CE是O的切线：(2)若30ABC，O的半径为4，求图中阴影部分的面积．9．如图，AB为O的直径，点C为O上一点，BDCE于点D，BC平分ABD．(1)求证：直线CE是O的切线：(2)若30ABC，O的半径为4，求图中阴影部分的面积．【详解】（1）证明：连接OC，如图，∵OBOC，∴OBCOCB，∵BC平分ABD，∴OBCDCB，∴OCBDCB，∴BDOC∥，∵BDCE于点D，∴OCDE，∴直线CE是O的切线；（2）解：过点O作OFCB于F，如图，∵30ABC，4OB，∴2OF，cos3023BFOB=×°=，∴243BCBF，∴114324322OBCSBCOF=×=´´=△，∵903060BOF，∴2120BOCBOF，∴21201643603OBCSpp°=´´=°扇形，∴43316OBCOBCSSSp=-=-阴影扇形．【详解】（1）证明：连接OC，如图，∵OBOC，∴OBCOCB，∵BC平分ABD，∴OBCDCB，∴OCBDCB，∴BDOC∥，∵BDCE于点D，∴OCDE，∴直线CE是O的切线；（2）解：过点O作OFCB于F，如图，∵30ABC，4OB，∴2OF，cos3023BFOB=×°=，∴243BCBF，∴114324322OBCSBCOF=×=´´=△，∵903060BOF，∴2120BOCBOF，∴21201643603OBCSpp°=´´=°扇形，∴43316OBCOBCSSSp=-=-阴影扇形．10．如图，在RtABC△中，90ACB，分别以AB，BC，CA为直径作半圆围成两月牙形，过点C作DFAB分别交三个半圆于点D，E，F．(1)连接AF、BD，求证四边形AFDB为矩形；(2)若5CF，45CD，求阴影部分的面积．10．如图，在RtABC△中，90ACB，分别以AB，BC，CA为直径作半圆围成两月牙形，过点C作DFAB分别交三个半圆于点D，E，F．(1)连接AF、BD，求证四边形AFDB为矩形；(2)若5CF，45CD，求阴影部分的面积．【详解】（1）证明：连接AF、BE，如图所示：AC是直径，90AFC，BC是直径，90CDB，DFAB∥，180ABDD，90ABDDF，四边形ABDF是矩形；（2）解：四边形ABDF是矩形，AFBD，AB是直径，90ACB，90FD，90ACFBCD，90BCDCBD，ACFCBD，AFCCDB∽△△，AFCFCDBD，25AFBD，22225255ACCFAF，2222452510BCCDBD，S阴影直径为AC的半圆的面积直径为BC的半圆的面积ABCS△直径为AB的半圆的面积2221111πππ2222222ACBCABACBC2221111πππ2882ACBCABACBC22211π82ACBCABACBC12ACBC1510225．【详解】（1）证明：连接AF、BE，如图所示：AC是直径，90AFC，BC是直径，90CDB，DFAB∥，180ABDD，90ABDDF，四边形ABDF是矩形；（2）解：四边形ABDF是矩形，AFBD，AB是直径，90ACB，90FD，90ACFBCD，90BCDCBD，ACFCBD，AFCCDB∽△△，AFCFCDBD，25AFBD，22225255ACCFAF，2222452510BCCDBD，S阴影直径为AC的半圆的面积直径为BC的半圆的面积ABCS△直径为AB的半圆的面积2221111πππ2222222ACBCABACBC2221111πππ2882ACBCABACBC22211π82ACBCABACBC12ACBC1510225．谢谢观看！