2022年全国统一高考数学试卷和答案(文科)(甲卷)

("2022年全国统一高考数学试卷（文科）（甲卷）和答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）设集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{x0≤x＜}，则A∩B＝（）A．{0，1，2}B．{﹣2，﹣1，0}C．{0，1}D．{1，2}2．（5分）某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如图：则（）A．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%B．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%C．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差3．（5分）若z＝1+i，则iz+3＝（）A．4B．4C．2D．24．（5分）如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为（）A．8B．12C．16D．205．（5分）将函数f（x）＝sin（ωx+）（ω＞0）的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则ω的最小值是（）A．B．C．D．6．（5分）从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（）A．B．C．D．7．（5分）函数f（x）＝（3x﹣3﹣x）cosx在区间[﹣，]的图像大致为（）A．B．C．D．8．（5分）当x＝1时，函数f（x）＝alnx+取得最大值﹣2，则f′（2）＝（）A．﹣1B．﹣C．D．19．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知B1D与平面ABCD和平面AA1B1B所成的角均为30°，则（）A．AB＝2ADB．AB与平面AB1C1D所成的角为30°C．AC＝CB1D．B1D与平面BB1C1C所成的角为45°10．（5分）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S甲和S乙，体积分别为V甲和V乙．若＝2，则＝（）A．B．2C．D．11．（5分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，A1，A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若•＝﹣1，则C的方程为（）A．+＝1B．+＝1C．+＝1D．+y2＝112．（5分）已知9m＝10，a＝10m﹣11，b＝8m﹣9，则（）A．a＞0＞bB．a＞b＞0C．b＞a＞0D．b＞0＞a二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（5分）已知向量＝（m，3），＝（1，m+1）．若⊥，则m＝．14．（5分）设点M在直线2x+y﹣1＝0上，点（3，0）和（0，1）均在⊙M上，则⊙M的方程为．15．（5分）记双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率为e，写出满足条件“直线y＝2x与C无公共点”的e的一个值．16．（5分）已知△ABC中，点D在边BC上，∠ADB＝120°，AD＝2，CD＝2BD．当取得最小值时，BD＝．三、答案题：共70分。答案应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17．（12分）甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营．为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：准点班次数未准点班次数A24020B21030（1）根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；（2）能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？附：K2＝．P（K2≥k）0.1000.0500.010k2.7063.8416.63518．（12分）记Sn为数列{an}的前n项和．已知+n＝2an+1．（1）证明：{an}是等差数列；（2）若a4，a7，a9成等比数列，求Sn的最小值．19．（12分）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒．包装盒如图所示：底面ABCD是边长为8（单位：cm）的正方形，△EAB，△FBC，△GCD，△HDA均为正三角形，且它们所在的平面都与平面ABCD垂直．（1）证明：EF∥平面ABCD；（2）求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．20．（12分）已知函数f（x）＝x3﹣x，g（x）＝x2+a，曲线y＝f（x）在点（x1，f（x1））处的切线也是曲线y＝g（x）的切线．（1）若x1＝﹣1，求a；（2）求a的取值范围．21．（12分）设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点D（p，0），过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，MF＝3．（1）求C的方程；（2）设直线MD，ND与C的另一个交点分别为A，B，记直线MN，AB的倾斜角分别为α，β．当α﹣β取得最大值时，求直线AB的方程．（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），曲线C2的参数方程为（s为参数）．（1）写出C1的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C3的极坐标方程为2cosθ﹣sinθ＝0，求C3与C1交点的直角坐标，及C3与C2交点的直角坐标．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知a，b，c均为正数，且a2+b2+4c2＝3，证明：（1）a+b+2c≤3；（2）若b＝2c，则+≥3．答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．【知识点】交集及其运算．【答案】解：集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{x0≤x＜}，则A∩B＝{0，1，2}．故选：A．2．【知识点】极差、方差与标准差；频率分布直方图；众数、中位数、平均数．【答案】解：对于A，讲座前问卷答题的正确率从小到大为：60%，60%，65%，65%，70%，75%，80%，85%，90%，95%，∴讲座前问卷答题的正确率的中位数为：（70%+75%）/2＝72.5%，故A错误；对于B，讲座后问卷答题的正确率的平均数为：（80%+85%+85%+85%+85%+90%+90%+95%+100%+100%）＝89.5%＞85%，故B正确；对于C，由图形知讲座前问卷答题的正确率相对分散，讲座后问卷答题的正确率相对集中，∴讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差，故C错误；对于D，讲座后问卷答题的正确率的极差为：100%﹣80%＝20%，讲座前正确率的极差为：95%﹣60%＝35%，∴讲座后问卷答题的正确率的极差小于讲座前正确率的极差，故D错误．故选：B．3．【知识点】复数的模．【答案】解：z＝1+i，∴iz+3＝i+i2+3（1﹣i）＝i﹣1+3﹣3i＝2﹣2i，则iz+3＝＝2．故选：D．4．【知识点】由三视图求面积、体积．【答案】解：由多面体的三视图得该多面体是一正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，四棱柱的底面是直角梯形ABCD，如图，AB＝4，AD＝2，AA1＝2，AA1⊥平面ABCD，∴该多面体的体积为：V＝＝12．故选：B．5．【知识点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．【答案】解：将函数f（x）＝sin（ωx+）（ω＞0）的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，则C对应函数为y＝sin（ωx++），∵C的图象关于y轴对称，∴+＝kπ+，k∈Z，即ω＝2k+，k∈Z，则令k＝0，可得ω的最小值是，故选：C．6．【知识点】古典概型及其概率计算公式．【答案】解：根据题意，从6张卡片中无放回随机抽取2张，有（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6），共15种取法，其中抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数有（1，4），（2，4），（2，6），（3，4），（4，5），（4，6），共6种情况，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率P＝＝；故选：C．7．【知识点】函数的图象与图象的变换．【答案】解：f（x）＝（3x﹣3﹣x）cosx，可知f（﹣x）＝（3﹣x﹣3x）cos（﹣x）＝﹣（3x﹣3﹣x）cosx＝﹣f（x），函数是奇函数，排除BD；当x＝1时，f（1）＝（3﹣3﹣1）cos1＞0，排除C．故选：A．8．【知识点】导数的运算．【答案】解：由题意f（1）＝b＝﹣2，则f（x）＝alnx﹣，则f′（x）＝，∵当x＝1时函数取得最值，可得x＝1也是函数的一个极值点，∴f′（1）＝a+2＝0，即a＝﹣2．∴f′（x）＝，易得函数在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，故x＝1处，函数取得极大值，也是最大值，则f′（2）＝．故选：B．9．【知识点】直线与平面所成的角．【答案】解：如图所示，连接AB1，BD，不妨令AA1＝1，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD⊥面AA1B1B，BB1⊥面ABCD，所以∠B1DB和∠DB1A分别为B1D与平面ABCD和平面AA1B1B所成的角，即∠B1DB＝∠DB1A＝30°，所以在Rt△BDB1中，BB1＝AA1＝1，，在Rt△ADB1中，DB1＝2，，所以AB＝，，，故选项A，C错误，由图易知，AB在平面AB1C1D上的射影在AB1上，所以∠B1AB为AB与平面AB1C1D所成的角，在Rt△ABB1中，，故选项B错误，如图，连接B1C，则B1D在平面BB1C1C上的射影为B1C，所以∠DB1C为B1D与平面BB1C1C所成的角，在Rt△DB1C中，＝DC，所以∠DB1C＝45°，所以选项D正确，故选：D．10．【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【答案】解：如图，甲，乙两个圆锥的侧面展开图刚好拼成一个圆，设圆的半径（即圆锥母线）为3，甲、乙两个圆锥的底面半径分别为r1，r2，高分别为h1，h2，则2πr1＝4π，2πr2＝2π，解得r1＝2，r2＝1，由勾股定理可得，∴．故选：C．11．【知识点】椭圆的性质．【答案】解：由椭圆的离心率可设椭圆方程为，则，由平面向量数量积的运算法则可得：，∴m2＝1，则椭圆方程为．故选：B．12．【知识点】指数函数的单调性与特殊点．【答案】解：∵9m＝10，∴m＝log910，∵∴，构造函数f（x）＝xm﹣x﹣1（x＞1），f′（x）＝mxm﹣1﹣1，令f′（x）＞0，解得：由上述有∴，可得0＜＜1，故f（x）在（1，+∞）单调递增，故f（10）＞f（8），又因为，故a＞0＞b，故选：A．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．【知识点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【答案】解：∵向量＝（m，3），＝（1，m+1）．⊥，∴＝m+3（m+1）＝0，则m＝﹣，故答案为：﹣．14．【知识点】圆的标准方程．【答案】解：由点M在直线2x+y﹣1＝0上，可设M（a，1﹣2a），由于点（3，0）和（0，1）均在⊙M上，∴圆的半径为＝，求得a＝1，可得半径为，圆心M（1，﹣1），故⊙M的方程为（x﹣1）2+（y+1）2＝5，故答案为：（x﹣1）2+（y+1）2＝5．15．【知识点】双曲线的性质．【答案】解：双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率为e，e＝，双曲线的渐近线方程为y＝±x，直线y＝2x与C无公共点，可得≤2，即，即，可得1＜，满足条件“直线y＝2x与C无公共点”的e的一个值可以为：2．故答案为：2（e∈（1，]内的任意一个值都满足题意）．16．【知识点】三角形中的几何计算；余弦定理．【答案】解：设BD＝x，CD＝2x，在三角形ACD中，b2＝4x2+4﹣2•2x•2•cos60°，可得：b2＝4x2﹣4x+4，在三角形ABD中，c2＝x2+4﹣2•x•2•cos120°，可得：c2＝x2+2x+4，要使得最小，即最小，＝＝，其中，此时，当且仅当（x+1）2＝3时，即或（舍去），即时取等号，故答案为：．三、答案题：共70分。答案应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17．【知识点】独立性检验．【答案】解：（1）A公司一共调查了260辆车，其中有240辆准点，故A公司准点的概率为；B公司一共调查了240辆车，其中有210辆准点，故B公司准点的概率为；（2）由题设数据可知，准点班次数共450辆，未准点班次数共50辆，A公司共260辆，B公司共240辆，∴，∴有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关．18．【知识点】数列的求和；数列递推式．【答案】解：（1）证明：由已知有：①，⋯把n换成n+1，②，⋯②﹣①可得：2an+1＝2（n+1）an+1﹣2nan﹣2n，整理得：an+1＝an+1，由等差数列定义有{an}为等差数列；（2）由已知有，设等差数列an的首项为x，由（1）有其公差为1，故（x+6）2＝（x+3）（x+8），解得x＝﹣12，故a1＝﹣12，所以an＝﹣12+（n﹣1）×1＝n﹣13，故可得：a1＜a2＜a3＜＜⋯a12＜0，a13＝0，a14＞0，故Sn在n＝12或者n＝13时取最小值，，故Sn的最小值为﹣78．19．【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行．【答案】（1）证明：如图所示，将几何体补形为长方体，做EE'⊥AB于点E'，做FF'⊥BC于点F'，由于底面为正方形，△ABE，△BCF均为等边三角形，故等边三角形的高相等，即EE'＝FF'，由面面垂直的性质可知EE'，FF'均与底面垂直，则EE'∥FF'，四边形EE'F'F为平行四边形，则EF∥E'F'，由于EF不在平面ABCD内，E'F'在平面ABCD内，由线面平行的判断定理可得EF∥平面ABCD．（2）解：易知包装盒的容积为长方体的体积减去四个三棱锥的体积，其中长方体的高，长方体的体积，一个三棱锥的体积，则包装盒的容积为．20．【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【答案】解：（1）由题意知，f（﹣1）＝﹣1﹣（﹣1）＝0，f'（x）＝3x2﹣1，f'（﹣1）＝3﹣1＝2，则y＝f（x）在点（﹣1，0）处的切线方程为y＝2（x+1），即y＝2x+2，设该切线与g（x）切于点（x2，g（x2）），g'（x）＝2x，则g'（x2）＝2x2＝2，解得x2＝1，则g（1）＝1+a＝2+2，解得a＝3；（2）f'（x）＝3x2﹣1，则y＝f（x）在点（x1，f（x1））处的切线方程为，整理得，设该切线与g（x）切于点（x2，g（x2）），g'（x）＝2x，则g'（x2）＝2x2，则切线方程为，整理得，则，整理得，令，则h'（x）＝9x3﹣6x2﹣3x＝3x（3x+1）（x﹣1），令h'（x）＞0，解得或x＞1，令h'（x）＜0，解得或0＜x＜1，则x变化时，h'（x），h（x）的变化情况如下表：x0（0，1）1（1，+∞）h′（x）﹣0+0﹣0+h（x）单调递减单调递增单调递减﹣1单调递增则h（x）的值域为[﹣1，+∞），故a的取值范围为[﹣1，+∞）．21．【知识点】直线与抛物线的综合；抛物线的性质．【答案】解：（1）由题意可知，当x＝p时，y2＝2p2，得yM＝p，可知MD＝p，FD＝．则在Rt△MFD中，FD2+DM2＝FM2，得＝9，解得p＝2．则C的方程为y2＝4x；（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），A（x3，y3），B（x4，y4），当MN与x轴垂直时，由对称性可知，AB也与x轴垂直，此时，则α﹣β＝0，由（1）可知F（1，0），D（2，0），则tanα＝kMN＝，又N、D、B三点共线，则kND＝kBD，即，∴，得y2y4＝﹣8，即y4＝﹣；同理由M、D、A三点共线，得y3＝﹣．则tanβ＝＝．由题意可知，直线MN的斜率不为0，设lMN：x＝my+1，由，得y2﹣4my﹣4＝0，y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4，则tanα＝，tanβ＝，则tan（α﹣β）＝＝，∵，，∴tanα与tanβ正负相同，∴，∴当α﹣β取得最大值时，tan（α﹣β）取得最大值，当m＞0时，tan（α﹣β）＝≤＝；当m＜0时，tan（α﹣β）无最大值，∴当且仅当2m＝，即m＝时，等号成立，tan（α﹣β）取最大值，此时AB的直线方程为y﹣y3＝，即4x﹣（y3+y4）y+y3y4＝0，又∵y3+y4＝﹣＝8m＝4，y3y4＝＝﹣16，∴AB的方程为4x﹣4y﹣16＝0，即x﹣y﹣4＝0．（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．【知识点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【答案】解：（1）由（t为参数），消去参数t，可得C1的普通方程为y2＝6x﹣2（y≥0）；（2）由（s为参数），消去参数s，可得C2的普通方程为y2＝﹣6x﹣2（y≤0）．由2cosθ﹣sinθ＝0，得2ρcosθ﹣ρsinθ＝0，则曲线C3的直角坐标方程为2x﹣y＝0．联立，解得或，∴C3与C1交点的直角坐标为（，1）与（1，2）；联立，解得或，∴C3与C2交点的直角坐标为（，﹣1）与（﹣1，﹣2）．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．【知识点】不等式的证明．【答案】证明：（1）∵a，b，c均为正数，且a2+b2+4c2＝3，∴由柯西不等式知，（a2+b2+4c2）（12+12+12）≥（a+b+2c）2，即3×3≥（a+b+2c）2，∴a+b+2c≤3；当且仅当a＝b＝2c，即a＝b＝1，c＝时取等号；（2）由（1）知，a+b+2c≤3且b＝2c，故0＜a+4c≤3，则，由权方和不等式可知，，当且仅当＝，即a＝1，c＝时取等号，故+≥3．",)