材料力学课本,材料力学课本pdf

('材料力学电子教材淮阴工学院建筑工程系2006.12文档主要符号表符号AD、dEFFcrFdFNFQGIy、IzIPIyziy、izkdM、My、MzMxMeMsMuNnnrnstpPqR、rrSy、SzTtVcVεvdvvvεW含义面积直径弹性模量集中力临界力动荷载轴力剪力切变模量惯性矩极惯性矩惯性积惯性半径动荷因素弯矩扭矩外力偶矩屈服弯矩极限弯矩循环次数安全因素，转速疲劳安全因素稳定安全因素总应力，压强功率均布荷载集度半径循环特征面积矩，静矩扭转外力偶矩时间余应变能应变能形状改变能密度体积改变能密度应变能密度重力，外力功，弯曲截面系数符号WcWPwθφγΔΔlεεuλµνσσbσbsσcrσdσeσpσrσsσuσ-1[σ]τ[τ]含义余功扭转截面系数挠度梁横截面转角，单位长度相对扭转角，体积应变相对扭转角，折减因数切应变位移伸长（缩短）变形线应变极限应变柔度长度系数泊松比正应力强度极限挤压应力临界应力动应力弹性极限比例极限相当应力，疲劳极限屈服极限极限应力对称循环疲劳极限容许正应力切应力容许切应力文档第一章绪论·基本概念§1-1材料力学的任务§1-2变形固体的概念及其基本假设§1-3杆件及其变形形式§1-4应力§1-5位移和应变§1-6材料力学的特点思考题思考题习题第二章轴向拉伸和压缩§2-1概述§2-2拉压杆件横截面上的正应力§2-3应力集中的概念§2-4拉压杆件的变形§2-5拉伸和压缩时材料的力学性质§2-6几种新材料的力学性质简介§2-7拉压杆件的强度计算§2-8拉压超静定问题§2-9拉压杆联接件的强度计算思考题习题第三章扭转§3-1概述§3-2圆杆扭转时的应力§3-3圆杆扭转时的变形·扭转超静定问题§3-4扭转时材料的力学性能§3-5扭转圆杆的强度计算和刚度计算§3-6非圆截面杆的扭转思考题习题第四章平面弯曲§4-1概述§4-2梁横截面的正应力§4-3梁横截面的切应力§4-4梁的强度计算§4-5非对称截面梁的平面弯曲·开口薄壁截面的弯曲中心§4-6梁的极限弯矩和极限荷载法强度计算§4-7梁的挠度和转角§4-8梁的挠曲线近似微分方程§4-9积分法计算梁的变形§4-10叠加法计算梁的变形§4-11梁的刚度计算§4-12简单超静定梁思考题习题第五章应力状态分析§5-1应力状态的概念§5-2平面应力状态分析§5-3基本变形杆件的应力状态分析§5-4三向应力状态的最大应力§5-5广义胡克定律·体积应变§5-6应变能和应变能密度思考题习题第六章强度理论§6-1强度理论的概念§6-2四种常用的强度理论§6-3莫尔强度理论§6-4强度理论的应用思考题习题第七章组合变形杆件的应力分析与强度计算§7-1概述§7-2斜弯曲§7-3拉伸（压缩）与弯曲的组合§7-4偏心压缩（拉伸）§7-5截面核心§7-6弯曲与扭转的组合思考题习题第八章压杆稳定§8-1压杆稳定性的概念§8-2细长压杆的临界力§8-3压杆的柔度与压杆的非弹性失稳§8-4压杆的稳定计算§8-5提高压杆稳定性的措施思考题习题第九章动荷载和交变应力§9-1概述§9-2构件作匀加速直线运动和匀速转动时的应力§9-3构件受冲击时的应力和变形§9-4交变应力和疲劳破坏§9-5交变应力的特性和疲劳极限§9-6钢结构构件的疲劳计算思考题习题第十章杆件变形计算的能量法§10-1概述§10-2杆件的弹性应变能§10-3虚力原理§10-4卡氏第二定理§10-5莫尔定理思考题习题附录A平面图形几何性质习题附录B型钢表习题答案参考文献—1—作为绪论，本章将介绍材料力学的任务、研究范畴、研究对象、研究的基本方法以及材料力学课程的特点。在材料力学中，是将物体作为变形固体，研究的对象是杆件。因此，本章还将介绍变形固体的基本假设，杆件变形的基本形式，受力杆件中的应力、变形、位移和应变等重要的概念。第一章绪论·基本概念§1–1材料力学的任务§1-2变形固体的概念及其基本假设§1–3杆件及其变形形式§1-4应力一、外力和内力的回顾二、应力§1-5位移和应变一、位移二、应变§1-6材料力学的特点思考题习题返回总目录—2—第一章绪论·基本概念§1–1材料力学的任务建筑物、机器等是由许多部件组成的，例如建筑物的组成部件有梁、板、柱和承重墙等，机器的组成部件有齿轮、传动轴等。这些部件统称为构件(member)。为了使建筑物和机器能正常工作，必须对构件进行设计，即选择合适的尺寸和材料，使之满足一定的要求。这些要求是：1．强度(strength)要求构件抵抗破坏的能力称为强度。构件在外力作用下必须具有足够的强度才不致发生破坏，即不发生强度失效(failure)。2．刚度(rigidity)要求构件抵抗变形的能力称为刚度。在某些情况下，构件虽有足够的强度，但若刚度不够，即受力后产生的变形过大，也会影响正常工作。因此设计时，必须使构件具有足够的刚度，使其变形限制在工程允许的范围内，即不发生刚度失效。3．稳定性(stability)要求构件在外力作用下保持原有形状下平衡的能力称为稳定性。例如受压力作用的细长直杆，当压力较小时，其直线形状的平衡是稳定的；但当压力过大时，直杆不能保持直线形状下的平衡，称为失稳。这类构件须具有足够的稳定性，即不发生稳定失效。一般说来，强度要求是基本的，只是在某些情况下，才对构件提出刚度要求。至于稳定性问题，只有在一定受力情况下的某些构件才会出现。为了满足上述要求，一方面必须从理论上分析和计算构件受外力(externalforce)作用产生的内力(internalforce)、应力(stress)和变形(deformation)，建立强度、刚度和稳定性计算的方法；另一方面，构件的强度、刚度和稳定性与材料的力学性质(mechanicalproperties)有关，而材料的力学性质需要通过试验确定。此外，由于理论分析要根据对实际现象的观察进行抽象简化，对所得结果的可靠性也要用试验来检验。材料力学(mechanicsofmaterials)的任务就是从理论和试验两方面，研究构件的内力、应力和变形，在此基础上进行强度、刚度和稳定性计算，以便合理地选择构件的尺寸和材料。必须指出，要完全解决这些问题，还应考虑工程上的其它问题，材料力学只是提供基本的理论和方法。在选择构件的尺寸和材料时，还要考虑经济要求，即尽量降低材料的消耗和使用成本低的材料；但为了安全，又希望构件尺寸大些，材料质量高些。这两者之间存在着一定的矛盾，材料力学则正是在解决这些矛盾中产生并不断发展的。材料力学作为一门科学，一般认为是在17世纪开始建立的。此后，随着生产的发展，各国科学家对与构件有关的力学问题，进行了广泛深入的研究，使材料力学这门学科得到了长足的发展。长期以来，材料力学的概念、理论和方法已广泛应用于土木、水利、船舶与海洋、机械、化工、冶金、航空与航天等工程领域。计算机以及实验方法和设备的飞速发展和广泛应用，为材料力学的工程应用提供了强有力的手段。—3—§1-2变形固体的概念及其基本假设固体在外力作用下所产生的物理现象是各种各样的，而每门学科仅从自身的特定目的出发去研究某一方面的问题。为了研究方便，常常需要舍弃那些与所研究的问题无关或关系不大的特征，而只保留主要的特征，将研究对象抽象成一种理想的模型(model)。例如在刚体静力学和动力学中，为了从宏观上研究物体的平衡和机械运动的规律，可将物体看作刚体。在材料力学中，所研究的是构件的强度、刚度和稳定性问题，这就必须考虑物体的变形，即使变形很小，也不能把物体看作刚体。研究变形固体的力学称为固体力学或变形体力学。材料力学是固体力学中的一个分支。变形固体的组织构造及其物理性质是十分复杂的，为了抽象成理想的模型，通常对变形固体作出下列基本假设：（1）连续性假设(assumptionofcontinuity)假设物体内部充满了物质，没有任何空隙。而实际的物体内当然存在着空隙，而且随着外力或其它外部条件的变化，这些空隙的大小会发生变化。但从宏观方面研究，只要这些空隙的大小比物体的尺寸小得多，就可不考虑空隙的存在，而认为物体是连续的。（2）均匀性假设(assumptionofhomogeneity)假设物体内各处的力学性质是完全相同的。实际上，工程材料的力学性质都有一定程度的非均匀性。例如金属材料由晶粒组成，各晶粒的性质不尽相同，晶粒与晶粒交界处的性质与晶粒本身的性质也不同；又如混凝土材料由水泥、砂和碎石组成，它们的性质也各不相同。但由于这些组成物质的大小和物体尺寸相比很小，而且是随机排列的，因此，从宏观上看，可以将物体的性质看作各组成部分性质的统计平均量，而认为物体的性质是均匀的。（3）各向同性假设(assumptionofisotropy)假设材料在各个方向的力学性质均相同。金属材料由晶粒组成，单个晶粒的性质有方向性，但由于晶粒交错排列，从统计观点看，金属材料的力学性质可认为是各个方向相同的。例如铸钢、铸铁、铸铜等均可认为是各向同性材料。同样，像玻璃、塑料、混凝土等非金属材料也可认为是各向同性材料。但是，有些材料在不同方向具有不同的力学性质，如经过辗压的钢材、纤维整齐的木材以及冷扭的钢丝等，这些材料是各向异性材料。在材料力学中主要研究各向同性的材料。变形固体受外力作用后将产生变形。如果变形的大小较之物体原始尺寸小得多，这种变形称为小变形(smalldeformation)。材料力学所研究的构件，受力后所产生的变形大多是小变形。在小变形情况下，研究构件的平衡以及内部受力等问题时，均可不计这种小变形，而按构件的原始尺寸计算。当变形固体所受外力不超过某一范围时，若除去外力，则变形可以完全消失，并恢复原有的形状和尺寸，这种性质称为弹性(elasticity)。若外力超过某一范围，则除去外力后，变形不会全部消失，其中能消失的变形称为弹性变形，不能消失的变形称为塑性(plasticity)变形，或残余变形、永久变形。对大多数的工程材料，当外力在一定的范围内时，所产生的变形完全是弹性的。对多数构件，要求在工作时只产生弹性变形。因此，在材料力学中，主要研究构件产生弹性变形的问题，即弹性范围内的问题。需要指出的是，在材料力学中，虽然研究对象是变形体，但当涉及到大部分平衡问题时，依然将所研究的对象（杆件或其局部）视为刚体。—4—§1–3杆件及其变形形式根据几何形状的不同，构件可分为杆（bar）、板和壳（plateandshell）、块体（solidblock）三类。材料力学主要研究杆（或称杆件），其它几类构件的分析需用弹性力学的方法。杆在各种形式的外力作用下，其变形形式是多种多样的。但不外乎是某一种基本变形(basicdeformation)或几种基本变形的组合。杆的基本变形可分为：1．轴向拉伸或压缩(axialtensionorcompression)直杆受到与轴线重合的外力作用时，杆的变形主要是轴线方向的伸长或缩短。这种变形称为轴向拉伸或压缩，如图1-1(a)、(b)所示。2．扭转(torsion)直杆在垂直于轴线的平面内，受到大小相等、方向相反的力偶作用时，各横截面相互发生转动。这种变形称为扭转，如图1-1(c)所示。3．弯曲(bending)直杆受到垂直于轴线的外力或在包含轴线的平面内的力偶作用时，杆的轴线发生弯曲。这种变形称为弯曲，如图1-1(d)所示。杆在外力作用下，若同时发生两种或两种以上的基本变形，则称为组合变形(complexdeformation)。图1-1杆件的几种基本变形本书先研究杆的基本变形问题，然后再研究杆的组合变形问题。§1-4应力一、外力和内力的回顾构件所受到的外力包括荷载(load)和约束反力(reactionofconstraint)。外力可从不同的角度分类。这在《静力学基础》中已有详述。构件在外力作用下发生变形的同时，将引起内力。在《静力学基础》中已经介绍了内力的有关概念。对于杆件，最有意义的是横截面上的内力。为了显示和计算杆件的内力，需用截面法(methodofsection)。截面法主要有以下三个步骤：（1）截开：在需要求内力的截面处，用一假想截面将杆件截为两部分；（2）代替：移走其中任一部分，将其对留下部分的作用用该截开面上的内力(力或力偶)来代替；—5—（3）平衡：对留下部分建立平衡方程，根据该部分所受的已知外力来计算截开面上的未知内力。各种基本变形杆件横截面上的内力和内力图的有关问题，在《静力学基础》第六章中均已作了详述。二、应力实际的物体总是从内力集度最大处开始破坏的，因此只按静力学中所述方法求出截面上分布内力的合力(力和力偶)是不够的，必须进一步确定截面上各点处分布内力的集度。为此，必须引入应力的概念。在图1-2（a）中受力物体B部分的截面上某点M处的周围取一微面积ΔA，设其上分布内力的合力为ΔF。ΔF的大小和指向随ΔA的大小而变。ΔF/ΔA称为面积ΔA上分布内力的平均集度，又称为平均应力。如令ΔA→0，则比值ΔF/ΔA的极限值为p=lim∆F∆t→0∆A图1-2一点处的应力它表示一点处分布内力的集度，称为一点处的总应力。由此可见，应力是截面上一点处分布内力的集度。为了使应力具有更明确的物理意义，可以将一点处的总应力p分解为两个分量：一个是垂直于截面的应力，称为正应力(normalstress)，或称法向应力，用σ表示；另一个是位于截面内的应力，称为切应力(shearstress)，或切向应力，用τ表示，如图1-2(b)所示。物体的破坏现象表明，拉断破坏和正应力有关，剪切错动破坏和切应力有关。今后将只计算正应力和切应力而不计算总应力。应力的量纲是ML−1T2。在国际单位制中，应力的单位名称是［帕斯卡］，符号为Pa，也可以用兆帕(MPa)或吉帕(GPa)表示，其关系为：1MPa=106Pa，1GPa=103MPa=109Pa。§1-5位移和应变物体受力后，其形状和尺寸都要发生变化，即发生变形。为了描述变形，现引入位移和应变(strain)的概念。一、位移线位移(lineardeformation)物体中一点相对于原来位置所移动的直线距离称为线位移。例如图1-3所示直杆，受外力作用弯曲后，杆的轴线上任一点A的线位移为AA′。角位移(angulardeformation)物体中某一直线或平面相对于原来位置所转过的角度称为角位移。例如图1-3中，杆的右端截面的角位移为θ。图1-3杆件的变形位移上述两种位移，是变形过程中物体内各点作相对运动所产生的，称为变形位移。变形位—6—移可以表示物体的变形程度，例如图1-3所示的直杆，由杆的轴线上各点的线位移和各截面的角位移就可以描述杆的弯曲变形。但是，物体受力后，其中不发生变形的部分，也可能产生刚体位移。本书仅讨论物体的变形位移。物体的刚体位移已在动力学中讨论过，本书将直接引用。一般来说，受力物体内各点处的变形是不均匀的。为了说明受力物体内各点处的变形程度，还须引入应变的概念。二、应变设想在物体内一点A处取出一微小的长方体，它在xy平面内的边长为Δx和Δy，如图1-4所示(图中未画出厚度)。物体受力后，A点位移至A′点，且长方体的尺寸和形状都发生了改变，如边长Δx和Δy变为Δx′和Δy′，直角变为锐角(或钝角)，从而引出下面两种表示该长方体变形的量：线应变(linearstrain)段长度的改变称为线变形，如图1-4中的Δx′-Δx和Δy′-Δy。但是，线段长度的改变显然随线段原长的不同而变化。为避免线段原长的影响，现引入线应变(即相对变形)的概念。设线应变用ε表示，类似于应力的定义，线应变定义为ε=lim∆x′−∆x(1−2a)x∆t→0∆xε=lim∆y′−∆y(1−2b)y∆t→0∆y式中εx和εy表示无限小长方体在x和y方向的线应变，也就是A点处x和y方向的线应变。线应变是一个量纲为1的量。切应变(shearstrain)通过一点处的互相垂直的两线段之间所夹直角的改变量称为切应变，用γ表示。例如在图1-4中，当Δx→0和Δy→0时直角的改变量为γ=α+β(1-3)这就是A点处的切应变。切应变图1-4一点处的应变通常用弧度表示，也是量纲为1的量。线应变ε和切应变γ是描述物体内一点处变形的两个基本量，它们分别和正应力与切应力有联系，以后将作介绍。§1-6材料力学的特点材料力学是固体力学的一个分支，是土建、水利、机械、航空航天等专业的一门技术基础课程。它的理论、概念和方法无论对工程设计或力学分析以及较多的后续课程都是必不可少的。材料力学的特点是：（1）内容的系统性比较强材料力学内容的主线是分析和计算杆的应力和变形；根据杆的危险点处的应力进行强度计算；在某些情况下，求出杆的最大变形进行刚度计算；对一定受力情况下的某些杆进行稳定计算。先研究杆的基本变形，再研究组合变形。主要研究静荷载下的应力和变形问题，再研究一些动荷载问题和交变应力问题。主要研究材料处于弹性范围的应力和变形，对有些超过弹性范围的问题，只作简单介绍。（2）有科学的研究方法分析杆的应力和变形，必须基于杆件在各种力作用下处于平衡，以及杆件各部分的变形互相协调这两个前提，因而只用静力学的方法是不够的。材料力学的方法是通过试验现象的观察和分析，忽略次要因素，保留主要因素，在基本假设之外，再作某些假设，然后综合静力学方面、变形的几何方面和物理方面的条件，即综合应用平衡、变形协调和物性关系三方面的方程，导出应力和变形的理论计算公式，最后通过实验检验理论公式的正确性。在材料力学中采用某些假设，是为了简化理论分析，以便得到便于实用的计算公式。而利用这些公式计算得到的结果，可以满足工程上所要求的精度。（3）与工程实际的联系比较密切材料力学研究的内容既然是工程设计的理论基础，必然会遇到工程实际问题如何上升到理论，在理论分析时又如何考虑实际情况的问题。例如，如何将实际的构件连同其所受荷载和支承等，简化为可供计算的力学模型；在分析和计算时要考虑实际存在的主要因素以及设计制造上的方便性和经济性，等等。当然，很多实际问题的分析和处理，在专业的学科上要全面研究，但在材料力学中也应注意。（4）概念、公式较多材料力学中有较多的概念，这些概念对于理解内容、分析问题及正确运用基本公式，以至于对今后从事工作时如何分析和解决实际问题，都是很重要的，必须引起足够的重视。在学习时切不可只满足于背条文、代公式、囫囵吞枣、不求甚解。材料力学中有不少公式，但基本的公式并不多。只要能正确理解基本公式，用前后联系、互相对比的方法，并多做习题，就能够熟练地运用这些公式。了解材料力学的特点后，只要认真学习、多思、善思、多发现问题，并注意培养自己分析问题、解决问题和创新思维的能力，同时注意培养计算能力及实验能力，就一定能学好这门课程。思考题1-1何谓强度?何谓刚度?何谓稳定性?1-2材料力学的研究对象是什么?对它们作了哪些假设和哪些研究范围的规定?1-3杆件变形的基本形式有哪几种?它们的外力特征和变形特征各是什么?1-4何谓应力?应力与内力有何区别?又有何联系?1-5何谓变形位移?它与刚体位移有何区别?1-6何谓应变?它与变形位移有何关系?1-7在静力学和动力学中，将研究的对象看作是刚体；而在材料力学中，又将研究的对象看作是变形固体，是何原因?习题1-1图示一厂房结构的示意图，试分析桥式吊车、吊车梁、屋架弦杆及柱会产生怎样的变形?题1-1图1-2图A（a）中的杆、右端的力偶Me是否能搬移到图A（b）中的位置?图B（a）中杆上的均布荷载能否用图B（b）中作用在杆中点的等效集中力代替?题1-2图返回总目录第二章轴向拉压是杆件的基本变形之一。本章首先介绍轴向拉压杆件横截面上的应力、轴向拉压杆件的变形，并导出了胡克定律。然后介绍拉、压时典型塑性材料和脆性材料的力学性质和一些重要性能指标（如σs，σb，E等）及其实验测定方法。并对复合材料和粘弹性材料及其力学性能作了简介。本章还介绍拉压杆件的强度计算、拉压超静定问题和拉压杆联接件的强度计算。第二章轴向拉伸和压缩§2-1概述§2-2拉压杆件横截面上的正应力一、正应力公式二、圣文南原理§2–3应力集中的概念§２-4拉压杆件的变形一、轴向变形·胡克定律二、横向应变§2-5拉伸和压缩时材料的力学性质一、拉伸时材料的力学性质二、压缩时材料的力学性质三、塑性材料和脆性材料的比较§2-6几种新材料的力学性质简介一、复合材料二、粘弹性材料§2-7拉压杆件的强度计算一、容许应力和安全因数二、强度条件和强度计算§2-8拉压超静定问题§2-9拉(压)杆联接件的强度计算一、简单铆接接头二、铆钉群接头思考题习题习题答案返回总目录第二章轴向拉伸和压缩§2-1概述工程中有些构件，例如，桁架中的桁杆，万能试验机的立柱等，所受外力的作用线与杆轴线重合，即承受轴向荷载。这时，杆件将沿轴向伸长（缩短）、沿横向收缩（或扩张）。这类杆件称为轴向拉伸（压缩）杆件。轴向拉压是杆件的基本变形形式之一。在研究杆件的应力、变形时，必须首先知道杆件的内力。对于轴向拉压杆件，其横截面上只有与杆轴线重合的内力，此内力就称为轴力（axialforce），记为FN，其正负号规定为：轴力指向与横截面外法线方向一致为正，反之为负，即：拉为正，压为负。其大小可按截面法由平衡方程求得。当轴向拉(压)杆件所受外力较复杂时，在杆不同部位横截面上的轴力一般不相同。在进行应力与变形分析时，通常需要知道杆的各个横截面上的轴力、最大轴力及其所在横截面的位置，因此需作出表示轴力与截面位置关系的变化图线，即轴力图。在画轴力图时首先应确定控制面（controlsection），集中力作用点处两侧的横截面、分布荷载的起始作用点和终止作用点处的横截面，都是控制面。计算出控制面的轴力值，再根据相邻控制面之间的荷载情况，画出轴力图。相邻两控制面间，若无荷载，该段轴力图为水平线（或竖直线）；若为均布荷载，该段轴力图为斜直线。轴力图在集中力作用处有突变，突变值即为该集中力的值。§2-2拉压杆件横截面上的正应力一、正应力公式轴向拉伸(压缩)杆件横截面上的内力是轴力。为了了解轴力在横截面上的分布情况，需要知道横截面上的应力。由于轴力垂直于横截面，故横截面上各点处必定有正应力σ，且轴力只能由微内力σdA合成。但要计算应力的大小，需要先确定横截面上的应力分布规律。而应力的分布和杆的变形情况有关，因此需通过实验观察找出变形的规律，即变形的几何关系；然后利用变形和力之间的物理关系得到应力分布规律；最后由静力学关系方可得到横截面上正应力的计算公式。以下就从这三个方面进行分析。1．几何关系取一根等截面直杆，未受力之前，在杆的中部表面上画许多与杆轴线平行的纵线和与杆轴线垂直的横线；然后在杆的两端施加一对轴向拉力F，使杆产生伸长变形，如图2-1(a)所示。由变形后的情况可见，纵线仍为平行于轴线的直线，各横线仍为直线并垂直于轴线，但产生了平行移动。横线可以看成是横截面的周线，因此，根据横线的变形情况去推测杆内部的变形，可以作出如下假设：变形前为平面的横截面，图2-1拉伸变形变形后仍为平面。这个假设称为平截面假设或平面假设(planeassumption)。由平面假设可知，两个横截面间所有纵向“纤维”的伸长是相同的，而这些“纤维”的原长相同，于是可推知它们的线应变ε相同，这就是变形的几何关系。2.物理关系根据物理学知识，当变形为弹性变形时，变形和力成正比。因为各“纤维”的线应变ε相同，而各“纤维”的线应变只能由正应力σ引起，故可推知横截面上各点处的正应力相同，即在横截面上，各点处的正应力σ为均匀分布，如图2-1(b)所示。3.静力学关系由静力学求合力的方法，可得FN=∫σdA=σ∫dA=σAAA由此可得杆的横截面上任一点处正应力的计算公式为σ=FNA(2-1)式中A为杆的横截面面积。如果杆受到轴向压力，同样可以得到(2-1)式。正应力的正负号与轴力的正负号相对应，即拉应力为正，压应力为负。由(2-1)式计算得到的正应力大小，只与横截面面积有关，与横截面的形状无关。此外，对于横截面沿杆长连续缓慢变化的变截面杆，其横截面上的正应力也可用上式作近似计算。二、圣文南原理必须指出，杆端外力的作用方式不同时，例如分布力或集中力，对横截面上的应力分布是有影响的。但法国科学家圣文南(SaintVenant)指出，当作用于弹性体表面某一小区域上的力系，被另一静力等效的力系代替时，对该区域附近的应力和应变有显著的影响，而对稍远处的影响很小，可以忽略不计。这一结论称为圣文南原理(ＳaintVenantprinciple)。它已被许多计算结果和实验结果所证实。因此，杆端外力的作用方式不同，只对杆端附近的应力分布有影响。在材料力学中，可不考虑杆端外力作用方式的影响。例2-1图2-2示一小吊车架，吊车及所吊重物总重为W=18.4kN。拉杆AB的横截面为圆形，直径d=15mm。试求当吊车在图示位置时，AB杆横截面上的应力。解由于A，B，C三处用销钉联结，故可视为铰接，AB杆受轴向拉伸。由平衡方程∑MC=0，求得AB杆的轴力为F=18.4kN×0.6m=18.4kNN1.2m×sin30o再由（2-1）式，求得AB杆横截面上的正应力为.3σ=FN=FN=18.4×10NA1πd241×π×(0.015)2m24=104.2×106N/m2=104.2MPa图2-2例2-1图显然，当吊车在BC杆上行驶到其它位置时，AB杆的应力将发生变化。在材料力学中，最重要的是求出杆内的最大应力，因为根据最大应力的大小，可以判定杆是否有足够的强度。一般情况下，杆各横截面上的轴力和横截面的面积都未必相同，这就需要具体分析哪个截面的正应力最大。对于等直杆，轴力最大的横截面上正应力也最大。所以通常将内力图中数值最大的位置所在的截面称为危险截面(criticalsection)。§2–3应力集中的概念工程中有些杆件，由于实际的需要，常有台阶、孔洞、沟槽、螺纹等，使杆的横截面在某些部位发生急剧的变化。理论和实验的研究发现，在截面突变处的局部范围内，应力数值增大，这种现象称为应力集中(stressconcentration)。例如图2-3（a）为一受轴向拉伸的直杆，在轴线上开一小圆孔。在横截面1—1上，应力分布不均匀，靠近孔边的局部范围内应力很大，在离开孔边稍远处，应力明显降低，如图2-3（b）所示。在离开圆孔较远的2—2截面上，应力仍为均匀分布，如图（2-3）。图2-3孔口应力分布图当材料处在弹性范围时，用弹性力学方法或实验方法，可以求出有应力集中的截面上的最大应力和该截面上的应力分布规律。该截面上的最大应力σmax和该截面上的平均应力σ0之比，称为应力集中系数α，即α=σmaxσ0(2-2)式中σ0=F/A0，A0为1-1截面处的净截面面积。σ是大于1的数，它反映应力集中的程度。只要求得σ0值及σ值，即可求出最大应力σmax。不同情况下的σ值一般可在设计手册中查到。在水利工程结构中也经常遇到应力集中问题。例如图2-4所示的混凝土重力坝中，为了排水、灌浆、观测等需要，常在坝体内设置一些廊道。在图2-4重力坝廊道周边附近也会引起应力集中。因此，在设计重力坝时，常需要用理论或实验的方法专门对廊道附近区域进行应力分析。§２-4拉压杆件的变形杆受到轴向外力拉伸或压缩时，在轴线方向将伸长或缩短，而横向尺寸将缩小或增大，即同时发生纵向(轴向)变形和横向变形。例如图2-5所示的杆，长度为l，设横截面为正方形，边长为α。当受到轴向外力拉伸后，l增至l′，α缩小到α′，现分别介绍这两种变形的计算。图2-5拉伸变形一、轴向变形·胡克定律杆的轴向伸长为∆l=l′−l，称为杆的绝对伸长。实验表明，当杆的变形为弹性变形时，杆的轴向伸长Δl与拉力F、杆长l成正比，与杆的横截面面积A成反比，即∆l∝FlA引进比例常数E，并注意到轴力FN=F，则上式可表示为∆l=FNlEA（2-3）这一关系是由胡克(Hooke)首先发现的，故通常称为胡克定律(Hook′slaw)。当杆受轴向外力压缩时，这一关系仍然成立。(2-3)式中的E称为拉伸(或压缩)时材料的弹性模量(modulusofelasticity)。E值越大，杆的变形越小；E值越小，杆的变形越大。E值的大小因材料而异，通过试验测定。E的量纲是L−1MT2，常用单位是MPa或GPa。工程上的大部分材料在拉伸和压缩时的E值可认为是相同的。（2-3）式中的EA称为杆的拉伸（压缩）刚度（tensionorcompressiverigidity），当FN和l不变时，EA越大，则杆的轴向变形越小，EA越小，则杆的轴向变形越大。应用（2-3）式可求出杆的轴向变形，但需注意该式的适用条件。该式只适用于FN、A、E为常数的一段杆内，且材料在线弹性范围内。绝对变形Δl的大小与杆的长度l有关，不足以反映杆的变形程度。为了消除杆长的影响，在均匀变形的情形下，将（2-3）式变换为∆l=FN1lAE式中Δl/l=ε，称为轴向线应变。它是相对变形，表示轴向变形的程度。又FN/A=σ，故上式可写为ε=σE或σ=Eε(2-4)上式表示，当变形为弹性变形时，正应力和同一方向的线应变成正比，这是胡克定律的另一种形式。这一关系式非常重要，在理论分析和实验中经常用到。二、横向应变图2-5所示的杆，其横向尺寸缩小，故横向应变为ε′=∆αα=α′−αα显然，在拉伸时，ε为正值，ε′为负值；在压缩时，ε为负值，ε′为正值。由实验可知，当变形为弹性变形时，横向应变和轴向应变的比值的绝对值为一常数，即ν=ε′ε或ε′=−νε(2-5)ν称为泊松比(Poissonratio)，是由法国科学家泊松首先得到的。ν为量纲为1的量，其数值因材料而异，由实验测定。弹性模量E和泊松比ν都是材料的弹性常数，表2-1给出了一些常用材料的E，ν值。表2-1常用材料的E，ν值材料E（GPa）ν钢190~2200.25~0.33铜及其合金74~1300.31~0.36灰口铸铁60~1650.23~0.27铝合金710.26~0.33花岗岩480.16~0.34石灰岩410.16~0.34混凝土14.7~350.16~0.18橡胶0.00780.47顺纹9~12木材横纹0.49例2-2一矩形截面杆，长15m，截面尺寸为50×100mm2。当杆受到100kN的轴向拉力作用时，由实验方法测得杆伸长0.15mm，截面的长边缩短0.003mm。试求该杆材料的弹性模量E和泊松比ν。解利用(2-3)式，可求得弹性模量为E=FNl=100×103N×1.5m=2.0×1011N/m2=200GPa(∆l)A0.15×10−3m×50×100×10−6m2再由(2-5)式，求得泊松比为ν=ε′=0.003mm/100mm=0.3ε0.15mm/1500mm例2-3一木柱受力如图2-6所示。柱的横截面为边长200mm的正方形，材料可认为服从胡克定律，其弹性模量E=10GPa。如不计柱的自重，试求木柱顶端A截面的位移。解因为木柱下端固定，故顶端A截面的位移就等于全杆的总变形。由于AB段和BC段的内力不同，但每段杆内各截面的内力相同，因此可利用(2-3)式分别计算各段杆的变形，然后求其代数和，即为全杆的总变形。AB段：FN−100kN∆lAB=−100×103N×1.5m10×109Pa×200×200×10−6m2BC段：FN−100kN+(−160kN)=−260kN图2-6例2-3图∆lAB=−260×1039N×1.5m−6210×10Pa×200×200×10m全杆的总变形为=−0.000975m=−0.975mm∆l=∆lAB+∆lBC=−0.375mm−0.975mm=−1.35mm（缩短）木柱顶端A截面的位移等于1.35mm，方向向下。例2-4试求图2-7（a）所示等截面直杆由自重引起的最大正应力以及杆的轴向总变形。设该杆的横截面面积A、材料密度ρ和弹性模量E均为已知。解自重为体积力。对于均质材料的等截面杆，可将杆的自重简化为沿轴线作用的均布荷载，其集度为q=ρ⋅g⋅A⋅1=ρgA（1）杆内的最大正应力应用截面法，求得离杆顶端距离为x的横截面(图(b))上的轴力为图2-7例2-4图2FN(x)=−qx=−ρgAx上式表明，自重引起的轴力沿杆轴线按线性规律变化。轴力图如图（d）所示。在x截面上的正应力为σ(x)=FN(x)=−ρgxA(压应力)由上式可见，在杆底部(x=l)的横截面上，正应力的数值最大，其值为σmax=ρgl正应力沿轴线的变化规律如图（e）所示。(2)杆的轴向变形由于杆的各个横截面的内力均不同，因此不能直接用(2-3)式计算变形。为此，先计算dx长的微段（图（c））的变形d（Δl）。略去微量的dFN(x)影响，dx微段的变形为d(∆l)=FN(x)dxEA杆的总变形可沿杆长l积分得到，即WlllF(x)dxl−ρgAxdx−ρgAl⋅l∆l=∫d(∆l)=∫N=∫==−（缩短）00EA0EA2EAWA式中W=ρgAl为杆的总重。由计算可知，直杆因自重引起的变形，在数值上等于将杆的总重的一半集中作用在杆端所产生的变形。§2-5拉伸和压缩时材料的力学性质材料的力学性质是指材料受外力作用后，在强度和变形方面所表现出来的特性，也可称为机械性质。例如外力和变形的关系是怎样的，材料的弹性常数E、ν等如何测定，材料的极限应力有多大等等。材料的力学性质不仅和材料内部的成分和组织结构有关，还受到加载速度、温度、受力状态以及周围介质的影响。本节主要介绍在常温和静荷载(缓慢平稳加载)作用下处于轴向拉伸和压缩时材料的力学性质，这是材料最基本的力学性质。一、拉伸时材料的力学性质1.低碳钢的拉伸试验低碳钢是含碳量较低（在0.25%以下）的普通碳素钢，例如Q235钢，是工程上广泛使用的材料，它在拉伸试验时的力学性质较为典型，因此将着重加以介绍。材料的力学性质与试样的几何尺寸有关。为了便于比较试验结果，应将材料制成标准试样(standardspecimen)。图2-8标准试样对金属材料有两种标准试样。一种是圆截面试样，如图2-8所示。在试样中部A，B之间的长度l称为标距，试验时用仪表测量该段的伸长。标距l与标距内横截面直径d的关系为l=10d或l=5d。另一种为矩形截面试样，标距l与横截面面积A的关系为l=11.3A，或l=5.65A。试验时，将试样安装在万能试验机上，然后均匀缓慢地加载（应力速率在3～30ＭPａ/s之间），使试样拉伸直至断裂。试验机自动绘制的试样所受荷载与变形的关系曲线，即F-Δl曲线，称为拉伸图，如图2-9所示。为了消除试样尺寸的影响，将拉力F除以试样的原横截面面积A，伸长Δl除以原标距l，得到材料的应力应变图，即σ-ε图，如图2-10所示。试验机上可自动记录打印出应力应变图。这一图形与拉伸图的图形相似。从拉伸图和应力－应变图以及试图2-9低碳钢拉伸图样的变形现象，可确定低碳钢的下列力学特性。（1）拉伸过程的各个阶段及特性点整个拉伸过程大致可分为四个阶段：弹性阶段（Ⅰ）当试样中的应力不超过图2-10中b点的应力时，试样的变形是弹性的。在这个阶段内，当卸去荷载后，变形完全消失。b点对应的应力为弹性阶段的应力最高限，称为弹性极限（elasticlimit），用σe表示。在弹性阶段内，oa线为直线，这表示应力和应变（或拉力和伸长变形）成线性关系，即材料服从胡克定律。a点的应力为线弹性阶段的应力最高限，称为比例极限（proportionallimit），用σp表示。既然图2-10低碳钢σ-ε图在oa范围内材料服从胡克定律，那么就可以利用(2-4)式或(2-3)式在这段范围内确定材料的弹性模量E。试验结果表明，材料的弹性极限和比例极限数值上非常接近，故工程上对它们往往不加区分。屈服阶段（Ⅱ）此阶段亦称为流动阶段。当增加荷载使应力超过弹性极限后，变形增加较快，而应力不增加或产生波动，在σ-ε曲线上或F-△l曲线上呈锯齿形线段，这种现象称为材料的屈服（yield）或流动。在屈服阶段内，若卸去荷载，则变形不能完全消失。这种不能消失的变形即为塑性变形(plasticdeformation)或称残余变形(residualdeformation)。材料具有塑性变形的性质称为塑性。试验表明，低碳钢在屈服阶段内所产生的应变约为弹性极限时应变的15～20倍。当材料屈服时，在抛光的试样表面能观察到两组与试样轴线成45°的正交细条纹，这些条纹称为滑移线。这种现象的产生，是由于拉伸试样中，与杆轴线成45°的斜面上，存在着数值最大的切应力。当拉力增加到一定数值后，最大切应力超过了某一临界值，造成材料内部晶格在45°斜面上产生相互间的滑移。由于滑移，材料暂时失去了继续承受外力的能力，因此变形增加的同时，应力不会增加甚至减少。由试验得知，屈服阶段内最高点（上屈服点）的应力很不稳定，而最低点c（下屈服点）所对应的应力较为稳定。故通常取最低点所对应的应力为材料屈服时的应力，称为屈服极限（yieldlimit）（屈服点）或流动极限，用σs表示。强化阶段（Ⅲ）试样屈服以后，内部组织结构发生了调整，重新获得了进一步承受外力的能力，因此要使试样继续增大变形，必须增加外力，这种现象称为材料的强化(strengthening)。在强化阶段中，试样主要产生塑性变形，而且随着外力的增加，塑性变形量显著地增加。这一阶段的最高点d所对应的应力称为强度极限(strengthlimit)，用σb表示。破坏阶段（Ⅳ）从d点以后，试样在某一薄弱区域内的伸长急剧增加，试样横截面在这薄弱区域内显著缩小，形成了“颈缩”(necking)现象，如图2-11所示。由于试样“颈缩”，使试样继续变形所需的拉力迅速减小。因此，F-Δl和σ-ε曲线出现下降现象。最后图2-11试样颈缩试样在最小截面处被拉断。材料的比例极限σp(或弹性极限σe)、屈服极限σs及强度极限σb都是特性点应力，它们在材料力学的概念和计算中有重要意义。（2）材料的塑性指标试样断裂之后，弹性变形消失，塑性变形则留存在试样中不会消失。试样的标距由原来的l伸长为l1，断口处的横截面面积由原来的A缩小为A1。工程中常用试样拉断后保留的塑性变形大小作为衡量材料塑性的指标。常用的塑性指标有两种，即延伸率（断后伸长率）δ=l1−l×100%l断面收缩率ψ=A−A1A×100%工程中一般将δ≥5%的材料称为塑性材料(ductilematerials)，δ＜5%的材料称为脆性材料(brittlematerials)。低碳钢的延伸率大约在25%左右，故为塑性材料。（3）应变硬化现象在材料的强化阶段中，如果卸去荷载，则卸载时拉力和变形之间仍为线性关系，如图2-9中的虚线BA。由图可见，试样在强化阶段的变形包括弹性变形Δle和塑形变形ΔlP。如卸载后重新加载，则拉力和变形之间大致仍按AB直线变化，直到B点后再按原曲线BD变化。将OBD曲线和ABD曲线比较后看出，①卸载后重新加载时，材料的比例极限提高了（由原来的σp提高到B点所对应的应力），而且不再有屈服现象；②拉断后的塑性变形减少了（即拉断后的残余伸长由原来的OC减小为AC）。这一现象称为应变硬化现象，工程上称为冷作硬化现象。材料经过冷作硬化处理后，其比例极限提高，表明材料的强度可以提高，这是有利的一面。例如钢筋混凝土梁中所用的钢筋，常预先经过冷拉处理，起重机用的钢索也常预先进行冷拉。但另一方面，材料经冷作硬化处理后，其塑性降低，这在许多情况下又是不利的。例如机器上的零件经冷加工后易变硬变脆，使用中容易断裂；在冲孔等工艺中，零件的孔口附近材料变脆，使用时孔口附近也容易开裂。因此需对这些零件“退火”处理，以消除冷作硬化的影响。2.其它塑性材料拉伸时的力学性质图2-12给出了5种金属材料在拉伸时的应力-应变曲线。由图可见，这5种材料的延伸率都比较大(δ＞5%)。45号钢和Q235钢的应力-应变曲线大体相似，有弹性阶段、屈服阶段和强化阶段。其它3种材料都没有明显的屈服阶段。对于没有明显屈服阶段的塑性材料，通常以产生0.2%的塑性应变时的应力作为屈服极限，称为条件屈服极限(offsetyieldstress)，或称为规定非比例伸长应力，用σp0.2表示，也有用σ0.2表示的，如图2-13所示。3．铸铁的拉伸试验图2-12塑性材料σ-ε曲线图2-14为灰口铸铁拉伸时的应力-应变曲线。从图中可看出：图2-13条件屈服应力图2-14灰口铸铁拉伸σ-ε曲线（1）应力-应变曲线上没有明显的直线段，即材料不服从胡克定律。但直至试样拉断为止，曲线的曲率都很小。因此，在工程上，曲线的绝大部分可用一割线(如图中虚线)代替，在这段范围内，认为材料近似服从胡克定律。（2）变形很小，拉断后的残余变形只有0.5%～0.6%，故为脆性材料。（3）没有屈服阶段和“颈缩”现象。唯一的强度指标是拉断时的应力，即强度极限σb，但强度极限很低，所以不宜作为拉伸构件的材料。二、压缩时材料的力学性质1．低碳钢的压缩试验低碳钢压缩试验采用短圆柱体试样，试样高度和直径关系为l=(1.5～3.0)d。试验得到低碳钢压缩时的应力-应变曲线如图2-15(a)所示。试验结果表明：（1）低碳钢压缩时的比例极限σp、屈服极限σs及弹性模量E都与拉伸时基本相同。图2-15低碳钢压缩特性（2）当应力超过屈服极限之后，压缩试样产生很大的塑性变形，愈压愈扁，横截面面积不断增大，如图2-15（b）所示。虽然名义应力不断增加，但实际应力并不增加，故试样不会断裂，无法得到压缩的强度极限。2．铸铁的压缩试验铸铁压缩试验也采用短圆柱体试样。灰口铸铁压缩时的应力-应变曲线和试样破坏情况如图2-16（a）和（b）所示。试验结果表明：（1）和拉伸试验相似，应力-应变曲线上没有直线段，材料只近似服从胡克定律。（2）没有屈服阶段。图2-16灰口铸铁压缩（3）和拉伸相比，破坏后的轴向应变较大，约为5%～10%。（4）试样沿着与横截面大约成55°的斜截面剪断。通常以试样剪断时横截面上的正应力作为强度极限σb。铸铁压缩强度极限比拉伸强度极限高4～5倍。3．混凝土的压缩试验混凝土构件一般用以承受压力，故混凝土常需做压缩试验以了解压缩时的力学性质。混凝土试样常用边长为150mm的立方块。试样成型后，在标准养护条件下养护28天后进行试验。混凝土的抗压强度与试验方法有密切关系。在压缩试验中，若试样上下两端面不加减摩剂，由于两端面与试验机加力面之间的摩擦力，使得试样横向变形受到阻碍，提高了抗压强度。随着压力的增加，中部四周逐渐剥落，最后试样剩下两个相连的截顶角锥体而破坏，如图2-17(a)所示。若在两个端面加润滑剂，则减少了两端面间的摩擦力，使试样易于横向变形，因而降低了抗压强度。最后试样沿纵向开裂而破坏，如图2-17（b）所示。图2-17混凝土压缩破坏图2-18混凝土压缩全曲线标准的压缩试验是在试样的两端面之间不加减摩剂。试验得到混凝土的压缩应力-应变曲线如图2-18所示。但是一般在普通的试验机上做试验时，只能得到OA曲线。在这一范围内，当荷载较小时，应力-应变曲线接近直线；继续增加荷载后，应力-应变关系为曲线；直至加载到材料破坏，得到混凝土受压的强度极限σb。根据近代的试验研究发现，若采用控制变形速率的加载装置、伺服试验机或刚度很大的试验机，可以得到应力-应变曲线上强度极限以后的下降段AC。在AC段范围内，试样变形不断增大，但承受压力的能力逐渐减小，这一现象称为材料的软化。整个曲线OAC称为应力-应变全曲线，它对混凝土结构的应力和变形分析有重要意义。用试验方法同样可得到混凝土的拉伸强度以及拉伸应力-应变全曲线，混凝土受拉时也存在材料的软化现象。4．木材的压缩试验图2-19木材压缩特性木材顺纹方向和横纹方向压缩时，得到不同的应力-应变曲线，如图2-19所示。木材沿顺纹方向压缩时的强度极限比横纹方向压缩时的强度极限大得多；在荷载和横截面尺寸相同的条件下，顺纹方向压缩时的变形比横纹方向压缩时的变形小得多。因此，木材为各向异性材料。木材的拉伸强度极限也同样可由试验方法得到，其顺纹强度极限和横纹强度极限差异更为显著。表2-2给出工程上几种常用材料在拉伸和压缩时的部分力学性质。bσb表2-2几种常用材料在拉伸和压缩时的力学性质(常温、静荷载)强度极限(MPa)塑性指标材料名称或牌号屈服极限σs(MPa)σ+−δ(%)ψ(%)Q235钢Q274钢216~235255~274380~470490~608380~470490~60824~2760~7019~2135号钢310204553053045号钢350164015Mn钢300520520235016Mn钢270~340470~510470~51016~2145~60灰口铸铁150~370600~13000.5~0.6球墨铸铁290~420390~600≥15681.5~10有机玻璃755＞130红松（顺纹）98≈33普通混凝土0.3~12.5~80三、塑性材料和脆性材料的比较从以上介绍的各种材料的试验结果看出，塑性材料和脆性材料在常温和静荷载下的力学性质有很大差别，现简单地加以比较。（1）塑性材料的抗拉强度比脆性材料的抗拉强度高，故塑性材料一般用来制成受拉杆件；脆性材料的抗压强度比抗拉强度高，故一般用来制成受压构件，而且成本较低。（2）塑性材料能产生较大的塑性变形，而脆性材料的变形较小。要使塑性材料破坏需消耗较大的能量，因此这种材料承受冲击的能力较好；因为材料抵抗冲击能力的大小决定于它能吸收多大的动能。此外，在结构安装时，常常要校正构件的不正确尺寸，塑性材料可以产生较大的变形而不破坏；脆性材料则往往会由此引起断裂。（3）当构件中存在应力集中时，塑性材料对应力集中的敏感性较小。例如图2-20(a)所示有圆孔的拉杆，由塑性材料制成。当孔边的最大应力达到材料的屈服极限时，若再增加拉力，则该处应力不增加，而该截面上其它各点处的应力将逐渐增加至材料图2-20塑性材料孔口应力的变化的屈服极限，使截面上的应力趋向平均(未考虑材料的强化)，如图2-20(b)、(c)所示。这样，杆所能承受的最大荷载和无圆孔时相比，不会降低很多。但脆性材料由于没有屈服阶段，当孔边最大应力达到材料的强度极限时，局部就要开裂；若再增加拉力，裂纹就会扩展，并导致杆件断裂。必须指出，材料的塑性或脆性，实际上与工作温度、变形速度、受力状态等因素有关。例如低碳钢在常温下表现为塑性，但在低温下表现为脆性；石料通常认为是脆性材料，但在各向受压的情况下，却表现出很好的塑性。§2-6几种新材料的力学性质简介二十世纪六十年代以来，以复合材料、高分子材料等为代表的新型材料在很多工程领域得到日益广泛的应用，这些新材料的力学性能和相关的设计准则，是广大工程技术人员非常关心、迫切需要了解的问题。一、复合材料复合材料是指两种或两种以上互不相溶(熔)的材料通过一定的方式组合成一种新型的材料。近年来，纤维增强复合材料(fiber-reinforcedcompositematerials)在工程中的应用迅速增长。纤维增强复合材料是以韧性好的金属、塑料或混凝土为基体将纤维材料嵌固其中，二者牢固地粘结成整体。如玻璃钢，加纤混凝土等。由于纤维材料的嵌入，将使材料的性能有极明显的改善。例如碳纤维增强的环氧树脂基体复合材料，其弹性模量比基体材料可提高约60倍，强度可提高约30倍。纤维增强复合材料不同于金属等各向同性材料，它具有极明显的各向异性。在平行于纤维的方向“增强”效应极其明显，而在垂直于纤维方向则不显著。所以在制造时常常采用叠层结构，其中每一层的纤维都按一定要求的方向铺设（图2-21）。图2-21复合材料的弹性模量不仅与基体和纤维材料的弹性模量有关，而且与这两种材料的体积比有关。纤维按同一方向排列时的单层玻璃钢，沿纤维方向拉伸的应力-应变曲线如图2-21(c)所示。由图可见，其σ与ε基本上是线弹性关系。复合材料沿纤维方向的弹性模量可由并联模型得到。即将复合材料杆中两种材料归结为长度相同、横截面面积不同的两根并联的直杆，在轴向荷载的作用下，两杆具有相同的伸长量。由此可推出，单层复合材料沿纤维方向的弹性模量为：E=EfVf+Em(1−Vf)其中：Ef为纤维材料的弹性模量；Em为基体材料的弹性模量；Vf为纤维材料的体积与总体积之比。在以上分析中，没有考虑纤维材料与基体材料横向变形的影响。当二者的泊松比不同时，在二者的交界面上将会产生横向正应力。应用能量原理可以证明，此时的复合弹性模量会比按上式计算的结果稍大。对于纤维排列方向不同和应力方向与纤维方向不同时复合材料的力学性能，可参阅有关的教材和复合材料力学的专著。二、粘弹性材料高分子材料（又称聚合物）是一种新兴的工程材料，包括橡校、塑料、化纤、粘接剂等。它具有重量轻、耐腐蚀、价格便宜、便于加工等优点，因此在工程中得到越来越广泛的应用。目前全世界聚合物的产量，在体积上已与钢产量相当。聚合物所具有的一些独特性能，如橡胶的高弹性和粘结剂的高粘结性等，是其它材料无法比拟的。如钢铁等常规工程材料，在常温下其应力-应变关系与时间无关，其弹性模量E为常数。而聚合物的应力-应变关系都与时间有关，这种性质称为粘弹性(viscoelasticity)。聚合物在荷载作用下，将产生明显的粘弹性变形，是一种介于弹性和粘性之间的变形行为。粘弹性材料的应力是应变与时间的函数，即：σ=f(ε,t)若应力与应变、时间的关系可简化为如下关系：σ=ε⋅f(t)图2-22弹性与粘弹性应力-应变关系即为线性粘弹性(linearviscoelasticity)，如不能简化，则为非线性粘弹性(nonlinearviscoelasticity)。弹性、线性粘弹性与非线性粘弹性的应力-应变关系可由图2-22说明。由图可见，对于粘弹性材料，当应力保持不变时，应变随时间的增加而增加，这种现象称为蠕变(creep)。当应变保持不变时，应力将随时间的增加而减小，这种现象称为松驰(relaxation)。需要指出的是，一般线弹性材料在较高的温度下也会出现蠕变与松驰。所不同的是，粘弹性材料在一般环境温度下便会产生这两种效应。此外，粘弹性材料的应力-应变-时间关系还具有温度敏感性，即与温度有关。§2-7拉压杆件的强度计算由式(2-1)可求出拉(压)杆横截面上的正应力，这种应力称为工作应力。但仅有工作应力并不能判断杆件是否会因强度不足而发生失效。只有将杆件的最大工作应力与材料的强度指标联系起来，才有可能作出判断。一、容许应力和安全因数由第5节中材料的拉伸和压缩试验得知，当脆性材料的应力达到强度极限时，材料将会破坏(拉断或剪断)；当塑性材料的应力达到屈服极限时，材料将产生较大的塑性变形。工程上的构件，既不允许破坏，也不允许产生较大的塑性变形。因为较大塑性变形的出现，将改变原来的设计状态，往往会影响杆件的正常工作。因此，将脆性材料的强度极限σb和塑性材料的屈服极限σs(或σ0.2)作为材料的极限正应力，用σu表示。要保证杆件安全而正常地工作，其最大工作应力不能超过材料的极限应力(limitstress)。但是，考虑到一些实际存在的不利因素后，设计时不能使杆件的最大工作应力等于极限应力，而必须小于极限应力。这些不利因素主要有：（1）计算荷载难以估计准确，因而杆件中实际产生的最大工作应力可能超过计算出的数值；（2）计算时所作的简化不完全符合实际情况；（3）实际的材料与杆准试件材料的差异，因此，实际的极限应力往往小于试验所得的结果；（4）其它因素如杆件的尺寸由于制造等原因引起的不准确，加工过程中杆件受到损伤，杆件长期使用受到磨损或材料老化、腐蚀等等。此外，还要给杆件必要的强度储备。因此，工程上将极限正应力除以一个大于1的安全因数(safetyfactor)n，作为材料的容许正应力，即[σ]=σun(2-6)对于脆性材料,σu=σb，对于塑性材料，σu=σb(或σ0.2)。安全因数n的选取，除了需要考虑前述因素外，还要考虑其它很多因素。例如工程的重要性，杆件失效所引起后果的严重性以及经济效益等。因此，要根据实际情况选取安全因数。在通常情况下，对静荷载问题，塑性材料一般取n=1.5～2.0，脆性材料一般取n=2.0～2.5。几种常用材料的容许正应力的数值列于表2-3。材料名称表2-3几种常用材料的容许正应力值容许应力值(MPa)容许拉应力[σt]容许压应力[σc]低碳钢170170低合金钢230230灰口铸铁34~54160~200顺纹6~89~11松木横纹-1.5~2混凝土0.4~0.77~11二、强度条件和强度计算对于等截面直杆，内力最大的横截面称为危险截面，危险截面上应力最大的点就是危险点。拉压杆件危险点处的最大工作应力由式(2-1)计算，当该点的最大工作应力不超过材料的容许正应力时，就能保证杆件正常工作。因此，等截面拉压直杆的强度条件为FNmaxσmax=≤[σ]A（2-7）式中FNmax为杆的最大轴力，即危险截面上的轴力。利用(2-7)式，可以进行三方面的强度计算：（1）校核强度当杆的横截面面积A、材料的容许正应力［σ］及杆所受荷载为已知时，可由（2-7）式校核杆的最大工作应力是否满足强度条件的要求。如杆的最大工作应力超过了容许应力，工程上规定，只要超过的部分在容许应力的5%以内，仍可以认为杆是安全的。c墙（2）设计截面当杆所受荷载及材料的容许正应力［σ］为已知时，可由（2-7）式选择杆所需的横截面面积，即A≥FNmax[σ]再根据不同的截面形状，确定截面的尺寸。（3）求容许荷载当杆的横截面面积A及材料的容许正应力［σ］为已知时，可由(2-7)式求出杆所容许产生的最大轴力为FNmax≤A［σ］再由此可确定杆所容许承受的荷载。例2-5图2-23所示用两根钢索吊起一扇平面闸门。已知闸门的启门力共为60kN，钢索材料的容许拉应力［σ］=160MPa，试求钢索所需的直径d。解每根钢索的轴力为由强度条件(2-7)式，得FN=30kNA=1πd2≥FN=30×103N4故d≥15.5mm[σ]160×106Pa图2-23例2-5图图2-24例2-6图例2-6一墙体的剖面如图2-24所示。已知墙体材料的容许压应力［σc］墙=1.2MPa，容重ρg=16kN/m3；地基的容许压应力［σ］=0.5MPa。试求墙上段每米长度上的容许荷载q及下段墙的厚度。解取1m长的墙进行计算。对于上段墙，由(2-7)式，得FNσmx=A=q+ρgA1l1A1≤[σ]墙Ama地3地代入已知数据后，得到容许荷载为q=A（1[σ]墙−ρgl1）=0.38×1m×（1.2×106Pa−16×103N/m3×2m）=443.8kN/m对于下段墙，最大压应力发生在底部。但地基的容许压应力小于墙的容许压应力，所以应根据地基的容许压应力进行计算。由(2-7)式，得σ=q+ρgA1l1+ρgA2l2≤［σ］2代入已知数据后，得到A≥q+ρgl1=443.8×10N+16×103N/m3×0.38m×1m×2m=m22[σ]−ρgl20.5×106Pa−16×103N/m3×2m0.97因为取1m长的墙计算，所以下段墙的厚度为0.97m。§2-8拉压超静定问题在前面讨论的轴向拉压问题中，其约束力或轴力均可由静力平衡方程求出，这类问题称为静定问题。在实际工程中，有时约束力或轴力并不能仅由静力平衡方程解出，这类问题称为超静定问题。在超静定问题中，都存在多于维持平衡所必需的约束，习惯上称其为“多余”约束(redundantconstraint)，这种“多余”只是对保证结构的平衡及几何不变性而言的，但可以提高结构的强度和刚度。由于多余约束的存在，未知力的数目必然多于独立平衡方程的数目。未知力个数与独立平衡方程数的差，称为超静定次数。多余约束使结构由静定变为超静定，因而不能仅由静力平衡求解。但是，多余约束对结构(或构件)的变形起着一定的限制作用，而结构(或构件)的变形又是与受力密切相关的，这就为求解超静定问题提供了补充条件。因此在求解超静定问题时，除了根据静力平衡条件列出平衡方程外，还必须根据变形的几何相容条件建立变形协调关系(或称变形协调条件)，进而根据弹性范围内力与变形的关系(即物理条件)建立补充方程。将静力平衡方程与补充方程联立求解，就可解出全部未知力。可见，求解超静定问题需要综合考虑平衡、变形和物理三方面条件，这是分析超静定问题的基本方法。下面通过例题来说明拉压超静定杆的解法。例2-7图2-25示一两端固定的等直杆AB，在截面C上受轴向力F，杆的拉压刚度为EA，试求两端反力。图2-25例2-7图解杆AB为轴向拉压杆，故两端的约束反力也均沿轴向，独立平衡方程只有一个，故为一次超静定问题，所以需建立一个补充方程。静力平衡方程为FA+FB=F（a）为建立补充方程，需要先分析变形协调关系。AB杆在荷载与约束力的作用下，AC段和CB段均发生轴向变形，但由于两端固定，杆的总变形量必须等于零，即∆lAB=∆lAC+∆lCB=0（b）这就是变形协调关系式。再根据胡克定律，即式(2-3)，各段的轴力与变形的关系为lFNACaFAalFNCBbFBb∆AC==,∆CB=EAEA=−EAEA(c)将式(c)代入式(b)，得补充方程为FAa−FBb=0(d)EAEA最后，由式(a)、式(d)，即可解出两端的约束反力FA=Fba+b,Fb=Faa+b§2-9拉(压)杆联接件的强度计算工程中的拉压杆件有时是由几部分联接而成的。在联接部位，一般要有起联接作用的部件，这种部件称为联接件(connections)。例如图2-26a所示两块钢板用铆钉(也可用螺栓或销钉)联接成一根拉杆，其中的铆钉(螺栓或销钉)就是联接件。图2-26联接和联接件为了保证联接后的杆件或构件能够安全地工作，除杆件或构件整体必需满足强度、刚度和稳定性的要求外，联接件本身也应具有足够的强度。铆钉、螺栓等联接件的主要受力和变形特点如图2-26b所示。作用在联接件两侧面上的一对外力的合力大小相等，均为F，而方向相反，作用线相距很近；并使各自作用的部分沿着与合力作用线平行的截面m-m(称为剪切面)发生相对错动。这种变形称为剪切变形(shearingdeformation)。它与§1-3中所讲述的拉压、扭转、弯曲等变形均不相同。联接件本身不是细长直杆，其受力和变形情况很复杂，因而要精确地分析计算其内力和应力很困难。工程上对联接件通常是根据其实际破坏的主要形态，对其内力和相应的应力分布作一些合理的简化，并采用实用计算法(methodofutilitycalculation)计算出各种相应的名义应力，作为强度计算中的工作应力。而材料的容许应力，则是通过对联接件进行破坏试验，并用相同的计算方法由破坏荷载计算出各种极限应力，再除以相应的安全因数而获得。实践证明，只要简化得当，并有充分的实验依据，按这种实用计算法得到的工作应力和容许应力建立起来的强度条件，在工程上是可以应用的。下面以铆接拉杆作为典型，进行强度计算分析。一、简单铆接接头如图2-27a所示的铆接接头，是用一个铆钉将两块钢板以搭接形式联接成一拉杆。两块钢板通过铆钉相互传递作用力。这种接头可能有三种破坏形式：(1)铆钉沿横截面剪断，称为剪切破坏；(2)铆钉与板孔壁相互挤压而在铆钉柱表面和孔壁柱面的局部范围内发生显著的塑性变形，称为挤压(bearing)破坏；(3)板在钉孔位置由于截面削则被拉断，称为拉断破坏。因此，在铆接强度计算中，对这三种可能的破坏情况均应考虑。1．剪切强度计算图2-27搭接铆接接头剪切强度计算在图2-27a示的联接情况下，铆钉的受力情况如图2-27b所示。应用截面法，可求得铆钉中间横截面的内力为剪力FQ。这个横截面就是剪切面(shearsurface)。铆钉将可能沿这个横截面发生剪切破坏。由铆钉上半部或下半部的平衡方程可求得FQ＝F(2-8)在联接件的实用计算中，假定剪切面上只有切应力且均匀分布，因此，剪切面上的名义切应力为τ=FQ/AQ(2-9)式中AQ为剪切面面积。若铆钉直径为d，则AQ＝πd2/4。为使铆钉不发生剪切破坏，要求Fτ=QAQ≤［τ］(2-10)这就是铆钉的剪切强度条件。式中［τ］为铆钉的容许切应力。如将铆钉按上述实际受力情况进行剪切破坏试验，量测出铆钉在剪断时的极限荷载Fu，并由(2-8)和(2-9)式计算出铆钉剪切破坏的极限切应力τu，再除以安全因数n，就可得到［τ］。对于钢材，通常取［τ］=(0.～0.8)［σ］。在这种搭接联接中，铆钉的剪切面只有一个，故称为单剪(singleshearing)。A=A=σσ2．挤压强度计算在如图2-27a所示的联接情况下。铆钉柱面和板的孔壁面上将因相互压紧而产生挤压力Fbs，从而在相互压紧的范围内引起挤压应力σbs。挤压力Fbs也可由铆钉上半部或下半部，或一块钢板的平衡方程求得Fbs=F(2-11)挤压应力的实际分布情况比较复杂。根据理论和试验分析的结果，半个铆钉圆柱面与孔壁柱面间挤压应力的分布大致如图2-27c所示。分析结果又表明，如果以铆钉或孔的直径面面积即铆钉直径与板厚的乘积作为假想的挤压面积Abs，则该截面上均匀分布的挤压应力为σbs=Fbs/Abs(2-12)它与实际挤压面上的最大挤压应力在数值上相近。因此，就以(2-12)式计算出的挤压应力作为实用计算中的名义挤压应力。若铆钉的直径为d，板的厚度为δ，则（2-12）式中的Abs=dδ。为使铆钉或孔壁不发生挤压破坏，要求Fbsbsbs(2-13)这就是铆接的挤压强度条件。式中［σbs］为容许挤压应力。［σbs］也可由通过挤压破坏试验得到的极限挤压应力σubs除以安全因数n得到。对于钢材而言，通常取［σbs］为容许正应力［σ］的1.7～2.0倍。当铆钉与板的材料不相同时，应对［σbs］较小者进行挤压强度计算。3．拉伸强度计算在图2-27a所示的联接情况下，板中有一铆钉孔，板的横截面面积在钉孔上受到削弱，并以钉孔直径处的横截面面积为最小。故该横截面为板的危险截面。假想将板在该截面处截开，则板的受力情况如图2-27d所示。根据平衡方程，可以求出该截面的轴力为FN=F(2-14)在实用计算中，假定该截面的拉应力是均匀分布的，因此可计算出该截面的名义拉应力为σt=FN/At(2-15)式中At为板的受拉面面积。若铆钉直径为d，板的厚度为δ，宽度为b，则At=(b−d)δ。为使板在该截面不发生拉断破坏，要求FNt≤［σt］(2-16)t这就是铆接的拉伸强度条件。式中［σt］为板的容许拉应力。为保证铆接接头的强度，应同时满足强度条件(2-10)、(2-13)和(2-16)。根据这三个强度条件可校核铆接接头的强度、设计铆钉直径和计算容许荷载。图2-28对接铆接接头如图2-28a所示的铆接接头，是在上、下各加一块盖板，左、右各用一个铆钉，将对置的两块钢板联接起来。两被联接的钢板称为主板。两主板通过铆钉及盖板相互传递作用力。在这种对接联接中，任一铆钉的受力情况如图2-28b所示。它有两个剪切面，称为〗双剪(doubleshearing)。在实用计算中，假定两个剪切面上的剪力相等，均为FQ=F/2。对接联接中，主板的厚度δ通常小于两盖板厚度δ1之和，即δ＜2δ1，因而需要校核铆钉中段圆柱面与主板孔壁间的相互挤压。同时，由于δ＜2δ1，故只需计算主板的拉伸强度。二、铆钉群接头如果搭接接头每块板或对接接头的每块主板中的铆钉超过一个，这种接头就称为铆钉群接头。在铆钉群接头中，各铆钉的直径通常相等，材料也相同，并按一定的规律排列。如图2-29a所示的铆钉群接头，是用4个铆钉将两块板以搭接形式联接；外力F通过铆钉群中心。对这种接头，通常假定外力均匀分配在每个铆钉上，即每个铆钉所受的外力均为F/4。从而，各铆钉剪切面上名义切应力将相等；各铆钉柱面或板孔壁面上的名义挤压应力也将相等。因此，可取任一钉作剪切强度计算；取任一铆钉柱面或孔壁面作挤压强度计算。具体方法可参照上述简单铆接情况进行。但是，对这种接头进行板的拉伸强度计算时，要注意铆钉的实际排列情况。图2-29a所示的接头，上面一块板的受力图和轴力图分别如图2-29b和c所示。该板的危险截面要综合考虑钉孔削弱后的截面面积和轴力大小两个因素。只要确定了危险截面并计算出板的最大名义拉应力，则板的拉伸强度计算也可参照简单铆接情况进行。图2-29铆钉群接头tt3例2-8图2-30a示一对接铆接头。每边有3个铆钉，受轴向拉力F=130kN作用。已知主板及盖板宽b=110mm，主板厚δ＝10mm，盖板厚δ1=7mm，铆钉直径d=17mm。材料的容许应力分别为［τ］=120MPa，［σt］=160MPa，［σbs］=300MPa。试校核铆接头的强度。解由于主板所受外力F通过铆钉群中心，故每个铆钉受力相等，均匀F/3。由于对接，铆钉受双剪，由（2-10）式，铆钉的剪切强度条件为τ=F/32×πd2/4≤［τ］将已知数据代入，得图2-30例2-8图τ=130×10N/3=95.5×106N/M2=95.5MPa＜［τ］2×π(0.017)2m2/4所以铆钉的剪切强度是足够的。由于δ＜2δ1，故需校核主板(或铆钉)中间段的挤压强度，由(2-13)式可知，强度条件为P/3将已知数据代入，得σbs=δd≤［σbs］σbs=130×103N/3=254.9×106N/m2=254.9MPa＜［σbs］0.01M×0.017M所以挤压强度也是满足的。主板的拉伸强度条件为σt=FN/At≤［σt］作出右边主板的轴力图，如图2-30b所示。由图可见：在1-1截面上，轴力FN1=F，并只2F被1个铆钉孔削弱，At1=(b−d)δ；对2-2截面，轴力FN2=，但被两个钉孔削弱，3At2=(b−2d)δ,无法直观判断哪一个是危险截面，故应对两个截面都按式(2-16)进行拉伸强度校核。由已知数据，求得这两个横截面上的拉伸应力为σt1=FN1=130×103N=139.8×106N/m2=139.8MPa＜［σ］AN1(0.11−0.017)m×0.01σt2=FN2=2×130×103N/3=114.0×106N/m2=114.0MPa＜［σ］AN1(0.11−2×0.017)m×0.01所以主板的拉伸强度也是满足的。oo思考题2-1两根直杆，其横截面面积相同，长度相同，两端所受轴向外力也相同，而材料的弹性模量不同。分析它们的内力、应力、应变、伸长是否相同。2-2有人说：“受力杆件的某一方向上有应力必有应变，有应变必有应力”。此话对吗?为什么?2-3低碳钢试样，拉伸至强化阶段时，在拉伸图上如何量测其弹性伸长量和塑性伸长量?当试样拉断后，又如何量测?2-4钢芯和铜套组成的直杆，两端的轴向荷载F通过刚性板加在杆思考题2-4图上，试分析横截面上的正应力分布规律及正应力与F，E钢，E铜，d，D的关系。2-5图示结构由AB、BC两杆组成，设两杆材料相同，容许拉应力均为［σ］。是否可按下式求容许荷载为什么?[F]=AAB[σ]cos30+ABC[σ]cos452-6挤压与压缩有何区别?为什么挤压容许应力比容许压应力要大?2-7试指出图示零件的剪切面和挤压面。思考题2-5图思考题2-7图2-8图示阶梯状杆，其上端固定，下端与支座间有一微小距离δ。已知上、下两段杆的横截面面积分别为A1和A2，材料的弹性模量为E。试作图示荷载作用下杆的轴力图。思考题2-8图习题2-1求下列结构中指定杆内的应力。已知(a)图中杆的横截面面积A1=A2=1150mm2；(b)图中杆的横截面面积A1=850mm2，A2=600mm2，A3=500mm2。2-2求下列各杆内的最大正应力。题2-1图（1）图(a)为开槽拉杆，两端受力F=14kN，b=20mm，b0=10mm，δ=4mm；（2）图(b)为阶梯形杆，AB段杆横截面积为80mm2，BC段杆横截面积为20mm2，CD段杆横截面积为120mm2；（3）图(c)为变截面拉杆，上段AB的横截面积为40mm2，下段BC的横截面积为30mm2，杆材料的ρg=78kN/m3。题2-2图2-3一起重架由100×100mm2的木杆BC和直径为30mm的钢拉杆AB组成，如图所示。现起吊一重物W=40kN。求杆AB和BC中的正应力。2-4一直径为15mm，标距为200mm的合金钢杆，在比例极限内进行拉伸试验，当轴向荷载从零缓慢地增加到58.4kN时，杆伸长了0.9mm，直径缩小了0.022mm，试确定材料的弹性模量E、泊松比µ。题2-3图2-5一根承受轴向拉力的钢筋，原设计采用的材料为Q274号钢，其直径为21mm。今因仓库缺该材料，拟改用Q235号钢。库存Q235号钢筋的直径有φ=20mm、21mm、23mm、25mm可供选用。已知Q235号钢的屈服极限σs=235MPa，Q274号钢的屈服极限σs=274MPa，在安全因数相同的条件下，试选择Q235号钢筋的合适直径。2-6图示短柱，上段为钢制，长200mm，截面尺寸为100×100mm2；下段为铝制，长300mm，截面尺寸为200×200mm2。当柱顶受F力作用时，柱子总长度减少了0.4mm，试求F值。已知E钢=200GPa，E铝=70GPa。2-7图示等直杆AC，材料的容重为ρg，弹性模量为E，横截面积为A。求直杆B截面的位移ΔB。题2-6图图2-7图2-8图示结构中，AB可视为刚性杆，AD为钢杆，面积A1=500mm2，弹性模量E1=200GPa；CG为铜杆，面积A2=1500mm2，弹性模量E2=100GPa；BE为木杆，面积A3=3000mm2，弹性模量E3=10GPa。当G点处作用有F=60kN时，求该点的竖直位移ΔG。题2-8图题2-9图2-9求图示圆锥形杆，在轴向力F作用下的伸长量。弹性模量为E。2-10图示水塔结构，水和塔共重W=400kN，同时还受侧向水平风力F=100kN作用。若支杆①、②和③的容许压应力［σc］=100MPa，容许拉应力［σt］=140MPa，试求每根支杆所需要的面积。题2-10图2-11图示一挡水墙示意图，其中AB杆支承着挡水墙，各部分尺寸均已示于图中。若AB杆为圆截面，材料为松木，其容许应力［σ］=11MPa，试求AB杆所需的直径。题2-11图2-12图示结构中的CD杆为刚性杆，AB杆为钢杆，直径d=30mm，容许应力［σ］=160MPa，弹性模量E=2.0×105MPa。试求结构的容许荷载F。2-133m高的正方形砖柱，边长为0.4m，砌筑在高为0.4m的正方形块石底脚上。已知砖的容重ρ1g=16kN/m3，块石容重ρ2g=20kN/m3。砖柱顶上受集中力F=16kN作用，地基容许应力［σ］=0.08MPa。试设计正方形块石底脚的边长a。题2-12图题2-13图2-14图示AB为刚性杆，长为3a。A端铰接于墙壁上，在C、B两处分别用同材料、同面积的①、②两杆拉住，使AB杆保持水平。在D点作用荷载F后，求两杆内产生的应力。设弹性模量为E，横截面面积为A。题2-14图题2-15图2-15两端固定，长度为l，横截面面积为A，弹性模量为E的正方形杆，在B、C截面处各受一F力作用。求B、C截面间的相对位移。2-16试校核图示销钉的剪切强度。已知F=120kN，销钉直径d=30mm，材料的容许应力［τ］=70MPa。若强度不够，应改用多大直径的销钉?2-17两块钢板塔接，铆钉直径为25mm，排列如图所示。已知［τ］=100MPa，［σbs］=280MPa，板①的容许应力［σ］=160MPa，板②的容许应力［σ］=140MPa，求拉力F的许可值，如果铆钉排列次序相反，即自上而下，第一排是两个铆钉，第二排是三个铆钉，则F值如何改变?题2-16图题2-17图习题答案第一章返回总目录第三章扭转是杆件的又一种基本变形。扭转时横截面上只有切应力，其变形为横截面之间绕轴线作相对转动。本章着重介绍圆杆扭转时的应力、变形和强度、刚度计算。还介绍了切应力互等定理。对于非圆截面杆的扭转，本章只作简单介绍。此外，本章对扭转时材料的力学性质和剪切胡克定律也作了简要介绍。并给出了E、G、ν三者的关系式。第三章扭转§3-1概述§3-2圆杆扭转时的应力一、横截面上的应力二、极惯性矩和扭转截面系数的计算三、切应力互等定理§3-3圆杆扭转时的变形·扭转超静定问题一、圆杆扭转时的变形二、扭转超静定问题§3-4扭转时材料的力学性能§3-5扭转圆杆的强度计算和刚度计算一、强度计算二、刚度计算§3-6非圆截面杆的扭转一、矩形截面杆的扭转二、开口薄壁截面杆的扭转思考题习题习题答案返回总目录第三章扭转§3-1概述扭转是杆件的基本变形形式之一。工程中有些杆件，因承受作用平面垂直于杆轴线的力偶作用，而发生扭转变形。通常将这种杆件称为轴(shaft)，如传动轴等。本章主要分析圆截面杆的扭转。非圆截面杆受扭时，因不能用材料力学的理论求解，本章仅介绍用弹性力学研究的结果。由截面法不难知道，一般而言，受扭杆件的横截面上只有面内力矩这一种内力，称为扭矩(torque)记为Mx。其大小可按截面法由平衡方程求得，其正负号按右手法则确定，即扭矩矢量的正方向与横截面外法线方向一致的为正，反之为负。与轴力图的画法相似，根据控制截面的扭矩，可画出扭矩图。工程上的传动轴，常常是已知它所传递的功率P和转速n，并不直接给出轴上所作用的外力偶矩。因此，首先要根据它所传递的功率和转速求出作用在轴上的外力偶矩。力偶所作的功W等于力偶矩T和相应角位移α的乘积，即W=Tα力偶矩在单位时间内所作的功，即功率P为P=Wt=Tω式中ω为角速度，单位为rad/s，力偶矩T的单位为N·m。若功率的单位为kW，转速为转2π/分(rpm)，因1kW=1000N·m/s，1rpm=关系为rad/s，则由上式得外力偶矩与功率、转速的60T=P=ωP⋅1000n⋅2π/60=9.55P(kW)(kN⋅m)n(rpm)§3-2圆杆扭转时的应力一、横截面上的应力用截面法，只能求出圆杆横截面的内力——扭矩，现进一步研究圆杆横截面上的应力。由于横截面上的扭矩只能由切向微内力τdA所组成，所以横截面上只有切应力。为了确定横截面上的切应力分布规律，必须首先研究扭转时杆的变形情况，得到变形的变化规律，即变形的几何关系，然后再利用物理关系和静力学关系综合进行分析。1．几何关系取一圆杆，在表面上画一系列的圆周线和垂直于圆周线的纵线，它们组成柱面矩形网格如图3-1图3-1扭转变形所示。然后在其两端施加一对大小相等、转向相反的力偶矩T，使其发生扭转。当变形很小时，可以观察到：(1)变形后所有圆周线的形状、大小和间距均未改变，只是绕杆的轴线作相对转动；(2)所有的纵线都转过了同一角度γ，因而所有的矩形都变成了平行四边形。根据以上的表面现象去推测杆内部的变形，可作出如下假设：变形前为平面的横截面，变形后仍为平面，并如同刚片一样绕杆轴旋转，横截面上任一半径始终保持为直线。这一假设称为平截面假设或平面假设。在上述假设的基础上，再研究微体的变形。从图3-1所示的杆中，截取长为dx的一段杆，其扭转后的相对变形情况如图3-2（a）所示。为了更清楚地表示杆的变形，再从微段中截取一楔形微体OO′abcd，如图3-2（b）所示。其中实线和虚线分别表示变形前后的形状。由图可见，在圆杆表面上的矩形abcd变为平行四边形abc′d′，边长不变，但直角改变了一个γ角，γ即为切应变。在圆杆内部，距圆心为ρ处的矩形也变为平行四边形，其切应变为γρ。设dx段左、右两截面的相对扭转角用半径O′c转到O′c′的角度dϕ表示，则由几何关系可以得到γρ=tanγρ=efdx=ρdϕdx图3-2微短圆轴扭转变形分析或γρ=ρdϕdx=ρθ(a)dϕ式中θ=为单位长度杆的相对扭转角(relativeangleoftwistperunitlengthoftheshaft)。dx对于同一横截面，θ为一常量，故由(a)式可见，切应变γρ与ρ成正比。2．物理关系切应变是由于矩形的两侧相对错动而引起的，发生在垂直于半径的方向，所以与它对应的切应力的方向也垂直于半径。由试验可知(见§3-4)，当杆只产生弹性变形时，切应力和切应变之间存在着如下关系τ=Gγ(3-２)这一关系称为剪切虎克定律(Hook′slawinshear)。式中G为切变模量(shearmodulus)，量纲与E相同，常用单位为MPa或GPa。G值的大小因材料而异，可由试验测定。由(a)式和(3-2)式可得横截面上任一点处的切应力为τρ=Gγρdϕ=Gρdϕdx(b)由于同一截面的dx为常量，可见横截面上各点处的切应力与ρ成正比，ρ相同的圆周上各点处的切应力相同，切应力的方向垂直于半径。图3-3示出实心圆杆横截面上的切应力分布规律，在圆杆周边上各点处的切应力具有相同的最大值，在圆心处τ=0。dϕ(b)式虽确定了切应力的分布规律，但dx尚未确定，故无法计算切应力。因此，还需用静力学关系求解。图3-3扭转圆杆横截面上切应力分布规律3．静力学关系图3-4所示横截面上的扭矩Mx是由无数个微面积dA上的微内力τdA对圆心O点的力矩合成得到的，即Mx=∫ρτρdAA式中A为横截面面积。将(b)式代入(c)式，得（C）PρMx=∫Gρ2dϕdA=Gdϕ∫ρ2dA(d)dxdxA式中∫ρ2dA只与横截面尺寸有关，用I表示，称为截面的极A惯性矩(polarmomentofinertia)，即图3-4圆杆横截面应力的合成2IP=∫ρdAA(3-３)IP的量纲为L4，常用单位为mm4或m4。于是(d)式可改写成dϕ=dxMxGIP(3-4)将(3-4)式代入(b)式，得到圆杆横截面上任一点处的切应力公式τ=MxρIP(3-5)横截面上的最大切应力发生在ρ=r处，其值为τmax令=MIPxrW=IPr则(3-6)τmax=MXWP(3-7)式中WP称为扭转截面系数(sectionmodulusoftorsion)，它也只与横截面尺寸有关。WP的量纲为L3，常用单位为mm3或m3。二、极惯性矩和扭转截面系数的计算1．实心圆截面图3-5（a）为一直径为d的实心圆截面。取微面积dA=2πρdρ则由(3-3)式及(3-6)式得2d/23πd4IP=∫ρAdA=∫42πρ0dρ=32(3-8)W=IPPr=πd⋅232d(3-9)图3-5圆截面的IP和WP002PP3332．空心圆截面图3-5(b)为一空心圆截面，内径为d，外径为D。设α=d/D，则4IP=∫ρA4dA=∫D/2d/22πρ3dρ=πD323(1−α4)(3-10)WP3．薄壁圆环截面=πD32(1−α4)2D=πD16(1−α4)(3-11)图3-5（c）为一薄壁圆环截面，内、外径分别为d及D。设其平均直径为d0，平均半径为r0，壁厚为δ。将D=2r0+δ,d=2r0−δ分别代入(3-10)式和(3-11)式，略去壁厚δ的二次方项后，得到I≈2πr3δ(3−12)W≈2πr2δ(3−13)例3-1一直径为50mm的传动轴如图3-6（a）所示。每分钟为300转的电动机通过A轮输入100kＷ的功率，由B，C和D轮分别输出45kＷ、25kＷ和30kＷ以带动其它部件。要求：(1)画轴的扭矩图，(2)求轴的最大应力。图3-6例3-1图解(1)作用在轮上的力偶矩可由(3-１)式计算得到，分别为45TB=9.5530025=1.43kN⋅mTC=9.5530030=0.80kN⋅m扭矩图如图3-6（b）所示。TD=9.55300=0.96kN⋅m(2)由扭矩图可知，最大扭矩发生在AC段内，｜Mx｜max=1.75kN·m。因为传动轴为等截面，故最大切应力发生在AC段内各横截面周边上各点处，其值由(3-９)式和(3-７)式计算得到W=πd=3.14×(50)×10−9m3=24.5×10−6m3Pτmax=16Mxmax16=1.75×10N⋅m=71.4×106N/m2=71.4MPa−3WP24.5×10m例3-2直径d=100mm的实心圆轴，两端受力偶矩T=10kN·m作用而扭转，求横截33W2333W面上的最大切应力。若改用内、外直径比值为0.5的空心圆轴，且横截面面积和以上实心轴横截面面积相等，问最大切应力是多少?解圆轴各横截面上的扭矩均为Mx=T=10kN·m。(1)实心圆截面由(3-９)式和(3-７)式，得W=πd=3.14×(100)×10−9m3=1.96×10−4m3P16τ=Mxmax1610×103=N⋅m=51.0×106N/m2=51.0MPamaxP(2)空心圆截面1.96×10−4m3由面积相等的条件，可求得空心圆截面的内、外直径。令内直径为d1，外直径为D，α=d1/D=0.5，则有1πd2=πD(1−α2)4由此求得4D=115mm,d1=57.7mmW=πD(1−α4)=3.14×(115)×10−9m3[1−(0.5)4]=2.8×10−4m3P16τ=10×1016N⋅m=35.7×106N/m2=35.7MPamax2.8×10−4m3计算结果表明，空心圆截面上的最大切应力比实心圆截面上的小。这是因为在面积相同的条件下，空心圆截面的P比实心圆截面的大。此外，扭转切应力在截面上的分布规律表明，实心圆截面中心部分的切应力很小，这部分面积上的微内力τdA离圆心近，力臂小，所以组成的扭矩也小，材料没有被充分利用。而空心圆截面的材料分布得离圆心较远，截面上各点的应力也较均匀，微内力对圆心的力臂大，在合成相同扭矩的情况下，最大切应力必然减小。三、应力互等定理从上面的分析可知，圆杆扭转时，横截面上各点处存在切应力。下面证明，在圆杆的纵截面(径向平面)上也存在着切应力，且这两个截面上的切应力有一定的关系。在图3-7(a)所示圆杆表面A点周围，沿横截面、纵截面及垂直于径向的平面截出一无限小的长方体，称为单元体(element)，设其边长为dx,dy,dz,如图3-7（b）所示。该单元体的左、右两个面属于横截面，作用有切应力τ；前面的一个面为外表面，其上没有应力，与它平行的平面，由于相距很近，也认为没有应力。从平衡的观点看，如果单元体上只有左、右两个面上有切应力，则该单元体将会转动，不能平衡，所以在上、下两个纵截面上必定存在着图示的切应力τ′。由于各面的面积很小，可认为切应力在各面上均匀分布。由平衡方程∑Mz到=0得由此可得(τdydz)dx=(τ′dxdz)dyτ=τ′（3-14）图3-7切应力互等分析(3-14)式所表示的关系称为切应力互等定理(theoremofconiugateshearingstress)。即过一点的互相垂直的两个截面上，垂直于两截面交线的切应力大小相等，并均指向或背离这一交线。切应力互等定理在应力分析中有很重要的作用。在圆杆扭转时，当已知横截面上的切应力及其分布规律后，由切应力互等定理便可知道纵截面上的切应力及其分布规律，如图3-8所示。切应力互等定理除在扭转问题中成立外，在其它的变形情况下也同样成立。但须特别指出，这一定理只适用于一点处或在一点处所取的单元体。如果边长不是无限小的长方体或一点处两个不相正交的方向上，便不能适用。切应力互等定理具有普遍性，若单元体图3-8纵截面上切应力分布的各面上还同时存在正应力时，也同样适用。§3-3圆杆扭转时的变形·扭转超静定问题一、圆杆扭转时的变形圆杆扭转时，其变形可用横截面之间的相对角位移(relativeangleoftwist)ϕ，即扭转角表示。由(3-4)式可得，相距为dx的两个横截面的相对扭转角dϕ为dϕ=MxdxGIP若杆长为l，则两端截面的相对扭转角为lMdxϕ=∫dϕ=∫x(3-15)l0GIP当杆长l之内的Mx,G,IP为常数时，则ϕ=MxlGIP(3-16)上式表明，扭转角与杆的长度l成正比，与GIP成反比。乘积GIP称为圆杆的扭转刚度(torsionalrigidity)。当Mx和l不变时，GIP越大，扭转角越小；GIP越小，扭转角越大。扭转角的单位为弧度。为消除杆长度的影响，圆杆的扭转变形也可用单位长度扭转角θ表示，显然θ=MxGIPθ的单位为弧度/米。例3-3图示钢制实心圆截面传动轴。已知：T1=0.82kN·m，T2=0.5kN·m，T3=0.32kN·m，lAB=300mm，lAC=500mm。轴的直径d=50mm，钢的切变模量G=80GPa。试求截面C相对于B的扭转角。图3-9例3-3图解AB、AC两轴段的扭矩分别Mx1=0.5kN·m，Mx2=0.32kN·m。分别计算截面B、C相对于截面A的扭转角ϕAB、ϕAC。为此，可假想截面A固定不动。由式(3-16)可得ϕ=Mx1lABABGIP和ϕ=Mx2lACACGIPπd4式中，IP=。将有关数据代入以上两式，即得32ϕAB=500N⋅m×0.3m=0.0031rad80×109Pa×π32和(5×10−2m)4ϕAC=320N⋅m×0.5m=0.0033rad80×109Pa×π32(5×10−2m)4由于假想截面A固定不动，故截面B，C对截面A的相对转动应分别与T2,T3的转向相同(见图)。由此，截面C相对于B的扭转角ϕBC为其转向与T3相同。二、扭转超静定问题ϕBC=ϕAB−ϕAB=0.0002rad杆在扭转时，如支座反力矩仅用静力平衡方程不能求出，这类问题称为扭转超静定问题。其求解方法与拉压超静定问题类似。现举例说明。图3-10超静定扭转杆件0PP图3-10所示的圆杆A、B两端固定。在C截面处作用一扭转外力偶矩T后，两固定端产生反力偶矩TA和TB。由静力学平衡方程得到TA+TB=T(a)由(a)式不能求出TA和TB的大小，所以这是一次超静定问题。为了求出TA和TB，必须考虑变形谐调条件。杆在T的作用下，C截面绕杆的轴线转动。截面C相对于A端产生扭转角ϕCA相对于B端产生扭转角ϕCB。由于A、B两端固定ϕCA，和ϕCB的数值相等，这就是变形谐调条件，由此得变形几何方程ϕCA＝ϕCB设杆的扭转刚度为GIP，由(3-16)式，得(b)MTaTaϕ=2=ACAGIGIPϕ=MT2b=TAa(c)CBGIGIP将(c)式代入(b)式后，得到补充方程为b由(a)式和(d)式，求得TA=TBa(d)TA=ba+bT,TB=aTa+b还可以用假想解除一端约束的方法求固定端支座的反力偶矩。请自行求解。§3-4扭转时材料的力学性能对低碳钢材料，可通过薄壁圆筒扭转试验，找出切应力与切应变之间的关系，并确定极限切应力。一薄壁圆筒，一端固定，在自由端受外力偶矩T作用，如图3-11（a）所示。由于筒壁很薄，故圆筒扭转后，可认为横截面上的切应力τ沿壁厚均匀分布，如图3-11（b）所示。图3-11薄壁圆筒扭转由静力学求合力的方法，可得(τ⋅2πr0⋅δ)r0=Mx=T即τ=T2πr2δ(a)圆筒扭转后，表面上的纵线转过角度γ，此即切应变，它和扭转角ϕ的几何关系γl=r0ϕ即γ=r0ϕl(b)扭转试验在扭转试验机上进行。试验时逐渐增加外力偶矩，并测得与之相应的扭转角ϕ，可画出T−ϕ曲线。再通过(a)式和(b)式，可画出τ-γ曲线。低碳钢的τ-γ曲线如图3-12所示。由图可见，在oa范围内，切应力τ与切应变γ之间成线性关系，因此得到τ=Gγ这就是§3-2中所提到的剪切虎克定律(3-２)式。a点的切应力称为剪切比例极限，用τP表示。当切应力超过τP以后，材料将发生屈服，b点的切应力称为剪切屈服极限，用τs表图3-12低碳钢τ-γ曲线示。但低碳钢的扭转试验不易测得剪切屈服极限，因为在材料屈服前，圆筒壁可能会发生皱折。对铸铁材料，则采用实心圆试件，在扭转试验机上进行破坏实验，得出T-ϕ曲线，再通过(3-7)式和与(b)式相类似的γ与ϕ的几何关系式，可画出τ-γ曲线。灰口铸铁的τ-γ曲线如图3-13所示。曲线上没有成直线的一段，故一般用割线代替，而认为剪切虎克定律近似成立。此外，铸铁扭转时没有屈服阶段，但可测得剪切强度极限τb。弹性模量E、泊松比ν和切变模量G，是材料的三个弹性常数，经试验验证和理论证明，它们之间存在如下关系：G=E2(1+ν)（3-18）图3-13灰口铸铁τ-γ曲线因此这三个常数中，只有两个是独立的。只要知道其中两个常数，便可由(3-18)式求得第三个常数。对于绝大多数各向同性材料，泊松比ν一般大于0、小于0.5，因此，G值约为E的1～21。3§3-5扭转圆杆的强度计算和刚度计算工程上的扭转杆件，为保证正常工作，除不能发生强度失效外，还应对其变形加以限制，不发生刚度失效。因此，必须进行强度计算和刚度计算。一、强度计算等直圆杆扭转时，最大切应力τmax发生在最大扭矩所在的危险截面的周边上任一点处，即危险截面的周边各点为危险点。其强度条件应为τmax不超过材料的容许切应力［τ］，即τmax=MxmaxWP≤[τ](3-19)由上式即可进行圆杆的强度计算，包括校核强度、设计截面或求容许外力偶矩。对变截面圆杆，如阶梯轴、圆锥形轴等，WP不是常量，τmax并不一定发生在Mxmax的Mx截面上，要综合考虑扭矩Mx和WP的变化，寻求τ=WP的极值。关于容许切应力［τ］，上节中已介绍了用试验的方法，可以得到塑性材料的剪切屈服7极限τs和脆性材料的剪切强度极限τb，统称为材料的极限切应力τu，将其除以安全因数，即可得到容许切应力的数值。根据大量试验，容许切应力和容许拉应力之间存在着下列关系：塑性材料：［τ］=(0.5～0.6)［σ］脆性材料：［τ］=(0.8～1.0)［σ］(3-20)因此，只要知道材料的容许拉应力，就可以确定其容许切应力。有些受扭转的圆轴，也有联接接头，对其联接件也应进行强度计算，以保证足够的强度。关于联接件的强度计算问题，可参考§2-9。二、刚度计算对扭转圆杆，通常是限制其最大单位长度扭转角不超过规定的数值。因此，由(3-17)式得到等直圆杆扭转时的刚度条件为θmax=MxmaxGIP≤[θ](3-21)式中［θ］为规定的单位长度杆扭转角，其值可在设计手册中查到。例如精密机器：［θ］=(0.15-0.3)0/m一般传动轴：［θ］=(0.5-2.0)0/m钻杆：［θ］=(2.0-4.0)0/m利用(3-21)式，即可对圆杆进行刚度计算，包括校核刚度、设计截面或求容许外力偶矩。例3-4一传动轴如图3-14a所示。设材料的容许切应力［τ］=40MPa，切变弹性模量G=8×104MPa，杆的容许单位长度扭转角［θ］=0.20/m。试求轴所需的直径。图3-14例3-4图解(1)画出扭矩图如图b所示。(2)由强度条件求直径危险截面是AB段内的各截面。由(3-19)式，得3Mxmax7×10N⋅m63由此得到WP≥[τ]=40×106Pa=0.175×10mm63d≥316WPπ=316×0.175×10mmπ=96mm(3)由刚度条件求直径由(3-21)式，得Mxmac7×103N⋅m−5474IP≥G[θ]=8×104×106Pa×0.2×π180m−1=2.51×10m=2.51×10mm由此得到d≥432WPπ=432×2.51×10π=126mmQ6结合考虑，应取d=126mm。例3-5直径D=100mm的轴，由两段联接而成；联接处加凸缘，并在D0=200mm的圆周上布置8个螺拴紧固，如图3-15所示。已知轴在扭转时的最大切应力为70MPa；螺栓的容许切应力［τ］=60MPa，试求螺拴所需直径d。图3-15例3-5图解这个螺栓群接头所受的外力，是两轴段间所传递的外力偶矩T，因而是一个仅承受力偶矩作用的螺栓群接头问题。螺栓均为单剪。设每个螺栓的受力为Fi，至螺栓群中心C的距离为ri，由力矩平衡方程，得8T=∑Firii=1D0由于8个螺栓布置在同一圆周上，各ri相等，均为2为F，从而可得，因而各螺剪切面上的剪力必相等，即T可由轴的最大切应力求得T=8FD02F=T/4DT=τmaxWP=τmaxπD316所以，每个螺栓剪切面上的剪力为τ×πD3将已知数据代入，得F=F=max4D0×16F=70×10N/m2×π×0.13m3=17.1×103NQ4×0.2m×16每个螺栓剪切面上的各义切应力(见(2-9)式)为Fτ=QAQ4FQ=πd2再由(2-10)式的剪切强度条件，可得螺栓所需直径将已知数据代入，得d=4FQ/π[τ]3d=4×17.1×10N=1,91×10−2m=19.1mmπ×60×106N/m§3-6非圆截面杆的扭转工程上常遇到一些非圆截面杆的扭转问题，杆的横截面形状有矩形、工字形、槽形等。试验表明，这些非圆截面杆扭转后，横截面不再保持为平面，而要发生翘曲(warping)。截面发生翘曲是由于杆扭转后，横截面上各点沿杆轴方向产生了不同位移造成的。由于截面翘曲，因此根据平面假设建立起来的一些圆杆扭转公式，在非圆截面杆中不再适用。非圆截面杆扭转时，若截面翘曲不受约束，例如两端自由的直杆，受一对外力偶矩扭转时，则各截面翘曲程度相同，这时杆的横截面上只有切应力而没有正应力，这种扭转称为自由扭转。若杆端存在约束或杆的各截面上扭矩不同，这时，横截面的翘曲受到限制，因而各截面上翘曲程度不同，这时杆的横截面上除有切应力外，还伴随着产生正应力，这种扭转称为约束扭转。由约束扭转产生的正应力，在实体截面杆中很小，可不予考虑；但在薄壁截面杆中，却不能忽略。本节只介绍矩形截面杆和开口薄壁截面杆的自由扭转问题。一、矩形截面杆的扭转矩形截面杆扭转时，变形情况如图3-16(a)所示。由于截面翘曲，无法用材料力学的方法分析杆的应力和变形。现在介绍由弹性力学分析所得到的一些主要结果。（1）矩形截面杆扭转时，横截面上沿截面周边、对角线及对称轴上的切应力分布情况如图3-13(b)所示。图3-16矩形截面杆扭转变形及切应力分布由图可见，横截面周边上各点处的切应力平行于周边。这个事实可由切应力互等定理及杆表面无应力的情况得到证明。如图3-16（c）所示的横截面上，在周边上任一点A处取一单元体，在单元体上若有任意方向的切应力，则必可分解成平行于周边的切应力τ和垂直于周边的切应力τ′。由切应力互等定理可知，当τ′存在时，则单元体的左侧面上必有τ″，但左侧面是杆的外表面，其上没有切应力，故τ″=0，由此可知，τ′=0，于是该点只有平行于周边的切应力τ。用同样的方法可以证明凸角处无切应力存在。由图还可看出，长边中点处的切应力是整个横截面上的最大切应力。（2）切应力和单位长度扭转角的计算公式为最大切应力：τmax=MxWT(3-22)短边中点的切应力：τ1=γτmax(3-23)单位长度杆的扭转角：34θ=MxGIT(3-24)式中WT=ab,IT=βb,h和b分别为矩形截面的长边和短边。α,β和γ的数值见表3-1。表3-1矩形截面杆自由扭转的系数α,β和γm=h/b1.01.21.52.02.53.04.06.08.010.0α0.2080.2630.3460.4930.6450.8011.1501.7892.4563.12β0.1400.1900.2940.4570.6220.7901.1231.7892.4563.12γ1.000.9300.8580.7960.7660.7530.7450.7430.7430.74h（3）对于狭长矩形截面(m=≥10)，由上表可知bα=β≈1m3于是W=mb3=1hb2T33I=mb4=1hb3(3-25)T33截面上的切应力分布规律如图3-17所示。图3-17狭长矩形截面扭转最大切应力和单位长度杆的扭转角计算公式为切应力分布τ=Mx=3Mx(3-26)maxθ=WTMx=GIThb23MxGhb3(3-27)二、开口薄壁截面杆的扭转工程中广泛采用薄壁杆件。薄壁杆件横截面的壁厚平分线称为中线。若中线是一条不闭合的线，这种杆称为开口薄壁截面杆，如图3-18(a)～(e)；若中线是一条闭合线，这种杆称为闭口薄壁截面杆，如图(f)所示。由于土建和水利工程中常用到开口薄壁截面杆，故下面仅介绍这类杆在自由扭转时的应力和变形。图3-18薄壁截面开口薄壁截面杆的横截面可看成是由若干狭长的矩形截面组成。当杆受扭转时，横截面上的总扭矩为Mx，而每个狭长矩形截面上由切应力合成的扭矩为Mxi。如果能求出Mxi，则可由(3-26)式和(3-27)式求出每个狭长矩形截面的最大切应力和单位长度杆的扭转角。由静力学的力矩合成原理可知，横截面上的总扭矩等于各狭长矩形截面上的扭矩之和，即nMx=Mx1+Mx2+L+Mxn=∑Mxii=1(a)3=G=1δ3由(a)式无法求出每个狭长矩形截面上的扭矩Mxi。为此需从几何、物理方面进行分析，建立补充方程。然后再与(a)式联立求解。由试验观察到，开口薄壁截面杆扭转后，横截面虽然翘曲，但横截面的周边形状在其变形前面上的投影保持不变。根据这一现象作出的假设称为刚周边假设。例如图3-19所示的工字形截面杆扭转后，其横截面在原平面内的投影仍为工字形。由此可知，在单位长度杆内，横截面的单位长度扭转角和各狭长矩形的单位长度扭转角θi均相同，即θ=θ1=θ2=LL=θn由(3-17)式可得(b)θ=MxGIT,θi=MxiGITi(c)设hi和δi分别为每个狭长矩形截面的长边和短边，由(a)、图3-19刚周边假设(b)、(c)三式综合推导，最后可得横截面和各狭长矩形的单位长度扭转角为θ=θiMxn∑hiδi3i=1(3-28)每个狭长矩形上的最大切应力为τmaxiMxni∑hiδi(3-29)3i=1由此可见，横截面上的最大切应力发生在厚度δi最大的狭长矩形的长边中点处。其值为τ=Mxmax1n∑hδ3δmax(3-30)iii=1例3-6图3-20为两薄壁钢管的截面。(a)图所示截面为无缝的闭口薄壁截面；（b）图所示截面有一缝，为开口薄壁截面。设它们的平均直径D0和厚度δ均相同，且δ/D0=1/10，试问在相同的外力偶矩作用下，哪种截面形式较好。图3-20例3-6图解从强度和刚度考虑，在相同的外力偶矩作用下，所产生的切应力和扭转角均较小的截面形式较好。因此，以下从这两方面进行比较。τ0(1)最大切应力①闭口薄壁截面由(3-7)式和(3-13)式，得(a)max=MxWP=2MxπD2δ(a)τ0τδ0②开口薄壁截面可将此截面展开看成是狭长矩形，长为h=πD0，宽为δ。由(3-26)式，得由(a)式和(b)式，得(b)max=3Mxhδ2(b)=3MxπDδ2(b)τmax(a)max=3D02δ=15即开口薄壁截面管的最大切应力比闭口薄壁截面管大15倍。(2)扭转角①闭口薄壁截面由(3-17)式和(3-12)式，得θ(a)=MxGIP=4MxGπD3δ(c)②开口薄壁截面由(3-27式，得由(c)式和(d)式，得θ(b)=3MxGhδ3(b)=3MxGπDδ3(d)θ=3(D0)2=75θ(a)4δ即开口薄壁截面管的单位长度扭转角为闭口薄壁截面管大75倍。从以上两方面的计算可见，闭合薄壁截面形式较好。思考题3–1横截面积相同的空心圆轴与实心圆轴，哪一个的强度、刚度较好?工程中为什么使用实心轴较多?3-2若在圆轴表面上画一小圆，试分析圆轴受扭后小圆将变成什么形状?使小圆产生如此变形的是什么应力?3-3图示组合圆轴，内部为钢，外圈为铜，内、外层之间无相对滑动。若该轴受扭后，两种材料均处于弹性范围，横截面上的切应力应如何分布?两种材料各承受多少扭矩?3-4轴线与木纹平行的木质圆杆试样进行扭转试验时，试样最先出现什么样的破坏？为什么?3-5非圆截面杆与圆截面杆受扭时，应力分布规律有何异同？是何原因？3-6图(a)所示圆杆，在外力偶矩T作用下发生扭转。现沿横截面ABE，CDF和水平纵截面ABCD思考题3-3图截出杆的一部分，如图(b)。根据切应力互等定理可知，水平截面ABCD上的切应力分布情况如图(b)所示，其上的切向分布内力τ′dA将组成一合力偶。试分析此合力偶与杆的这部分中什么合力偶相平衡。思考题3-6图习题3-1一直径d=60mm的圆杆，其两端受外力偶矩T=2kN·m的作用而发生扭转。试求横截面上1，2，3点处的切应力和最大切应变，并在此三点处画出切应力的方向。(G=80GPa)。3-2一变截面实心圆轴，受图示外力偶矩作用，求轴的最大切应力。题3-1图题3-2图3-3从直径为300mm的实心轴中镗出一个直径为150mm的通孔而成为空心轴，问最大切应力增大了百分之几?3-4一端固定、一端自由的钢圆轴，其几何尺寸及受力情况如图所示，试求：(1)轴的最大切应力。(2)两端截面的相对扭转角(G=80GPa)。题3-4图题3-5图3-5一圆轴AC如图所示。AB段为实心，直径为50mm；BC段为空心，外径为50mm，内径为35mm。要使杆的总扭转角为0.12°，试确定BC段的长度a。设G=80GPa。3-6图示实心圆轴，承受均匀分布的扭转外力偶矩作用。设轴的切变模量为G，求自由端的扭转角(用mx，l，G，d表示)。题3-6图3-7图示传动轴的转速为200转/分，从主动轮3上输入的功率是80kW，由1、2、4、5轮分别输出的功率为25、15、30和10KW。设［τ］=20Mpa(1)试按强度条件选定轴的直径。(2)若轴改用变截面，试分别定出每一段轴的直径。题3-7图3-8传动轴的转速为n=500转/分，主动轮输入功率P1=500KW，从动轮2、3分别输出4功率P2=200KW，P3=300KW。已知［τ］=70MPa，［θ］=1°/m，G=8×10(1)确定AB段的直径d1和BC段的直径d2。MPa。(2)若AB和BC两段选用同一直径，试确定直径d。题3-8图题3-9图3-9一实心圆钢杆，直径d=100mm，受外力偶矩T1和T2作用。若杆的容许切应力［τ］＝80MPa；900mm长度内的容许扭转角［ϕ］=0.014rad，求T1和T2的值。已知G=80×104MPa。3-10图(a)、(b)所示托架，受力F=40kN，铆钉直径d=20mm，铆钉为单剪，求最危险铆钉上的切应力的大小及方向。题3-10图3-11一外径为50mm，壁厚为2mm的管子，两端用刚性法兰盘与直径为25mm的实心圆轴相连接，设管子与实心轴材料相同，试问管子承担外力偶矩T的百分之几?题3-11图题3-12图3-12两端固定的阶梯圆杆AB，在C截面处受一外力偶矩T作用，试导出使两端约束力偶矩数值上相等时，a/l的表达式。3-13图示矩形截面钢杆，受T=3kN·m的力偶矩作用，材料的切变模量G=80GPa。求：(1)杆内最大切应力的大小、方向、位置。(2)单位长度杆的最大扭转角。题3-13图3-14工字形薄壁截面杆，长2m，两端受0.2kN·m的力偶矩作用。设G=80GPa，求此杆的最大切应力及杆单位长度的扭转角。题3-14图习题答案第二章返回总目录第四章弯曲是杆件的又一种基本变形。本章首先介绍平面弯曲的概念，并回顾了弯曲杆件的内力和内力图。本章的主要内容包括：梁横截面上的正应力计算公式的推导及其应用条件；矩形截面梁、工字形截面梁、圆形截面梁横截面上切应力公式的推导；梁的强度计算；非对称截面梁发生平面弯曲的条件和弯曲中心的概念；极限荷载法的有关概念；梁的挠度和转角，梁的挠曲线近似微分方程及其推导；求梁变形的积分法和叠加法；梁的刚度计算；以及简单超静定梁的求解方法。第四章平面弯曲§4-1概述一、平面弯曲的概念二、弯曲杆件内力回顾三、纯弯曲和横力弯曲§4–2梁横截面的正应力一、纯弯曲梁的正应力公式二、正应力公式的推广§4-3梁横截面的切应力一、矩形截面梁二、工字形截面梁三、圆形截面梁§4-4梁的强度计算一、梁的强度计算二、提高承载能力的措施§4–5非对称截面梁的平面弯曲·开口薄壁截面的弯曲中心一、平面弯曲时外力作用的方向二、开口薄壁截面的弯曲中心§4-6梁的极限弯矩和极限荷载法强度计算§4-7梁的挠度和转角§4-8梁的挠曲线近似微分方程§4-9积分法计算梁的变形§4-10叠加法计算梁的变形§4-11梁的刚度计算一、梁的刚度计算二、提高承载能力的措施§4-12简单超静定梁思考题习题习题答案返回总目录第四章平面弯曲§4-1概述一、平面弯曲的概念弯曲(bending)是杆件的基本变形形式之一，工程上有一类直杆以弯曲变形为主，称为梁(beam)。工程中常用的梁，大多有一个纵向对称面(各横截面的纵向对称轴所组成的平面)，当外力作用在该对称面内，由变形的对称性可知，梁的轴线将在此对称面内弯成一条平面曲线，这种弯曲称为平面弯曲(planebending)，又称为对称弯曲(symmetricbending)，这是最简单和最常见的一种弯曲。若梁不具有纵向对称面，或虽有纵向对称面但外力不作用在该面内，这种弯曲统称为非对称弯曲。在特定条件下，非对称弯曲的梁也会发生平面弯曲。二、弯曲杆件内力回顾1.剪力和弯矩由《静力学基础》已知梁横截面上的内力有剪力和弯矩两种，其计算方法仍是截面法。并给出了剪力和弯矩的符号规则。2.剪力图与弯矩图一般情况下，梁的不同横截面上，剪力和弯矩是不同的。通常用剪力方程和弯矩方程描述剪力和弯矩沿梁轴线的变化规律，即FQ=FQ(x),M=M(x)描述剪力和弯矩沿梁轴线变化规律的图象称为剪力图(shearingforcediagram)和弯矩图(bendingmomentdiagram)。作剪力图和弯矩图的方法有：(1)根据内力方程作图其基本要点是先按控制截面(如支座处、集中荷载作用处、集中力偶作用处、以及分布荷载集度变化处的截面)将梁进行分段，再逐段列出梁的内力方程，逐段据内力方程作出相应的图象，即可得剪力图和弯矩图。(2)根据分布荷载集度与剪力、弯矩之间的微分关系作图分布荷载集度与剪力、弯矩之间的微分关系是指以下三式：dFQ(x)dx=q(x)dM(x)dx=FQ(x)d2M(x)dx2=q(x)利用微分关系和导数的几何意义，就可由已知荷载集度推断剪力图、弯矩图的大致形状，再结合控制截面的剪力值和弯矩值的计算，就可作出剪力图和弯矩图。(3)用叠加法作图计算梁的内力时，因为梁为小变形且处于线弹性范围，在这种情况下，内力和荷载成线性关系。因而作内力图可以应用叠加原理，即在多个荷载作用下梁的内力图，等于各个荷载单独作用所引起的内力图的叠加。三、纯弯曲和横力弯曲若梁或一梁段内各横截面上的剪力为零，弯矩为常量，则该梁或该梁段的弯曲称为纯弯曲(purebending)。例如图4-1所示的梁，由其剪力图和弯矩图可知，梁段CD为纯弯曲。因为正应力只与弯矩有关，所以可以由纯弯曲情况分析梁横截面上的正应力。若梁横截面上既有弯矩又有剪力，该梁的弯曲称为横力弯曲(bendingbytransverseforce)或剪切弯曲。§4–2梁横截面的正应力一、纯弯曲梁的正应力公式图4-1梁的纯弯曲首先从梁具有纵向对称面、且外力均作用在此对称面内而发生纯弯曲这一种特殊情况，来研究梁横截面上的正应力。与杆受轴向拉压和圆轴扭转时分析横截面上应力的方法相同，分析梁横截面上的正应力也需要从变形几何关系、物理关系和静力学关系三个方面综合考虑。1.变形几何关系首先观察纯弯曲梁的变形现象。取横截面形状为任意、但有一个纵向对称面的直梁，在其表面画许多横线和纵线如图4-2(a)所示。当梁产生纯弯曲后，可观察到(参见图(b))：横线在变形后仍为直线，但旋转了一个角度，并与弯曲后的纵线正交；梁上部的纵线缩短，下部的纵线伸长；梁上部的横向尺寸略有增加，下部的横向尺寸略有减小。根据上述变形现象，可作出如下假设：图4-2纯弯曲梁的变形现象平面假设横截面在变形后仍为平面，并和弯曲后的纵向层正交。单向受力假设假设梁由纵向线组成，各纵向线之间互不挤压，即每一纵向线受单向拉伸或单向压缩。根据平面假设，图4-2(a)中梁的上部纵向线缩短，下部纵向线伸长，由变形的连续性，可推知在梁的中间，必有一层纵向线既不伸长，也不缩短的纵向层。这一层称为中性层(neutralsurface)。中性层与横截面的交线称为中性轴(neutralaxis)，如图4-２(c)所示。由以上假设，可进一步找出纵向线应变的变化规律。取长为dx的一微段梁，如图4-3(a)所示。其横截面如图(b)所示。取y轴为横截面的纵向对称轴，z轴为中性轴，中性轴的位置暂时还不知道。微段梁变形后如图(c)所示。现研究距中性层为y处的纵向层中任一纵线ab(图（a）)的变形。设图(c)中的dθ为1-1和2-2截面的相对转角，ρ为中性层的曲率半径(radiusofcurvature)。由于∩和OO长度相同，即ab=∩=O′O′=ρdθ。微段变O1O212O1O212∩∩形后，ab弯成a′b′，a′b′=((ρ+y)dθ)，从而ab的线应变为=∩∩ε=a′b′−O1O2(ρ+y)dθ−ρdθ=y(a)O1O2对同一横截面，ρ是常量，故(a)式表明，横截面上任一点处的纵向线应变与该点到中性轴的距离y成正比。2.物理关系因假设每根纵向线受单向拉伸或压缩，利用胡克定律(2-4)式，并将(a)式代入后，得到ρdθρσ=Eε=Eyρ（b）由(b)式可见，横截面上各点处的正应图4-３微段梁及其变形力与y成正比，而与z无关，即正应力沿高度方向呈线性分布，沿宽度方向均匀分布。为了清晰地表示横截面上的正应力分布状况，对横截面为矩形的梁，画出横截面上的正应力分布如图4-4(a)所示。通常可简单地用图(b)或(c)表示。但是，由(b)式还不能计算出正应力，因曲率半径ρ和中性轴的位置尚未知，还必须应用静力学关系。3.静力学关系图4-4梁横截面正应力分布横截面上各点处的法向微内力σdA组成空间平行力系，如图4-5所示。它们合成为横截面上的内力。因为横截面上只有对z轴的力矩即弯矩，没有轴力，也没有对y轴的力矩，故根据静力学中力的合成原理可得(1)FN=∫AσdA=0(c)E将(b)式代入上式，并注意到对横截面积分时ρ=常量，得∫AydA=0上式表示横截面对中性轴（即z轴）的面积矩等于零。因此，中性轴必定通过横截面的形心，从而确定了中性轴的位置。(2)My=∫AzσdA=0(d)将(b)式代入上式得图4-5横截面的静力学关系Eρ∫AzσdA=0E上式中的积分即为横截面对y、z轴的惯性积Iyz。因为ρ=常量，故上式表明，当梁发生平面弯曲时，Iyz=0。这是梁发生平面弯曲的条件。对所研究的情况，因为y轴为对称轴，故这一条件自然满足。但对于横截面没有对称轴的梁，外力怎样作用才发生平面弯曲的问题，将在§4-4中研究。(3)将(b)式代入上式，得Mz=∫AyσdA=M(e)E2ρ∫AydA=M上式中的积分即为横截面对中性轴z的惯性矩。故上式可写为1=MρEIz(4-1)(4-1)式表明，梁弯曲变形后，其中性层的曲率与弯矩M成正比，与EIz成反比。EIz称为梁的弯曲刚度(flexuralrigidity)。如梁的弯曲刚度越大，则其曲率越小，即梁的弯曲程度越小；反之，梁的弯曲刚度越小，则其曲率越大，即梁的弯曲程度越大。(4-1)式是弯曲问题的一个基本公式。将(4-1)式代入(b)式，即得到梁的横截面上任一点处正应力的计算公式σ=MyIz(4-2)式中M是横截面上的弯矩；Iz为截面对中性轴z的惯性矩；y是所求正应力点处到中性轴z的距离。梁弯曲时，横截面被中性轴分为两个区域。在一个区域内，横截面上各点处产生拉应力，而在另一个区域内产生压应力。由(4-)2)式所计算出的某点处的正应力究竟是拉应力还是压应力，有两种方法确定：将坐标y及弯矩M的数值连同正负号一并代入(4-2)式，如果求出的应力是正，则为拉应力，如果为负则为压应力；或根据弯曲变形的形状确定，即以中性层为界，梁弯曲后，凸出边的应力为拉应力，凹入边的应力为压应力。通常按照后面这一方法确定比较方便。由(4-2)式可知，当y=ymax时，即在横截面上离中性轴最远的边缘上各点处，正应力有最大值。当中性轴为横截面的对称轴时，最大拉应力和最大压应力的数值相等。横截面上的最大正应力为σmax=MymaxIzz令Wz=Izymax(4-3)M则σmax=Wz(4-4)式中Ｗz称为弯曲截面系数（sectionmodulusofbending），其值与截面的形状和尺寸有关，也是一种截面几何性质。其量纲为L3，常用单位为m3或mm3。二、正应力公式的推广公式(4-1)、(4-2)和(4-4)是在纯弯曲情况下，根据平面假设和纵向线之间互不挤压的假设导出的，已为纯弯曲实验所证实。但当梁受横向外力作用时，一般来说，横截面上既有弯矩又有剪力。在这种情况下，由纯弯曲导出的正应力公式是否适用呢?根据实验和弹性力学的理论分析，当存在剪力时，横截面在变形后已不再是平面(详细的定性分析见§4-3)；而且由于横向外力的作用，纵线之间将互相挤压。但分析结果表明，对于跨长与横截面高度之比大于5的梁，影响很小；而工程上常用的梁，其跨高比远大于5。因此，用纯弯曲正应力公式(4-2)计算，可满足工程上的精度要求。但在横力弯曲情况下，由于各横截面的弯矩是截面位置x的函数，因此公式(4-1)、(4-2)和(4-4)应改写为1=ρ(x)M(x)EIz(4-5)σ=M(x)yIz(4-6)σmax=M(x)Wz(4-7)例4-1一简支钢梁及其所受荷载如图4-6所示。若分别采用截面面积相同的矩形截面、圆形截面和工字形截面，试求以上三种截面梁的最大拉应力。设矩形截面高为140mm，宽为100mm，面积为14×103mm2。图4-6例4-1图解该梁C截面的弯矩最大，故全梁的最大拉应力发生在该截面的最下边缘处，现计算最大拉应力的数值。(1)矩形截面由(4-3)式，得1bh3W=12=1bh2=1×0.1m×0.142m21h662=32.67×10−5m3由(4-7)式，求得最大拉应力为σmax=MmaxWz1×20×103N×6m=4=91.8×106N/m2=91.8MPa32.67×10−5m3(2)圆形截面当圆形截面的面积和矩形截面面积相同时，圆形截面的直径为d=133.5×10−3m由(4-3)式，得Wz再由(4-７)式，得1πd4=64=1d21πd3=23.36×10−5m332σmax1×20×103N×6m=4=128.4×106N/m2=128.4MPa23.36×10−5m3(3)工字形截面采用截面面积相同的工字形截面时，可由附录Ｃ的型钢表，选用50C工字钢，其截面面积为13.9×10−3m2，Wz=2080×10−6m−3。由(4-７)式，得1×20×103N×6mσmax=4=14.4×106N/m2=14.4MPa2080×10−6m3以上计算结果表明，在承受相同荷载和截面面积相同(即用料相同)的条件下，工字钢梁所产生的最大拉应力最小。反过来说，如果使三种截面的梁所产生的最大拉应力相同时，工字钢梁所能承受的荷载最大。因此，工字形截面最为经济合理，矩形截面次之，圆形截面最差。例4-2一T形截面外伸梁及其所受荷载如图4-７(a)所示(横截面的尺寸单位为mm)。试求最大拉应力及最大压应力，并画出最大拉应力截面上的正应力分布图。解(1)画弯矩图图4-７例4-２图弯矩图如图(b)所示。最大正弯矩发生在D截面，最大负弯矩发生在B截面。3333(2)确定横截面形心的位置将T形截面分为两个矩形，求出形心C的位置如图(c)所示。中性轴为通过形心C的z轴。(3)计算横截面的惯性矩Iz利用平行移轴公式(A-10)求得Iz=1×60×10-3m×(220×10−3m)3+60×10−3m×220×10−3m×(70×10−3m)2+11212×220×10−3m×(60×10−3m)3+60×10−3m×220×10−3m×(70×10−3m)2=186.6×10−6m4(4)计算最大拉应力和最大压应力虽然B截面弯矩的绝对值大于D截面弯矩，但因该梁的截面不对称于中性轴，因而横截面上、下边缘离中性轴的距离不相等，故需分别计算B、D截面的最大拉应力和最大压应力，然后进行比较。B截面的弯矩为负，故该截面上边缘各点处产生最大拉应力，下边缘各点处产生最大压应力。其值分别为σ=40×10N⋅m×100×10−3m=21.4×106N/m2=21.4MPatmax186.6×10−6m4σ=40×10N⋅m×180×10−3m=38.6×106N/m2=38.6MPacmax186.6×10−6m4D截面的弯矩为正，故该截面下边缘各点处产生最大拉应力，上边缘各点处产生最大压应力，其值分别为σ=22.5×10N⋅m×180×10−3m=21.7×106N/m2=21.7MPatmax186.6×10−6m4σ=22.5×10N⋅m×100×10−3m=12.1×106N/m2=12.1MPacmax186.6×10−6m4由计算可知，全梁最大拉应力为21.7MPa，发生在D截面的下边缘各点处；最大压应力为38.6MPa发生在B截面的下边缘各点处。D截面上的正应力分布如图（d）所示。§4-3梁横截面的切应力剪切弯曲时，梁的横截面上除弯矩外还存在剪力，因此必然存在切应力。由于梁的切应力与截面形状有关，故需分别研究。一、矩形截面梁在轴向拉压、扭转和纯弯曲问题中，求横截面上的应力时，都是首先由平面假设，得到应变的变化规律，再结合物理关系得到应力的分布规律，最后利用静力学关系得到应力公式。但是分析梁在剪切弯曲下的切应力时，无法用简单的几何关系确定与切应力对应的切应变的N1∫A∫AIAz变化规律。为了简化分析，对于狭长矩形截面梁的切应力，可首先作出以下两个假设。(1)横截面上各点处的切应力平行于侧边。因为根据切应力互等定理，横截面两侧边上的切应力必平行于侧边。(2)切应力沿横截面宽度方向均匀分布。图4-8画出了横截面上切应力沿宽度方向均匀分布的情况。宽高比愈小的横截面，上述两个假设愈接近实际情况。根据上述假设，仍然无法求得切应力沿横截面高度的变化情况以及各点处切应力的大小。但由切应力互等定理可知，如果横截面上某一高度处有竖向的切应力时，则在同一高度处，梁的水平面上靠近横截面处必有与之大小相等的切应力τ′，如图4-8所示。如果知道了τ′的大小，就可知图4-8矩形截面梁横截面道τ的大小。上的切应力在如图4-9(a)所示的梁上，假想沿m-m和n-n取出长为dx的一段梁，并设m-m截面上的弯矩为M，n-n截面上的弯矩为M+dM，如图4-9(b)所示。为了求出距中性轴z为y处水平面上的剪应力τ′，假想沿水平面再将梁截开，取abmncedf这一部分进行分析，如图4-９(c)、(d)所示。由于amdc和bnfe两截面上高度相同的点处的正应力不同，故该两截面上的由法向微内力合成的内力FN1和FN2不相等，且FN2＞FN1。但图4-９微段梁受力分析图4-９微段梁受力分析该部分处于平衡状态，故abec截面上必存在切应力τ′。设其合力为dF，指向左方。由平衡方程得到FN2−FN1=dF(a)FN1是amdc面上法向微内力σdA的合力，现设距中性轴z为y′处的法向微内力为σ′dA，则F=∗σ′dA=∗Mzy′dA=MIz∫A∗y′dA式中A∗表示amdc的面积；积分∫∗y′dA表示该面积对中性轴z的面积矩，用S∗表示。因IzIzzzzz22此，上式可写为同理可得FN1FN2=MS∗z=M+dMS∗z(b)(c)在面积abec上，因dx为微量，可认为沿dx方向各点处τ′相等。又根据假设(2)，沿横截面宽度方向各点处τ′也相等。因此该截面上τ′均匀分布，故dF=τ′bdx将(b)、(c)、(d)式代入(a)式，得到(d)dMS∗τ′=zdxIzbdM引用微分关系式dx=FQ和切应力互等定理τ=τ′，最后得到FS∗τ=QzIzb（4-8）(4-８)式即为计算矩形截面上各点处切应力的公式。式中FQ为横截面上的剪力，Iz为整个横截面对中性轴z的惯性矩，b为横截面的宽度，S∗为图4-９(d)中阴影面积对中性轴z的面积矩。由(4-８)式可见，横截面上的切应力与S∗成正比，而S∗是y的函数，由此可确定切应力沿横截面高度的分布规律。图4-10(a)是一矩形截面，阴影部分对中性轴z的面积矩为S∗=b(h−y)1(h+y)=b(h−y2)图4-10矩形截面梁横截面切应力分布22224矩形截面的惯性矩为Iz为=1bh3，故由(4-８)式，得到距中性轴z为y的各点处的切应力12τ=6FQ(h−y2)bh34上式表明，矩形截面梁的横截面上，切应力沿横截面高度按二次抛物线规律变化。当y=±h/2时τ=03FQ当y=0时，τ=τmax=(4-９)2bhzz(4-９)式表明，矩形截面中性轴上各点处的切应力最大，其值等于横截面上平均切应力的1.5倍。横截面上切应力沿高度的分布如图4-10(b)所示。关于梁横截面上切应力的正负号规定，与横截面上剪力的正负号规定是一致的，且这一正负号规定对材料力学其它问题中的切应力，如扭转杆件的切应力等，也同样适用。在§4-2中曾指出，当梁的横截面上有剪力存在时，平面假设已不再成立，现简要加以分析。图4-11(a)示一悬臂梁在自由端受集中荷载作用。如不考虑剪力的影响，梁弯曲后，任一横截面m-m将转过一角度，但仍为平面。实际上，梁内各点存在切应力，相应地要产生切应变γ。若在截面m-m上取一系列单元体，则由切应力分布规律可知，在梁的上、下边缘，因τ=0，故γ=0；在中性轴上的切应力最大，故γ也最大。因此，截面m-m将变成图4-11梁横截面翘曲m′-m′，即横截面不再是平面而要发生翘曲，如图4-11(b)所示。如各截面剪力相同，则各截面的翘曲程度相同，因而纵向线的线应变不会受到影响(固定端附近除外)。因此，由纯弯曲得到的正应力公式仍可应用。但当梁上受有分布荷载时，由于各截面剪力不同，各截面翘曲程度不同，这时纵向线的线应变要受到影响，严格说来，正应力公式已不再适用。但对跨高比大于5的梁，这种影响很小，可忽略不计。二、工字形截面梁图4-12(a)示一工字形截面，它可看作由三块矩形组成。上、下两块称为翼缘，中间一块称为腹板。现研究工字形截面上的切应力。（1）腹板一狭长矩形，用与上节相同的分析方法，可导出切应力公式为FS∗τ=QzIzd(4-10)式中d为腹板宽度I为整个工字形截面对中性轴z的惯性矩，S∗为图4-12(a)和(c)中阴影图4-12工字形截面梁横截面的切应力zz面积对中性轴z的面积矩。计算时S∗，可将阴影面积分为翼缘和腹板两部分，分别计算S∗zz后相加。将求得的S∗代入(4-10)，得到222τ=FQ[b(h−h1)+d(h1−y2)]2Izd444由此可见，切应力沿腹板高度按二次抛物线规律变化，如图4-12(b)所示。最大切应力发生在中性轴上各点处。但在腹板顶、底，即与翼缘交界各点处，切应力并不为零。对于工字形型钢，计算最大切应力时，可直接利用附录Ｃ的型钢表中给出的Iz/S计算。这里的S∗为中性轴任一边的半个截面面积对中性轴的面积矩，即最大面积矩S。zzmax（2）翼缘根据计算，腹板上切应力所组成的剪力占横截面上总剪力的95%左右，通常近似地认为腹板上的剪力FQ′≈FQ。因而翼缘上的竖向切应力很小，可不必计算。实际上，翼缘宽度很大，对矩形截面梁的切应力所作的两个假设在此不适用，所以也不能用(4-8)式计算竖直切应力。但是，在翼缘上存在着水平切应力τ1，现分析如下。取长为dx的一段工字形截面梁，如图4-13(a)所示。假设左边截面上有正的剪力FQ和正的弯矩M，右边截面上有正的剪力FQ和正的弯矩M+dM。在翼缘上，可认为水平切应力τ1平行于水平边界并沿厚度均匀分布。为了证明水平切应力τ1的存在并导出τ1的计算公式，假想在下翼缘上截出一段A，如图4-13(b)所示。图中u为从翼缘端部量起的距离。该段的左面和右面，分别有法向内力FN1′及FN2′，且FN2′＞FN1′。由平衡条件可知，在截开的截面上(后面)，必定存在着切应力τ1′，其合力为dF，并且指向左方。由切应力互等定图4-13工字形截面梁横截面切应力分布1I（4-zFII∗II2理可知，该段的翼缘截面上有指向后方的水平切应力τ1存在。由该段平衡方程得到FN′2−FN′1=dFF′=∫∗σ′dA=M∫∗y′dA=MS∗N1AAzzz式中F′=∫∗σ′′dA=M+dM∫y′dA=M+dMS∗N2AAzzzdF=τ1′δdx因为τ1′=τ1，故由此得到翼缘截面上水平切应力的计算公式FS∗τ=Qzzδ这一公式和(4-8)式的形式相同，但该式中的S∗∗为面积δ×u对中性轴的面积矩，即1Sz=δ×u×将(h−δ)2Sz代入(4-11)式后可看出，水平切应力τ1与u成线性关系。用同样的方法可对上翼缘的B段进行分析。分析表明，该段翼缘上的水平切应力τ1指向后方，其大小仍按(4-11)式计算。对翼缘的其它部分，可用同样方法分析。整个工字形截面上的切应力形成所谓“切应力流”，如图4-11(d)所示。图中同时画出翼缘上水平切应力τ1的分布情况。对工字形截面梁横截面上的切应力所作的分析和计算，同样适用于T形、槽形和箱形等截面梁。三、圆形截面梁由切应力互等定理可知，圆形截面周边上各点处的切应力方向必与周边相切。因此，当剪力FQ与对称轴y重合时，任一弦线两端点处的切应力延长线必相交于一点A，弦线中点处的切应力也通过A点。由此可假设弦线上各点处的切应力延长线均通过A点，如图4-14所示。此外，假设弦线上各点处切应力的竖直分量相等。这样，就可用矩形截面梁的切应力公式(4-8)计算各点处切应力的竖直分量。最大切应力仍产生在中性轴上各点处，方向与y轴平行。将半个圆截面面积对中性轴的面积矩代入(4-8)式后得到τmax=∗QzmaxF⋅πdQ8=⋅2d3π=4FQ(4-12)Izbπd4⋅d3A64F3式中A为圆截面的面积。图4-14圆形截面梁横截面切应力分布图4-15例4-3图例4-3图4-1５(a)所示T形截面与例4-2相同。如截面上的剪力FQ=50kN，与y轴重合，试画出腹板上的切应力分布图，并求腹板上的最大切应力。解T形截面腹板上的切应力方向与剪力FQ的方向相同，其大小沿腹板高度按二次抛物线规律变化。腹板截面下边缘各点处τ=0；中性轴z上各点处的切应力最大，可由(4-10)式求得τ=τ∗=Qzmax50×103N×180×60×90×10−9m3maxIzb186.6×10−6m4×60×10−3m=4.34×106N/m2=4.34MPa腹板与翼缘交界处各点的切应力仍由(4-10)式求得τ=50×10N×220×60×70×10−9m3=4.13×106N/m2=4.13MPa186.6×10−6m4×60×10−3m腹板上的切应力分布如图4-15(b)所示。§4-4梁的强度计算一、梁的强度计算一般来说，梁的横截面上同时存在弯矩和剪力两种内力，因此也同时有正应力和切应力。对等直梁，最大弯矩截面是危险截面，其顶、底处各点为正应力危险点，最大工作正应力由式(4-7)计算；而最大剪力截面也是危险截面，对常见截面，其中性轴各点处为切应力危险点，最大工作切应力由式(4-8)计算。因此，等直梁的正应力强度条件为σmax=MmaxWz≤[σ](4-13)式中Mmax为梁的最大弯矩。［σ］是弯曲容许正应力，作为近似处理，可取材料在轴向拉SQmaxz3−3伸时的容许正应力作为弯曲容许正应力。但实际上，材料在弯曲时的强度，略高于轴向拉伸时的强度，所以有些手册上所规定的弯曲容许正应力，略高于轴向拉伸时的容许正应力。必须指出，若材料的容许拉应力等于容许压应力，而中性轴又是截面的对称轴，这时只需对绝对值最大的正应力作强度计算；若材料的容许拉应力和容许压应力不相等，则需分别对最大拉应力和最大压应力作强度计算。利用(4-13)式，可对梁作强度计算：校核强度、设计截面和求容许荷载。而等直梁的切应力强度条件为τmax=FQmax∗zmax≤[τ](4-14)Izb式中F为梁的最大剪力。S∗为截面中性轴以上(或以下)面积对中性轴的面积矩。［τ］为容许切应力。一般说来，在梁的设计中，正应力强度计算起控制作用，不必校核切应力强度。但在下列情况下，需要校核切应力强度：(1)梁的最大弯矩较小而最大剪力较大时，例如集中荷载作用在靠近支座处的情况；(2)焊接或铆接的组合截面(如工字形)钢梁，当腹板的厚度与梁高之比小于工字形等型钢截面的相应比值时；(3)木梁，由于木材顺纹方向抗剪强度较低，故需校核其顺纹方向的切应力强度。例4-4图4-16示一简支木梁及其所受荷载。设材料的容许正应力［σt］=［σc］=10MPa，容许切应力［τ］=2MPa，梁的截面为矩形，宽度b=80mm，求所需的截面高度。图4-16例4-4图解先由正应力强度条件确定截面高度，再校核切应力强度。(1)正应力强度计算该梁的最大弯矩为M=1ql2=1×10kN/m×22=5kN⋅m由(4-13)式，得max88W≥Mmax=5×10N⋅m=5×10−4m3对于矩形截面z[σ]10×106PaW=1bh2=1(0.08m)h2由此得到z66h≥6×5×10m=0.194m=194mm可取h=200mm0.08m(2)切应力强度校核该梁的最大剪力为F=1ql=1×10kN/m×2m=10kNQmax22由矩形截面梁的最大切应力公式(4-９)，得τ=3FQmax=3×10×103N=0.94×106N/m2=0.94MPa<[τ]max2bh20.08m×0.2m可见由正应力强度条件所确定的截面尺寸能满足切应力强度要求。例4-5图4-17（a）示一外伸梁及其所受荷载。截面形状如图(c)所示。若材料为铸铁，容许应力为［σt］=35MPa、［σc］=150MPa，试求F的容许值。图4—17例4-5图解(1)确定截面的形心位置和惯性矩由(A-5)式求得截面的形心位置后，即可定出中性轴z，如图(c)所示。利用平行移轴公式(A-10)，求得惯性矩为I=(1z12×120mm×203mm3+20mm×120mm×352mm2)+2×(112×10mm×1203mm3+10mm×120mm×352mm2)=884×104mm4(2)判断危险截面和危险点由弯矩图(图(b))可见，A，B截面的最大负弯矩相等，数值上小于C截面的最大正弯矩，似乎只有C截面为危险截面。但因中性轴不是截面的对称轴，最大拉应力的点和最大压应力的点至中性轴的距离不等。因此，全梁的最大拉应力和最大压应力不一定都发生在最大弯矩的截面上，即A、B和C三个截面都可能是危险截面，这些截面上最大应力的点都可能是危险点。须分别计算，以求得F的容许值。(3)求F的容许值C截面的下边缘各点处产生最大拉应力，上边缘各点处产生最大压应力。MyF−3m由σ=c2=0.75×45×10≤35×106PaImaxz884×104×10−12m4FSIII求得F≤9.17kNMyF−3由σ=c1=0.75×95×10m≤150×106Pacmaxz884×104×10−12m4求得F≤18.61kNA、B截面的上边缘各点处产生最大拉应力，下边缘各点处产生最大压应力。由σ=MBy1=0.25×95×10−3m≤35×106Patmaxz884×104×10−12m4求得F≤13.03kN由σ=MBy2=0.25×45×10−3m≤150×106Pacmaxz884×104×10−12m4求得F≤117.87kN比较所得结果，该梁所受F的容许值为[F]=9.17kN例4-6图4-18所示矩形截面悬臂梁，由三块木板胶合而成，梁上受均布荷载q=3kN/m作用。设木板的容许正应力［σ］=10MPa，容许切应力［τ］=1MPa；胶层的容许切应力［τ］胶=0.4MPa。试校核胶层是否有脱开的危险，并校核梁的正应力强度和切应力强度。解(1)校核胶层强度胶层中存在水平切应力，它等于同一层处横截面上的切应力。因此，需要计算横截面上胶层处的切应力。因胶合面对称于梁截面的中性轴，故只需校核任一胶层的强度。固定端截面的剪力最大，其值为FQmax=1.5q=1.5m×3kN/m=4.5kN由(4-8)式，该截面上胶层处的切应力为图4-18例4-6图∗τ=Qmaxz4.5×103N×(0.1m×0.05m×0.05m)=Izb1×0.1m×0.153m3×0.1m12=0.4×106N/m2=0.4MPa它等于该处胶层中的水平切应力。这一数值等于胶层的容许切应力。故胶层不会脱开。(2)校核梁的正应力强度梁的最大弯矩发生在固定端截面，其值为M=1ql2=1×3kN/m×1.52m2=3.38kN⋅mmax2232由(4-４)式，梁的最大正应力为σmax=Mmax=3.38×103N⋅m=9.01×106N/m2=9.01MPa<[σ]Wz1×0.1m×0.152m26可见满足梁的正应力强度要求。(3)校核梁的切应力强度梁的最大切应力发生在固定端截面中性轴上各点处，其值为τ=3FQmax=3×4.5×103N=0.45×106N/m2=0.45MPa<[τ]max2bh2×0.1m×0.15m可见满足梁的切应力强度要求。二、提高承载能力的措施杆件的强度计算，除了必须满足强度要求外，还应考虑如何充分利用材料，使设计更为合理。即在一定的外力作用下，怎样能使杆件的用料最少(几何尺寸最小)，或者说，在一定的用料情况下，如何提高杆件的承载能力。对于梁，可以采用多种措施提高其承载能力。现介绍一些从强度方面考虑的主要措施。1.选择合理的截面形式由(4-13)式，得Mmax≤W[σ]可见梁所能承受的最大弯矩与弯曲截面系数成正比。所以在截面面积相同的情况下，W越大的截面形式越是合理。例如矩形截面，W=1bh2，在面积相同的条件下，增加高度可以6增加W的数值。但梁的高宽比也不能太大，否则梁受力后会发生侧向失稳。对各种不同形状的截面，可用W/A的值来比较它们的合理性。现比较圆形、矩形和工字形三种截面。为了便于比较，设三种截面的高度均为h。对圆形截面，W=πd/πd=0.125h；对矩形截面，W=1bh2/bh=0.167h；对工字钢，A324A6W=(0.27～0.34)h。由此可见，矩形截面比圆形截面合理，工字形截面比矩形截面合理。A从梁的横截面上正应力沿梁高的分布看，因为离中性轴越远的点处，正应力越大，在中性轴附近的点处，正应力很小。所以为了充分利用材料，应尽可能将材料移置到离中性轴较远的地方。上述三种截面中，工字形截面最好，圆形截面最差，道理就在于此。在选择截面形式时，还要考虑材料的性能。例如由塑性材料制成的梁，因拉伸和压缩的容许应力相同，宜采用中性轴为对称轴的截面。由脆性材料制成的梁，因容许拉应力远小于容许压应力，宜采用T字形或π字形等中性轴为非对称轴的截面，并使最大拉应力发生在离中性轴较近的边缘上。2.采用变截面梁梁的截面尺寸一般是按最大弯矩设计并做成等截面。但是，等截面梁并不经济，因为在其它弯矩较小处，不需要这样大的截面。因此，为了节约材料和减轻重量，可采用变截面梁。最合理的变截面梁是等强度梁(constantstrengthbeam)。所谓等强度梁，就是每个截面上的最大正应力都达到材料的容许应力的梁。例如图4-19（a）所示的简支梁，现按等强度梁进行设计。设截面为矩形，并且高度h=常数，求宽度b(x)的变化规律。由强度条件σ=M(x)≤[σ]maxW(x)M(x)=1F⋅x式中2W(x)=1b(x)h26得到b(x)=3Fx[σ]h2即截面的宽度b(x)与x成正比，如图4-19(b)所示。此外，还应由切应力强度条件设计梁的最小宽度bmin。由切应力强度条件3τmax=F/2≤[τ]2hbmin得到bmin≥3F4h[τ]截面宽度的变化规律如图4-19(c)所示。图4-19等强度梁若将图4-19(c)所示的梁，在虚线处切开成若干狭条，再将它们叠合在一起，就成为叠板弹簧梁，如图4-20所示。这种叠板弹簧梁在工程上经常使用。例如在汽车底座下放置这种梁，可以减小汽车的振动。如设图4-19（a）中简支梁的宽度b=常数，用同样的方法可以求得梁高h(x)的表达式为h(x)=3Fxb[σ]而hmin=3F4b[τ]截面高度沿梁长变化的形状如图4-21（a）所示。有些吊车梁采用图4-21(b)所示的鱼腹梁，就是根据等强度梁的概念设计的。图4-20叠板弹簧梁图4-21鱼腹梁但是，这种等宽度、变高度的等强度梁不便于施工，所以工程上多使用截面逐段变化的变截面梁。例如图6-22（a）中的简支梁，主体为工字钢。在梁的中间部分，弯矩较大，可以在工字钢上加一至二块盖板，各段截面如图6-22(b)所示；机器中的传动轴，往往采用图6-23的阶梯形圆轴。图4-22变截面梁图4-23阶梯形圆轴3.改善梁的受力状况图4-24（a）所示的简支梁，受均布荷载作用时，各截面均产生正弯矩，最大弯矩为M=1ql2max8如将两端支座分别向内移动0.2l，如图4-24(b)，则最大弯矩为M=1ql2max40仅为原来的1/5，故截面的尺寸可以减小很多。最合理的情况是调整支座位置，使最大正弯矩和最大负弯矩的数值相等。图4-25（a）示一简支梁AB，在跨中受一集中荷载作用。若加一辅助梁CD，如图(b)所示，则简支梁的最大弯矩减小一半。图4-24不同支座位置的简支梁图4-25加辅梁的简支梁II§4–5非对称截面梁的平面弯曲·开口薄壁截面的弯曲中心以上研究的梁，具有一个纵向对称面，当外力作用在此面内，梁产生平面弯曲。如果梁没有纵向对称面，外力怎样作用才能使梁产生平面弯曲，这便是本节所研究的问题。一、平面弯曲时外力作用的方向设梁的横截面为非对称形状，如图4-26所示。现取一对过形心的正交轴y和z，研究梁发生平面弯曲时，y和z轴应满足什么条件。实验表明，对于非对称截面纯弯曲梁，仍可采用平面假设。设z轴为中性轴，假定横截My面上任一点的正应力公式仍可用σ=Iz系得计算，则由静力学关(1)FN=∫AσdA=M∫AσdA=0z可见中性轴仍需通过横截面的形心。M(2)My=∫AσzdA=∫AyzdA=0z图4-26非对称截面只有当梁受到平行于y轴的外力作用时，外力对y轴的矩方为零，从而横截面上的微内力σdA组成对y轴的矩My也应为零。如果y，z轴为形心主轴，则横截面对该两轴的惯性积为零，即Iyz=∫AyzdA=0，因此My=0。这表明，横截面上只存在Mz，即弯矩M。由以上分析可知，非对称截面梁发生平面弯曲时，外力作用的平面必须平行于形心主惯性平面(即各截面形心主轴所组成的平面)，此时，梁的轴线在形心主惯性平面内弯成一条平面曲线。横截面上的另一根形心主轴即为中性轴。横截面上的应力仍按(4-2)和(4-６)式计算。二、开口薄壁截面的弯曲中心以上的分析只解决了梁发生平面弯曲时的外力作用方向。当梁为纯弯曲时，横截面上只有正应力，没有切应力，所以外力作用在任一平行于形心主惯性平面的平面内时，梁只发生平面弯曲。但对于剪切弯曲，由于截面上除有正应力外，还有切应力。在这种情况下，只有当横向外力作用在平行于形心主惯性平面的某一特定平面内，梁才只产生平面弯曲。否则，梁还会扭转。下面对开口薄壁截面梁进行分析。图4-27(a)示一槽形截面梁，无纵向对称面。根据实验，若外力F作用在形心主惯性平面(xcy平面)内，则梁除弯曲外，还会扭转。若外力作用在距形心主惯性平面为e的平行平面内时，则梁只产生平面弯曲(图4-18(b))。现分析为什么会出现这一现象。0图4-27槽形截面梁的平面弯曲假想将图4-27(a)的悬臂梁在任意横截面处截开，取前面一段梁研究，并如图4-28(a)放置。采用上节分析工字形截面梁切应力的方法，可以确定槽形截面的腹板上和翼缘上的切应力方向，它们形成切应力流。切应力的分布如图4-28(b)所示。腹板上的切应力用(4-10)式计算，翼缘上的水平切应力用(4-11)计算。腹板上的切应力合成的剪力近似等于截面上的总剪力FQ。上、下翼缘的水平切应力分别合成水平剪力FH，如图4-28(c)所示。现将FQ和FH合成为大小等于FQ且与之平行的合力，设合力作用在距B点为e′的位置。由静力学方法，对B点取矩后得到FQ⋅e′=FH⋅h′式中2′2FδF=∫b′τδdu=∫b′QuhFh′b′δdu=QH012Izδ4Izδ为翼缘厚度。由此可得22e′=h′b′δ4Iz合力FQ的位置如图4-28(d)所示，同时在图4-28(a)中画出。由图4-28(a)看到，该段梁在外力F和剪力FQ的作用下，除弯曲外，还要扭转。为了使梁只发生平面弯曲而不发生扭转，可以将外力F向右平移一段距离e=a+e′，使外力F图4-28槽形截面梁横截面切应力分布和剪力FQ在同一平面内，且平行于梁的形心主惯性平面。如果外力F作用在水平形心主惯性平面(xoz平面)内，则因z轴为对称轴，横截面上的剪力FQ与z轴重合，这时梁只产生平面弯曲。当梁在两个正交的形心主惯性平面内分别产生平面弯曲时，横截面上产生的相应两个剪力作用线的交点称为弯曲中心(或剪切中心)(shearcenter)。图4-28(d)中的A点，就是槽形截面的弯曲中心。综合以上分析，可得出如下结论：当外力的作用线平行于形心主轴并通过横截面的弯曲中心时，梁只产生平面弯曲。这就是梁产生平面弯曲的一般条件。如横截面有两根对称轴，则两根对称轴的交点即为弯曲中心，即弯曲中心和截面的形心重合；如横截面只有一根对称轴，则弯曲中心必在此对称轴上。上述槽形截面即属于这种情况。常用开口薄壁截面弯曲中心A的大致位置如图4-29所示。图中y，z轴为截面的形心主轴。图4-29开口薄壁截面弯曲中心开口薄壁截面杆在工程中广泛使用，在扭转时会产生很大的扭转切应力和扭转角(见例3-4)。因此，在用作受弯杆件时，要尽量使外力通过横截面的弯曲中心。§4-6梁的极限弯矩和极限荷载法强度计算§4-4所讨论的梁的强度计算，是按容许应力法进行的，这个方法的基本出发点是当杆件危险点处的最大工作应力(σmax或τmax)达到了材料的极限应力，就认为材料已发生强度破坏，梁也就失去了承载能力。但是，对于塑性材料制成的梁，工程上又采用了另一种强度计算方法，即“极限荷载法”。这种方法是以杆件或杆系破坏时的荷载为依据建立强度条件，并进行强度计算。塑性材料杆件的破坏过程，与材料的力学性质有关。对于具有明显屈服、且屈服阶段又比较长的材料，如低碳钢，工程上常采用如图4-30所示的简化σ-ε曲线。按照简化曲线，当正应力不超过屈服极限时，材料是完全弹性的，服从胡克定律；且拉伸和压缩时的弹性模量相同，屈服极限数值也相同。在材料屈服之后，应力不再继续增大，维持在σs的水平；但应变却将无限增大。如在屈服后某一点B卸载，则应力将沿着与OA平行的直线BC返回，亦即卸载时材料仍服从胡克定律。这时的OC段为塑性应变。图4-30理想弹塑性模型具有如图4-30所示的力学特性的材料，称为理想弹塑性材料(idealelastic-plasticmaterials)，它只是一种材料的简化“模型”。材料的理想弹塑性模型与实际材料的主要不同之处是忽略了材料的强化特性，这样就使材料具有一定的强度储备，因而是偏于安全的。塑性材料的矩形截面梁弯曲时，当横截面的上、下边缘处的正应力达到σs时，横截面上的正应力沿梁高仍呈直线分布，如图4-31(a)所示。此时，上、下边缘开始屈服，截面处于弹性极限状态。这时，横截面上的弯矩可由(4-7)式求得bh2Ms=Wσs=σs6(4-15)Ms是材料处于弹性状态时，矩形截面梁横截面上弯矩的最大值，称为屈服弯矩(yieldbendingmoment)。图4-31矩形截面梁横截面上的正应力变化但这并不是该横截面的极限弯矩(limitbendingmoment)，因为当横截面上、下边缘处的正应力达到时，其它各处的正应力仍小于σs，梁还可以继续承受荷载。随着荷载的加大，横截面上、下边缘处的正应力将保持σs，不会再增大，但其它各处的正应力将续增大至σs，即横截面上的屈服区将从上、下边缘逐渐向中性轴扩展，其正应力分布规律将如图4-31(b)所示。横截面上中心部分仍为弹性区，而靠近上、下边缘的部分为屈服区或塑性区，截面呈弹塑性状态(elasticplasticstate)。上述情况的极限是横截面上各处的正应力都达到σs，正应力沿梁高的分布如图4-31(c)所示。这时横截面已全部屈服，变形将无限增大，即梁的上半(或下半)部分将在该截面处无限缩短、而另半个部分将无限伸长。因此，梁在该截面左、右两侧将绕该截面的中性轴无限制的转动，如同在该截面中性轴处出现了一个“中间铰”。这样的铰称为塑性铰(plastichinge)。实际上，塑性铰是该截面中性轴附近的一个区域成为塑性区所致。图4-32所示为简支梁中点受集中力时出现塑性铰的情况，是由于中部成为塑性区(图中阴影部分)所致。对于静定梁，只要出现了一个塑性铰，就将成为几何可变系统而不能继续承载。当截面上各点处的正应力都达到σs时，截面上的弯矩才是极限弯矩Mu。图4-32塑性铰为了计算极限弯矩，首先要确定该截面完全屈服时的中性轴位置。与弹性状态时一样，横截面上中性轴的位置可由横截面上轴力FN=0的条件确定。由图4-31(c)可见，在完全屈服的情况下，横截面的上半(或下半)部分的正应力将合成为一压力FN1，而另一半上的正应力将合成为一拉力FN2。但该截面上不可能有轴力，因此，FN1、FN2之和必为零，即FN=FN1+FN2=∫A1σsdA+∫A2(−σs)dA=0式中A1为横截面上拉应力区的面积A2为压应力区的面积。显然，由上式可以导出A1=A2。可见，在横截面完全屈服的情况下，拉应力区的面积必定与压应力区的面积相等，即中性轴将横截面分为面积相等的两部分。因此，对于矩形、圆形、工字形等有水平对称轴的截面，在弹性状态和完全屈服两种情况下的中性轴位置是相同的，并没有变动。对于没有水平对称轴的截面，如图4-33(a)所示的T形截面，当梁的横截面由弹性状态转变为完全屈服时，中性轴将上移至等分面积处。图4-33T形截面上的正应力变化当横截面的中性轴位置确定后，按下式计算极限弯矩MuMu=∫A1σsydA+∫A2(−σs)(−y)dA=σs(∫A1ydA+∫A2ydA)=σs(s1+s2)式中和S1=∫A1ydAS,S2=∫A2ydA分别为横截面上拉应力区和压应力区面积对中性轴z的面积矩。它们都取绝对值。若令Ws=S1+S2，则上式又可写为Mu=σsWs(4-16)式中Ws称为塑性弯曲截面系数。对于矩形截面，S1=S2=bh28所以Ws=S1+S2bh2。4bh2与弹性状态的W=相比，二者比值为6此比值称为截面形状系数。Ws=1.5W对于其它形状的截面，可用相同的方法得到形状系数的数值。几种常见截面的形状系数列于表4-1中。表4-1常见截面的形状系数截面形式截面形状系数1.501.701.271.15～1.172ss将矩形截面的Ws代入(4-16)式，则得矩形截面梁的极限弯矩为由(4--15)和(4-17)式，得M=bhσu4s（4-17）Mbh2σ/4u=s=1.5Mbh2σ/6可见，矩形截面梁从弹性极限状态到横截面完全屈服，横截面所承受的弯矩增大50%。表明在这一过程中，梁还有相当大的承载潜力。对梁而言，按(4--16)式所得的是截面的极限弯矩，并不是梁的极限荷载，但是，根据梁的实际受力情况，总可以由截面的极限弯矩得到梁的极限荷载。将极限弯矩除以强度安全因数n，得容许弯矩［M］，即［M］=Mu/n(4-18)从而得到按极限荷载法建立的梁的强度条件为Mmax≤[M](4-19)由此，即可对梁进行强度计算，即校核强度、设计截面和求容许荷载。例4-7T形截面梁的截面尺寸如图4-34所示。已知材料的屈服极限σs=240MPa。试求该截面完全屈服时中性轴的位置和极限弯矩，并与弹性极限状态作比较。解(1)截面处于完全屈服状态首先求中性轴的位置。设中性轴z0至截面底边的距离为h1，则由A1=A2，得图4-34例4-7图将已知数据代入，可解得bδ+δ(h1−δ)=δ[a−(h1−δ)]h1=2δ+a−b2=2×50mm+200mm−150mm2=75mm再计算截面的极限弯矩。由(4-16)式，得Mu=σsWs=σs(S1+S2)式中S=bδ(h−δ)+(h−δ)δ1121h1−δ2=150mm×50mm(75mm−50mm)+2(75mm−50mm)×50mm×75mm-50mm2=390625mm3=390.6×10−6m3333S2=[a−(h1−δ)]δ[a−(h1−δ)]2=[200mm−(75mm−50mm)]×50mm×[200mm−(75mm−50mm)]2=765625mm3=765.6×10−6m3所以Mu=240×106Pa(390.6+765.6)×10−6m3=277488N⋅m=277.5kN⋅m(2)截面处于弹性极限状态首先确定中性轴zc的位置。按附录A所述的方法计算得bδδ+aδ(a+δ)h=∑AiyicA=22bδ+aδ150mm×50mm×50mm+200mm×50mm×(200mm+50mm)=22150mm×50mm+200mm×50mm=96.4mm此时，截面的弯矩按MS=WσS计算。并应先计算截面的惯性矩Izc和弯曲截面系数W。I=bδ+bδ(h−δ)2+δa+aδ[a−(h−δ)]2zc12c2122c3=150mm×5012+50mm×20012mm+200mm×50mm×96.4mm−50mm)22mm+200mm×50mm×[200mm−(96.4mm−50mm)]22=101.9×106mm4II101.9×106mm4W=zc=zc=ymax[(a+δ)−hc][(200mm+50mm)−96.4mm]从而得=663.4×103mm3=663.4×10−6m3M=Wσs=663.4×10−6m3×240×106Pa=159216N⋅m=159.2kN⋅m(3)比较当截面由弹性极限状态到完全屈服时，中性轴自截面形心向下移动。由Mu=277.5kN⋅m=1.743,说明截面完全屈服时的弯矩比弹性极限状态时增大了74.3%；MS159.2kN⋅m这一比值实际上就是该T形截面的形状系数。例4-8跨度为l=6m的简支梁，在中点受集中荷载F作用。梁的截面为T形，尺寸如图4-34。已知材料的容许应力［σ］=160MPa，试按极限荷载法求此梁的容许荷载［F］。解由(4-16)式和(4-18)式得−3−3[M]=Munσ(S+S)=s12=[σ](Sn1+S2)将上例的S1=390.6×10m,S2=765.6×10m和［σ］=160MPa代入，得[M]=160×10−6Pa(390.6+765.6)×10−6m3=184992N⋅m=185kN⋅m梁的最大弯矩为M=Fl=F×6=1.5FkN⋅mmax44将Mmax和[M]代入强度条件(4-19)式，得1.5F≤185kN⋅m由此得到容许荷载为[F]=185kN⋅m=123.3kN1.5§4-7梁的挠度和转角梁受外力作用后将产生弯曲变形。在平面弯曲情况下，梁的轴线在形心主惯性平面内弯成一条平面曲线，如图4-35所示(图中xAy平面为形心主惯性平面)。此曲线称为梁的挠曲线(deflectioncurve)。当材料在弹性范围时，挠曲线也称弹性曲线。一般情况下，挠曲线是一条光滑连续的曲线。梁的变形(displacement)可用两个位移度量，现分述如下：挠度(deflection)：梁的轴线上任一点截面形心C在垂直于x轴方向的位移CC′，称为该点的挠度，用w表示(图4-35)。实际上，轴线上任一点除有垂直于x轴的位移外，还有x轴方向的位移。但在小变形情况下，后者是二阶微量，可略去不计。转角(angleofrotation)：根据平面假设，梁变形后，其任一横截面将绕中性轴转过一个角度，这一角度称为该截面的转角，用θ表示(图4-35)。此角度等于挠曲线上点的切线与x轴的夹角。在图4-35所示坐标系中，挠曲线可用下式表示图4-35梁的挠度和转角w=f(x)该式称为挠曲线方程或挠度方程(equationofthedeflectioncurve)。式中x为梁变形前轴线上任一点的横坐标，w为该点的挠度。挠曲线上任一点的斜率为w′=tanθ，在小变形情况下，tanθ≈θ，所以θ=w′=f′(x)即挠曲线上任一点的斜率w′就等于该处横截面的转角。该式称为转角方程(equationoftheanglesofrotation)。由此可见，只要确定了挠曲线方程，梁上任一截面形心的挠度和任一横截面的转角均可确定。挠度和转角的正负号与所取坐标系有关。在图4-35所示的坐标系中，向下的挠度为正，向上的挠度为负；顺时针转的转角为正，逆时针转的转角为负。§4-8梁的挠曲线近似微分方程梁的挠度和转角，与梁变形后的曲率有关。在剪切弯曲的情况下，曲率既和梁的刚度相关，也和梁的剪力与弯矩有关。对于一般跨高比较大的梁，剪力对梁变形的影响很小，可以忽略，因此可以只考虑弯矩对梁变形的作用。由(4-５)式，梁轴线弯曲后的曲率为1=M(x)(a)ρ(x)EIz另由高等数学得知，平面曲线的曲率为1ρ(x)=±w′′(1+w′2)3/2(b)由(a)、(b)两式得±w′′(1+w′2)3/2=M(x)EIz(c)式中左边的正负号取决于坐标系的选择和弯矩的正负号规定。在本章所取的坐标系中，上凸的曲线w″为正值，下凸的为负值，如图4-36所示；按弯矩正负号的规定，正弯矩对应着负的w″，负弯矩对应着正的w″，故(c)式左边应取负号，即(d)−w′′(1+w′2)3/2=M(x)EIzdw在小变形情况下，w′=是一个很小的量，dx则w′2<<1，可略去不计，故(d)式简化为w′′=−M(x)EIz(4-20)图4-36M与w″的符号规定这就是梁的挠曲线的近似微分方程(approximatedifferentialequationofthedeflectioncurveofbeams)，适用于小挠度梁。如取与图4-36不同的坐标系(例如原点仍为A，但y轴向上；原点在右端B，x轴向左，y向上或向下)，挠曲线微分方程将与(4-20)式有所不同。对于EI为常量的等直梁(将Iz简写为I)，上式可写为EIw′′=−M(x)(4-21)(4-)20)或(4-21)式是计算梁变形的基本方程。22223§4-9积分法计算梁的变形对于等直梁，可以通过对(4-21)式的直接积分，计算梁的挠度和转角。将(4-21)式积分一次，得到EIw′=EIθ=−∫M(x)dx+C再积分一次，得到（4-22）EIw=−∫[∫M(x)dx]dx+Cx+D(4-23)(4-22)和(4-23)式中的积分常数C和D，由梁支座处的已知位移条件即边界条件(boundaryconditions)确定。图4-37(a)所示的简支梁，边界条件是左、右两支座处的挠度wA和均应为零；图4-37边界条件图4-37(b)所示的悬臂梁，边界条件是固定端处的挠度wA和转角θA均应为零。积分常数C，D确定后，就可由(4-22)和(4-23)式得到梁的转角方程和挠度方程，并可计算任一横截面的转角和梁轴线上任一点的挠度。这种求梁变形的方法称为积分法(methodofintegration)。例4-9一悬臂梁在自由端受集中力F作用，如图4-38所示。试求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度。设梁的弯曲刚度为EI。解取坐标系如图所示。弯矩方程为M(x)=−F(l−x)梁的挠曲线近似微分方程为EIw′′=−M(x)=Fl−Fx图4-38例4-9图进行两次积分，得到EIw′=EIθ=Flx−Flx+C2(a)EIw=Flx−Fx3+Cx+D(b)22×3边界条件为：在x=0处，w=0；在x=0处w′=θ=0。将边界条件代入(a)、(b)两式，得到C=0和D=0。将C，D值入(a)、(b)两式，得到该梁的转角方程和挠度方程分别为w′=θ=Flx−Fx(c)EI2EIW=Flx−Fx(d)2EI6EI2334梁的挠曲线形状如图所示。挠度及转角的最大值均在自由端B处，以x=l代入(c)、(d)式，得到Fl2θmax=2EI3wmax=Fl3EIθmax为正值，表明梁变形后，B截面顺时针转动；wmax为正值，表明B点向下位移。例4-10一简支梁受均布荷载q作用，如图4-39所示。试求梁的转角方程和挠度方程，并确定最大挠度和A、B截面的转角。设梁的弯曲刚度为EI。解取坐标系如图所示。由对称关系求得支座反力FAy=FBy=ql/2。弯矩方程为代入(4-21)式并积分两次，得M(x)=qlx−2qx22EIw′=EIθ=−ql×x+qx3+C(a)222×3EIw=−ql×x+qx4+Cx+D（b）22×32×3×4图4-39例4-10图边界条件为：在x=0处，w=0；在x=l处，w=0。将前一边界条件代入(b)式，得D=0。将D=0连同后一边界条件代入(b)式，得EIwx=lql4=−12ql4+24+Cl=0ql3由此得到C=。24将C，D值代入(a)、(b)两式，得到梁的转角方程和挠度方程分别为w′=θ=ql3−qlx2+qx3(c)24EI4EI6EIw=qlx−qlx3+qx4(d)24EI12EI24EI挠曲线形状如图所示。由对称性可知，跨度中点的挠度最大。以x=l/2代入(d)式得到w5qlmax=384EI以x=0和x=l分别代入(c)式后，得到A截面和B截面的转角为2ql3ql3θA=,θB=−24EI24EI以上是由对称性观察出跨度中点的挠度最大。根据极值原理，最大挠度发生在y′=0的位置，故由(c)式也可求得最大挠度发生在x=l/2的位置。例4-11一简支梁AB，在D点受集中力F作用，如图4-40所示。试求梁的转角方程和挠度方程，并求最大挠度。设梁的弯曲刚度为EI。解首先由平衡方程求出梁的支座反力为F=Fb,F=FaAylByl再分段列出弯矩方程为AD段(0≤x≤a):M(x)=Fbx1l图4-40例4-11图DB段(a≤x≤l):M2(x)=Fbx−F(x−a)l由于AD段和DB段的弯矩方程不同，所以两段的挠曲线方程也不相同。现将两段的弯矩方程分别代入(4-21)式，并分别积分，得AD段：EIw′=EIθ1=−Fb⋅lx2+C12!(a)EIw=−Fbx3⋅+C1x+D1l3!(b)DB段：EIw′2=EIθ2=−Fb⋅x+Fl2!(x−a)22!+C2(c)EIw′2=−Fbx3⋅+Fl3!(x−a)33!+C2x+D2(d)(a)～(d)式中有4个积分常数，需要4个条件确定。所以，除两个边界条件外，还要补充两个条件。由于梁的挠曲线是光滑连续的曲线，在集中力作用的D点处，也应光滑连续。故由(a)、(b)两式求出的D截面的转角和挠度，和由(c)、(d)两式求出的D截面的转角和挠度应相等，即x=a时，w1′=wx=a时，w1=w2这两个条件称为连续条件(continuityconditions)。利用连续条件，由(a)～(d)式得到C1=C2,D1=D2再利用边界条件，即x=0时，y1=0maxC2222由(b)和(d)式，求得x=l时，y2=0D1=D2=0,C1=C2=Fb(l2−b2)6l将求得的积分常数代入(a)～(d)式，得到梁各段的转角方程和挠度方程为AD段：w′=θ=Fb(l−b2)−Fbx2(a′)16EIl2EIlw=Fb(l−b2)−Fbx3(b′)6EIl6EIlDB段：w′=θ=Fb(l−b2)−Fbx2+F(x−a)2(c′)26EIl2EIl2EIw2=Fb(l2−b2)x−Fbx3+F(x−a)3(d′)6EIl6EIl6EI挠曲线形状如图所示。当a＞b时，最大挠度显然发生在AD段内，其位置由w1′=0的条件决定。由(a′)式，令w1′=0，得到x0=将(e)式代入(b′)式，得到最大挠度为l2−b23(e)wmax=Fb(l−b2)3/293EIl此外，以x=l/2代入(b′)式，得到梁中点的挠度为wC=Fb48EI(3l2−4b2)下面将说明，wmax和wC相差极小。当F力作用在梁的中点时，最大挠度发生在梁的中点，显然wmax=wC，当F力向右移动时，最大挠度发生的位置将偏离梁的中点。在极端情况下，当F力靠近右端支座，即b≈0时，由(e)式得到x0=0.577l即最大挠度发生的位置距梁中点仅0.077l。在此极端情况下，上述w和w式中的b2和l2相比，可以略去不计，故令b2=0，即得223w=Fbl=0.0642Fblmax93EIEI32w=FblC16EI=0.0625FblEIwmax和wc仅相差3%。因此，受任意荷载的简支梁，只要挠曲线上没有拐点，均可近似地将梁中点的挠度作为最大挠度。当集中荷载F作用在简支梁中点处，即a=b=Fl2l时，则A、B两端的转角均为最大值2Fl2梁中点的挠度为最大值θA=16EIθB=−16EIw=FlC48EI§4-10叠加法计算梁的变形在梁的弯曲问题中，由于变形很小，可以不考虑梁长度的变化，且材料在弹性范围内工作。因此，梁的变形和外加荷载成线性关系。于是，也可用叠加法(methodofsuperposition)计算梁的变形。当梁上有多个荷载作用时产生的转角或挠度，等于各个荷载单独作用所产生的转角或挠度的叠加，这是叠加法的最直接应用。此外，叠加法还可应用于将某段梁上由荷载引起的挠度和转角和该段边界位移引起的转角或挠度相叠加的情况。为了便于应用叠加法计算梁的转角或挠度，在表4-2中列出了几种类型的梁在简单荷载作用下的转角或挠度。例4-12一简支梁及其所受荷载如图所4-41(a)所示。试用叠加法求梁中点的挠度wc和梁左端截面的转角θA。设梁的弯曲刚度为EI。解先分别求出集中荷载和均布荷载作用所引起的变形，然后叠加，即得两种荷载共同作用下所引起的变形。由表4-2查得简支梁在q和F分别作用下的变形，叠加后得到。wc=wc(q)+wc(F)5ql4=384EIFl3+48EI5ql4+8Fl3=384EIθA=θ3A(q)+θA(F)图4-41例4-12图ql3=24EIFl2+16EI2ql3+3Fl2=48EI3例4-13一阶梯形悬臂梁，在左端受集中力作用，如图4-42（a）所示。试求左端的挠度wA。解先将梁分成两根悬臂梁BC和AB，分别如图4-42（b）、（c）所示。B截面是悬臂梁AB的固定端，但它有转动和竖向位移。AB段梁的变形包括两部分：一部分是由B截面的转角和位移引起的刚体位移；另一部分是悬臂梁AB由F力引起的变形。因此，A点的挠度可由两部分挠度叠加求得。B截面的转角和挠度可在悬臂梁BC上求得。为Fl此将F力向B点简化，得到力F和力偶矩M=2(如图4-42(b)所示)。它们引起的转角和挠度可由表4-2查得F×(l)22Fl×(l)22图4-42例4-133Fl2θB=θB(F)+θB(M)=+2×2EI2EI=16EIF×(l)3Fl×(l)2w=w+w=2+22=5FlBB(F)B(M)3×2EI2×2EIl96EI由于θB和wB，A点的挠度为wA1=wB,wA2=θB×2F(l)3AB梁为悬臂梁，A点的挠度wA3=2。因此，A点的挠度为3EIwA=wA1+wA2+wA3=wB+θB×l+w2A35Fl3=96EI3Fl2+16EI×l2F(l)3+23EI3Fl3=16EI上节和本节介绍了两种求梁的变形的方法。其中，积分法是基本的方法。而叠加法虽简便，但必需先求出各荷载单独作用下的挠度和转角，如有表4-2，可直接查用。求梁变形的方法还有很多，如能量法(详见第十一章)、奇异函数法等，在此不再介绍。一、梁的刚度计算§4-11梁的刚度计算有些情况下，梁的强度是足够的，但由于变形过大而不能正常工作。例如吊车梁若变形过大，行车时会产生较大的振动，使吊车行驶很不平稳；传动轴在轴承处若转角过大，会使轴承的滚珠产生不均匀磨损，缩短轴承的使用寿命；楼板的横梁，若变形过大，会使涂于楼板的灰粉开裂脱落等。在这些情况下，梁的变形需限制在某一允许的范围内。梁的刚度条件为wmax≤[w](4-24)θ≤［θ］(4-25)表4-2简单荷载作用下梁的挠度和转角梁上荷载及弯矩图挠曲线方程转角和挠度12w=+Mx2EIθ=+MlBEIMl2wB=+2EI2Fl3x2x3w=+(3−)6EIl2l3Fl2θB=+2EIFl3wB=+3EI32w=+Fx(3a−x),0≤x≤a6EI3w=+Fa(3x−a),a≤x≤l6EIFa2θB=+2EIFa2wB=+(3l−a)6EI4ql4x2x3x4w=(6−4+)24EIl2l3l4ql3θB=+6EIql4wB=+8EI5w=−Fax(l2−x2),(0≤x≤l)6EIlw=F(l−x)[(x−l)2+a(l−3x)],6EI(l≤x≤l+a)θ=−Fal,θ=FalA6EIB3EIθ=Fa(2l+3a)C6EIFl2lwD=(−a)24EI2Fa2wc=(a+l)3EI62w=−qax(l2−x2),(0≤x≤l)12EIlw=q(x−l)[2a2(3x−l)+24EI(x−l)2⋅(x−l−4a)],(l≤x≤l+a)qla2qla2θA=−,θB=12EI6EIqa2(l+a)θC=6EIqa2l2wD=−32EIqa3wc=(3a+4l)24EI梁上荷载及弯矩图挠曲线方程转角和挠度7Ml2xx3w=+B(−)6EIll3θ=+MBl,θ=−MBl,A6EIB3EIMl2w=+BC16EI8w=+Mx(l2−x2−3b2),6EIl0≤x≤aM(l−x)w=−(x2−2lx−3a2),6EIla≤x≤lMθ=+(l2−3b2)A6EIlθ=+Ma(l2−a2−3b2)B6EIlw=+Ma(l2−a2−3b2)D6EIl9ql4xx3x4w=+(−2+),24EIll3l4ql3ql3θA=+,θB=−,24EI24EI5ql4wC=+384EI10qb2xw=(2l2−2x2−b2),24EIl(0≤x≤a)2w=+qb[(2l2−2x2−b2)x24EIl+1(x−a)4]b2a≤x≤lqb2θ=+(2l2−b2)A24EIlqb2θ=−(2l−b)2B24EIlqb2aw=+(2l2−2a2−b2)D24EIl11Fl3xx3w=+(3−4),48EIll(0≤x≤l)2Fl2θA=+16EIFl2θB=−16EIFl3wC=+48EI12w=+Fbx(l2−x2−b2),6EIl(0≤x≤a)w=+Fbx[1(l−a)3+6EIlb(l2−b2)x−x3]a≤x≤bθ=+Fab(l+b)A6EIlθ=−Fab(l+a)B6EIlw=+Fb(3l2−4b2)C48EI当a>b时3式中wmax为梁的最大挠度，而θ一般是支座处的截面转角。［w］和［θ］是规定的容许挠度和转角，在设计手册中可查到。例如吊车梁：［w］=屋梁和楼板梁：［w］=钢闸门主梁：［w］=l500l200l500ll～600l～400l～750l普通机床主轴：［w］=5000～10000[θ]=0.005rad～0.001rad利用(4-24)式和(4-25)式，可对梁进行刚度计算，包括校核刚度、设计截面或求容许荷载。例4-14图4-43（a）示一简支梁，受四个集中力作用。F1=120kN，F2=30kN，F3=40kN，F4=12kN。该梁的横截面由两个槽钢组成。设钢的容许正应力［σ］=170MPa，容许切应力［τ］=100MPa；弹性模量E=2.1×105MPa；梁的容许挠度［w］=l/400。试由强度条件和刚度条件选择槽钢型号。33W解(1)计算支座反力由平衡方程求得图4-43例4-14图FAy=138kN,FBy=64kN(2)画剪力图和弯矩图梁的剪力图和弯矩图如图（b）、（c）所示。由图可知FQmax=138kN,Mmax=62.4kN⋅m(3)由正应力强度条件选择槽钢型号由(4-13)式，得W≥Mmax=62.4×10N⋅m=367×10−6m3=367cm3z[σ]170×106Pa查型钢表，选两个20a号槽钢，其Wz=178×2=356cm3。再对正应力强度进行校核。梁的最大工作正应力为σ=Mmax=62.4×10N⋅m=175×106N/m2=175MPamaxz356×10−6m3此值仅超过容许应力3%，所以满足正应力强度要求。(4)校核切应力强度由型钢表查得20a号槽钢的截面几何性质为：Iz=1780.4cm4,h=200mm,b=73mm,d=7mm,δ=11mm(见图（d）)。梁的最大工作切应力为2τmaxFS∗=QmaxzmaxIzd138×103N×2×[73×11×(100−11)+7×(100−11)]×10−9m3=222×1780×10−8m4×2×7×10−3m=57.4×106N/m2=57.4MPa〈[τ]满足切应力强度要求。(5)校核刚度因为该梁的挠曲线上无拐点，故可用中点的挠度作为最大挠度。由表4-2的第12项，应用叠加法，得到4Fb(3l2−4b2)1.77×106N⋅mw=∑iii=maxi=148EI48×2.1×105×106Pa×2×1780×10−8m4=4.94×10−3m=4.94mm已知［w］=2.4/400=6×10−3m=6mm，因此，满足刚度要求。故该梁选两个20a号槽钢。二、提高承载能力的措施提高梁的承载能力，也可从刚度方面加以考虑。由于梁的变形与其弯曲刚度成反比，因此，为了减小梁的变形，可以设法增加其弯曲刚度。一种方法是采用弹性模量E大的材料，例如钢梁就比铝梁的变形小。但对于钢梁来说，用高强度钢代替普通低碳钢并不能减小梁的变形，因为二者弹性模量相差不多。另一种方法是增大截面的惯性矩I，即在截面积相同的条件下，使截面面积分布在离中性轴较远的地方如工字形截面、空心截面等，以增大截面的惯性矩。调整支座位置以减小跨长，如图4-24，或增加辅助梁，如图4-25，都可以减小梁的变形。增加梁的支座，也可以减小梁的变形，并可减小梁的最大弯矩。例如在悬臂梁的自由端或简支梁的跨中增加支座，都可以减小梁的变形，并减小梁的最大弯矩。但增加支座后，原来的静定梁就变成了超静定梁。3§4-12简单超静定梁以上所讨论的梁，其所有支座反力均可由平衡方程求出，称为静定梁。在工程上，为了减小梁的应力和变形，常在静定梁上增加一些约束，例如图4-44(a)所示的梁，在悬臂梁自由端上增加一个活动铰支座。该梁共三个支座反力，但只有两个静力平衡方程，所以仅用静力平衡方程不能求出全部的支座反力。这样的梁称为超静定梁(staticallyindeterminatebeam)。因此，在超静定梁中，相对于维持梁的平衡来说，有多余约束(redundemrestraint)或多余支座反力。多余支座反力的数目就是超静定次数。求解超静定梁，除仍必需应用平衡方程外，还需根据多余约束对梁的变形或位移的特定限制，建立由变形或位移间的几何关系得到的几何方程，即变形协调条件(compatibitityequation)；再以力与变形或位移间的物理关系代入，得到补充方程，方能解出多余支座反力。现以图4-44所示的超静定梁为例，说明求解方法。首先将B支座视为多余约束，假想将其解除，得到一个悬臂梁，如图(b)所示。这个悬臂梁是静定的，称为基本静定梁。再将梁上的荷载q及多余支座反力FBy作用在基本静定梁上，如图(c)所示。基本静定梁在B点的挠度应和原超静定梁B点的挠度一致，因此，基本静定梁在B点的挠度应等于零。这就是原超静定梁的变形协调条件。按叠加法，基本静定梁上B点的挠度，由均布荷图4-44超静定梁及其求解载q及反力FBy引起(图(d)和(e))。因此由变形协调条件得到变形几何方程为由表4-2及(a)式，得到wB=wBq+wBFBy=0(a)ql4−FByl=0(b)8EI(b)式即为补充方程。由(b)式解得FBy=再由平衡方程求得3EI3ql8FAy=5ql,M8A=1ql28梁的剪力和弯矩图如图4-44(f)、(g)所示。从以上的求解过程看到，求解超静定梁的主要问题是如何选择基本静定梁，并找出相应的变形协调条件。对同一个超静定梁，可以选取不同的基本静定梁。例如图4-44(a)的超静定梁，也可将左端阻止转动的约束视为多余约束，予以解除，得到的基本静定梁是简支梁。原来的超静定梁就相当于基本静定梁上受有均布荷载q和多余支座反力矩MA。相应的变形协调条件是基本静定梁上A截面的转角为零。此外，还可取左端阻止上、下移动的约束作为多余约束，同样可求解上述超静定梁。上述解超静定梁的方法，是以多余约束力作为基本未知量，以解除多余约束的静定梁作为基本系，根据解除约束处的位移条件，再引入力与位移间的物理关系建立补充方程，求出多余约束力。这一方法就是结构静力学中的力法(forcemethod)。例4-15两端固定的梁，在C处有一中间铰，如图4-45(a)所示。当梁上受集中荷载作用后，试作梁的剪力图和弯矩图。图4-45例4-15图解如不考虑固定端和中间铰处的水平约束力，则共有5个支座约束力，即MA,MB,FAy,FBy和FCy。两段共有4个独立的平衡方程，所以是一次超静定。现假想将梁在中间铰处拆开，选两个悬臂梁为基本静定梁(如图(b)所示)，即以C处的铰约束作为多余约束，相应的约束力FCy为多余未知力。在基本静定梁AC和CB上作用有外力F和FCy，如图(c)所示。由于梁变形后，中间铰不会分开，这就是变形协调条件。设wC′是基本静定梁AC在C点的挠度，wC′′是基本静定梁CB在C点的挠度，由变形协调条件，两者需相等。因此，变形几何方程为333wC′=wC′′(a)由表4-2和叠加法，得到wC′F(l)3=2+F(l)22×l−FCyl3EI32EI23EIwC′=代入(a)式后，得到补充方程为FCyl3EI5Fl3FCyl−FCyl=(b)由(b)式解得48EI3EI3EI5FCy=F32再分别由两段的平衡方程，可求得其余支座反力。梁的剪力图和弯矩图如图(d)、(e)所示。思考题4-1静定梁的内力与梁的以下哪些条件有关?哪些无关?为什么?(1)跨度；(2)荷载；(3)支承情况；(4)材料；(5)横截面尺寸。4-2梁横截面中性轴上的正应力是否一定为零?切应力是否一定为最大?试举例说明。4-3梁的最大应力一定发生在内力最大的横截面上吗?为什么?4-4梁的横截面上中性轴两侧的正应力的合力之间有什么关系?这两个力最终合成的结果是什么?4-5有水平对称轴截面的梁与无水平对称轴截面的梁上的最大拉、压应力计算方法是否相同?4-6梁的切应力公式与正应力公式推导过程有何不同?4-7梁的挠曲线形状与哪些因素有关?4-8悬臂梁在自由端受一集中力偶M作用，其挠曲线应为一圆弧，但用积分法计算出Mx2的挠曲线方程为w=是一条抛物线方程，为什么?2EI4-9如将例4-5中梁的截面(见图4-17(c)倒置，荷载F的容许值是增大还是减小?为什么?4-10梁的横截面形状和尺寸如图所示，若在顶、底削去高度为δ的一小部分，梁的承载能力是提高还是降低?并求出梁具有最大承载能力时的δ值。思考题4-10图习题4-1图(a)所示钢梁(E=2.0×105MPa)具有(b)、(c)两种截面形式，试分别求出两种截面形式下梁的曲率半径，最大拉、压应力及其所在位置。题4-1图4-2处于纯弯曲情况下的矩形截面梁，高120mm，宽60mm，绕水平形心轴弯曲。如梁最外层纤维中的正应变ε=7×10-4，求该梁的曲率半径。4-3直径d=3mm的高强度钢丝，绕在直径D=600mm的轮缘上，已知材料的弹性模量E=200GPa，求钢丝绳横截面上的最大弯曲正应力。4-4求梁指定截面a-a上指定点D处的正应力，及梁的最大拉应力σtmax和最大压应力σcmax。题4-4图4-5图示二梁的横截面，其上均受绕水平中性轴转动的弯矩。若横截面上的最大正应力为40MPa，试问：(1)当矩形截面挖去虚线内面积时，弯矩减小百分之几?(2)工字形截面腹板和翼缘上，各承受总弯矩的百分之几?题4-5图4-6一矩形截面悬臂梁，具有如下三种截面形式：(a)整体；(b)两块上、下叠合；(c)两块并排。试分别计算梁的最大正应力，并画出正应力沿截面高度的分布规律。题4-6图4-7截面为45a号工字钢的简支梁，测得A，B两点间的伸长为0.012mm，问施加于梁上的F力多大?设E=200GPa。题4-7图4-8一槽形截面悬臂梁，长6m，受q=5kN/m的均布荷载作用，求距固定端为0.5m处的截面上，距梁顶面100mm处b-b线上的切应力及a-a线上的切应力。题4-8图4-9一梁由两个186号槽钢背靠背组成一整体，如图所示。在梁的a-a截面上，剪力为18kN、弯矩为55kN·m，求b-b截面中性轴以下40mm处的正应力和切应力。题4-9图4-10一等截面直木梁，因翼缘宽度不够，在其左右两边各粘结一条截面为50×50mm的木条，如图所示。若此梁危险截面上受有竖直向下的剪力20kN，试求粘结层中的切应力。4-11图示一矩形截面悬臂梁，在全梁上受集度为q的均布荷载作用，其横截面尺寸为b，h，长度为l。（1）证明在距自由端为x处的横截面上的切向分布内力题4-10图τdA的合力等于该截面上的剪力；而法向分布内力σdA的合力偶矩等于该截面上的弯矩。(2)如沿梁的中性层截出梁的下半部，如图所示。问截开面上的切应力τ′沿梁长度的变化规律如何?该面上总的水平剪力FQ′有多大?它由什么力来平衡?4-12试画出图示各截面的弯曲中心的大致位置，并画出切应力流的流向，设截面上剪力FQ的方向竖直向下。题4-11图题4-12图4-13图示梁的容许应力［σ］=8.5MPa，若单独作用30kN的荷载时，梁内的应力将超过容许应力，为使梁内应力不超过容许值，试求F的最小值。题4-13图4-14图示铸铁梁，若［σt］=30MPa,［σc］=60MPa,试校核此梁的强度。已知Iz=764×10−8m4。4-15一矩形截面简支梁，由圆柱形木料锯成。已知F=8kN,a=1.5m，［σ］=10MPa。试确定弯曲截面系数为最大时的矩形截面的高宽比h/b，以及锯成此梁所需要木料的最d。题4-14图题4-15图4-16截面为10号工字钢的AB梁，B点由d=20mm的圆钢杆BC支承，梁及杆的容许应力［σ］=160MPa，试求容许均布荷载q。4-17AB为叠合梁，由25×100mm2木板若干层利用胶粘制成。如果木材容许应力［σ］=13MPa，胶接处的容许切应力［τ］=0.35MPa。试确定叠合梁所需要的层数。(注：层数取2的倍数。)题4-16图题4-17图4-18用积分法求下列各梁指定截面处的转角和挠度。设EI为已知。在图(d)中的E=2.0×105MPa，I=1.0×104cm4。4-19对于下列各梁，要求：题4-18图(1)写出用积分法求梁变形时的边界条件和连续光滑条件。(2)根据梁的弯矩图和支座条件，画出梁的挠曲线的大致形状。题4-19图4-20用叠加法求下列各梁指定截面上的转角和挠度。题4-20图4-21图示悬臂梁，容许应力［σ］=160MP，容许挠度［w］=l/400，截面为两个槽钢组成，试选择槽钢的型号。设E=200GPa。题4-21图4-22求各梁的支座反力，并作剪力图和弯矩图。题4-22图4-23图示两梁相互垂直，并在简支梁中点接触。设两梁材料相同，AB梁的惯性矩为I1，CD梁的惯性矩为I2，试求AB梁中点的挠度wc。题4-23图习题答案第三章返回总目录第五章受力杆件中一点的应力状态是该点处各方向面上的应力的集合。研究应力状态，对全面了解受力杆件的应力全貌，以及分析杆件的强度和破坏机理都是必需的。本章介绍应力状态的基本概念，平面应力状态下任一方向面上应力的计算、主应力大小和方向的计算；并简述三向应力状态的最大应力。广义胡克定律反映应力和应变之间在线弹性范围的最一般关系，其应用非常广泛，本章对广义胡克定律及其应用也作了介绍；并涉及体积应变、应变能和应变能密度等概念。第五章应力状态分析§5-1应力状态的概念§5-2平面应力状态分析一、任意方向面上的应力二、应力圆三、主平面和主应力§5-3基本变形杆件的应力状态分析一、拉压杆件应力状态分析二、扭转杆件应力状态分析三、梁的应力状态分析四、主应力轨迹线的概念§5-4三向应力状态的最大应力§5-5广义胡克定律·体积应变一、广义胡克定律二、体积应变§5-6应变能和应变能密度一、轴向拉压杆件的应变能和应变能密度二、三向应力状态的应变能密度思考题习题习题答案返回总目录第五章应力状态分析§5-1应力状态的概念在第二、三、四章中，分析了拉压杆件，扭转杆件和平面弯曲杆件横截面上各点处与横截面正交方向的正应力或沿横截面方向的切应力，这统称为横截面方向的应力。而受力杆件中的任一点，可以看作是横截面上的点，也可看作是斜截面或纵截面上的点。一般来说，受力杆件中任一点处各个方向面上的应力情况是不相同的，一点处各方向面上的应力的集合，称为该点的应力状态(stateofstressatapoint)。研究应力状态，对全面了解受力杆件的应力全貌，以及分析杆件的强度和破坏机理，都是必需的。为了研究一点处的应力状态，通常是围绕该点取一无限小的长方体，即单元体(element)。因为单元体无限小，所以可认为其每个面上的应力都是均匀分布的，且相互平行的一对面上的应力大小相等、符号相同。由后面的分析可知，只要已知某点处所取任一单元体各面上的应力，就可以求得该单元体其它所有方向面上的应力，该点的应力状态就完全确定了。可以证明，通过一点处的所有方向面中，一定存在三个互相垂直的方向面，这些方向面上只有正应力而没有切应力，这些方向面称为主平面(principalplane)；主平面上的正应力称为主应力(principlestress)。一点处的三个主应力分别记为\uf0f31,\uf0f32和\uf0f33，其中\uf0f3表示代数值最大的主应力，\uf0f33表示代数值最小的主应力。例如某点处的三个主应力为50MPa、-80MPa和0，则\uf0f31=50MPa、\uf0f32=0、\uf0f33=-80MPa。一点处的三个主应力中，若一个不为零，其余两个为零，这种情况称为单向应力状态(unaxialstressstate)；有两个主应力不为零，而另一个为零的情况称为二向应力状态(biaxialstressstate)；三个主应力都不为零的情况称三向应力状态(triaxialstressstate)。单向和二向应力状态合称为平面应力状态(planestressstate)，三向应力状态称为空间应力状态(threedimensionalstressstate)。二向及三向应力状态又统称为复杂应力状态(complexstressstate)。在工程实际中，平面应力状态最为普遍，空间应力状态问题虽也大量存在，但全面分析较为复杂。所以本书主要研究平面应力状态的应力分析，以及复杂应力状态下应力和应变的关系，即广义胡克定律。§5-2平面应力状态分析一、任意方向面上的应力图5-1（a）示一单元体，左、右两个方向面上作用有正应力\uf0f3x和切应力\uf0f4x；上、下两个方向面上作用有正应力\uf0f3y和切应力\uf0f4y；前、后两个方向面上没有应力。所有的应力均在同一平面(平行于纸面)内，是平面应力状态的一般情况。现用图5-1(b)所示的平面图形表示该单元体。外法线和x轴重合的方向面称为x面，x面上的正应和切应力均加脚标“x”；外法线和y轴重合的方向面称为y面，y面上的正应力和切应力均加脚标“y”。应力正负号的规定与本书前述一致。如果已知这些应力的大小，则可求出任意方向面(其法线在xy平面内)上的应力。图5-1应力单元体设ef为任一方向面，其外法线和x轴成α角，称为α面，如图5-1(b)所示。α角以逆时针旋转的为正，顺时针旋转的为负。为了求该方向面上的应力，首先假设沿ef面将单元体截开，取下部分进行研究，如图5-2所示。在ef面上一般作用有正应力和切应力，用\uf0f3\uf0e1及\uf0f4\uf0e1表示，并设\uf0f3\uf0e1及\uf0f4\uf0e1为正。设ef的面积为dA，则eb和bf面积分别是dAcosα和dAsinα。取n轴和t轴为投影轴，写出该部分的平衡方程\uf0f3\uf0e1dA\uf02b(\uf0f4xdAcos\uf0e1)sin\uf0e1−(\uf0f3xdAcos\uf0e1)cos\uf0e1\uf02b∑Fn\uf03d0：(\uf0f4ydAsin\uf0e1)cos\uf0e1−(\uf0f3ydAsin\uf0e1)sin\uf0e1\uf03d0\uf0f4\uf0e1dA\uf02b(\uf0f4xdAcos\uf0e1)cos\uf0e1−(\uf0f3xdAcos\uf0e1)sin\uf0e1\uf02b∑Ft\uf03d0：(\uf0f4ydAsin\uf0e1)sin\uf0e1−(\uf0f3ydAsin\uf0e1)cos\uf0e1\uf03d0由切应力互等定理可知，\uf0f4x和\uf0f4y大小相等。再对上述平衡方程进行三角变换，得到\uf0f3\uf0e1\uf03d\uf0f3x\uf02b\uf0f3y2\uf0f3x−\uf0f3y\uf02b2cos2\uf0e1−\uf0f4xsin2\uf0e1(5-1)\uf0f4\uf0e1\uf03d\uf0f3x−\uf0f3ysin2\uf0e1\uf02b\uf0f4cos2\uf0e1(5-2)2x(5-1)式和(5-2)式就是平面应力状态下求任意方向面上正应力和切应力的公式。如果需求与ef垂直的方向面上的应力，只要将(5-1)式和(5-2)式中的α用α+90°代入，即可得到\uf0f3\uf0e1\uf02b90o\uf0f3x\uf02b\uf0f3y\uf03d2\uf0f3x−\uf0f3y−2cos2\uf0e1\uf02b\uf0f4xsin2\uf0e1\uf0f4\uf0e1\uf02b90o\uf0f3x−\uf0f3y\uf03d−2sin2\uf0e1−\uf0f4xcos2\uf0e1o\uf0f4oxy2xy22yxy22\uf0e1\uf0e1\uf0e1由此可见\uf0f3\uf02b\uf0f3\uf0e1\uf02b90\uf03d\uf0f3x\uf02b\uf0f3y=常数(5-3)\uf0f4\uf03d−\uf02b90即任意两个互相垂直方向面上的正应力之和为常数，切力服从切应力互等定理。图5-2任意方向面应力二、应力圆以上是用解析公式确定任一方向面上的应力，现在介绍一种应力分析的应力圆法。由(5-1)式和(5-2)式可见，当\uf0f3x,\uf0f3y和\uf0f4x已知时，\uf0f3\uf0e1和\uf0f4\uf0e1都是以2α为参变量的参数方程。现将(5-1)式改写为\uf0f3\uf0e1−\uf0f3x\uf02b\uf0f3y2\uf0f3x−\uf0f3y\uf03d2cos2\uf0e1−\uf0f4xsin2\uf0e1将上式与(5-2)式两边分别平方后相加，消去参变量2α，得到\uf0f3\uf02b\uf0f3(\uf0f3−)\uf02b\uf0f4\uf0f3−\uf0f3\uf03d()\uf02b\uf0f4(5-4)\uf0e12\uf0e12x上式是以\uf0f3\uf0e1和\uf0f4\uf0e1为变量的圆方程。若以直角坐标系的横轴为σ轴，纵轴为τ轴，则上式所\uf0f3x\uf02b\uf0f3示圆心坐标为(,0)，半径为\uf0f3\uf02b\uf0f3()\uf02b\uf0f4。这样的圆称为应力圆(stress22xcircle)。是德国工程师莫尔(Mohr)于1895年提出的，故又称莫尔圆(Mohr′scircle)。应力圆的作法如下：设一单元体及各面上的应力如图5-3(a)所示。取O\uf0f3\uf0f4坐标系，在σ轴上按一定的比例量取OB1\uf03d\uf0f3x，再在B1点量取纵坐标B1D1=\uf0f4x，得D1点。由于D1点的横坐标和纵坐标代表了x面上的正应力和切应力，因此可认为D1点对应于x面。再量取OB2\uf03d\uf0f3y，B2D2\uf03d\uf0f4y，得D2点，D2点对应于y面。作直线联接D1和D2点，该直线与σ轴相交于C点，以C点为圆心、CD1或CD2为半径作圆。这个圆就表示图5-3(a)所示单元体应力状态的应力圆，如图5-3(b)所示。由图可见，该圆圆心的横坐标为OC\uf03d1(OB\uf02bOB\uf0f3x\uf02b\uf0f3y)\uf03d纵坐标为零；而半径为2122x图5-3平面应力状态应力圆CD\uf03dCD\uf03dCB22\uf02bBD\uf03d\uf0f3x\uf02b\uf0f3y2\uf02b\uf0f421(2)111(2)x这就证明了该圆即为(5-4)式所表示的圆。可见，图5-3(b)所示的应力圆与(a)所示的单元体是对应的。利用应力圆，可求得任意α方向面上的应力。由于α角是从x面的外法线量起的，并且\uf0f3\uf0e1和\uf0f4\uf0e1的参变量是2α，所以取CD1为起始半径，按α的转动方向量取2α角，得到半径CE。E点的横坐标和纵坐标就代表α方向面上的正应力和切应力。现证明如下。由图5-3(b)可见，OF\uf03dOC\uf02bCF\uf03dOC\uf02bCEcos(2\uf0e10\uf02b2\uf0e1)\uf03dOC\uf02bCEcos2\uf0e10cos2\uf0e1−CEsin2\uf0e10sin2\uf0e1\uf03dOC\uf02b(CEcos2\uf0e10)cos2\uf0e1−(CEsin2\uf0e10)sin2\uf0e1\uf03dOC\uf02bCb1os2\uf0e1−B1D1sin2\uf0e1\uf0f3x\uf02b\uf0f3y\uf03d2\uf0f3x−\uf0f3y\uf02b2cos2\uf0e1−\uf0f4xsin2\uf0e1\uf03d\uf0f3\uf0e1EF\uf03dCEsin(2\uf0e10\uf02b2\uf0e1)\uf03dCD1cos2\uf0e10sin2\uf0e1\uf02bCD1sin2\uf0e10cos2\uf0e1\uf0f3x−\uf0f3y\uf03dsin2\uf0e1\uf02b\uf0f42cos2\uf0e1\uf03d\uf0f4\uf0e1即E点的横坐标和纵坐标分别为α方向面的正应力和切应力。故E点对应于α方向面。作应力圆时，需要注意几点：①点面对应：应力圆上的一点，对应于单元体中一个方向面。②在应力圆上选择哪个半径作起始半径，需视单元体α角从哪根坐标轴量起。若α角自x轴(x面的外法线)量起，则选为CD1起始半径；若α角自y轴(y面的外法线)量起，则选CD2为起始半径。③2倍角对应：在单元体上，方向面的角度为α时，在应力圆上则自起始半径量2α角，并且它们的转向一致。④在作应力圆量取线段OB1，OB2,B1D1和B2D2时，o6o66o6需根据单元体上相应的应力正负，量取正坐标或负坐标。例5-1如图5-4（a）所示单元体，试用解析公式法和应力圆法确定α1=30°和α2=-40°两方向面上应力。已知σx=-3MPa，σy=60MPa，τx=-40MPa。解(1)解析公式法由(5-1)和(5-2)式，求得−30\uf0d7106N/m2\uf02b60\uf0d7106N/m2\uf0f3\uf03d30\uf02b−30\uf0d710N/m22\uf02b60\uf0d71062N/m2ocos60−(−40\uf0d7106N/m2)sin60o\uf03d27.14MPa\uf0f4\uf03d−30\uf0d71030N/m2\uf02b60\uf0d71062N/m2osin60\uf02b(−40\uf0d7106N/m2)cos60o\uf03d−58.97MPa−30\uf0d7106N/m2\uf02b60\uf0d7106N/m2\uf0f3o\uf03d30\uf02b−30\uf0d710N/m22\uf02b60\uf0d71062N/m2ocos(−80)−(−40\uf0d7106N/m2)sin(−80)o\uf03d−32.2MPa\uf0f4\uf03d−30\uf0d71030N/m2\uf02b60\uf0d71062N/m2sin(−80)o\uf02b(−40\uf0d7106N/m2)cos(−80)o\uf03d37.3MPa(2)应力圆法图5-4例5-1图①应力圆在Oστ坐标系中，按一定比例量取OB1=\uf0f3x=-30MPa，B1D1=\uf0f4x=-40MPa，得到D1点；量取OB2\uf03d\uf0f3y=60MPa，B2D2\uf03d\uf0f4y=40MPa，得到D2点。连接D1和D2点ooo的直线交σ轴于C点。以C点为圆心、CD1或CD2为半径作圆，即得应力圆，如图(b)所示。②求α=30°方向面上的应力因单元体上的α是由x轴逆时针量得，故在应力圆上以CD1为起始半径，逆时针转2α=60°，在圆上得到E1点，E1点对应于α=30°的方向面。量E1点的横坐标及纵坐标，即为α=30°方向面上的正应力和切应力，它们分别为\uf0f3\uf03d27MPa,\uf0f43030o\uf03d−59MPa求α=-40°方向面上的应力仍以CD1为起始半径，顺时针旋转2α=80°，在圆上得到E2点。量取E2点的横坐标和纵坐标，即为α=-40°方向面上的正应力和切应力，它们分别为\uf0f3−40\uf03d32.5MPa,\uf0f4max\uf03d37MPa例5-2图5-5(a)所示单元体，在x、y面上只有主应力，试用应力圆法确定α=-30°方向面上的正应力和切应力。图5-5例5-2图解(1)作应力圆在Oστ坐标系中的σ轴上按一定比例量取OA1\uf03d10MPa，得到A2点；再在σ轴上量取OA2\uf03d−4MPa，得到A2点；以A1A2为直径作圆，即得应力圆，如图(b)所示。(2)求α=-30°方向面上的应力以CA1起始半径顺时针旋转60°，得到E点。量取E点的横坐标和纵坐标，即得α=-30°方向面上的正应力和切应力，它们分别为\uf0f3−30\uf03d6.5MPa,\uf0f4−30o\uf03d−6MPa显然，可用(5-1)式和(5-2)式检查以上结果的正确性。三、主平面和主应力前面已经指出，一点处或对应的单元体中，切应力等于零的方向面称为主平面，主平面上的正应力称为主应力。现在确定一点处的主平面和主应力。一点处的主平面和主应力，用应力圆确定比较直观、简便。xx图5-6图5-6(a)表示一平面应力状态单元体，相应的应力圆如图5-6(b)所示。由应力圆可见，A1和A2点的纵坐标为零，这表明在单元体中与A1和A2点对应的面上，切应力为零，这两个面就是主平面。主应力的大小分别为A1和A2和点对应的横坐标，即\uf0f31\uf03dOA1,\uf0f32\uf03dOA2。此外还可看到，这两个主应力是该单元体中所有不同方向面上正应力中的极值。现由应力圆上的几何关系，导出主应力的计算公式\uf0f31\uf03dOA1\uf0f3\uf03dOA\uf03dOC\uf02bCA1\uf03dOC\uf02bCA\uf0f3X\uf02b\uf0f3y\uf03d\uf02b2\uf0f3X\uf02b\uf0f3y\uf03d−\uf0f3x−\uf0f3y(2\uf0f3x−\uf0f3y)2\uf02b\uf0f422\uf02b\uf0f42合并写为2\uf0f31\uf03d\uf0f3X\uf0f322\uf02b\uf0f3y\uf0b122\uf0f3x−\uf0f3y(2()x22)2\uf02b\uf0f42(5-5)现在确定主平面的方向。在图5-(b)所示的应力圆上，以CD1为起始半径，顺时针旋转2α0到OA1得到A1点。在单元体上，由x轴顺时针旋转α0角，就确定了σ1所在主平面的外法线，即σ1主平面的方向，也就确定了该主平面的位置。由应力圆可看出，OA2与OA2相差180°，因此σ2所在的主平面与σ1所在的主平面互相垂直。现由应力圆导出α0的计算公式。由图可见tan(−2\uf0e10)\uf03dB\uf03d1D1CB1\uf03d1(\uf0f32\uf0f4xx−\uf0f3y)或tn2\uf0e10\uf03d−2\uf0f4x\uf0f3x−\uf0f3y(5-6)66−前式中2α0前面加负号是因为起始半径CD1是顺时针旋转至CA1的。由(5-6)式求出α0后，即得σ1所在的主平面位置。主应力单元体画于图5-6(a)的原始单元体内。也可由解析公式(5-1)式和(5-2)式导出(5-5)式和(5-6)式，并可证明σ1及σ2为单元体中各不同方向面上正应力中的极值。图5-7例5-3例5-3图5-7(a)所示单元体上，σx=-6MPa,τx=-3MPa，试求主应力的大小和主平面的位置。解(1)应力圆法在Oστ坐标系中，按一定比例量取OB1\uf03d-6MPa，B1D1\uf03d-3MPa，得到D1点；由于σy=0，只需量取OD2\uf03d=3MPa，得到D2点；联接D1，D2点的直线交σ轴于C点；以C点为圆心、CD1(或CD2)为半径作圆，即得应力圆，如图(b)所示。量取OA1和OA2的长度，即得两个主应力的大小，它们是σ1=1.3MPa,σ3=-7.2MPa式中第二个主应力为负值，故标以σ3，该单元体的σ2=0。在应力圆上量得∠D1CA1=2α0=135°，并以起始半径CD1逆时针转至CA1，故在单元体上，σ1所在主平面的法线和x轴成逆时针角α0=67.5°。σ3所在主平面和σ1所在主平面垂直。主应力单元体如图(c)所示。(2)解析公式法由(5-5)式，得\uf0f31\uf03d\uf0f3x\uf0b1(\uf0f3x)2\uf02b\uf0f42x\uf03d−6\uf0d710N/m2\uf0f332\uf0b1(−6\uf0d7102N/m22)2\uf02b(−3\uf0d7106N/m2)21.24\uf03d−7.242MPa由(5-6)式，得tan2\uf0e1\uf03d−2\uf0f4x\uf03d−2\uf0d7(−3\uf0d710\uf0f3xN/m2)\uf03d6\uf0d710−6N/m2\uf03d−10−6\uf0d710−6N/m2−6\uf0d710−6N/m22因上式的分子为正，分母为负，故2α0在第二象限，并且2α0=135°，故α0=67.5°。即σ1所在主平面的外法线和x轴成67.5°；σ3所在主平面的外法线和x轴成-22.5°。例5-4一纯切应力状态的单元体如图5-8(a)所示。试用应力圆法求主应力的大小和方向。解在坐标系中按一定比例量取OD1\uf03d\uf0f4,OD2\uf03d−\uf0f4，得到D1和D2点；联接D1和D2点的直线交σ轴于O点，以O为圆心、OD1(或OD2)为半径所作的圆即为应力圆，如图(b)所示。由应力圆上量得图5-8例5-4图\uf0f31\uf03dOA1\uf03d\uf0f4\uf0f33\uf03dOA2\uf03d−\uf0f4因为起始半径OD1顺时针旋转90°至OA1，故σ1所在主平面的外法线和x轴成-45°，σ3所在主平面的外法线和x轴成+45°。主应力单元体画在图5-8(a)的原始单元体内。可见该单元体为二向应力状态。§5-3基本变形杆件的应力状态分析一、拉压杆件应力状态分析从图5-9(a)所示的拉伸杆件内任一点处取一单元体，其中左右一对面为杆件横截面的一部分。由于该单元体只在左右一对面上有拉应力σ，可见处于单向应力状态。对单向应力状态单元体(见图5-9(b))，任意α方向面上的正应力\uf0f3\uf0e1和切应力\uf0f4\uf0e1可由(5-1)和(5-2)式得到，令\uf0f3x\uf03d\uf0f3,\uf0f3y\uf03d0,\uf0f4x\uf03d0,则得\uf0f3\uf0e1\uf03d\uf0f3cos\uf0e1(5-7a)\uf0f4\uf03d\uf0f3sin2\uf0e1\uf0e12(5-7b)图5-9拉伸杆内一点的应力状态这就是拉压杆件任意方向面应力公式。该单元体的主应力由(5-5)式知，为o0oo\uf0f31\uf03d\uf0f3,\uf0f32\uf03d0,\uf0f33\uf03d0主应力方向由(5-6)式确定，为α0＝０°，可见σ1的作用面就是杆件的横截面。由(5-7)式可知1.当\uf0e1\uf03d0°时，\uf0f30\uf03d\uf0f3\uf03d\uf0f3max,\uf0f4o\uf03d0,表明拉压杆件的最大正应力发生在横截面上，该截面上不存在切应力；\uf0f3\uf0f32.当\uf0e1=45°时，\uf0f345o\uf03d,\uf0f4245o\uf03d\uf03d\uf0f4max，表明拉压杆件的最大切应力发生在45°2斜截面上，该斜截面上同时存在正应力；3.当α=90°时，\uf0f390o\uf03d0,\uf0f490o\uf03d0，表明拉压杆件纵截面上不存在任何应力。二、扭转杆件应力状态分析从图5-10(a)所示扭转圆杆内任一点处取一单元体，左右一对面为杆件横截面的一部分。由于该单元体只在左右、上下两对面上有数值相等的切应力τ，可见处于纯切应力状态图5-10扭转圆杆内一点的应力状态对纯切应力状态单元体(见图5-10(b))，任意\uf0e1方向面上的正应力\uf0f3\uf0e1和切应力\uf0f4\uf0e1也可由(5-1)和(5-2)式得到。令\uf0f3x\uf03d0,\uf0f3y\uf03d0,\uf0f4x\uf03d\uf0f4则得\uf0f3\uf0e1\uf03d−\uf0f4sin2\uf0e1(5-8a)\uf0f4\uf0e1\uf03d\uf0f4cos2\uf0e1(5-8b)该单元体的主应力及其方向，例5-4中已作了分析。由(5-8)式可知，当\uf0e1=0°时，\uf0f30\uf03d0,\uf0f40\uf03d\uf0f4\uf03d\uf0f4max，表明扭转圆杆的最大切应力发生在横截面上，该截面上不存在正应力。非圆截面扭转杆件的应力状态，也可类似地进行分析。三、梁的应力状态分析图5-11(a)示一简支梁，在梁的任一横截面m-m上，从梁顶到梁底各点处的应力状态并不相同。现沿m-m的a、b、c、d、e5个点处，分别取单元体(如图5-11(b)所示)进行分析。梁顶a点处的单元体，只有一对压应力；梁底e点处的单元体，只有一对拉应力；均处于单向应力状态。中性层c点处的单元体，只有两对切应力，处于纯切应力状态。梁顶、梁底与中性层之间b、d点处的单元体，其应力情况类同于例5-3的单元体，均为一般二向应力状态，其主应力及主应力方向可按(5-5)和(5-6)式求得。5个点处的主应力方向在图(b)中示出。四、主应力轨迹线的概念对于平面结构，可用上述方法求出结构内任一点处的两个主应力大小及其方向。在工程结构的设计中，往往还需要知道结构内各点主应力方向的变化规律。例如钢筋混凝土结构，由于混凝土的抗拉能力很差，因此，设计时需知道结构内各点主拉应力方向的变化情况，以便配置钢筋。为了反映结构内各点的主应力方向，需绘制主应力轨迹线。所谓主应力轨迹线(principalstresstrajectories)，是两组正交的曲线；其中一组曲线是主拉应力轨迹线，在这些曲线上，每点的切线方向表示该点的主拉应力方向；另一组曲线是主压应力轨迹线，在这些曲线上，每点的切线方向表示该点的主压应力方向。下面以梁为例说明如何绘制主应力轨迹线。用梁的应力状态分析的方法，可求出如图5-11(a)所示梁内各点处的主应力方向。已知梁内各点处的主应力方向后，即可绘制出梁的主应力轨迹线如图5-12(a)所示。图中实线为主拉应力轨迹线，虚线为主压应力轨迹线。梁的主应图5-11梁内各点的应力状态力轨迹线有如下特点：主拉应力轨迹线和主压应力轨迹线互相正交；所有的主应力轨迹线在中性层处与梁的轴线夹45°；在弯矩最大而剪力等于零的截面上，主应力轨迹线的切线是水平的；在梁的上、下边缘处，主应力轨迹线的切线与梁的上、下边界线平行或正交。绘制主应力轨迹线时，可先将梁划分成若干细小的网格，计算出各节点处的主应力方向，再根据各点主应力的方向，即可描绘出主应力轨迹线。主应力轨迹线在工程中是非常有用的。例如图5-12(a)的简支梁，可根据主拉应力迹线，在下部配置纵向钢筋和弯起钢筋，如图5-12(b)所示。图5-12梁的主应力轨迹线在坝体中绘制主应力轨迹线，可供选择廊道、管道和伸缩缝位置以及配置钢筋时参考。§5-4三向应力状态的最大应力受力构件中一点处的三个主应力都不为零时，该点处于三向应力状态。本节仅研究三向应力状态的最大应力。并以一单元体受三个主应力的作用(见图5-13(a))这一特例进行研究。首先分析三类特殊方向面上的应力。（1）垂直于σ3主平面的方向面上的应力为求此类方向面中任意一斜面（图5-13(a)中的阴影面）上的应力，可截取一5面体，如图5-13(b)所示。由该图可见，前后两个三角形面上，应力σ3的合力自相平衡，不影响斜面上的应力。因此，斜面上的应力只由σ1和σ2决定。由σ1和σ2，可在σ-τ直角坐标系中画出应力圆，如图5-13(c)中的AE圆。该圆上的各点，对应于垂直于σ3主平面的所有方向面，圆上各点的横坐标和纵坐标即表示对应方向面上的正应力和切应力。（2）垂直于σ2主平面的方向面上的应力这类面上的应力只由σ2和σ3决定。因此，由σ1和σ3可画出应力圆，如图5-13(c)中的AF圆。根据这一应力圆上各点的坐标，就可求出这类方向面中各对应面上的应力。（3）垂直于σ1主平面的方向面上的应力这类方向面上的应力只由σ2和σ3决定。因此，由σ2和σ3，可画出应力圆，如图5-13(c)中的EF圆。根据这一应力圆上各点的坐标，就可求出这类方向面中各对应面上的应力。图5-13三向应力状态及其应力图上述三个二向应力圆联合构成的图形，就是三向应力圆。进一步的研究可以证明，图5-13(a)所示单元体中，和三个主应力均不平行的任意方向面(如图(a)中的abc截面)上的应力，可由图5-3(c)所示阴影面中各点的坐标决定。由图5-13(c)的应力圆中可看到，如一点处是三向应力状态时，该点处的最大正应力为σ1，最小正应力为σ3，即\uf0f3max\uf03d\uf0f31,\uf0f3min\uf03d\uf0f33该点处的最大切应力(maximumshearingstress)是B点的纵坐标，其值为\uf0f4max\uf03d\uf0f31−\uf0f322(5-9)此最大切应力作用在与\uf0f32主平面垂直、并与\uf0f31和\uf0f33所在的主平面成45°角的截面上，如图5-14中的阴影面。在单向和二向应力状态中，最大切应力也应由(5-9)式计算。例如图5-15(a)所示的应力状态，σ1=40MPa,σ2=0,σ3=-60MPa，最大切应力为图5-14三向应力状态的最大切应力平面\uf0f4max\uf03d40\uf0d7106N/m2−(−60\uf0d71062N/m2)\uf03d50MPa而图5-15(b)所示的应力状态，\uf0f31=60MPa,\uf0f32=40MPa,\uf0f33=0,故最大切应力为60\uf0d7106N/m230MPa\uf0f4max\uf03d\uf03d2建议读者标出这两种应力状态下，最大切应力所在方向面的位置。图5-15平面应力状态单元体§5-5广义胡克定律·体积应变一、广义胡克定律在第二章中介绍了单向应力状态的胡克定律，其表达式为\uf0f3\uf03dE\uf0e5或\uf0e5\uf03d\uf0f3E现在分析三向应力状态下应力和应变的关系。图5-16是一从受力构件中某点处取出的单元体，其上作用着三个主应力\uf0f31，\uf0f32，\uf0f33。在三个主应力作用下，单元体在每个主应力方向都要产生线应变。主应力方向的线应变称为主应变(principalstrain)。现分别求三个主应力方向的主应变。图5-16三向应力状态单元体首先求\uf0f31方向的主应变。三个主应力都会使单元体在\uf0f31方向产生线应变，现分别求出每个主应力在\uf0f31方向引起的线应变，然后叠加，得到\uf0f31方向总的线应变。由\uf0f31引起的是纵向线应变\uf0e5′\uf03d\uf0f31(a)1E由\uf0f32引起的是横向线应变\uf0e5′′\uf03d−\uf0ed\uf0f32(b)1E由\uf0f33引起的也是横向线应变\uf0e5′′′\uf03d−\uf0ed\uf0f33(c)1E将(a)、(b)、(c)三式相加，即得\uf0f31方向的主应变为\uf0e5\uf03d\uf0e5′\uf02b\uf0e5′\uf02b\uf0e5′′\uf03d\uf0f31−\uf0ed\uf0f32−\uf0ed\uf0f331111EEE同理可求出\uf0f32和\uf0f33方向的主应变。合并写为\uf0e51\uf03d1[\uf0f3E1−\uf0ed(\uf0f32\uf02b\uf0f33)]\uf0e52\uf03d\uf0e53\uf03d1[\uf0f3E21[\uf0f3E3−\uf0ed(\uf0f31−\uf0ed(\uf0f31\uf02b\uf0f33)]\uf02b\uf0f32)]若单元体各面上不仅有正应力，还有切应力，即成为三向应力状态的一般情况，如图5-17所示。可以证明，在小变形条件下，切应力引起的线应变比起正应力引起的线应变是高阶微量，可以忽略。因此线应变和正应力之间的关系也可写成与(5-10)式类似的形式：\uf0e5x\uf03d\uf0e5y\uf03d\uf0e51[\uf0f3Ex1[\uf0f3Ey1[\uf0f3Ez−\uf0ed(\uf0f3y−\uf0ed(\uf0f3x−\uf0ed(\uf0f3x\uf02b\uf0f3z)]\uf02b\uf0f3z)]\uf02b\uf0f3y)](5-11a)同时，在三向应力状态下，切应力和切应变之间也有一定关系，即51\uf0f3\uf03d\uf0e3xy\uf0e3yz\uf0e3zx\uf0f4xy\uf03dG\uf0f4yz\uf03dG\uf0f4\uf03dzxG(5-11b)本书第三章中的剪切胡克定律，即为(5-11b)中的第一式。(5-10)式和(5-11)式表示在三向应力状态下，主应变和主应力或应变分量与应力分量之间的关系，称为广义胡克定律(generalizedHook′slaw)，(5-10)式与(5-11)式是等效的。它表明各向同性材料在弹性范围内应力和应变之间的线性本构关系。广义胡克定律应用非常广泛，例如弹性力学分析物体的应力和应变时，需用它作为物理方程；在实验应力分析中，根据某点处测出的应变，可以计算主应力或正应力、切应力。以上所得结果，同时适用于单向和二向应力状态。例如对于主应力为\uf0f31和\uf0f32的二向应力状态，令\uf0f33=0，则(5--10)式成为\uf0e51\uf03d1(\uf0f3E1−\uf0ed\uf0f32)\uf8fc\uf8f4\uf8f4图5-17三向应力状态单元体各面上的应力分量\uf0e52\uf03d1(\uf0f3E2\uf0ed\uf8f4−\uf0ed\uf0f31)\uf8fd\uf8f4\uf8f4(5-12)\uf0e53\uf03d−E(\uf0f31\uf02b\uf0f32)\uf8f4\uf8fe若用主应变表示主应力，则由上式得到\uf8f1\uf0f3\uf03d\uf8f4\uf8f2E1−\uf0ed2(\uf0e51\uf02b\uf0ed\uf0e52)(5-13)\uf8f4E\uf8f321−\uf0ed2(\uf0e52\uf02b\uf0ed\uf0e51)若单元体上既有正应力，又有切应力，即为一般二向应力状态，在这种情况下，正应力和线应变或切应力和切应变之间的关系可由(5-11a、b)式简化得到。例5-5已知一受力构件中某点处为\uf0f32\uf03d0的二向应力状态，并测得两个主应变为ε1=240με，ε3=-160με。若构件的材料为Q235钢，弹性模量E=2.1×10MPa，泊松比ν=0.3,试求该点处的主应力，并求主应变ε2。解因该点处\uf0f32=0,故参照(5-13)式，得1\uf0f3\uf03dE(\uf0e5\uf02b\uf0ed\uf0e5)\uf03d2.1\uf0d710N/m2(240−0.3\uf0d7160)\uf0d710−611−\uf0ed2121−0.32\uf03d44.3MPa112\uf0f3\uf03dE(\uf0e5\uf02b\uf0ed\uf0e5)\uf03d2.1\uf0d710N/m(−160\uf02b0.3\uf0d7160)\uf0d710−631−\uf0ed2311−0.32\uf03d−20.3MPa再参照(5-12)式，得\uf0e5\uf03d−\uf0ed2E(\uf0f31\uf02b\uf0f32)\uf03d−0.32.1\uf0d71011N/m2(44.3\uf0d7106N/m2−20.3\uf0d7106N/m2)\uf03d−34.3\uf0d710−6例5-6在一槽形钢块内，放置一边长为10mm的立方铝块。铝块与槽壁间无空隙，如图5-18(a)所示。当铝块上受到合力为F=6kN的均匀分布压力时，试求铝块内任一点处的应力，设铝块的泊松比为ν=0.33。图5-18例5-6图解当铝块受到F力压缩后，水平截面上将产生均匀的压应力，用σy表示，则\uf0f3\uf03d−F\uf03d−6\uf0d7103N\uf03d−60MPayA0.01\uf0d70.01m2同时，铝块的变形受到左、右两侧槽壁的限制，因此产生侧向压应力，用\uf0f3x表示，而沿槽方向不受限制，不产生应力，即\uf0f3z=0。在铝块内任一点处取一单元体，连同所受应力，如图5-18(b)所示。根据平衡条件无法求出\uf0f3x，故需利用变形协调条件。因铝较软，可假设槽形钢块为刚体，故铝块沿左、右方向不可能变形，即\uf0e5x=0。由(5-11a)式，\uf0e5\uf03d1(\uf0f3−\uf0ed\uf0f3)\uf03d0xExy62\uf0f3x\uf03d\uf0ed\uf0f3y\uf03d0.33\uf0d7(−60\uf0d710N/m)\uf03d−19.8MPa如果采用主应力记号，则铝块内任一点处的应力为\uf0f31\uf03d0,\uf0f3\uf03d−19.8MPa,\uf0f33\uf03d−60MPa例5-7直径d=80mm的圆轴受外力偶T作用，如图5-19(a)所示。若在圆轴表面沿与母线成-45°方向测得正应变ε-45=260με，求作用在圆轴上的外力偶T的大小。已知材料弹性模量E=2.0×105MPa，泊松比ν=0.3。图5-19例5-7图解在圆轴表面取一单元体进行分析，该单元体处于纯切应力状态。作用在该单元体x面和y面上的切应力值为\uf0f4\uf03dMxWP\uf03d16T\uf0f0d3(a)与母线夹角为-45°方向的正应变与单元体-45°和45°这两个相互正交的截面上的正应力都有关。由例5-4知，这两个相互正交的截面恰为主平面，且σ-45°=σ1=τ，σ45°=σ3=-τ。故由（5-10）式，得将(a)代入(b)可得\uf0e545o\uf03d1(\uf0f3E−45o−\uf0ed\uf0f345o)\uf03d1\uf02b\uf0ed\uf0f4E(b)\uf0f0d3T\uf03d16E\uf0e51\uf02b\uf0ed−45o代入已知的ε-45°、E和ν的值，求得作用在圆轴上的外力偶T=4.02kN·m二、体积应变图5-20所示单元体，边长为dx、dy和dz。在三个主应力作用下，边长将发生变化，现求其体积的改变。单元体原来的体积为V0=dxdydz。受力变形后，单元体的体积设为V，则单元体的体积改变为∆V\uf03dV−V0\uf03d(dx\uf02b\uf0e51dx)(dy\uf02b\uf0e52dy)(dz\uf02b\uf0e53dz)−dxdydz\uf03d(1\uf02b\uf0e51)(1\uf02b\uf0e52)(1\uf02b\uf0e53)dxdydz−dxdydz略去应变的高阶微量后，得∆V\uf03d(\uf0e51\uf02b\uf0e52\uf02b\uf0e53)dxdydz单位体积的改变称为体积应变(volumestrain)，用θ表示，则图5-20三向应力状态单元体\uf0e8\uf03d∆VV0\uf03d\uf0e51\uf02b\uf0e52\uf02b\uf0e53(5-14)将(5-10)式代入后，体积应变可用主应力表示为\uf0e8\uf03d1−2\uf0ed(\uf0f3\uf02b\uf0f3\uf02b\uf0f3)E123(5-15)由(5-15)式可见，体积应变和三个主应力之和成正比。如果三个主应力之和为零，则θ等于零，即体积不变。例如纯切应力状态，由于σ1=τ，σ2=0，σ3=-τ，σ1+σ2+σ3=0，故体积不改变，这说明切应力不引起体积改变。因此，当单元体各面上既有正应力，又有切应力时，体积应变为1−2\uf0ed()\uf0e8\uf03d\uf0f3x\uf02b\uf0f3y\uf02b\uf0f3zE如果物体内任一点处的单元体上，受到压强p的静水压力作用，即σ1=σ2=σ3=-p，则由(5-15)式，得\uf0e8\uf03d−3(1−2\uf0ed)PE(5-16)K\uf03d−P\uf03d\uf0e8E3(1−2\uf0ed)(5-17)式中K称为体积模量或压缩模量(bulkmodulusofelasticity)。§5-6应变能和应变能密度弹性体在外力作用下产生变形，外力作用点也同时产生位移，因此外力要做功。按照功能原理，如不计热能、电磁能的变化，则外力所做的功在数值上等于积蓄在弹性体内的应变能。当外力除去后，应变能又从弹性体内释放出来，并使弹性变形消失。这种应变能称为弹性应变能。如用Vε表示应变能，W表示外力功，则V\uf0e5\uf03dW(5-18)一、轴向拉压杆件的应变能和应变能密度图5-21(a)所示一受轴向拉伸的直杆，拉力由零逐渐增加到最后的数值F1，现计算外力功。当拉力逐渐增加时，杆也随之伸长，杆的伸长就等于加力点沿加力方向的位移。由于拉力是变力，必须先计算加力过程中某一时刻的拉力在伸长增量上所做的微功，然后累加起来，即得到总功。设某一时刻的拉力为F，杆的伸长增量是d(Δl)，则微功为Fd(Δl)。当材料处于弹性范围时，拉力和伸长成线性关系，F-Δl图为直线，如图5-21(b)所示。微功由图上黑线面积表示。当拉力增加到最后数值F1时，杆的伸长为Δl1，外力所做的总功为图(b)中三角形面积OAB，即W\uf03d∫∆l1Fd(∆l)\uf03d1Fl0211一般地，外力功可写为由(5-18)式，杆的应变能也为图5-21拉杆应变能W\uf03d1F∆l21V\uf0e5\uf03d∆Fl2由于图5-21(a)所示拉杆的轴力FN=F，伸长Δl=FNl/EA，故上式可写为V\uf03d1F∆l\uf03dF2Nl(5-19)\uf0e52N2EA杆件应变能与杆件体积之比称为应变能密度(strain-energydensity)，用v\uf0e5表示。由于拉杆内各点的应力状态相同，故将应变能除以杆的体积，即得应变能密度为1F∆lv\uf03dV\uf0e5\uf03d2N\uf03d1\uf0f3\uf0e5(5-20)VAl2在国际单位制中，应变能的单位是焦尔(J)，1J=1N·m。应变能密度的单位是焦尔/米3(J/m3)。以上导出的应变能计算公式也适用于杆受压缩的情况。而应变能密度的计算公式则适用于所有单向应力状态。二、三向应力状态的应变能密度利用(5-20)式，可以求得三向应力状态的应变能密度。图5-22(a)示一主应力单元体，设主应力σ1，σ2和σ3按同一比例由零逐渐增加到最后的数值。将每一个主应力所引起的应变能密度相加，即可得到单元体的总应变能密度为v\uf03d1\uf0f3\uf0e5\uf02b1\uf0f3\uf0e5\uf02b1\uf0f3\uf0e5211222233图5-22单元体应力状态的分解232将广义胡克定律(5-10)式代入上式，经化简后得到总应变能密度为v\uf03d1[\uf0f32\uf02b\uf0f32\uf02b\uf0f32−2\uf0ed(\uf0f3\uf0f3\uf02b\uf0f3\uf0f3\uf02b\uf0f3\uf0f3)](5-21)\uf0e52E123122331在一般情况下，三向应力状态下的单元体将同时产生体积改变和形状改变，因此总应变能密度也可分为与之相应的体积改变能密度(strain-energydensityofvolumechange)vV和形状改变能密度(strain-energydensityofdistortion)vd。为了求得这两部分应变能密度，可将图5-22(a)所示的应力状态分解成图5-22(b)和(c)所示的两种应力状态。在(b)图所示的单元体上，1各面上作用有相等的主应力σm=3(σ1+σ2+σ3)，显然，该单元体只发生体积改变而无形状改变。由(5-15)式可知，其体积应变和(a)图所示单元体的体积应变相同。因此，(a)图所示单元体的体积改变能密度可求得为1vV\uf03d3⋅21⋅\uf0f3m⋅\uf0e5m1−2\uf0ed\uf0e5m\uf03d[\uf0f3m−\uf0ed(\uf0f3m\uf02b\uf0f3m)]\uf02b\uf0f3mEE将此式代入上式，得体积改变能密度为1vV\uf03d3⋅2⋅\uf0f3m⋅1−2\uf0edE\uf0f3m\uf03d1−2\uf0ed6E(\uf0f31\uf02b\uf0f32\uf02b\uf0f33)(5-22)在(c)图所示的单元体上，三个主应力之和为零，由(5-15)式可知，其体积应变εV=0，即该单元体只有形状改变。这一单元体的应变能密度即为形状改变能密度vd。它等于单元体的总应变能密度减去体积改变能密度。由(5-21)和(5-22)，可得vd\uf03dv−vV\uf03d1\uf02b\uf0ed[(\uf0f36E1−\uf0f32)2\uf02b(\uf0f3−\uf0f33)2\uf02b(\uf0f3−\uf0f31)2](5-23)思考题5-1研究一点应力状态的意义是什么?5-2最大正应力所在面上的切应力一定为零，最大切应力所在面上的正应力是否也一定为零?5-3试举出单向应力状态、二向应力状态、三向应力状态的工程实例。5-4试定性画出轴向拉伸、轴向压缩、扭转圆轴、一般受弯杆件危险点处的应力单元体及其对应的应力圆。5-5二向应力状态单元体(σ1≠0，σ2≠0，σ3=0)，已知主应变ε1≠0，ε2≠0，材料泊松比为ν，其主应变ε3是否为–ν（ε1+ε2）？5-6一个二向应力状态与另一个二向应力状态叠加的结果是什么应力状态?习题5-1各单元体上的应力如图所示。试用解析公式法求指定方向面上的应力。题5-1图5-20.1×0.5m2的矩形截面木梁，受力如图所示。木纹与梁轴成20°角，试用解析公式法求截面a-a上A，B两点处木纹面上的应力。题5-2图5-3各单元体上的应力如图所示。试用应力圆法求各单元体的主应力大小和方向，再用解析公式法校核，并绘出主应力单元体。题5-3图5-4试确定梁中A、B两点处的主应力大小和方向角，并绘出主应力单元体。5-5图示A点处的最大切应力是0.9MPa，试确定F力的大小。题5-4图题5-5图5-6分析图示杆件A点处横截面上及纵截面上有什么应力。(提示：在A点处取出图示单元体，并考虑它的平衡)。5-7求图中两单元体的主应力大小及方向。题5-6图题5-7图5-8在物体不受力的表面上取一单元体A，已知该点的最大切应力为3.5MPa，与表面垂直的斜面上作用着拉应力，而前后面上无应力。(1)计算A点的σx，σy及τx，并画在单元体上。(2)求A点处的主应力大小和方向。题5-8图5-9在一体积较大的钢块上开一个立方槽，其各边尺寸都是1cm，在槽内嵌入一铝质立方块，它的尺寸是0.95×0.95×1cm3(长×宽×高)。当铝块受到压力F=6kN的作用时，假设钢块不变形，铝的弹性模量E=7.0×104MPa，ν=0.33，试求铝块的三个主应力和相应的主应变。5-10在图示工字钢梁的中性层上某点K处，沿与轴线成45°方向上贴有电阻片，测得正应变ε=-2.6×10-5，试求梁上的荷载F。设E=2.1×105MPa，ν=0.28。题5-10图题5-11图5-11图示一钢质圆杆，直径D=20mm。已知A点处与水平线成70°方向上的正应变70°=4.1×10-4。E=2.1×105MPa，ν=0.28,求荷载F。5-12用电阻应变仪测得受扭空心圆轴表面上某点处与母线成45°方向上的正应变ε=2.0×10-4。已知E=2.0×105MPa,，ν=0.3，试求T的大小。5-13受力物体内一点处的应力状态如图所示，试求单元体的体积改变能密度和形状改变能密度。设E=2.0×105MPa，ν=0.3。题5-12图题5-13图习题答案第四章返回总目录第六章在第二、三、四章中，已分别介绍了拉压、扭转和弯曲三类基本变形杆件的强度条件和强度计算方法。这三类杆件的危险点是分别处于单向应力状态或纯切应力状态。如受力杆件中危险点处于复杂应力状态，则必需按强度理论进行强度计算。本章介绍了四种常用的强度理论和莫尔强度理论以及它们的应用。第六章强度理论§6-1强度理论的概念§6-2四种常用的强度理论一、关于脆性断裂的强度理论二、关于屈服的强度理论§6-3莫尔强度理论§6-4强度理论的应用思考题习题习题答案返回总目录第六章强度理论§6-1强度理论的概念在第二章拉压杆件的强度计算、第三章扭转杆件的强度计算和第四章梁的正应力、切应力强度计算中，所用的强度条件分别为σmax≤［σ］或τmax≤［τ］(6-1)其中容许正应力［σ］和容许切应力［τ］都可直接由试验所得的极限应力除以安全因数得到。所以上述强度条件是直接通过试验得到了材料的极限应力之后建立的。又从第五章的应力状态分析知，拉压杆件的危险点和梁的正应力危险点是处于单向应力状态，而扭转杆件的危险点和梁的切应力危险点是处于纯切应力状态。可见上述两个强度条件只能分别适用于杆件中危险点处于单向应力状态和纯切应力状态的情况。但是，一些杆件受力后，杆件中危险点处的应力状态既不属于单向应力状态，也不属于纯切应力状态，而是属于复杂应力状态(一般二向或三向应力状态)。要对危险点处于复杂应力状态的杆件进行容许应力法的强度计算，理应先用试验方法确定材料的极限应力，然后才能建立强度条件。但在复杂应力状态下，主应力σ1、σ2和σ3可以有无限多的组合，要通过实验确定各种不同主应力组合下的极限应力是难以做到的。而且在复杂应力状态下，试验设备和试验方法都比较复杂。因此，为了解决复杂应力状态下的强度计算问题，人们不再采用直接通过复杂应力状态的破坏试验建立强度条件的方法，而是致力于观察和分析材料破坏的规律，找出使材料破坏的共同原因，然后利用单向应力状态的试验结果，来建立复杂应力状态下的强度条件。17世纪以来，人们根据大量的试验，进行观察和分析，提出了各种关于破坏原因的假说，并由此建立了不同的强度条件。这些假说和由此建立的强度条件通常就称为强度理论（theoryofstrength）。每种强度理论的提出，都是以一定的试验现象为依据。实际现象表明，材料的破坏形式有两种。一种是脆性断裂破坏，例如铸铁拉伸，试件最后是在横截面上被拉断；铸铁扭转，试件最后是在与杆轴线成45°的方向被拉断。另一种是屈服破坏，例如低碳钢拉伸和压缩以及低碳钢扭转时，试件以出现屈服而破坏。现有的强度理论虽然很多，但大体可分为两类：一类是关于脆性断裂的强度理论；另一类是关于屈服破坏的强度理论。下面将介绍在实际中应用较广的五种主要的强度理论。§6-2四种常用的强度理论一、关于脆性断裂的强度理论1.最大拉应力理论（第一强度理论）这一理论认为，最大拉应力是引起材料断裂破坏的原因。当构件内危险点处的最大拉应力达到某一极限值时，材料便发生脆性断裂破坏。这个极限值就是材料受轴向拉伸发生断裂破坏时的极限应力。因此，破坏条件(conditionoffailure)为σ1=σb将σb除以安全因数后，得到材料的容许拉应力［σ］，故强度条件为σ1≤［σ］(6-2)这一理论是由英国学者兰金（W.J.Rankine）于1859年提出的，是最早提出的强度理论。实验表明，对于铸铁、砖、岩石、混凝土和陶瓷等脆性材料，在二向或三向受拉断裂时，此强度理论较为合适。而且因为计算简单，所以应用较广。但是它没有考虑σ2和σ3两个主应力对破坏的影响。2.最大拉应变理论（第二强度理论）这一理论认为，最大拉应变是引起材料断裂破坏的原因。当构件内危险点处的最大拉应变达到某一极限值时，材料便发生脆性断裂破坏。这个极限值是材料受轴向拉伸发生断裂破坏时的极限应变。因此，破坏条件为ε1=εu若材料直至破坏都处于弹性范围，则在复杂应力状态下，由广义胡克定律(5-10)式，并注意σ=σb，这一破坏条件可用主应力表示为uEσ1−ν(σ2+σ3)=σB将σb除以安全因数后，得到容许拉应力［σ］，故强度条件为σ1−ν(σ2+σ3)=≤［σ］(6-3)这一理论是由圣文南于19世纪中叶提出的。它可以解释混凝土试件或石料试件受压时的破坏现象。例如第二章中介绍的混凝土试件，当试件端部无摩擦时，受压后将产生纵向裂缝而破坏，这可以认为是由于试件的横向应变超过了极限值的结果。此外，第二强度理论考虑了σ2和σ3对破坏的影响，似乎比第一强度理论合理，但没有得到多数材料的实验证实。二、关于屈服的强度理论1.最大切应力理论（第三强度理论)这一理论认为，最大切应力是引起材料屈服破坏的原因。当构件内危险点处的最大切应力达到某一极限值时，材料便发生屈服破坏。这个极限值是材料受轴向拉伸发生屈服时的切应力。因此，屈服条件为τmax=τs在复杂应力状态下，由(5-9)式，并注意τ=σs，这一屈服条件可用主应力表示为s2σ1−σ3=σs将σs除以安全因数后，得到容许拉应力［σ］，故强度条件为σ1−σ3≤［σ］(6-4)这一理论首先由库仑(C.A.Coulomb)于1773年针对剪断的情况提出，后来屈雷斯卡(H.Tresca)将它引用到材料屈服的情况。故这一理论的屈服条件又称为屈雷斯卡屈服条件。一些实验表明，这一强度理论可以解释塑性材料的屈服现象，例如低碳钢拉伸屈服时，沿着与轴线成45°方向出现滑移线的现象。同时这一强度理论计算简单，计算结果偏于安全，所以在工程中广泛应用。但是，这一强度理论没有考虑中间主应力σ2对屈服破坏的影响。2.形状改变能密度理论（第四强度理论）σ232223这一理论认为，形状改变能密度是引起材料屈服破坏的原因。当构件内危险点处的形状改变能密度达到某一极限值时，材料便发生屈服破坏。这一极限值是材料受轴向拉伸发生屈服时的形状改变能密度。因此，破坏条件为由(5-23)式，在复杂应力状态下vd=vduv=1+ν[(σd6E1−σ2)2+(σ−σ3)2+(σ−σ1)2]在轴向拉伸试验中，测得材料的拉伸屈服极限σs后，令上式中的σ1=σs,σ2=σ3=0，便得到材料受轴向拉伸发生屈服时的形状改变能密度为故屈服条件可用主应力表示为vdu=1+ν23Es12[(σ1−σ2)2+(σ2−σ3)+(σ3−σ1)]=σs将σs除以安全因数后，得到容许拉应力［σ］，故强度条件为1[(σ21−σ2)2+(σ−σ3)2+(σ−σ1)2]≤［σ］(6-5)意大利学者贝尔特拉密(E.Beltrami)首先是以总应变能密度作为判断材料是否发生屈服破坏的原因，但是在三向等值压缩下，材料很难达到屈服状态。这种情况的总应变能密度可以很大，但单元体只有体积改变而无形状改变，因而形状改变能密度为零。因此波兰学者胡伯(M.T.Huber)于1904年提出了形状改变能密度理论，后来由德国的密赛斯(R.VonMises)作出进一步的解释和发展。故这一理论的屈服条件又称为密赛斯屈服条件。一些实验表明，这一强度理论可以较好地解释和判断材料的屈服，由于全面考虑了三个主应力的影响，所以比较合理。它比最大切应力理论更符合实验结果。§6-3莫尔强度理论最大切应力理论是解释和判断塑性材料是否发生屈服的理论，但材料发生屈服的根本原因是材料的晶格之间在最大切应力的面上发生错动。因此，从理论上说，这一理论也可以解释和判断材料的脆性剪断破坏。但实际上，某些实验现象没有证实这种论断。例如铸铁压缩试验，虽然试件最后发生剪断破坏，但剪断面并不是最大切应力的作用面。这一现象表明，对脆性材料，仅用切应力作为判断材料剪断破坏的原因还不全面。1900年，莫尔(O.Mohr)提出了新的强度理论。这一理论认为，材料发生剪断破坏的原因主要是切应力，但也和同一截面上的正应力有关。因为如材料沿某一截面有错动趋势时，该截面上将产生内摩擦力阻止这一错动。这一摩擦力的大小与该截面上的正应力有关。当构件在某截面上有压应力时，压应力越大，材料越不容易沿该截面产生错动；当截面上有拉应力时，则材料就容易沿该截面错动。因此，剪断并不一定发生在切应力最大的截面上。13由§5-4得知，在三向应力状态下，一点处的应力状态可用三个二向应力圆表示。如果不考虑σ2对破坏的影响，则一点处的最大切应力或较大的切应力可由σ1和σ3所作的应力圆决定。材料发生剪断破坏时，由σ1和σ3所作的应力圆称为极限应力圆(limitstresscircle)。莫尔认为，根据σ1和σ3的不同比值，可作一系列极限应力圆，然后作这一系列极限应力圆的包络线(envelopecurve)，如图6-1所示。某一材料的包络线便是其破坏的临界线(criticalcurve)。当构件内某点处的主应力为已知时，根据σ1和σ3所作的应力圆如在包络线以内，则该点不会发生剪断破坏；如所作的应力圆与包络线相切，表示该点刚处于剪断破坏状态，切点就对应于该点处的破坏面；如所作的应力圆已超出包络线，表示该点已发生剪断破坏。图6-1极限应力圆的包络线但是，要精确作出某一材料的包络线是非常困难的。工程上为了简化计算，往往只作出单向拉伸和单向压缩的极限应力圆，并以这两个圆的公切线作为简化的包络线。图6-2表示抗拉强度σbt和抗压强度σbc不相等的材料所作的极限应力圆和包络线。为了导出用主应力表示的破坏条件，设构件内某点处刚处于剪断破坏状态，由该点处的主应力σ1和σ3作一应力圆和包络线相切，如图6-2中的中间一个应力圆。作MKL的平行线PNO1,由△O1NO3∽△O1PO2，得到式中O=3NO2P=O3O1O2O1图6-2简化的包络线11O3N=O3K−O1L=(σ1−σ3)−211σbt2O2P=O2M−O1L=σbc−2σbt2由此可得O3O1=OO1+OO3=O2O1=OO1+OO2=1σbt+21σbt+21(σ1+σ3)21σbt2σ−σbtσσbc=σbt这就是莫尔强度理论的破坏条件。将σbt和σbc除以安全因数后，得到材料的容许拉应力［σt］和容许压应力［σc］，故强度条件为c22σ−[σt]σ≤［σ］(6-6)1[σ]3t一些实验表明，莫尔强度理论适用于脆性材料的剪断破坏。例如铸铁试件受轴向压缩时，其剪断面和图6-2中的M点对应，并不是与横截面成45°的截面。此外，该强度理论也可用于岩石、土壤等材料。对于抗拉强度和抗压强度相等的塑性材料，由于［σt］=［σc］，此时，(6-6)式即成为(6-4)式，表明最大切应力理论是莫尔强度理论的特殊情况。因此，莫尔强度理论也适用于塑性材料的屈服。莫尔强度理论和最大切应力理论一样，也没有考虑σ2对破坏的影响。§6-4强度理论的应用上面介绍了五种主要的强度理论及每种强度理论的强度条件，如(6-2)～(6-6)式。这些强度条件可以写成统一的形式，即σr≤［σ］(6-7)式中σr称为相当应力(equivalentstress)。上述五种强度理论的相当应力分别为第一强度理论：σr1=σ1第二强度理论：σr2=σ1−ν(σ2+σ3)第三强度理论：σ3=σ1−σ3第四强度理论：σr4=12[(σ1−σ2)2[σt]+(σ2−σ3)+(σ3−σ1)]莫尔强度理论：σrM=σ1−σ3[σc](6-8)各相当应力只是杆件危险点处主应力的组合。有了强度理论的强度条件，就可对危险点处于复杂应力状态的杆件进行强度计算。但是，在工程实际问题中，解决具体问题时选用哪一个强度理论是比较复杂的问题，需要根据杆件的材料种类、受力情况、荷载的性质(静荷载还是动荷载)以及温度等因素决定。一般说来，在常温静载下，脆性材料多发生断裂破坏(包括拉断和剪断)，所以通常采用最大拉应力理论或莫尔强度理论，有时也采用最大拉应变理论。塑性材料多发生屈服破坏，所以通常采用最大切应力理论或形状改变能密度理论，前者偏于安全，后者偏于经济。但是，材料的破坏形式又受应力状态的影响，因此，即使同一种材料，在不同的应力状态下，也不能采用同一种强度理论。例如低碳钢在单向拉伸时呈现屈服破坏，可用最大切应力理论或形状改变能密度理论；但在三向拉伸状态下低碳钢呈现脆性断裂破坏，就需要用最大拉应力理论或最大拉应变理论。对于脆性材料，在单向拉伸状态下，应采用最大拉应力理论；但在二向或三向应力状态下，且最大和最小主应力分别为拉应力和压应力的情况，则可采用最大拉应变理论或莫尔强度理论。在三向压应力状态下，不论塑性材料还是脆性材料，通常都发生屈服破坏，故一般可用最大切应力理论或形状改变能密度理论。总之，强度理论的研究，虽然有了很大发展，并且在工程上也得到广泛的应用，但至今所提出的强度理论都有不够完善的地方，还有许多需要研究的问题。一些新的强度理论，如我国学者俞茂宏提出的双切应力强度理论等，本书不再作详细介绍。必须指出，强度理论同样可用于危险点处于单向应力状态或纯切应力状态情况的强度计算。当危险点处于单向应力状态时，无论选用上述五个强度理论中的哪一个，其强度条件均相同，为σmax≤［σ］(6-9)当危险点处于纯切应力状态时，无论选用上述五个强度理论中的哪一个，其强度条件也均可导出如下的统一形式τmax≤［τ］(6-10)这一结果，从式(3-20)所给的［τ］与［σ］的关系式及下面例6--1的分析，就不难理解了。对于危险点处于复杂应力状态情况，则必须先选用合适的强度理论，再按该强度理论的强度条件进行强度计算。例6-1试用强度理论导出［τ］和［σ］之间的关系式。解取一纯切应力状态的单元体，如图6-3所示。在该单元体中，主应力σ1=τ，σ2=0，σ3=-τ。现首先用第四强度理论导出［τ］与［σ］的关系式。将主应力代入(6-5)式，得1[(τ−σ)2+(σ+τ)2+(−τ−τ)2]≤［σ］2即τ≤[σ]3将上式与纯切应力状态的强度条件(6-10)式相比较，即得[τ]=[σ]=0.577[σ]3同理，由其它的强度理论也可导出［τ］和［σ］的关系为由第三强度理论：［τ］=0.5［σ］图6-3例6-1图由第一强度理论：［τ］=［σ］由第二强度理论：［τ］=［σ］/(1+ν)由于第一、第二强度理论适用于脆性材料，第三、第四强度理论适用于塑性材料，故通常取［τ］和［σ］的关系为：塑性材料：［τ］=(0.5～0.6)［σ］脆性材料：［τ］=(0.8～1.0)［σ］此即（3-20）式。通常低碳钢的容许应力取［σ］=170MPa,［τ］=100MPa，基本符合由第四强度理论导出的［τ］和［σ］的关系。例6-2已知一锅炉的平均直径D0=1000mm，壁厚δ=10mm，如图6-4（a）所示。锅炉材料为低碳钢，其容许应力［σ］=170MPa。设锅炉内蒸汽压力的压强p=3.6MPa，试用第四强度理论校核锅炉壁的强度。n20解（1）锅炉壁的应力分析图6-4例6-2图由于蒸气压力对锅炉端部的作用，锅炉壁横截面上要产生轴向应力，用σ′表示；同时，蒸汽压力使锅炉壁均匀扩张，壁的切线方向要产生周向应力，用σ″表示。现分析这两种应力。先求轴向应力σ′。假想将锅炉沿横截面截开，留下左部分，如图(b)所示。在留下的部分上，除蒸汽压力外，还有环形截面上的轴向应力σ′。因壁厚很小，可认为σ′沿壁厚均πD2匀分布。作用在锅炉端部的合力可近似地认为是p04。由平衡方程，得πD2p0=σ′[π(D0+2δ)πD2π−0]=σ′(4Dδ+4δ2)44440由于δ<[σ]=196.2MPa>[σ]可见28a号工字钢不能满足主应力强度要求，需加大截面，重新选择工字钢。改选32a号工字钢，并计算a点处的正应力和切应力，得123σ=84×10N⋅m×14.5×10−2m=110.0MPa11075.5×10−8m43−63τ=200×10N⋅m×267.4×10m=56.5MPa由此可得11075.5×10−8m4×0.95×10−2mσr3=157.7MPa＜［σ］σr4=147.2＜［σ］可见32a号工字钢能满足主应力强度要求。显然，该梁最大正应力和最大切应力也能满足强度要求。从这一例题可知，为了全面校核梁的强度，除了需要作正应力和切应力强度计算外，有时还需要作主应力强度校核。一般地说，在下列情况下，需作主应力强度校核：(1)弯矩和剪力都是最大值或者接近最大值的横截面；(2)梁的横截面宽度有突然变化的点处，例如工字形和槽形截面翼缘和腹板的交界点处。但是，对于型钢，由于在腹板和翼缘的交界点处做成圆弧状，因而增加了该处的横截面宽度，所以，主应力强度是足够的。只有对那些由三块钢板焊接起来的工字钢梁或槽形钢梁才需作主应力强度校核。例6-4对某种岩石试样进行了一组三某种岩石试验结果向受压破坏试验，结果如表所示。设某工程（应力单位：MPa）的岩基中，两个危险点的应力情况已知为A点：σ=σ=-10MPa试件号123σ3=-140MPaB点：σ1=σ2=-120MPaσ3=-200MPa试用莫尔强度理论校核A、B点的强度。解因为已知三向受压破坏试验的数据，所以不宜用简化的直线包络线，而应直接作包络线，然后校核A、B两点的强度。利用表中的数据，由σ1和σ3作出三个极限应力圆，作其包络线，如图6-6所示。再分别由A、B点的主应力σ1和σ3作出两个应力圆，如图中虚线所示的圆。A点对应的应力圆为A圆，B点对应的应力圆为B圆。由图可见，Aσ10-23-64σ20-23-191σ3-74-133-191圆已超出包络线，故A点已发生剪断破坏；图6-6例6-4图B圆在包络线以内，故B点不会发生剪断破坏。思考题6-1试证明无论选用哪一个强度理论，对处于单向应力状态的点，强度条件总是σmax≤［σ］；对处于纯切应力状态的点，强度条件总是τmax≤［τ］。6-2将一低温玻璃球放入高温水中，玻璃球将如何破坏?为什么?6-3将沸水倒入厚玻璃杯时，杯会爆裂是什么原因?是外壁还是内壁先裂?6-4冬天的自来水管会因管中的水结冰而冻裂，试分析水和水管各处于什么应力状态及冻裂的原因。6-5试分析单轴压缩的混凝土圆柱(图a)与在钢管肉灌注混凝土并凝固后，在其上端施加均匀压力的混凝土圆柱(图b)，哪种情况下的强度大?为什么?思考题6-5图习题6-1炮筒横截面如图所示。在危险点处，σt=60MPa，σr=-35MPa，第三主应力垂直于纸面为拉应力，其大小为40MPa，试按第三和第四强度论计算其相当应力。题6-1图题6-2图6-2已知钢轨与火车车轮接触点处的正应力σ1=-650MPa，σ2=-700MPa，σ3=-900MPa。如钢轨的容许应力［σ］=250MPa，试用第三强度理论和第四强度理论校核该点的强度。6-3受内压力作用的容器，其圆筒部分任意一点A处的应力状态如图(b)所示。当容器承受最大的内压力时，用应变计测得：εx=1.88×10-4，εy=7.37×10-4。已知钢材弹性模量E=2.1×105MPa，横向变形系数v=0.3，［σ］=170MPa。试用第三强度理论对A点处作强度校核。题6-3图题6-4图6-4图示两端封闭的薄壁圆筒。若内压p=4MPa，自重q=60kN/m，圆筒平均直径D=1m，壁厚δ=30mm，容许应力［σ］=120MPa，试用第三强度理论校核圆筒的强度。6-5两种应力状态如图（a）、（b）所示。（1）试按第三强度理论分别计算其相当应力（设｜σ｜＞｜τ｜）；（2）直接根据形状改变能密度的概念判断何者较易发生屈服?并用第四强度理论进行校核。题6-5图题6-6图6-6在一砖石结构中的某一点处，由作用力引起的应力状态如图所示。构成此结构的石料是层化的，而且顺着与A-A平行的平面上承剪能力较弱。试问该点是否安全?假定石头在任何方向上的容许拉应力都是1.5MPa，容许压应力是14MPa，平行于A-A平面的容许切应力是2.3MPa。6-7一简支钢板梁受荷载如图(a)所示，它的截面尺寸见图(b)。已知钢材的容许应力［σ］=170MPa,［τ］=100MPa，试校核梁内的正应力强度和切应力强度，并按第四强度理论对截面上的a点作强度校核。(注：通常在计算a点处的应力时近似地按a′点的位置计算。)题6-7图题6-8图6-8某种铸铁的拉、压强度极限之比是σb/σbc=1/4。用此种铸铁做单向压缩试验，如图所示。试按莫尔强度理论判断断裂面与试样轴线所成的角度ϕ?习题答案第五章返回总目录第七章工程中有些杆件在外力作用下，常常同时产生两种或两种以上的基本变形，称为组合变形杆件。计算杆在组合变形下的应力和变形时，如材料在线弹性范围内和小变形条件下，可分别计算出每种基本变形下的应力和变形，再应用叠加原理得到杆在组合变形下的应力和变形。本章介绍工程中最常见的斜弯曲、拉伸(压缩)与弯曲、偏心压缩(拉伸)和弯曲与扭转四种组合变形杆件的应力分析和强度计算。第七章组合变形杆件的应力分析与强度计算§7-1概述§7-2斜弯曲一、正应力计算二、中性轴的位置、最大正应力和强度条件三、斜弯曲变形特点§7-3拉伸(压缩)与弯曲的组合§7-4偏心压缩(拉伸)§7-5截面核心§7-6弯曲与扭转的组合思考题习题习题答案返回总目录第七章组合变形杆件的应力分析与强度计算§7-1概述前面研究了杆在基本变形下的应力和变形以及强度和刚度计算。但是，工程中有很多杆件在外力作用下，常常产生两种或两种以上的基本变形组合。例如图7-1(a)所示的烟囱，在自重和水平风力作用下，将产生压缩和弯曲；图7-1(b)所示的厂房柱子，在偏心外力作用下，将产生偏心压缩(压缩和弯曲)；图7-1(c)所示的传动轴，在皮带拉力作用下，将产生弯曲和扭转。这些同时发生两种或两种以上基本变形组合的杆件，称为组合变形(combineddeformation)杆件。计算杆在组合变形下的应力和变形时，如杆的材料处于弹性范围，且在小变形的情况下，则可将作用在杆上的荷载分解或简化成几组荷载，使杆在每组荷载下，只产生一种基本变形。然后计算出每一种基本变形下的应力和变形，由叠加原理就可得到杆在组合变形下的应力和变形。本章主要介绍杆在斜弯曲、拉伸(压缩)和弯曲、偏心压缩(偏心拉伸)以及弯曲和扭转等组合变形下的应力和强度计算。图7-1组合变形§7-2斜弯曲在前面研究的弯曲问题中，对于具有纵向对称平面的梁，当外力作用在纵向对称平面内时，梁变形后轴线位于外力作用平面内，此种弯曲称为平面弯曲，如图7-2(a)所示。对于不具有纵向对称平面的梁，只有当外力作用在通过弯曲中心且与形心主惯性平面平行的弯心平面内时，梁只发生平面弯曲，如图7-2(b)所示。但工程中常有一些梁，不论梁是否具有纵向对称平面，外力虽然经过弯曲中心(或形心)，但其作用面与形心主惯性平面既不重合、也不平行，如图7-2(c)、(d)所示，这种弯曲称为斜弯曲(obliquebending)。现以图7-3(a)所示矩形截面悬臂梁为例。研究具有两个相互垂直的对称面的梁在斜弯曲情况下的应力和强度计算。图7-2平面弯曲与斜弯曲一、正应力计算设F力作用在梁自由端截面的形心，并与竖向形心主轴夹ϕ角。现将F力沿两形心主轴分解，得Fy\uf03dFcosϕ,Fz\uf03dFsinϕ杆在Fy和Fz单独作用下，将分别在xy平面和xz平面内产生平面弯曲。由此可见，斜弯曲是两个相互正交的平面弯曲的组合。图7-3斜弯曲梁在距固定端为x的横截面上，由Fy和Fz引起的弯矩为Mz\uf03dFy\uf028l−x\uf029\uf03dF\uf028l−x\uf029cosϕ\uf03dMcosϕ式中MMy\uf03dFz\uf028l−x\uf029\uf03dF\uf028l−x\uf029sinϕ\uf03dMsinϕ\uf03dF\uf028l−x\uf029，表示F力引起的弯矩。为了分析横截面上正应力及其分布规律，现考察x截面上第一象限内任一点A\uf028y,z\uf029处的正应力。由Fy和Fz在A点处引起的正应力分别为\uf8f7\uf8f8\uf8f7II\uf0f3′\uf03d−Mzy\uf03d−McosϕyIzIzMzMsinϕ\uf0f3′\uf03dy\uf03dzIyIy显然，\uf0f3′和\uf0f3′分别沿高度和宽度是线性分布的。至于\uf0f3′和\uf0f3′这两种正应力的正负号，由杆的变形情况确定比较方便。在这一问题中，由于Fz的作用，横截面上竖向形心主轴以右的各点处产生拉应力，以左的各点处产生压应力；由于Fy的作用，横截面上水平形心主轴以上的各点处产生拉应力，以下的各点处产生压应力。所以A点处由Fy和Fz引起的正应力分别为压应力和拉应力。由叠加法，得A点处的正应力为\uf8eb\uf0f3\uf03d\uf0f3′\uf02b\uf0f3′\uf03dM\uf8ec−\uf8ec\uf8edcosϕIzy\uf02bsinϕz\uf8f6Iy\uf8f7(7-1)二、中性轴的位置、最大正应力和强度条件由(7-1)式可见，横截面上的正应力是y和z的线性函数，即在横截面上，正应力为平面分布。因此，为了确定最大正应力，首先要确定中性轴的位置。设中性轴上任一点的坐标为y0和z0。因中性轴上各点处的正应力为零，所以将y0和z0代入(7-1)式后，可得\uf8ebcosϕ\uf0f3\uf03dM\uf8ec−y\uf02bsinϕz\uf8f60因M≠0，故\uf8ec0\uf8edzy0\uf8f7\uf03d\uf8f8−cosϕIzy0\uf02bsinϕIyz0\uf03d0这就是中性轴的方程。它是一条通过横截面形心的直线。设中性轴与z轴夹α角，则由上式得到tan\uf0e1\uf03dy0z0\uf03dIzIytanϕ(7-2)上式表明，中性轴和外力作用线在相邻的象限内，如图7-4(a)所示。由(7-2)式可见，对于像矩形截面这类Iy≠Iz的截面，\uf0e1≠ϕ，即中性轴与F力作用方向不垂直。这是斜弯曲的一个重要特征。但是对圆形、正方形等截面，由于任意一对形心轴都是主轴，且截面对任一形心轴的惯性矩都相等，所以\uf0e1\uf03dϕ，即中性轴与F力作用方向垂直。这表明，对这类截面，通过截面形心的横向力，不管作用在什么方向，梁只产生平面弯曲，而不可能发生斜弯曲。横截面上中性轴的位置确定以后，即可画出横截面上的正应力分布图，如图7-4(b)所示。由应力分布图可见，在中性轴一边的横截面上，各点处产生拉应力；在中性轴另一边的横截WyIIWWWz面上，各点处产生压应力。横截面上的最大正应力，发生在离中性轴最远的点。对于有凸角的截面由应力分布图可见，角点b产生最大拉应力，角点d产生最大压应力，由(7-1)式，它们分别为\uf8ebcosϕ\uf0f3\uf03dM\uf8ecy\uf02bsinϕz\uf8f6MM\uf8f7\uf03dz\uf02by(7-3a)tmax\uf8ecmax\uf8edzmax\uf8f7y\uf8f8zy图7-4有凸角截面的中性轴与应力分布\uf8ebMM\uf8f6\uf0f3\uf03d−\uf8ecz\uf02b\uf03dy\uf8f7(7-3b)cmax\uf8ec\uf8f7\uf8edzy\uf8f8实际上，对于有凸角的截面，例如矩形、工字形截面，根据斜弯曲是两个平面弯曲组合的情况，最大正应力显然产生在角点上。根据变形情况，即可确定产生最大拉应力和最大压应力的点。对于没有凸角的截面，可用作图法确定产生最大正应力的点。例如图7-5所示的椭圆形截面，当确定了中性轴位置后，作平行于中性轴并切于截面周边的两条直线，切点D1和D2即为产生最大正应力的点。以该点的坐标代入(7-1)式，即可求得最大拉应力和最大压应力。图7-3所示的悬臂梁，在固定端截面上，弯矩最大，为危图7-5无凸角截面的中性轴险截面；该截面上的角点e和f为危险点。由于角点处切应力为零，故危险点处于单向应力状态。因此，强度条件为\uf0f3tmax≤\uf05b\uf0f3t\uf05d｝（7-4）\uf0f3cmax≤\uf05b\uf0f3c\uf05d据此，就可进行斜弯曲梁的强度计算。三、斜弯曲变形特点现在求图7-3所示悬臂梁自由端的挠度。该梁在Fy和Fz作用下，自由端截面的形心C在xy平面和xz平面内的挠度分别为\uf0f9y\uf03dFl3,3EIzFl3\uf0f9\uf03dz3EIy由于\uf0f9y和\uf0f9z方向不同，故得C点的总挠度为22\uf0f9\uf03d\uf0f9y\uf02b\uf0f9z设总挠度方向与y轴夹\uf0e2角，则tan\uf0e2\uf03d\uf0f9z\uf0f9y\uf03dIzIytanϕ（7-5）因Iy≠Iz，故\uf0e2≠ϕ，即C点的总挠度方向和F力作用方向不重合，见图7-6。比较(7-5)式和(7-2)式可见，C点挠度方向垂直于中性轴。这是斜弯曲的又一特征。但是对圆形、正方形等截面，\uf0e2\uf03dϕ，即挠度方向和F力作用方向重合。以上介绍了斜弯曲问题的分析方法。当杆在通过弯曲中心的互相垂直的两个主惯性平面内分别有横向力作用而发生双向弯曲时，分析的方法完全相同。图7-6斜弯曲梁的变形特点例7-1图7-7(a)所示屋架上的桁条，可简化为两端铰支的简支梁，如图(b)所示。梁的跨度l\uf03d4m，屋面传来的荷载可简化为均布荷载q=4kN/m，屋面与水平面的夹角ϕ\uf03d25o。桁条的截面为h\uf03d28cm，b=14cm的矩形，如图(c)所示。设桁条材料的容许拉应力和容许压应力相同，均为\uf05b\uf0f3\uf05d\uf03d10MPa，试校核其强度。图7-7例7-1图解将均布荷载q沿y轴和z轴分解为qy\uf03dqcosϕ,qz\uf03dqsinϕ它们分别使梁在xy平面和xz平面内产生平面弯曲。显然，危险截面在跨中截面。这一截面上的1点和2点是危险点，它们分别产生最大拉应力和最大压应力，且数值相等。由于木材的容许拉应力和容许压应力相等，故可校核1点和2点中的任一点。现校核1点。由(7-3a)式，得W\uf0f3Mzz\uf03d\uf02b将已知数据代入，得ytmaxy\uf02bMzWz1ql28z1hb261ql28y1bh261\uf0d74\uf0d7103Nm\uf0d7sin25o\uf0d742m21\uf0d74\uf0d7103Nm\uf0d7cos25o\uf0d742m2\uf0f3tmax\uf03d8\uf02b1\uf0d728\uf0d710−2m\uf0d7142\uf0d710−4m2681\uf0d714\uf0d710−2m\uf0d7282\uf0d710−4m26\uf03d7.68\uf0d7106Nm2\uf03d7.68MPa〈\uf05b\uf0f3\uf05d故桁条满足强度要求。例7-2图7-8(a)所示悬臂梁，采用25a号工字钢。在竖直方向受均布荷载q=5kN/m作用，在自由端受水平集中力F=2kN作用。已知截面的几何性质为：I=5023.54cm4,W=401.9cm3,I=280.0cm4,W=48.28cm3。材料的弹性模量E\uf03d2\uf0d7105MPa。试求：yy(1)梁的最大拉应力和最大压应力；(2)固定端截面和l/2截面上的中性轴位置；(3)自由端的挠度。解(1)均布荷载q使梁在xy平面内弯曲，集中力F使梁在xz平面内弯曲，故为双向弯曲问题。两种荷载均使固定端截面产生最大弯矩，所以固定端截面是危险截面。由变形情况可知，在该截面上的A点处产生最大拉应力，B点处产生最大压应力，且两点处应力的数值相等。由(7-3)式12My\uf0f3A\uf03dWy\uf02bMzWz\uf03dFlWy\uf02b2qlWz13222\uf0d7103N\uf0d72m\uf03d\uf0d75\uf0d710\uf02b2Nm\uf0d72m48.28\uf0d710−6m3401.9\uf0d710−6m3\uf03d107.7\uf0d7106Nm2\uf03d107.7MPaMy\uf0f3B\uf03d−Wy−MzWz\uf03d−107.7MPa(2)因中性轴上各点处的正应力为零，故由⌠=0的条件可确定中性轴的位置。M\uf0d7\uf0d712图7-8例7-2图首先列出任一横截面上第一象限内任一点处的应力表达式，即\uf0f3\uf03dMyz−MzyIyIz令中性轴上各点的坐标为y0和z0，则yMz\uf0f3\uf03dz0−IyIzy0\uf03d0设中性轴与z轴的夹角为α(图7-8(b)，则由上式得tan\uf0e1\uf03dy0\uf03dMyIzz0MzIy由上式可见，因不同截面上MyMz不是常量，故不同截面上的中性轴与z轴的夹角不同。固定端截面：tan\uf0e11\uf03d2\uf0d7103N\uf0d72m5023.54\uf0d710−8m4−84\uf03d7.181\uf0d75\uf0d7103Nm\uf0d722m22280\uf0d710m\uf0e1\uf03d82.1ol2截面：tan\uf0e12\uf03d2\uf0d7103N\uf0d71m5023.54\uf0d710−8m4−84\uf03d14.351\uf0d75\uf0d7103Nm\uf0d712m22280\uf0d710m\uf0e1\uf03d86.0o(3)自由端的总挠度等于自由端在xy平面内和xz平面内的挠度\uf0f9y和\uf0f9z的几何和。\uf0f9y\uf03dql4\uf03d5\uf0d7103N56m\uf0d724m42−84\uf03d0.995\uf0d710−3m8EIz8\uf0d72\uf0d710\uf0d710Nm\uf0d75023.54\uf0d710m\uf0f9z\uf03dFl3\uf03d2\uf0d710356N\uf0d723m32−84\uf03d9.52\uf0d710−3m总挠度为3EIy3\uf0d72\uf0d710\uf0d710Nm\uf0d7280\uf0d710m22−3\uf0f9\uf03d\uf0f9y\uf02b\uf0f9z\uf03d9.57\uf0d710m\uf03d9.57mm§7-3拉伸(压缩)与弯曲的组合当杆受轴向力和横向力共同作用时，将产生拉伸(压缩)和弯曲组合变形。例如图7-1(a)中的烟囱就是一个实例。如果杆的弯曲刚度很大，所产生的弯曲变形很小，则由轴向力所引起的附加弯矩很小，可以略去不计。因此，可分别计算由轴向力引起的拉压正应力和由横向力引起的弯曲正应力，然后用叠加法，即可求得两种荷载共同作用引起的正应力。现以图7-9(a)所示的杆，受轴向拉力及均布荷载的情况为例，说明拉伸(压缩)和弯曲组合变形下的正应力及强度计算方法。图7-9拉伸与弯曲组合变形杆该杆受轴向力F拉伸时，任一横截面上的正应力为\uf0f3′\uf03dFNA杆受均布荷载作用时，距固定端为x的任意横截面上的弯曲正应力为\uf0f3′\uf03d−M\uf028x\uf029yIz由叠加法，x截面上第一象限中一点A(y，z)处的正应力为\uf0f3\uf03d\uf0f3′\uf02b\uf0f3′\uf03dFNAM\uf028x\uf029y−Iz显然，固定端截面为危险截面。该横截面上正应力σ′和σ″的分布如图(b)和(c)所示。由应力分布图可见，该横截面的上、下边缘处各点可能是危险点。这些点处的正应力为\uf0f3tmax=\uf0f3minFN\uf0b1Mmax（7-6）AWz当\uf0f3m′ax〉\uf0f3′时，该横截面上的正应力分布如图(d)所示，上边缘的最大拉应力数值大于下边缘的最大压应力数值。当\uf0f3m′ax\uf03d\uf0f3′时，该横截面上的应力分布如图(e)所示，下边缘各点处的正应力为零，上边缘各点处的拉应力最大。当\uf0f3m′ax〈\uf0f3′时，该横截面上的正应力分布如图(f)所示，上边缘各点处的拉应力最大。在这三种情况下，横截面的中性轴分别在横截面内、横截面边缘和横截面以外。杆在拉伸(压缩)和弯曲组合变形下的强度条件为\uf0f3tmax≤\uf05b\uf0f3t\uf05d\uf0f3cmax≤\uf05b\uf0f3c\uf05d(7-7)据此，就可进行拉(压)与弯曲组合变形杆件的强度计算。例7-3图7-10(a)所示托架，受荷载F=45kN作用。设AC杆为工字钢，容许应力［σ］=160MPa，试选择工字钢型号。解取AC杆进行分析，其受力情况如图(b)所示。由平衡方程，求得F\uf03d15kNAyF\uf03d60kNByFAx\uf03dFBx\uf03d104kNAC杆在轴向力F和F作用下，在AB段内受到拉伸；在横向力作用下，AC杆发生弯曲。AxBx故AB段杆的变形是拉伸和弯曲的组合变形。AB杆的轴力图和AC杆的弯矩图如图（c）和（d）所示。由内力图可见，B点左侧的横截面是危险截面。该横截面的上边缘各点处的拉应力最大，是危险点。强度条件为\uf0f3tmax\uf03dFNA\uf02bMmaxW≤\uf05b\uf0f3\uf05dz因为A和Wz都是未知量，故无法由上式选择工字钢型号。通常是先只考虑弯曲，求出Wz后，选择Wz略大一些的工字钢，再考虑轴力的作用进行强度校核。3z33由弯曲正应力强度条件，求出图7-10例7-3图W≥Mmax\uf03d45\uf0d7103N⋅m\uf03d2.81\uf0d710−4m3\uf03d281cm3z\uf05b\uf0f3\uf05d160\uf0d7106Nm232由型钢表，选22a号工字钢，Wz=309cm，A=42.0cm。考虑轴力后，最大拉应力为\uf0f3\uf03dFN\uf02bMmax\uf03d104\uf0d7103N\uf02b45\uf0d710N⋅mtmaxAW42.0\uf0d710−4m2309\uf0d710−6m3\uf03d170.4\uf0d7106Nm2\uf03d170.4MPa〉\uf05b\uf0f3\uf05d32可见22a号工字钢截面还不够大。现重新选择22b号工字钢，Wz时的最大拉应力为=325cm，A=46.6cm，此\uf0f3\uf03d104\uf0d710N\uf02b45\uf0d710N⋅m\uf03d160.9\uf0d7106Nm2\uf03d160.9MPamax46.4\uf0d710−4m2325\uf0d710−6m3最大拉应力超过容许应力，但超过不到5%，工程上认为仍能满足强度要求。§7-4偏心压缩(拉伸)当杆受到与其轴线平行，但不与轴线重合的纵向外力作用时，杆将产生偏心压缩(拉伸)(eccentriccompressionortension)。例如图7-1(b)所示的柱子，就是偏心压缩的一个实例。现研究杆在偏心压缩(拉伸)时，横截面上的正应力和强度计算方法。图7-11偏心压缩柱图7-11(a)示一下端固定的矩形截面杆，xy平面和xz平面为两个形心主惯性平面。设在杆的上端截面的A(yF,zF)点，作用一平行于杆轴线的F力。A点到截面形心C的距离e称为偏心距。将F力向C点简化，得到通过杆轴线的压力F和力偶矩M\uf03dFe。再将力偶矩矢量沿y轴和z轴分解，可分别得到作用于xz平面内的力偶矩My\uf03dFzF和作用于xy平面内的力偶矩MZ\uf03dFyF。因此，和作用在A点的F力等效的力系为作用在杆端截面形心的F力和力偶矩My和Mz，如图7-11(b)所示。由此可知，杆将产生轴向压缩和在平面xz及xy平面内的平面弯曲(纯弯曲)。杆的各横截面上的内力均为FN\uf03dF,My\uf03dFzF,Mz\uf03dFyF现考察任意横截面上第一象限中的任意点B(y,z)处的应力。对应于上述三个内力，B点处的正应力分别为\uf0f3′\uf03d−FNA\uf03d−FA\uf0f3′\uf03d−Mzy\uf03d−FyFyIzIzMzFzz\uf0f3′′\uf03d−y\uf03d−F由叠加法得B点处的总应力为IyIz\uf0f3\uf03d\uf0f3′\uf02b\uf0f3′\uf02b\uf0f3′′即AAiiAiii2i\uf02bi2II2\uf8fez0\uf8ebFFyyFzz\uf8f6\uf0f3\uf03d−\uf8ec\uf020\uf02bF\uf02bF\uf8f7(7-8)由(A-8)式\uf8ec\uf8f7\uf8edzy\uf8f82,2Iy\uf03dAiyIz\uf03dAiz代入上式后，得F\uf8ebyyzz\uf8f6\uf0f3\uf03d−\uf8ec1\uf02bF\uf02bF\uf8f7(7-9)\uf8ec22\uf8f7\uf8edzy\uf8f8由（7-8）式或（7-9）式可见，横截面上的正应力为平面分布。为了确定横截面上正应力的最大点，需确定中性轴的位置。设y0和z0为中性轴上任一点的坐标，将y0和z0代入（7-9）式后，得F\uf8ebyyzz\uf8f6\uf0f3\uf03d−\uf8ec1\uf02bF0\uf02bF0\uf8f7\uf03d0\uf8ec22\uf8f7\uf8edzy\uf8f8即1\uf02byFy0zzFz0\uf03d0y(7-10)这就是中性轴方程。可以看出，中性轴是一条不通过横截面形心的直线。令(7-10)式中的z0\uf03d0和y0\uf03d0，可以得到中性轴在y轴和z轴上的截距ay\uf03dy02\uf8fcz\uf03d0\uf03d−\uf8f4yF\uf8f4az\uf03dz0y0\uf03d0\uf03d−\uf8fd\uf03diy\uf8f4zF\uf8f4式中负号表明，中性轴的位置和外力作用点的位置分别在横截面形心的两侧。横截面上中性轴的位置及正应力分布如图7-12所示。中性轴一边的横截面上产生拉应力，另一边产生压应力。最大正应力发生在离中性轴最远的点处。对于有凸角的截面，最大正应力一定发生在角点处。角点D1产生最大压应力，角点D2产生最大拉应力(见图7-12)。实际上，对于有凸角的截面，可不必求中性轴的位置，即可根据变形情况，确定产生最大拉应力和最大压应力的图7-12有凸角截面的中性轴与应力分布图7-13无凸角截面的中性轴角点。对于没有凸角的截面，当中性轴位置确定后，作与中性轴平行并切于截面周边的两条直线，切点D1和D2即为产生最大压应力和最大拉应力的点，如图7-13所示。杆受偏心压缩(拉伸)时的强度条件为\uf0f3tmax≤\uf05b\uf0f3t\uf05d\uf0f3cmax≤\uf05b\uf0f3c\uf05d(7-12)据此，就可进行偏心压缩(拉伸)杆件的强度计算。例7-4一钻床如图7-14(a)所示。在零件上钻孔时，钻床所受荷载F=15kN。已知F力与钻床立柱AB的轴线的距离e=0.4m，立柱为铸铁圆杆，容许拉应力\uf05b\uf0f3t\uf05d=35MPa，试求立柱所需的直径d.解对于立柱AB，F是偏心拉力，将使立柱产生偏心拉伸。图7-14例7-4图假想在截面c-c处将立柱截开，取上部进行研究，如图(b)所示。由上部的平衡方程，求得立柱c-c截面上的轴力和弯矩为FN\uf03dF\uf03d15KNM\uf03dFe\uf03d15KN\uf0d70.4m\uf03d6KN⋅m立柱AB内侧边缘的点是危险点，产生的拉应力最大。由强度条件(7-12)，得\uf0f3tmax\uf03dFN\uf02bM15\uf0d7103N\uf03d16\uf0d7103N⋅m\uf02b1A采用与例7-3相似的方法，或采用试凑的方法，由上式可求得立柱所需的直径Wz\uf0f0d2m24\uf0f0d3m332d≥122mm例7-5一端固定并有切槽的杆，如图7-15所示。试求最大正应力。解由观察判断，切槽处杆的横截面是危险截面，如图(b)所示。对于该截面，F力是偏心拉力。现将F力向该截面的形心C简化，得到截面上的轴力和弯矩为FN\uf03dF\uf03d10KNMz\uf03dF\uf0d70.05\uf03d0.5KN⋅m图7-15例7-5图My\uf03dF\uf0d70.025\uf03d0.25KN⋅mA点为危险点，该点处的最大拉应力为ii\uf0e1\uf0e1\uf0f3tmax\uf03dFNA\uf02bMy\uf02bMzWyWz10\uf0d7103N\uf03d0.1\uf0d70.05m20.5\uf0d7103N⋅m\uf02b1\uf0d70.05m\uf0d70.12m260.25\uf0d7103N⋅m\uf02b1\uf0d70.1m\uf0d70.052m26\uf03d14\uf0d7106Nm2\uf03d14MPa§7-5截面核心从上节(7-11)式可以看出，偏心压缩时中性轴在横截面的两个形心主轴上的截距\uf0e1y和\uf0e1z，随压力作用点的坐标yF和zF变化。当压力作用点离横截面形心越近时，中性轴离横截面形心越远；当压力作用点离横截面形心越远时，中性轴离横截面形心越近。随着压力作用点位置的变化，中性轴可能在横截面以内、或与横截面周边相切、或在横截面以外，在后两种情况下，横截面上就只产生压应力。工程上有些材料，例如混凝土、砖、石等，其抗拉强度很小，因此，由这类材料制成的杆，主要用于承受压力；当用于承受偏心压力时，要求杆的横截面上不产生拉应力。为了满足这一要求，压力必须作用在横截面形心周围的某一区域内，使中性轴与横截面周边相切或在横截面以外。这一区域称为截面核心(coreofasection)。图7-16为任意形状的截面。为了确定截面核心的边界，首先应确定截面的形心主轴y和z，然后，先作直线①与周边相切，将它看作中性轴。由该直线在形心主轴上的截距\uf0e1y1和\uf0e1z1，利用(7-11)式，求出外力作用点的坐标为22zyyF1\uf03d−y1,zF1\uf03d−z1图7-16截面核心由此可得到1点。再分别以切线②、③、等作为中性轴⋯，用相同的方法可得到2，3，⋯等点。联接这些点，得到一条闭合曲线，它就是截面核心的边界。边界以内的区域就是截面核心，如图7-16中的阴影部分。需注意的是切线③为截面边界一个凹段的公切线，在此凹段内，不应再作切线，否则截面上将出现拉应力区。因此，有凹段边界截面的截面核心，仍应为凸边界。2I2例7-6试确定图7-17所示矩形截面的截面核心。解矩形截面的对称轴y和z是形心主轴。该截面的2b,iy2Izhy\uf03dA\uf03d12iz\uf03d\uf03d。A12先将与AB边重合的直线作为中性轴①，它在图7-17例7-6图ii2i\uf02b2y和z轴上的截距分别为\uf0e1y1\uf03d∞,\uf0e1z1\uf03d−b2由(7-11)式，得到与之对应的1点的坐标为22yF1\uf03d−iz\uf0e1y1\uf03d−h12\uf03d0∞zF1\uf03d−2y\uf0e1z1b212b\uf03d−\uf03d−b26同理可求得当中性轴②与BC边重合时，与之对应的2点的坐标为yF2\uf03d−h,z\uf03d06F2中性轴③与CD边重合时，与之对应的3点的坐标为byF3\uf03d0,zF3\uf03d−6中性轴④与DA边重合时，与之对应的4点的坐标为yF4\uf03dh,z\uf03d06F4确定了截面核心边界上的4个点后，还要确定这4个点之间截面核心边界的形状。为了解决这一问题，现研究中性轴从与一个周边相切，转到与另一个周边相切时，外力作用点的位置变化的情况。例如，当外力作用点由1点沿截面核心边界移动到2点的过程中，与外力作用点对应的一系列中性轴将绕B点旋转，B点是这一系列中性轴共有的点。因此，将B点的坐标yB和zB代入(7-10)式，即得1\uf02byFyBzzFzB\uf03d0y在这一方程中，只有外力作用点的坐标yF和zF是变量，所以这是一个直线方程。它表明，当中性轴绕B点旋转时，外力作用点沿直线移动。因此，联接1点和2点的直线，就是截面核心的边界。同理，2点、3点和4点之间也分别是直线。最后得到矩形截面的截面核心是一个菱形，其对角线的长度分别是h/3和b/3。由此例可以看出，对于矩形截面杆，当压力作用在对称轴上，并在“中间三分点”以内时，截面上只产生压应力。这一结果在土建工程中经常用到。例7-7试确定图7-18所示圆形截面的截面核心。解由于圆形截面对于圆心是极对称的，所以截面核心的边界也是一个圆。只要确定了截面核心边界上的一个点，就可以确定截面核心。设过A点的切线是中性轴，它在y，z轴上的截距为,d图7-18例7-7图\uf0e1Y\uf03d∞\uf0e1Z\uf03d22圆截面的i2\uf03di2\uf03d\uf0f0d464\uf03dd。由(7-11)式，求得与之对应的外力作用点1的坐标为yz\uf0f0d2416yF\uf03d0,zF\uf03d−d8由此可知，截面核心是直径为d/4的圆，如图中阴影部分所示。§7-6弯曲与扭转的组合弯曲与扭转的组合是机械工程中常见的一种组合变形。例如图7-1(c)所示的传动轴就是一个实例。现以图7-19(a)所示的钢制直角曲拐中的圆杆AB为例，研究杆在弯曲和扭转组合变形下，应力和强度计算的方法。首先将作用在C点的F力向AB杆右端截面的形心B简化，得到一横向力F及力偶矩T=Fa，如图7-19(b)所示。力F使AB杆弯曲，力偶矩T使AB杆扭转，故AB杆同时产生弯曲和扭转两种变形。AB杆的弯矩图和扭矩图如图7-19(c)、(d)所示。由内力图可见，固定端截面是危险截面。其弯矩和扭矩值分别为Mz\uf03dFl,Mx\uf03dFa在该截面上，弯曲正应力和扭转切应力的分布分别如图7-19(e)、(f)所示。从应力分布图可见，横截面的上、下两点c1和c2是危险点。因两点危险程度相同，故只需对其中任一点作强度计算。现对c1点进行分析。在该点处取出一单元体，其各面上的应力如图7-19（g）所示。由于该单元体处于一般二向应力状态，所以需用强度理论来建立强度条件。该点处的弯曲正应力和扭转切应力分别为\uf0f3\uf03dMzWz（a）图7-19弯扭组合变形杆2zx2zx\uf0f4\uf03dMxWp（b）因此该点处的主应力为\uf0f31\uf8eb\uf8f62\uf0f3=\uf0b1\uf0f332\uf0f3\uf8ec\uf8f7\uf02b\uf0f4,\uf8ed2\uf8f8\uf0f32\uf03d0（c）所以采用第三强度理论或第四强度理论时，相当应力分别为\uf0f3r3\uf03d\uf0f31−\uf0f33（d）\uf0f3\uf03d1\uf05b\uf028\uf0f3−\uf0f3\uf0292\uf02b\uf028\uf0f3−\uf0f3\uf0292\uf02b\uf028\uf0f3−\uf0f3\uf0292\uf05d（e）强度条件分别为r42132331\uf0f3r3≤\uf05b\uf0f3\uf05d\uf0f3r4≤\uf05b\uf0f3\uf05d（7-13）（7-14）如将(c)式代入(d)、(e)式，又可得如图7-19（g）所示单元体的第三强度理论和第四强度理论的强度条件分别为\uf0f3r3\uf03d\uf0f3r4\uf03d\uf0f32\uf02b4\uf0f42\uf0f32\uf02b3\uf0f42≤\uf05b\uf0f3\uf05d≤\uf05b\uf0f3\uf05d（7-15）（7-16）在机械工程中，对产生弯曲和扭转组合变形的圆截面杆，常用弯矩和扭矩表示强度条件。将(a)式和(b)式代入(7-15)式和(7-16)式，并注意到圆截面的Wp\uf03d2Wz，则第三强度理论和第四强度理论的强度条件又分别为2\uf8eb\uf8f6222\uf8ebMz\uf8f64\uf8ecMx\uf8f7\uf8ebMz\uf8f6\uf8ebMx\uf8f6\uf0f3r3\uf03d\uf8ec\uf8f7\uf02b\uf8ec\uf8f7\uf03d\uf8ec\uf8f7\uf02b4\uf8ec\uf8f7\uf8edWz\uf8f8\uf8edWp\uf8f8\uf8edWz\uf8f8\uf8ed2Wz\uf8f8（7-17）\uf03d1MWz2\uf02bM2≤\uf05b\uf0f3\uf05d\uf8eb\uf8f6222\uf8ebMz\uf8f63\uf8ecMx\uf8f7\uf8ebMz\uf8f6\uf8ebMx\uf8f6\uf0f3r4\uf03d\uf8ec\uf8f7\uf02b\uf8ec\uf8f7\uf03d\uf8ec\uf8f7\uf02b3\uf8ec\uf8f7\uf8edWz\uf8f8\uf8edWp\uf8f8\uf8edWz\uf8f8\uf8ed2Wx\uf8f8（7-18）\uf03d1MWx2\uf02b0.75M2≤\uf05b\uf0f3\uf05d当圆杆同时产生拉伸(压缩)和扭转两种变形时，上述分析方法仍然适用，只是弯曲正应力需用拉伸(压缩)时的正应力代替。在这种情况下，危险截面上的周边各点均为危险点。当圆杆同时产生弯曲、扭转和拉伸(压缩)变形时，上述方法同样适用，但是正应力是由弯曲和拉伸(压缩)共同引起的。非圆截面杆如同时产生弯曲和扭转变形，甚至还有拉伸(压缩)变形时，仍可用上述方法分析。但扭转切应力须用非圆截面杆扭转的切应力公式计算，并且需要仔细判断危险点的位置。例7-8一钢质圆轴，直径d=8cm，其上装有直径D=1m、重为5kN的两个皮带轮，如图7-20(a)所示。已知A处轮上的皮带拉力为水平方向，C处轮上的皮带拉力为竖直方向。设钢的［σ］=160MPa，试按第三强度理论校核轴的强度。图7-20例7-8图解将轮上的皮带拉力向轮心简化后，得到作用在圆轴上的集中力和力偶；此外，圆轴还受到轮重作用。简化后的外力如图(b)所示。在力偶作用下，圆轴的AC段内产生扭转，扭矩图如图(c)所示。在横向力作用下，圆轴在xy和xz平面内分别产生弯曲，两个平面内的弯矩图如图（d）、（e）所示。因为轴的横截面是圆形，不会发生斜弯曲，所以应将两个平面内的弯矩合成而得到横截面上的合成弯矩。由弯矩图可见，可能危险的截面是B截面和C截面。现分别求出这两个截面的合成弯矩为MB\uf03dMBy\uf02bMBz\uf03d2.1\uf028KN⋅m\uf029\uf02b1.5\uf028KN⋅m\uf029\uf03d2.58KN⋅m222222MC\uf03dMCy\uf02bMCz\uf03d1.05\uf028KN⋅m\uf029\uf02b2.25\uf028KN⋅m\uf029\uf03d2.48KN⋅m222222因为MB＞MC，且B，C截面的扭矩相同，故B截面为危险截面。将B截面上的弯矩和扭矩值代入(7-17)式，得到第三强度理论的相当应力为12212222\uf0f3r3\uf03dWzMB\uf02bMBx\uf03d\uf0f0\uf0d783\uf0d710−6m3322.58\uf028KN⋅m\uf029\uf02b1.5\uf028KN⋅m\uf029\uf03d59.3\uf0d7106Nm2\uf03d59.3MPa这一数值远小于钢的容许应力，所以圆轴是安全的。建议读者找出危险点的位置，并在危险点处取一单元体，画出其上的应力，求出主应力，再按(7-13)式和(7-15)式进行强度校核。W\uf8f7\uf8ed思考题7-1悬臂梁的横截面形状如图所示。若作用于自由端的荷载F垂直于梁的轴线，作用方向如图中虚线所示。试指出哪几种情况是平面弯曲，哪几种情况是斜弯曲(小圆点为弯曲中心的位置)。思考题7-1图7-2等截面梁在斜弯曲时的挠曲线是一条平面曲线，还是一条空间曲线?各截面中性轴位置是否相同?而双向弯曲时挠曲线与各截面中性轴位置又是如何变化?7-3拉(压)与弯曲组合变形时，在什么情况下可按叠加原理计算横截面上的最大正应力?7-4偏心拉伸(压缩)与拉伸(压缩)与弯曲组合变形有何区别和联系?7-5截面核心有何实用意义?图中各截面的截面核心呈何形状?思考题7-5图7-6圆杆受力如图，试指出危险截面和危险点的位置，画出危险点的单元体。如果按第三强度理论进行强度计算，危险点的相当应力公式是否为2F\uf8ebM\uf8f62\uf8ebT\uf8f6z\uf8ec\uf020\uf8f7为什么?\uf0f3r3\uf03d\uf02bA\uf8ec\uf8f7\uf8edWz\uf8f8\uf02b4\uf8ecp\uf8f8思考题7-6图习题7-1矩形截面梁，跨度l=4m，荷载及截面尺寸如图所示。设材料为杉木，容许应力［σ］=10MPa，试校核该梁的强度。题7-1图7-2图示工字型截面简支梁，力F与y轴的夹角为5°。若F=65kN，l=4m，已知容许应力［σ］=160MPa，容许挠度\uf05b\uf0f9\uf05d\uf03dl500，材料的E=2.0×105MPa，试选择工字钢的型号。7-3图示悬臂梁长度中间截面前侧边的上、下两点分别设为A、B。现在该两点沿轴线方向贴电阻片，当梁在F、M共同作用时，测得两点的应变值分别为\uf0e5A、\uf0e5B。设截面为正方形，边长为a，材料的E、\uf0ed为已知，试求F和M的大小。题7-2图题7-3图7-4图示悬臂梁在两个不同截面上分别受有水平力F1和竖直力F2的作用。若F1=800N，F2=1600N，l=1m，试求以下两种情况下，梁内最大正应力并指出其作用位置：(1)宽b=90mm，高h=180mm，截面为矩形，如图(a)所示。(2)直径d=130mm的圆截面，如图(b)所示。题7-4图7-5一楼梯的扶手梁AB，长度l=4m，截面为h×b=0.2×0.1m2的矩形，q=2kN/m。试作此梁的轴力图和弯矩图；并求梁横截面上的最大拉应力和最大压应力。7-6图(a)和图(b)所示的混凝土坝，右边一侧受水压力作用。试求当混凝土不出现拉应力时，所需的宽度b。设混凝土的材料密度是2.4×103kg/m3。题7-5图题7-6图7-7砖砌烟囱高H=30m，底截面1-1的外径d1=3m，内径d2=2m，自重W1=2000kN，受q=1kN/m的风力作用。试求：(1)烟囱底截面上的最大压应力。(2)若烟囱的基础埋深h=4m，基础自重W2=1000kN，土壤的容许压应力［σ］=0.3MPa，求圆形基础的直径D应为多大?题7-7图7-8承受偏心荷载的矩形截面杆如图所示。若测得杆左右两侧面的纵向应变εA和εB，试证明：偏心距e与εA，εB满足下式关系：e\uf03d\uf0e5A−\uf0e5B⋅b\uf0e5A\uf02b\uf0e5B67-9厂房的边柱，受屋顶传来的荷载F1=120kN及吊车传来的荷载F2=100kN作用，柱子的自重W=77kN，求柱底截面上的正应力分布图。题7-8图题7-9图7-10短柱承载如图所示，现测得A点的纵向正应变εA=500×10-6，试求F力的大小。设E=1.0×104MPa。7-11由工字形型钢制成的钢架，横截面积A=3232mm2，截面弯曲系数WZ=232×103mm3，在图示F作用下，测得A，B两点应变分别为εA=200×10-6,εB=-600×10-6，材料弹性模量E=200GPa。问荷载F与距离a各为多大?题7-10图题7-11图7-12试确定图示各截面图形的截面核心。题7-12图7-13图示一水平面内的等截面直角曲拐，截面为圆形，受到垂直向下的均布荷载q作用。已知：l=800mm，d=40mm，q=1kN/m，［σ］=170MPa。试按第三强度理论校核曲拐强度。7-14图示圆截面杆，受荷载F1，F2和T作用，试按第三强度理论校核杆的强度。已知：F1=0.7kN，F2=150kN，T=1.2kN·m，［σ］=170MPa，d=50mm，l=900mm。题7-13图题7-14图7-15圆轴受力如图所示。直径d=100mm，容许应力［σ］=170MPa。(1)绘出A、B、C、D四点处单元体上的应力；(2)用第三强度理论对危险点进行强度校核。7-16矩形截面杆某截面上存在着轴力、扭矩和两个形心主惯性平面内的弯矩，如图所示。已知h=100mm，b=40mm，容许应力［σ］=80MPa，试指出危险点，并画出危险点的应力状态，并按第三强度理论进行强度校核。题7-15图题7-16图习题答案第六章返回总目录第八章稳定性是对构件进行设计时需要满足的三方面要求之一，压杆稳定是所有稳定问题中最基本、最简单的问题。本章主要介绍压杆稳定性的概念，临界力和临界应力的计算和压杆稳定条件的建立、稳定计算及提高压杆稳定性的措施。第八章压杆稳定§8-1压杆稳定性的概念§8-2细长压杆的临界力一、欧拉公式二、欧拉公式应用中的几个问题§8-3压杆的柔度与压杆的非弹性失稳一、压杆的临界应力与柔度二、欧拉公式的适用范围三、非弹性失稳压杆的临界力四、临界应力总图§8-4压杆的稳定计算§8-5提高压杆稳定性的措施思考题习题习题答案返回总目录第八章压杆稳定§8-1压杆稳定性的概念在第二章研究受压直杆时，认为其之所以破坏是由于强度不够造成的，即当横截面上的正应力达到材料的极限应力时，杆就发生破坏。实践表明这对于粗而短的压杆是正确的；但对于细长的压杆，情况并非如此。细长压杆的破坏并不是由于强度不够，而是由于荷载增大到一定数值后，不能保持其原有的直线平衡形式而破坏。图8-1(a)为一两端铰支的细长压杆。当轴向压力F较小时，杆在F力作用下将保持其原有的直线平衡形式。如在侧向干扰力作用下使其微弯，如图8-1(b)所示；当干扰力撤除，杆在往复摆动几次后仍回复到原来的直线形式，仍处于平衡状态，如图8-1(c)所示。可见，原有的直线平衡形式是稳定(stable)的。但当压力超过某一数值时，如作用一侧向干扰力使压杆微弯，则在干扰力撤除后，杆不能回复到原来的直线形式，并在一个曲线形态下平衡，如图8-1(d)所示。可见这时杆原有的直线平衡形式是不稳定(unstable)的。这种丧失原有平衡形式的现象称为丧失稳定性，简称失稳(loststability)。图8-1压杆稳定平衡与不稳定平衡同一压杆的平衡是稳定的还是不稳定的，取决于压力F的大小。压杆从稳定平衡过渡到不稳定平衡时，轴向压力的临界值，称为临界力(criticalforce)或临界荷载，用Fcr表示。显然，如F＜Fcr，压杆将保持稳定，如F≥Fcr，压杆将失稳。因此，分析稳定性问题的关键是求压杆的临界力。工程结构中的压杆如果失稳，往往会引起严重的事故。例如1907年加拿大一座长达548m的奎北克大桥，在施工时由于两根压杆失稳而引起倒塌，造成数十人死亡。1909年，汉堡一个60万m3的大贮气罐由于支撑结构中的一根压杆失稳而倒塌。压杆的失稳破坏是突发性的，必需防范在先。稳定性问题不仅在压杆中存在，在其它一些构件、尤其是一些薄壁构件中也存在。图8-2表示了几种构件失稳的情况。(a)图示一薄而高的悬臂梁因受力过大而发生侧向失稳，(b)图示一薄壁圆环因受外压力过大而失稳，(c)图示一薄拱受过大的匀布压力而失稳。本章只介绍压杆的稳定性问题。图8-2构件失稳§8-2细长压杆的临界力一、欧拉公式当细长压杆的轴向压力稍大于临界力Fcr时，在侧向干扰力作用下，杆将从直线平衡状态转变为微弯状态，并在微弯状态下保持平衡。研究压杆在微弯状态下的平衡、并应用小挠度微分方程以及压杆端部的约束条件，即可确定压杆的临界力。1．两端铰支的细长压杆两端为球形铰支的细长压杆。如图8-3所示。现取图示坐标系，并假设压杆在临界力Fcr作用下，在xy面内处于微弯状态。由(4-21)式，挠曲线的小挠度微分方程为EI\uf0f9′\uf03d−M\uf028x\uf029式中\uf0f9为杆轴线上任一点处的挠度。该点处横截面上的弯矩为Mx\uf03dFcr\uf0f9代入上式，得EI\uf0f9′\uf03d−Fcr\uf0f9(8-1)若令k2\uf03dFcrEI(8-2)则（8-1）式可写为\uf0f9′\uf02bk2\uf0f9\uf03d0图8-3两端铰支细长压杆这是一个二阶齐次常微分方程，通解为\uf0f9\uf03dAsinkx\uf02bBcoskx（8-3）式中的待定常数A、B和k，可由杆的边界条件确定。由于杆是两端铰支，边界条件为当x\uf03d0时，\uf0f9\uf03d0；当x\uf03dl时，\uf0f9\uf03d0将前一边界条件代入(8-3)式，得。因此(8-3)式简化为\uf0f9\uf03dAsinkx再将后一边界条件代入(8-4)式，得Asinkl\uf03d0该式要求A\uf03d0或sinkl\uf03d0。但如A\uf03d0，则(8-4)式成为\uf0f9\uf03d0，即压杆各点处的挠度均为零，这显然与杆微弯的状态不相符。因此，只可能是sinkl\uf03d0，即或k\uf03dn\uf0f0,其中n=0,1,2,3⋯ln\uf0f0将k\uf03d代入(8-2)式，得lFcr\uf03dn2\uf0f02EIl2从理论上说，上式除n=0的解不合理外，其它n=1,2,3⋯的解都能成立。最小的临界力，即n=1的情形。由此得两端铰支细长压杆的临界力为Fcr\uf0f02EI\uf03d（8-5）l2上式是由瑞士科学家欧拉(L.Euler)于1774年首先导出的，故又称为欧拉公式。由(8-3)式，得该压杆的挠曲线方程为\uf0f9\uf03dAsin\uf0f0xl可见该挠曲线为一半波正弦曲线。式中A为待定常数。l当x\uf03d时，挠度w具有最大值w0，由此得到2（8-6）\uf0f90\uf03d\uf0f9\uf03dl\uf03dAx\uf03d2可见A是压杆中点的挠度w0，但其值仍无法确定，因为w0可以是任意的微小值。这是由于采用了挠曲线近似微分方程的缘故。F和w0的关系，如图8-4中的折线OAB所示。图8-4F与ω之间的关系如果推导中采用精确的非线性挠曲线微分方程，则可得w0与F的关系，如图8-4中的曲线OAB′所示。此曲线表明，当F＞Fcr时,w0增加很快，且w0有确定的数值。2．杆端约束对临界力的影响其它杆端约束情况的细长压杆的临界力公式，可由它们微弯后的挠曲线形状与两端铰支细长压杆微弯后的挠曲线形状类比得到。由图8-5(a)和(b)可以看出，一端固定一端自由细长压杆的挠曲线，与两倍于其长度的两端铰支细长压杆的挠曲线相同，即均为正弦曲线。如二杆的弯曲刚度相同，则其临界力也相同。因此，将两端铰支细长压杆临界荷载公式(8-5)中的l用2l代换，即得到一端固定一端自由细长压杆的临界力公式为\uf0f02EIFcr\uf03d（8-7）\uf0282l\uf0292图8-5不同杆端约束细长压杆挠度曲线类比由图(c)可以看出，两端固定细长压杆的挠曲线具有对称性，在上、下4l处的两点为反弯点，该两点处横截面上的弯矩为零；而中间长为l2的一段挠曲线与两端铰支细长压杆的挠曲线相同。故只需以l2代换(8-5)式中的l，即可得两端固定细长压杆的临界力公式为Fcr\uf0f02EI\uf03d(8-8)\uf0280.5l\uf0292再由图(d)可以看出，一端固定一端铰支细长压杆的挠曲线只有一个反弯点，其位置大约在距铰支端0.7l处，这段长为0.7l的一段杆的挠曲线与两端铰支细长压杆的挠曲线相同。故只需以0.7l代换(8-5)式中的l，即可得一端固定一端铰支细长压杆的临界力公式为Fcr\uf0f02EI\uf03d(8-9)\uf0280.7l\uf0292上述4种细长压杆的临界力公式可以写成统一的形式，即\uf0f02EIFcr\uf03d(8-9)\uf028\uf0b5l\uf0292式中\uf0b5l称为相当长度(effectivelength)，μ称为长度系数(lengthfactor)，其值由杆端约束情况决定。例如，两端铰支的细长压杆，μ=1；一端固定、一端自由的细长压杆，μ=2；两端固定的细长压杆，μ=0.5；一端固定，一端铰支的细长压杆，μ=0.7。(8-9)式又称为细长压杆临界力的欧拉公式。由该式可知，细长压杆的临界力Fcr,与杆的抗弯刚度EI成正比，与杆的长度平方成反比；同时，还与杆端的约束情况有关。显然，临界力越大，压杆的稳定性越好，即越不容易失稳。二、欧拉公式应用中的几个问题应用细长压杆临界力Fcr的公式时，有几个问题需要注意：(1)在推导临界力公式时，均假定杆已在xy面内失稳而微弯，实际上杆的失稳方向与杆端约束情况有关。如杆端约束情况在各个方向均相同，例如球铰或嵌入式固定端，压杆只可能在最小刚度平面内失稳。所谓最小刚度平面，就是形心主惯性矩I为最小的纵向平面。如图8-6所示的矩形截面压杆，其Iy为最小，故纵向平面xz即为最小刚度平面，该压杆将在这个平面内失稳。所以在计算其临界力时应取I\uf03dIy。因此，在这类杆端约束情况下，(8-9)式中的I应取I。min如杆端约束情况在各个方向不相同时，例如图8-7所示的柱形铰。在xz面内，杆端可绕轴销自由转动，相当于铰支；而在xy面内，杆端约束相当于固定端。当这种杆端约束的压杆在xz或xy面内失稳时，其长度系数μ应取不同的值。此外，如果压杆横截面的Iy≠Iz，则该杆的临界力应分别按两个方向，各取不同的μ值和I值计算，并取二者中较小者。并由此可判断出该压杆将在哪个平面内失稳。图8-6最小刚度平面图8-7柱形铰（2）以上所讨论的压杆杆端约束情况都是比较典型的，实际工程中的压杆，其杆端约束2还可能是弹性支座或介于铰支和固定端之间，等等。因此，要根据具体情况选取适当的长度系数μ值，再按(8-9)式计算其临界力。（3）在推导上述各细长压杆的临界力公式时，压杆都是理想状态的，即均质的直杆，受轴向压力作用。而实际工程中的压杆，将不可避免地存在材料不均匀、有微小的初曲率及压力微小的偏心等现象。因此在压力小于临界力时，杆就发生弯曲，随着压力的增大，弯曲迅速增加，以至压力在未达到临界力时，杆就发生弯折破坏。因此，由(8-9)式所计算得到的临界力仅是理论值，是实际压杆承载能力的上限值。由这一理想情况和实际情况的差异所带来的不利影响，可以在安全因数内考虑。因而，实际工程中的压杆，其临界力Fcr仍按(8-9)式计算。§8-3压杆的柔度与压杆的非弹性失稳一、压杆的临界应力与柔度当压杆在临界力Fcr作用下，仍处于直线平衡状态时，横截面上的正应力称为临界应力(criticalstress)\uf0f3cr。由(8-9)式，得到细长压杆的临界应力为\uf0f3\uf03dFcr\uf03d\uf0f02EI\uf0f02EI\uf03d将i2\uf03dI代入上式，得A\uf0f3crcr\uf0f02E\uf03d\uf028\uf0b5l\uf0292Ai2\uf03d\uf028\uf0b5l\uf0292A\uf0f02E\uf8eb\uf0b5l\uf8f62\uf028\uf0b5l\uf0292A\uf0f02E\uf03d\uf028\uf0eb\uf0292(8-10)\uf8ec\uf8f7\uf8edi\uf8f8式中\uf0eb\uf03d\uf0b5li(8-11)称为压杆的柔度(slenderness)或细长比。柔度是纲量为一的量，综合反映了压杆的几何尺寸和杆端约束的影响。如λ越大，则杆越细长，其\uf0f3cr越小，因而其Fcr也越小，杆越容易失稳。二、欧拉公式的适用范围在推导欧拉公式(8-9)的过程中，利用了挠曲线的小挠度微分方程；该微分方程只有在材料处于弹性状态，也就是临界应力不超过材料的比例极限\uf0f3p的情况下才成立。由(8-10)式，欧拉公式的适用条件为\uf0f3\uf03d\uf0f0E≤\uf0f3(8-12)由(8-12)式，得cr\uf0eb2p22\uf0f3\uf0eb≥\uf0f0E\uf0f3p若令\uf0eb\uf03d\uf0f0E(8-13)则上式可写为pp\uf0eb≥\uf0ebp(8-14)上式表明，只有当压杆的柔度\uf0eb不小于某一特定值\uf0ebp时，才能用欧拉公式计算其临界力和临界应力。而满足这一条件的压杆称为细长杆或大柔度杆。由于\uf0ebp与材料的比例极限\uf0f3p和弹性模量E有关，因而不同材料压杆的\uf0ebp是不相同的。例如Q235钢σp=200MPa，E=206GPa，代入(8-13)式后得\uf0ebp=100，同样可得TC13松木压杆\uf0ebp=110，灰口铸铁压杆的\uf0ebp=80。三、非弹性失稳压杆的临界力大量试验表明，λ＜λp的压杆，其失稳时的临界应力\uf0f3cr大于比例极限\uf0f3p。这类压杆的失稳称为非弹性失稳。其临界力和临界应力均不能用欧拉公式计算。对于这种非弹性失稳的压杆，已有一些理论分析的结果。但工程中一般采用以试验结果为依据的经验公式来计算这类压杆的临界应力\uf0f3cr，并由此得到临界力为Fcr\uf03d\uf0f3crA(8-15)常用的经验公式中最简单的为直线公式，此外还有抛物线公式。在直线公式中，临界应力\uf0f3cr与柔度\uf0eb成直线关系，其表达式为\uf0f3cr\uf03da−b\uf0eb(8-16)式中a、b为与材料有关的常数，由试验确定。例如Q235钢，a=304MPa，b=1.12MPa；TC13松木a=29.3MPa，b=0.19MPa。实际上，(8-16)式只能在下述范围内适用\uf0f3p\uf03c\uf0f3cr\uf03c\uf0f3u(8-17)因为当σcr≥σu（塑性材料σu=σs，脆性材料σu=σb）时，压杆将发生强度破坏而不是失稳破坏。(8-17)式的范围也可用柔度表示为\uf0ebp\uf03e\uf0ebcr\uf03e\uf0ebu(8-18)p3柔度在此范围内的压杆称为中柔度杆或中长杆，而σcr≥σu，即λ≤λu的压杆称为小柔度杆或短杆。短杆的破坏是强度破坏。\uf0ebu是中长杆和短杆柔度的分界值。如在(8-16)式中令σcr=σu，则所得到的\uf0eb就是\uf0ebu，即\uf0eb\uf03da−\uf0f3uub(8-19)例如Q235钢的\uf0ebu=60,TC13松木\uf0ebu=85。四、临界应力总图综上所述，如用直线经验公式，临界力或临界应力的计算可按柔度分为三类：(1)λ≥λp的大柔度杆，即细长杆。用欧拉公式(8-10)计算临界应力。(2)λp＞λ＞λu的中柔度杆，即中长杆，用直线公式(8-16)计算临界应力。(3)λ≤λu的小柔度杆，即短杆，实际上是强度破坏。由于不同柔度的压杆，其临界应力的公式不相同。因此，在压杆的稳定性计算中，应首先按(8-11)式计算其柔度值\uf0eb，再按上述分类选用合适的公式计算其临界应力和临界力。为了清楚地表明各类压杆的临界应力\uf0f3cr和柔度\uf0eb之间的关系，可绘制临界应力总图。图8-8Q235钢的临界应力总图例8-1一TC13松木压杆，两端为球铰，如图8-9所示。已知压杆材料的比例极限\uf0f3=9MPa，强度极限σb=13MPa，弹性模量E=1.0×104MPa。压杆截面为如下两种：(1)h=120mm，b=90mm的矩形；(2)h=b=104mm的正方形。试比较二者的临界荷载解(1)矩形截面压杆两端为球铰，μ=1。截面的最小惯性半径imin为i\uf03dImin\uf03dhb312\uf03db\uf03d90\uf03d26.0mmminA压杆的柔度为hb1212\uf0eb\uf03d\uf0b5l\uf03d1\uf0d73\uf0d710mm\uf03d115.4由(8-13)式，得\uf0ebp\uf03di\uf0f02E\uf03d\uf0f3p26mm\uf0f02\uf0d71\uf0d71049\uf03d104.7图8-9例8-1图可见λ＞λp，故该压杆为细长杆。临界力用欧拉公式(8-9)计算，得36yzFcr\uf0f02EI\uf03d\uf0f02\uf0d71\uf0d71010N\uf03dm2\uf0d71\uf0d7120\uf0d790312\uf0d710−12m4\uf028\uf0b5l\uf0292\uf03d79944N\uf03d79.9kN(2)正方形截面\uf0281\uf0d73m\uf0292μ仍为1。截面的惯性半径i为i\uf03db12压杆的柔度为\uf03d104mm\uf03d30.0mm12\uf0eb\uf03d\uf0b5l\uf03d1\uf0d73\uf0d710mm\uf03d100i30mm可见λu＜λ＜λp，杆为中长杆，先用直线公式(8-16)计算其临界应力，公式中的a，b分别为29.3MPa和0.19MPa。即\uf0f3cr\uf03da−b\uf0eb\uf03d29.3MPa−0.19MPa\uf0d7100\uf03d10.3MPa再由(8-15)式，临界力为Fcr\uf03d\uf0f3crA\uf03d10.3\uf0d710Nm2\uf0d71042\uf0d710−6m2\uf03d111500N\uf03d111.5kN上述两种截面的面积相等，而正方形截面压杆的临界荷载较大，不容易失稳。例8-2一压杆，长l=2m，截面为10号工字钢。材料为Q235钢，σs=235MPa，E=206GPa，σp=200MPa。压杆两端为如图8-7所示的柱形铰。试求压杆的临界荷载。解先计算压杆的柔度。在xz面内，压杆两端可视为铰支，μ=1。查型钢表，得iy=4.14cm，故\uf0eb\uf03d\uf0b5l\uf03d1\uf0d72000mm\uf03d48.3iy41.4mm在xy面内，压杆两端可视为固定端，μ=0.5。查型钢表，得iz=1.52cm，故\uf0eb\uf03d\uf0b5l\uf03d0.5\uf0d72000mm\uf03d65.8iz15.2mm由于λz＞λy，故该压杆将在xy面内失稳，并应根据λz计算临界荷载。对于Q235钢，λp=100，λu=λs=60，λu＜λ＜λp，因此该杆为中长杆，按(8-16)式计算临界应力\uf0f3cr\uf03da−b\uf0eb\uf03d304MPa−1.12MPa\uf0d765.8\uf03d230.3MPa查型钢表，得工字钢截面面积A=14.3cm2。再计算临界荷载，得6Fcr\uf03d\uf0f3crA\uf03d230.3\uf0d710Nm2\uf0d714.3\uf0d710−4m2\uf03d329329N\uf03d329.3kN§8-4压杆的稳定计算为了使压杆能正常工作而不失稳，压杆所受的轴向压力F必需小于临界力Fcr；或压杆的压应力σ必需小于临界应力σcr。对工程上的压杆，由于存在着种种不利因素，还需有一定的安全储备，所以要有足够的稳定安全因数nst。于是，压杆的稳定条件为FcrF≤nst或\uf03d\uf05bFst\uf05d(8-20)\uf0f3≤\uf0f3crnst\uf03d\uf05b\uf0f3st\uf05d(8-21_)以上二式中的［Fst］和［σst］分别称为稳定容许压力和稳定容许应力。它们分别等于临界力和临界应力除以稳定安全因数。稳定安全因数nst的选取，除了要考虑在选取强度安全因数时的那些因素外，还要考虑影响压杆失稳所特有的不利因素，如压杆不可避免的存在初曲率、材料不均匀、荷载的偏心等。这些不利因素，对稳定的影响比对强度的影响大。因而，通常稳定安全因数的数值要比强度安全因数大得多。例如，钢材压杆的nst一般取1.8～3.0，铸铁取5.0～5.5，木材取2.8～3.2。而且，当压杆的柔度越大，即越细长时，这些不利因素的影响越大，稳定安全系数也应取得越大。对于压杆，都要以稳定安全因数作为其安全储备进行稳定计算，而不必作强度校核。但是，工程上的压杆由于构造或其它原因，有时截面会受到局部削弱，如杆中有小孔或槽等，当这种削弱不严重时，对压杆整体稳定性的影响很小，在稳定计算中可不予考虑。但对这些削弱了的局部截面，则应作强度校核。根据稳定条件(8-20)和(8-21)，就可以对压杆进行稳定计算。压杆稳定计算的内容与强度计算相类似，包括校核稳定性、设计截面和求容许荷载三个方面。压杆稳定计算通常有两种方法。1．安全因数法压杆的临界力为Fcr。当压杆受力为F时，它实际具有的安全因数为n=Fcr/F，按(8-20)式，则应满足下述条件n\uf03dFcrF≥nst(8-22)此式是用安全因数表示的稳定条件。表明只有当压杆实际具有的安全因数不小于规定的稳定安全因数时，压杆才能正常工作。用这种方法进行压杆稳定计算时，必需计算压杆的临界力，而且应给出规定的稳定安全因数。而为了计算Fcr，应首先计算压杆的柔度，再按不同的范围选用合适的公式计算。2．折减因数法将(8-21)式中的稳定容许应力表示为［σst］=ϕ［σ］。其中［σ］为强度容许应力，ϕ称为稳定因数或折减因数。因此，(8-21)式所示的稳定条件成为如下形式：n\uf05d\uf8ec\uf05b\uf8f72\uf0f3\uf03dFA≤ϕ\uf05b\uf0f3\uf05d(8-23)由于这个方法引进了稳定因数或折减因数ϕ，因此，先就ϕ的有关问题作一些讨论。因为\uf0f3crstst所以及\uf05b\uf0f3\uf05d\uf03d\uf0f3u,n\uf05b\uf0f3\uf05d\uf0f3nϕ\uf03dst\uf03dcr（8-24）\uf05b\uf0f3\uf05dnst\uf0f3u式中σu为强度极限应力，n为强度安全因数。由于σcr＜σu而nst＞n，故ϕ值小于1而大于0。又由于σcr和nst都随柔度变化，所以ϕ也随柔度λ变化。钢结构设计规范(GBJ17—88)，根据我国常用构件的截面形式、尺寸和加工条件等因素，将压杆的稳定因数ϕ与柔度λ之间的关系归并为不同材料的a、b、c三类不同截面分别给出(有关截面分类情况请参看《钢结构设计规范》)，表8-1仅给出其中的一部分。当计算出的λ不是表中的整数时，可查规范或可用线性内插的近似方法计算。对于木制压杆的稳定系数ϕ值，由木结构设计规范(GBJ5—88)，按不同树种的强度等级分两组计算公式：树种强度等级为TC17，TC25及TＣ20时\uf0eb≤75ϕ\uf03d1\uf8eb\uf0eb\uf8f62（8-25a）1\uf02b\uf8ec\uf8f7\uf0eb\uf03e75树种等级为TC13，TC11，TB17及TB15时\uf8ed80\uf8f8ϕ\uf03d3000\uf0eb2(8-25b)\uf0eb≤91ϕ\uf03d11\uf02b\uf8eb\uf0eb\uf8f6(8-26a)\uf0eb〉91\uf8ed65\uf8f8ϕ\uf03d2800\uf0eb2(8-26b)式(8-25)和(8-26)中，λ为压杆的柔度。树种的强度等级TC17有柏木、东北落叶松等；TC25有红杉、云杉等；TC13有红松、马尾松等；TC11有西北云杉、冷杉等；TB20有栎木、桐木等，TB17有水曲柳等；TB15有桦木、栲木等，代号后的数字为树种抗弯强度(MPa)。表8-1还给出铸铁材料不同λ的稳定因数ϕ值。用这种方法进行稳定计算时，不需要计算临界力或临界应力，也不需要稳定安全因数，因为λ～ϕ表的编制中，已考虑了稳定安全因数的影响。a类截面b类截面a类截面b类截面铸铁01.0001.0001.0001.0001.000100.9950.9920.9930.9890.97200.9810.9700.9730.9560.91300.9630.9360.9500.9130.81400.9410.8990.9200.8630.69500.9160.8560.8810.8040.57600.8830.8070.8250.7340.44700.8390.7510.7510.6560.34800.7830.6880.6610.5750.26900.7140.6210.5700.4990.201000.6380.5550.4870.4310.161100.5630.4930.4160.3731200.4940.4370.3580.3241300.4340.3870.3100.2831400.3830.3450.2710.2491500.3390.3030.2390.2211600.3020.2760.2120.1971700.2700.2490.1890.1761800.2430.2250.1690.1591900.2200.2040.1530.1442000.1990.1860.1380.131λ=μl/i表8-1压杆的λ～φ表ϕQ235钢16Mn钢例8-3由Ｑ235钢制成的千斤顶如图8-10所示。丝杠长l=800mm,上端自由，下端可视为固定，丝杠的直径d=40mm，材料的弹性模量E=2.1×105MPa。若该丝杠的稳定安全因数nst=3.0，试求该千斤顶的最大承载力。解先求出丝杠的临界力Fcr，再由规定的稳定安全因数求得其容许荷载，即为千斤顶的最大承载力。丝杠为一端自由，一端固定，μ=2。丝杠截面的惯性半径为i\uf03dI\uf03d\uf0f0d4\uf0f0d2\uf03dd\uf03d40mm\uf03d10mmA故其柔度为64444\uf0eb\uf03d\uf0b5l\uf03d2\uf0d7800mm\uf03d160i10mm在例8-2中，Ｑ235钢的λp=100。由于λ＞λp，故该丝杠属于细长杆，应用欧拉公式计算临界力，即图8-10例8-3图2\uf02bzFcr\uf0f02EI\uf03d\uf0f02\uf0d72.1\uf0d71011N\uf03dm2\uf0d71\uf0d7\uf0f0\uf0d7\uf0280.04\uf0294m464\uf028\uf0b5l\uf0292\uf03d101739N\uf03d101.7kN所以，丝杠的容许荷载为\uf0282\uf0d70.8m\uf0292此即千斤顶的最大承载力。\uf05bFst\uf05d\uf03dFcrnst\uf03d101.7kN3\uf03d33.9kN例8-4某厂房钢柱长7m，由两根16b号槽钢组成，材料为Ｑ235钢，横截面见图8-11，截面类型为b类。钢柱的两端用螺栓通过联接板与其它构件联接，因而截面上有4个直径为30mm的螺拴孔。根据钢柱两端约束情况，取μ=1.3。该钢柱承受270kN的轴向压力，材料的［σ］=170MPa。(1)求两槽钢的间距h；(2)校核钢柱的稳定性和强度。解(1)确定两槽钢的间距h钢柱两端约束在各方向均相同，因此，最合理的设计应使Iy=Iz，从而使钢柱在各方向有相同的稳定性。两槽钢的间距h应按此原则确定。单根16b号槽钢的截面几何性质可由型钢表查得：A=25.15cm2，Iz=934.5cm4，Iy0=83.4cm4,z0=1.75cm，δ=10mm按惯性矩的平行移轴公式，钢柱截面对y轴的惯性矩为图8-11例8-4\uf8eeIy\uf03d2\uf8efIy0\uf8ef\uf8f0\uf8eb\uf02bA\uf8ec0\uf8edh\uf8f6\uf8f9\uf8f7\uf8fa2\uf8f8\uf8fa\uf8fb由Iy=Iz的条件得到\uf8ee\uf8ebh\uf8f62\uf8f92\uf0d7934.5cm4\uf03d2\uf0d7283.4cm4\uf02b25.15cm21.75cm\uf02b整理后得到\uf8ef\uf8ec\uf8f0\uf8ef\uf8ed\uf8f7\uf8fa2\uf8f8\uf8fa\uf8fb12.58h2\uf02b85.51h−1566.83\uf03d0解出h后，弃不合理的负值，得h=8.23cm。(2)校核钢柱的稳定性钢柱两端附近截面虽有螺栓孔削弱，但属于局部削弱，不影响整体的稳定性。钢柱截面的i和λ分别为i\uf03dIz\uf03d2\uf0d7934.5cm4\uf03d6.1cmA2\uf0d725.15cm2和7\uf0eb\uf03d\uf0b5l\uf03d1.3\uf0d7700cm\uf03d149.2i由表8-1查得ϕ=0.308，所以6.1cmϕ\uf05b\uf0f3\uf05d\uf03d0.308\uf0d7170MPa\uf03d52.4MPa而钢柱的工作应力为\uf0f3\uf03dF\uf03d270\uf0d7103N\uf03d5.37\uf0d7107Pa\uf03d53.7MPaA2\uf0d725.15\uf0d710−4m2可见，σ虽大于ϕ［σ］，但不超过5%，故可认为满足稳定性要求。(3)校核钢柱的强度对螺栓孔削弱的截面，应进行强度校核。该截面上的工作应力为\uf0f3\uf03dF\uf03d270\uf0d7103NA\uf0282\uf0d725.15−4\uf0d71\uf0d73\uf029\uf0d710−4m2\uf03d7.05\uf0d710Pa\uf03d70.5MPa可见σ＜［σ］，故削弱的截面仍有足够的强度。例8-5图示结构中，梁AB为14号工字钢，CD为圆截面直杆，直径d=20mm，二者材料均为Q235钢，若已知F=25kN，l1\uf03d1.25m,l2\uf03d0.55m。强度安全因素n=1.45，稳定安全因素nst=1.8。试校核此结构是否安全。解1.校核梁AB的强度梁AB为拉弯组合变形杆件，轴力FNAB=F·cos30°=25kN×cos30°=21.65kN，在截面C处弯矩最大，其上的弯矩为Mmax=F×sin30°×l1=25kN×0.5×1.25m=15.63kN·m。由型钢表查得14号工字钢Wz=102cm3，A=21.5cm2，由此得到图8-12例8-5图\uf0f3\uf0f3maxFNAB15.63\uf0d7103N⋅m21.65\uf0d7103N163MPamax\uf03d\uf02bWz\uf03dA102\uf0d710−6m3\uf02b\uf03d21.5\uf0d710−4m2Q235钢的容许应力\uf05b\uf0f3\uf05d\uf03d\uf0f33n\uf03d235MPa\uf03d162MPa1.45σmax略大于［σ］，但不超过5%，工程上仍认为是安全的。2．校核CD杆的稳定性由平衡方程求得压杆CD的轴力为FN=2Fsin30°=F=25kN2因为两端为铰支，\uf0b5=1，所以\uf0eb\uf03d\uf0b5li\uf03d1\uf0d70.55m20\uf0d70.3m4\uf03d110〉\uf0ebp\uf03d100故CD杆为细长杆，按欧拉公式计算临界力26\uf0f0\uf0d7\uf0280.02\uf0294m4Fcr\uf0f02EI\uf0f0\uf03d\uf03d\uf0d7206\uf0d710Pa\uf0d764\uf03d52.8kN\uf028\uf0b5l\uf0292所以\uf0281\uf0d70.55m\uf0292压杆CD是稳定的。故整个结构是安全的。FN〈\uf05bFst\uf05d\uf03dFcrnst\uf03d29.3kN§8-5提高压杆稳定性的措施每一根压杆都有一定的临界力，临界力越大，表示该压杆越不容易失稳。临界力取决于压杆的长度、截面形状和尺寸、杆端约束以及材料的弹性模量等因素。因此，为提高压杆稳定性，应从这些方面采取适当的措施。1.选择合理的截面形式当压杆两端约束在各个方向均相同时，若截面的两个主形心惯性矩不相等，压杆将在Imin的纵向平面内失稳。因此，当截面面积不变时，应改变截面形状，使其两个形心主惯性矩相等，即Iy=Iz。这样就有λy=λz，压杆在各个方向就具有相同的稳定性。这种截面形状就较为合理。例如，在截面面积相同的情况下，正方形截面就比矩形截面合理。在截面的两个形心主惯性矩相等的前提下，应保持截面面积不变，而增大I值。例如，将实心圆截面改为面积相等的空心圆截面，就较合理。由同样4根角钢组成的截面，图8-13(b)所示的放置就比(a)图所示的合理。采用槽钢时，用两根并且按图8-14所示的方式放置，图8-13等边角钢截面再调整间距h，使Iy=Iz(见例8-4)。工程上常用型钢组成薄壁截面，比用实心截面合理。当压杆由角钢、槽钢等型钢组合而成时，必需保证其整体稳定性。工程上常用如图8-14(b)所示加缀条的方法以保证组合压杆的整体稳定性。两水平缀条间的一段单肢称为分支，也是一压杆，如其长度a过大，也会因该分支失稳而导致整体失效。因此，应使每个分支和整体具有相同的稳定性，即满足λ分支=λ整体，才是合理的。分支长度a通常由此条件确定。在计算分支的λ时，两端一般按铰支考虑。当压杆在两个形心主惯性平面内的杆端约束不同时，如柱形铰，则其合理截面的形式是使Iy≠Iz，以保证λy=λz。这样，压杆在两个方向才具有相同的稳定性。图8-14槽钢截面和缀条与分支2.减小相当长度和增强杆端约束压杆的稳定性随杆长的增加而降低，因此，应尽可能减小杆的相当长度。例如，可以在压杆中间设置中间支承。此外，增强杆端约束，即减小长度系数μ值。也可以提高压杆的稳定性。例如，在支座处焊接或铆接支撑钢板，以增强支座的刚性从而减小μ值。3.合理选择材料细长压杆的临界力Fcr与材料的弹性模量E成正比。因此，选用E大的材料可以提高压杆的稳定性。但如压杆由钢材制成，因各种钢材的E值大致相同，所以选用优质钢或低碳钢，对细长压杆稳定性并无多大区别。而对中长杆，其临界应力σcr总是超过材料的比例极限σp，因此，对这类压杆，采用高强度材料，会提高稳定性。思考题8-1两端为球形铰支的压杆，当横截面如图示各种不同形状时，试问压杆会在哪个平面内失去稳定（即失去稳定时压杆的截面绕哪一根形心轴转动）？思考题8-1图8-2有一圆截面细长压杆，其他条件不变，若直径增大一倍时，其临界力有何变化?若长度增加一倍时，其临界力有何变化?8-3两根细长压杆，其材料、杆端约束、杆长、横截面面积均相同，仅截面形状不同(如图)，其临界力比值为多少?思考题8-3图8-4图示两根直径为d的压杆，要使两杆的临界力相等，则两杆的长度有什么关系?试分别就大柔度杆和中长杆两种情况进行讨论。思考题8-4图8-5若用欧拉公式计算中柔度杆的临界力，则会导致什么后果?8-6图示由1，2两杆组成的两种形式的简单桁架，它们的承载能力是否相同?思考题8-6图8-7两根直径为d的立柱，上、下端分别与强劲的顶、底块刚性连接，如图所示。试根据杆端的约束条件，分析在总压力F作用下，立柱微弯时可能的几种挠曲线形状。思考题8-7图习题8-1图示各杆材料和截面均相同，试问哪一根杆能承受的压力最大，哪一根最小(图(e)所示杆在中间支承处不能转动)?题8-1图8-2图示压杆的截面为矩形，h=60mm，b=40mm，杆长l=2.0m，材料为Q235钢，E=2.1×105MPa。两端约束示意图为：在正视图(a)的平面内相当于铰支；在俯视图(b)的平面内为弹性固定，采用μ=0.8。试求此杆的临界力Fcr。题8-2图8-3两端铰支压杆，材料为Q235钢，具有图示4种横截面形状，截面面积均为4.0×103mm2，试比较它们的临界力值。空心圆截面中d2=0.7d1。8-4图示结构中，两根杆的横截面均为50×50mm2，材料的E=70×103MPa，试用欧拉公式确定结构失稳时的F值。题8-3图题8-4图8-5图示５根圆杆组成的正方形结构。a=1m，各结点均为铰接，杆的直径均为d=35mm，截面类型为a类。材料均为Ｑ235钢，［σ］=170MPa，试求此时的容许荷载F。又若力F的方向改为向外，容许荷载F又应为多少?8-6两端铰支的TC17木柱，截面为150×150mm2的正方形，长度L=4.0m，设容许压应力［σ］=11MPa，求木柱的最大安全压力。题8-5图题8-7图8-7图示结构是由同材料的两Q235钢杆组成。AB杆为一端固定，另一端铰支的圆截面杆，直径d=70mm；BC杆为两端铰支的正方形截面杆，边长a=70mm，AB和BC两杆可各自独立发生弯曲、互不影响。已知l=2.5m，稳定安全因数nst=2.5。E=2.1×105MPa。试求此结构的最大安全荷载。8-8图示一简单托架，其撑杆AB为TC17圆截面杉木杆，直径d=200mm。A、B两处为球形铰，材料的容许压应力［σ］=11MPa。试求托架的容许荷载［q］。题8-8图8-9一支柱系由４根75×75×6(见图)的角钢所组成。截面类型为b类。支柱的两端为铰支，柱长L=6m，a=210mm，压力为450kN。若材料为Q235钢，容许应力［σ］=170MPa。试校核支柱的稳定性。8-10图示托架中AB杆的直径d=40mm，两端可视为铰支，材料为Ｑ235钢。σp=200MPa，E=200GPa。若为中长杆，经验公式σcr=a-bλ中的a=304MPa，b=1.12MPa。(1)试求托架的临界荷载Fcr。(2)若已知工作荷载F=70kN，并要求AB杆的稳定安全因数nst=2，试问托架是否安全?题8-9图题8-10图8-11图示结构中钢梁AB及立柱CD分别由20b号工字钢和连成一体的两根63×63×5的角钢制成。立柱截面类型为b类，均布荷载集度q=39kN/m，梁及柱的材料均为Ｑ235钢，［σ］=170MPa，E=2.1×105MPa。试验算梁和柱是否安全。8-12图示梁杆结构，材料均为Q235钢。AB梁为16号工字钢，BC杆为d=60mm的圆杆。已知E=200GPa，σp=200MPa，σs=235MPa，强度安全因数n=2，稳定安全因数nst=3，求容许荷载值。题8-11图题8-12图习题答案第七章返回总目录第九章动荷载是指随时间作急剧变化的荷载，构件由动荷载引起的应力和变形称为动应力和动变形，构件在动荷载作用下同样有强度、刚度和稳定性问题。交变应力是指构件在某些荷载作用下，产生随时间作周期性变化的应力，这类构件的破坏为疲劳破坏。本章主要介绍构件作匀加速直线运动和匀速转动以及冲击时的动荷载问题，以及交变应力、疲劳破坏、疲劳极限的概念和钢结构构件的疲劳强度计算问题。第九章动荷载和交变应力§9-1概述§9-2构件作匀加速直线运动和匀速转动时的应力一、构件作匀加速直线运动时的应力二、构件作匀速转动时的应力§9-3构件受冲击时的应力和变形一、竖向冲击问题二、水平冲击问题三、提高构件抗冲能力的措施四、冲击韧度§9-4交变应力和疲劳破坏§9-5交变应力的特性和疲劳极限§9-6钢结构构件的疲劳计算思考题习题习题答案返回总目录第九章动荷载和交变应力§9-1概述前面各章讨论了构件在静荷载作用下的问题。所谓静荷载，是指由零开始缓慢地增加到最终值，以后就不再变动的荷载。在加载的过程中，构件内各质点的加速度很小，可以忽略不计。实际工程中，有很多构件受到动荷载(dynamicload)的作用。所谓动荷载，是指随时间作急剧变化的荷载，以及作加速运动或转动的构件的惯性力。例如，起重机加速吊升重物时，吊索受到惯性力的作用，汽锤打桩时，桩受到冲击荷载，等等。上述吊索，桩都承受动荷载。构件由动荷载所引起的应力和变形称为动应力(dynamicstress)和动变形(dynamicdeformation)。构件在动荷载作用下同样有强度、刚度和稳定性问题。实验结果表明，在静荷载作用下服从胡克定律的材料，在动荷载作用下，只要动应力不超过材料的比例极限，胡克定律仍然适用。若构件内的应力随时间作周期性的变化，则称为交变应力(alternatingstress)。塑性材料的构件长期在交变应力作用下，虽然最大工作应力远低于材料的屈服极限，且无明显的塑性变形，却往往会发生脆性断裂。这种破坏称为疲劳破坏(fatiguefailure)。因此，在交变应力作用下的构件还应校核疲劳强度。本章将研究构件作匀加速直线运动或匀速转动和冲击的动荷载问题，以及交变应力作用下构件的疲劳破坏和疲劳强度校核。§9-2构件作匀加速直线运动和匀速转动时的应力构件作匀加速直线运动时，内部各质点均有相同的加速度，构件作匀速转动时，内部各质点均具有向心加速度。在这类问题中，由于加速度很容易确定，因而可应用动力学基础中的达朗贝尔原理，在构件上加相应的惯性力，然后按与静荷载问题相同的方法进行分析和计算。一、构件作匀加速直线运动时的应力图9-1(a)所示的桥式起重机，以匀加速度a吊起一重为W的物体。若钢索横截面面积为A，材料密度为ρ，现分析和计算钢索横截面上的动应力。先计算钢索任一x横截面上的内力。应用截面法，取出如图9-1（b）所示的部分钢索和吊物作为研究对象。作用于其上的外力有吊物自重W，长为x的一段钢索的自重，吊物和该段钢索的惯性力，以及截开面上的动内力FNd。钢索的自重是匀布的轴向力，集度为q=ρgA，其惯性力也是匀布的轴向力，集度为q\uf03d\uf0f1gAa，吊物的惯性力为Wa。惯性力的方向均dgg与加速度a的方向相反，如图9-1(b)所示。图9-1桥式起重机吊索动应力分析钢索x横截面上的动内力可以由取出部分的平衡求得，即WW\uf0f1gA\uf8eba\uf8f6FNd=W\uf02ba\uf02bqx\uf02bqdx\uf03dW\uf02bga\uf02b\uf0f1gAx\uf02bgax\uf03d\uf028W\uf02b\uf0f1gAx\uf029\uf8ec1\uf02b\uf8f7gg式中，W+ρgAx为同一截面上的静内力FNst。因此上式可写成FNd\uf03dkdFNst\uf8ed\uf8f8（9-1）a式中kd\uf03d1\uf02bg(9-2)称为动荷因数(dynamiccoefficient)。可见，钢索横截面上的动内力等于该截面上的静内力乘以动荷因数。进而可以计算钢索横截面上的动应力。按拉压杆件横截面上的正应力公式，有\uf0f3d\uf03dFNdA\uf03dkdFNstA\uf03dkd\uf0f3st可见，钢索横截面上的动应力为该截面上的静应力乘以动荷系数。显然，求解这类动荷载问题的关键是求出动荷系数。由(9-1)式可知，钢索的危险截面，即动内力最大的截面在钢索的上端。该截面的动应力也将最大。由(9-3)式，得\uf0f3dmax\uf03dkd\uf0f3stmax计算出最大动应力后，就可按如下的强度条件进行钢索的强度计算：\uf0f3dmax\uf03dkd\uf0f3stmax≤\uf05b\uf0f3\uf05d式中［σ］仍采用静荷载情况的容许应力值。二、构件作匀速转动时的应力以一匀速转动的飞轮为例，分析轮缘上的动应力。通常飞轮的轮缘较厚，而中间的轮幅较薄。因此，当飞轮的平均直径D远大于轮缘的厚度δ时，可略去轮幅的影响，将飞轮简化为平均直径为D厚度为δ的薄壁圆环，如图9-2(a)所示。设圆环以角速度ω绕圆心O匀速转动。圆环的横截面面积为A，材料的密度为ρ。圆环匀速转动时，各质点只有向心加速度。由于壁厚δ远小于圆环平均直径D，可认为圆环沿径\uf0f92D向各点的向心加速度与圆环中线上各点处的向心加速度相等，均为an\uf03d。因而，沿圆2环中线上将有匀布的离心惯性力，其集度qd\uf03d\uf0f1gAgan\uf03d\uf0f1gA\uf0f92D2g，如图9-2（b）所示。图9-2匀速转动飞轮假想将圆环沿水平直径面截开，取上半部分进行研究。这部分上的外力如图9-2(c)所示，在dϕ范围内的外力为qDdϕ，由平衡方程ΣF=0得d2−2FNd\uf0f0\uf02b∫qd0yDdϕsinϕ\uf03d02将qd代入，得到截面m-m和n-n上的内力为F\uf03d\uf0f1gA\uf0f92D2\uf03d\uf0f1gA\uf0f52(9-5)Ndg4g圆环横截面上的动应力为\uf0f3FNd\uf0f1g\uf0f92D2\uf0f1g\uf0f52d\uf03dA\uf03dg4\uf03dg(9-6)以上二式中的v=ωD/2，为圆环中线上各点的线速度。圆环的强度条件为\uf0f3\uf03d\uf0f1gv2≤\uf05b\uf0f3\uf05ddg(9-7)工程上，为保证飞轮的安全，必需控制飞轮的转速ω，即限制轮缘的线速度v。由(9-7)式可知，轮缘容许的最大线速度即临界速度为\uf05bv\uf05d\uf03dg\uf05b\uf0f3\uf05d\uf0f1g(9-8)§9-3构件受冲击时的应力和变形当运动着的物体作用到静止的物体上时，在相互接触的极短时间内，运动物体的速度急剧下降，从而使静止的物体受到很大的作用力，这种现象称为冲击(impact)。冲击中的运动物体称为冲击物，静止的物体称为被冲击构件。工程中的落锤打桩、汽锤锻造和飞轮突然制动等等，都是冲击现象。其中落锤、汽锤、飞轮是冲击物；而桩、锻件、轴就是被冲击构件。在冲击过程中，冲击物将获得很大的加速度，从而产生很大的惯性力作用在被冲击构件上，在被冲击构件中产生很大的冲击应力和变形。在冲击问题中，由于冲击物的速度在极短时间内发生很大变化，所以加速度大小很难确定，因此，不可能按§9-2中的方法进行计算。事实上，用精确方法分析冲击问题是十分困难的。工程上一般采用偏于安全的能量方法，对冲击瞬间的最大应力和变形，进行近似的分析计算。这种方法基于如下假设：(1)冲击时，冲击物本身不发生变形，即当作刚体，冲击后不发生回弹；(2)忽略被冲击构件的质量；(3)在冲击过程中被冲击构件的材料仍服从胡克定律。下面将讨论竖向冲击和水平冲击两种情况。一、竖向冲击问题图9-3竖向冲击设一重为W的物体，从高度h处自由下落到杆的顶端，使杆受到竖向冲击而发生压缩变形如图9-3(a)所示。现以此为例，说明冲击应力和变形的计算方法。冲击物落到被冲击构件顶端、即将与之接触时，具有速度v。当其与构件接触后，将贴合在一起运动，速度迅速减小，最后降到零；与此同时，被冲击构件的变形也达到最大值Δd。构件因此受到冲击荷载Fd并产生冲击应力σd。如在冲击过程中不计其它能量的损耗，则按能量守恒原理，冲击物在冲击前后所减少的动能T和位能V应与被冲击构件所获得的应变能Vε相等，即T\uf02bV\uf03dV\uf0e5冲击物即将与杆的顶端接触时(即冲击前)，作为位能零点，且具有动能T(9-9)\uf03dWv2\uf03dWh；02g接触后(即冲击后)，速度降为零，即动能为零。故冲击前后，冲击物减少的动能为T0\uf03dWh；减少的位能为V=WΔd。由于冲击过程中，被冲击构件的材料仍服从胡克定律，故获得的应1变能为V\uf0e5\uf03dFd∆d。代入式(9-9)，得2d\uf8f7ddsd∆∆Fd与Δd之间成线性关系，即Wh\uf02bW∆dEA1\uf03dFd∆d2(9-10)Fd\uf03dEA∆d\uf03dC∆dl(9-11)式中C\uf03d为被冲击构件的刚度系数。若将重物W以静荷载方式作用于冲击点处，构件沿lW冲击方向的静变形(即缩短)为Δst，则由于材料服从虎克定律，可得W=CΔst，将C\uf03d代∆st入(9-11)式，得将此Fd代入(9-10)式，经整理后，得F\uf03dW∆∆st(9-12)由此解得∆2−2∆∆−2∆st\uf8ebh\uf03d0\uf8f6∆\uf03d∆\uf0b1∆2\uf02b2h∆\uf03d\uf8ec1\uf0b11\uf02b2h\uf8f7∆dststst\uf8ec\uf8ed\uf8f7stst\uf8f8为了求得Δd的最大值，上式根号前应取正号，故有\uf8eb\uf8ec2h\uf8f6∆d\uf03d\uf8ec1\uf0b1\uf8ed式中1\uf02b\uf8f7∆st\uf03dkd∆stst\uf8f8(9-13)kd\uf03d1\uf02b1\uf02b2h∆(9-14)st称为竖向冲击的动荷因数。再将式kd\uf03d∆d∆st代入(9-12)式，可得Fd\uf03dkdW(9-15)有了冲击荷载Fd，就可按静荷载作用下的公式计算冲击应力σd；但由（9-15）式可见，σd必等于静荷载W引起的静应力σst乘以动荷系数kd，即\uf0f3d\uf03dkd\uf0f3st(9-16)由此可知，将由（9-14）式求得的动荷因数kd，分别乘以静荷载W引起的静应力σst和静位移Δst，就可得到冲击应力σd和冲击位移Δd。这种计算冲击应力和冲击变形的方法，并不局限于图9-3(a)所示的受压杆件，它们同样适用于受竖向冲击的其它构件，例如图9-3(b)所示的梁。冲击问题的关键是计算动荷因数，计算公式(9-14)中的Δst是将冲击物重量W当作静荷载作用于被冲击构件上冲击点处，在构件冲击点处沿冲击方向所产生的与静荷载类型相对应的2g22g静变形。由kd的计算公式(9-14)可见：（1）当h=0时，kd=2。表明这时构件的动应力和动变形都是静荷载作用下的两倍。这种荷载称为突加荷载(suddenload)。（2）当h≥Δst时，动荷系数近似为kd\uf03d2h。∆stv2（3）若已知冲击物自由下落、刚接触被冲击构件时的速度为v，则h可用2g代替，动荷系数成为k\uf03d1\uf02b1\uf02bvdst二、水平冲击问题图9-4(a)示一重为W的物体，水平冲击在竖杆的A点，使杆发生弯曲。仍作出竖向冲击时的三点假设，并仍应用由能量守恒原理所得的(9-9)式进行分析。冲击物即将接触到A点时的速度为v。当与被冲击构件接触后便一起运动，速度迅速降到零；与此同时，被冲击构件受到的冲击荷载Fd和产生的冲击变形Δd都达到最大值，如图9-4(b)所示。冲击前后冲击物减少的动能为T\uf03dW2gv2；由于图9-4水平冲击水平冲击，冲击前后位能无变化，故减少的位能为V=0。同时，被冲击构件受冲击后获得的1应变能为V\uf0e5\uf03dFd∆d。由(9-9)式，得2Wv22g1\uf03dFd∆d2将Fd\uf03dW∆st∆d代入，可解得∆d\uf03dv∆st\uf03dv2∆st\uf03dkd∆stgg∆st式中k\uf03dv（9-17）dst称为水平冲击动荷因数。其中Δst是将冲击物重量W作为静荷载，水平作用于被冲击构件上zzm33冲击点处，构件在冲击点处沿冲击方向的静变形（即挠度），如图9-4(c)所示。求得了动荷因数kd后，与竖向冲击的情况相似，可求得冲击应力σd和冲击变形Δd。无论是竖向冲击或水平冲击，在求得被冲击构件中的最大动应力σdmax后，均可按下述强度条件进行强度计算：\uf0f3dmax≤\uf05b\uf0f3\uf05d例9-2图9-5示16号工字钢梁，右端置于一弹簧常数k=0.16kN/mm的弹簧上。重量W=2kN的物体自高h=350mm处自由落下，冲击在梁跨中C点。梁材料的［σ］=160MPa，E=2.1×510MPa，试校核梁的强度。解为计算动荷因数，首先计算Δst。将W图9-5例9-2图作为静荷载作用在C点。由型钢表查得梁截面的I=1134和W=141c3。梁本身的变形为Wl32\uf0d7103N\uf0d733m3∆Cst\uf03d48EIz\uf03d48\uf0d72.1\uf0d71011Nm2\uf0d71130\uf0d710−8m4\uf03d0.474\uf0d710−3m\uf03d0.474mmW由于右端支座是弹簧，在支座反力FRB\uf03d的作用下，2其缩短量为∆\uf03d0.5W\uf03d0.5\uf0d72kN\uf03dmmBstk0.16kNmm6.25故C点沿冲击方向的总静位移为11∆st\uf03d∆Cst\uf02b∆Bst\uf03d0.474mm\uf02b2\uf0d76.25mm\uf03d3.6mm2再由式(9-14)，求得动荷因数为kd\uf03d1\uf02b1\uf02b2h∆st\uf03d1\uf02b1\uf02b2\uf0d7350mm3.6mm\uf03d14.98梁的危险截面为跨中C截面，危险点为该截面上、下边缘处各点。C截面的弯矩为M\uf03dWl\uf03d2\uf0d710N⋅m\uf03d1.5\uf0d7103N⋅m危险点处的静应力为max44\uf0f3\uf03dMmax\uf03d1.5\uf0d710N⋅M\uf03d10.64\uf0d7106Pa\uf03d10.64MPaWstmaxz141\uf0d710−6m3所以，梁的最大冲击应力为\uf0f3dmax\uf03dkd\uf0f3stmax\uf03d14.98\uf0d710.64kPa\uf03d159.4MPa因为σdmax<［σ］，所以梁是安全的。三、提高构件抗冲能力的措施由上述分析可知，冲击将引起冲击荷载，并在被冲击构件中产生很大的冲击应力。在工程中，有时要利用冲击的效应，如打桩、金属冲压成型加工等。但更多的情况下是采取适当的缓冲措施以减小冲击的影响。一般来说，在不增加静应力的情况下，减小动荷因数kd，可以减小冲击应力。从以上各kd的公式可见，加大冲击点沿冲击方向的静位移Δst，就可有效的减小kd值。因此，被冲击构件采用弹性模量低、而变形大的材料制作；或在被冲击构件上冲击点处垫以容易变形的缓冲附件，如橡胶或软塑料垫层、弹簧等，都可以使Δst值大大提高。例如汽车大梁和底盘轴间安装钢板弹簧，就是为了提高Δst而采取的缓冲措施。四、冲击韧度衡量材料抗冲击能力的力学指标是冲击韧度(impacttoughness)ak。在受冲击构件的设计中，它是一个重要的材料力学性能指标。图9-6冲击韧度试验材料的冲击韧度是由冲击试验测得的。试验时，将如图9-6(a)所示的标准试件置于冲击试验机机架上，并使U形切槽位于受拉的一侧，如图9-6（b）所示。如试验机的摆锤从一定高度沿圆弧线自由落下将试件正好冲断，则试件所吸收的能量就等于摆锤所作的功W。将W除以试件切槽处的最小横截面面积A，就得到冲击韧度，即a\uf03dWkA22ak的单位为N·m/m或J/m。ak越大，表示材料的抗冲击能力越好。一般说来，塑性材料的ak比脆性材料大。故塑性材料的抗冲击能力优于脆性材料。§9-4交变应力和疲劳破坏工程中，某些构件所受的荷载是随时间改变而变化的，即受交变荷载作用。例如图9-7（a）所示的梁，受电动机的重量W与电动机转动时引起的干扰力FHsin\uf0f9t作用，干扰力FHsin\uf0f9t就是随时间作周期性变化的。因而梁跨中截面下边缘危险点处的拉应力将随时间作周期性变化，如图9-7（b）所示。这种应力随时间变化的曲线，称为应力谱(stressspectrum)。图9-7荷载随时间作周期性变化的应力谱此外，还有某些构件，虽然所受的荷载并没有变化，但由于构件本身在转动，因而构件内各点处的应力也随时间作周期性的变化。如图9-8(a)所示的火车轮轴，承受车厢传来的荷载F，F并不随时间变化。轴的弯矩图如图9-8(b)所示。但由于轴在转动，横截面上除圆心以外的各点处的正应力都随时间作周期性的变化。如以截面边缘上的某点i而言，当i点转至位置1时(见图9-8（c），正处于中性轴上，σ=0；当i点转至位置2时，σ=σmax；当i点转至位置3时，又在中性轴上，σ=0；当i点转至位置4时，σ=σmin。可见，轴每转一周，i点处的正应力经过了一个应力循环(stresscycle)，其应力谱如图9-8(d)所示。图9-8转动构件的应力谱在上述两类情况下，构件中都将产生随时间作周期性交替变化的应力。这种应力称为交变应力。实验结果以及大量工程构件的破坏现象表明，构件在交变应力作用下的破坏形式与静荷载作用下全然不同。在交变应力作用下，即使应力低于材料的屈服极限（或强度极限），但经过长期重复作用之后，构件也往往会突然断裂。对于由塑性很好的材料制成的构件，也往往在没有明显塑性变形的情况下突然发生断裂。这种破坏称为疲劳破坏。所谓疲劳破坏可作如下解释：由于构件不可避免地存在着材料不均匀、有夹杂物等缺陷，构件受载后，这些部位会产生应力集中；在交变应力长期反复作用下，这些部位将产生细微的裂纹。在这些细微裂纹的尖端，不仅应力情况复杂，而且有严重的应力集中。反复作用的交变应力又导致细微裂纹扩展成宏观裂纹。在裂纹扩展的过程中，裂纹两边的材料时而分离，时而压紧，或时而反复的相互错动，起到了类似“研磨”的作用，从而使这个区域十分光滑。随着裂纹的不断扩展，构件的有效截面逐渐减小。当截面削弱到一定程度时，在一个偶然的振动或冲击下，构件就会沿此截面突然断裂。可见，构件的疲劳破坏实质上是由于材料的缺陷而引起细微裂纹，进而扩展成宏观裂纹，裂纹不断扩展后，最后发生脆性断裂的过程。虽然近代的上述研究结果已否定了材料是由于“疲劳”而引起构件的断裂破坏，但习惯上仍然称这种破坏为疲劳破坏。以上对疲劳破坏的解释与构件的疲劳破坏断口是吻合的。一般金属构件的疲劳断口都有着如图9-9所示的光滑区和粗糙区。光滑区实际上就是裂纹扩展区，是经过长期“研磨”所致，而粗糙区是最后发生脆性断裂的那部分剩余截面。图9-9疲劳破坏断口构件的疲劳破坏，是在没有明显预兆的情况下突然发生的，因此，往往会造成严重的事故。所以，了解和掌握交变应力的有关概念，并对交变应力作用下的构件进行疲劳计算，是十分必要的。§9-5交变应力的特性和疲劳极限由应力谱（图9-7（b）和图9-8（d））可见，构件中某一点的交变应力在其最大值σmax和最小值σmin之间作周期性变化。应力每重复变化一次，称为一个应力循环。重复的次数称为循环次数。应力循环中最小应力与最大应力之比，称为交变应力的循环特征(cycleperformance)，并用r表示，即r\uf03d\uf0f3min\uf0f3max(9-18)而最大应力和最小应力的差值表示交变应力的变化程度，称为交变应力的应力幅(stressamplitude)，即Δσ=σmax-σmin(9-19)交变应力的特征可用上述四个参量σmax、σmin、r和Δσ来表示。交变应力的基本参量，通常用最大应力σmax和循环特征r来表示，也可用最大应力σmax和应力幅Δσ来表示。在交变应力中，当r\uf03d\uf0f3min\uf0f3max=-1时，称为对称循环交变应力(reversestress)，此时，应\uf0f3力幅Δσ=2σmax，见图9-8(d)；当r\uf03dmin=0时，即σmin=0，称为脉冲循环交变应力(pulsating\uf0f3max\uf0f3stress)，此时，Δσ=σmax，见图9-10(a)；当r\uf03dmin=1时，即有σmax=σmin，Δσ=0，这\uf0f3max实际上是静应力作用，因此，静应力可看作是交变应力的一种特例，见图9-10（b）。通常除对称循环（r=-1）以外的交变应力，统称为非对称循环交变应力。构件在交变应力作用下，即使其最大工作应力小于屈服极限（或强度极限），也可能发生疲劳破坏。可见，材料的屈服极限等静荷强度指标不能用来说明构件在交变应力作用下的强度。图9-10脉冲循环与静荷应力谱材料在交变应用力作用下是否发生破坏，不仅与最大应力σmax有关，还与循环特征r和循环次数N有关。循环次数又称为疲劳寿命(fatiguelife)。试验表明，在一定的循环特征r下，σmax越大，到达破坏时的循环次数N就越小，即寿命越短；反之，如σmax越小，则到达破坏时的循环次数N就越大，即寿命越长。当σmax减小到某一限值时，虽经“无限多次”应力循环，材料仍不发生疲劳破坏，这个应力限值就称为材料的持久极限或疲劳极限(fatiguelimit)，以σr表示。同一种材料在不同循环特征下的疲劳极限σr是不相同的，对称循环下的疲劳极限σ-1是衡量材料疲劳强度的一个基本指标。不同材料的σ-1是不相同的。材料的疲劳极限可由疲劳试验来测定，如材料在弯曲对称循环下的疲劳极限，可按国家标准GB4337—84以旋转弯曲疲劳试验来测定。在试验时，取一组标准光滑小试件，使每根试件都在试验机上发生对称弯曲循环且每根试件危险点承受不同的最大应力（称为应力水平），直至疲劳破坏，即可得到每根试件的疲劳寿命。然后在以σmax为纵坐标，疲劳寿命N为横坐标的坐标系内，可定出每根试件σmax与N的相应点，从而可描出一条应力与疲劳寿命关系曲线，即σ-N曲线，称为疲劳曲线(fatiguecurve)。图9-11为某种钢材在弯曲对称循环下的疲劳曲线。图9-11弯曲对称循环疲劳曲线由疲劳曲线可见，试件达到疲劳破坏时的循环次数将随最大应力的减小而增大，当最大应力降至某一值时，σ-N曲线趋于水平，从而可作出一条σ-N曲线的水平渐近线，对应的应力值就表示材料经过无限多次应力循环而不发生疲劳破坏，即为材料的疲劳极限(σ-1)弯。事实上，如钢材和铸铁等黑色金属材料，σ-N曲线都具有趋于水平的特点，即经过很大的有限循环次数N0而不发生疲劳破坏，N0称为循环基数。通常，钢的N0取107次，某些有色金属的N0取108次。有些构件受到拉压交变应力作用，以上有关概念同样适用。此外，还有一些扭转构件受到交变切应力的作用，以上有关概念同样适用，只需将正应力σ改为切应力τ即可。应该指出，由疲劳试验测得的是材料的疲劳极限，实际构件的疲劳极限，不仅与材料有关，还受到构件形状、尺寸大小、表面加工质量和工作环境等因素的影响。3§9-6钢结构构件的疲劳计算传统的构件疲劳设计方法是采用安全因数法。以对称循环疲劳计算为例，通常是在材料疲劳极限σ-1的基础上，考虑应力集中、构件尺寸、表面加工质量等因素的影响，求得构件的疲劳极限。然后除以构件的最大应力，即得到构件的计算安全因数nσ。其疲劳强度条件是计算安全因数应大于或等于规定的安全因数nr。即n\uf0f3≥nr(9-20)目前，机械行业中对机械零部件的疲劳强度计算，仍是以这一疲劳强度条件为基础进行的。具体方法可参见有关教材和参考书。在结构工程中，由于20世纪60年代后，钢结构的焊接工艺得到广泛应用。而焊缝附近往往存在着残余应力，钢结构的疲劳裂纹多从焊缝处产生和发展，因而在疲劳计算中应考虑焊接残余应力的影响。在此情况下，就不能按传统的疲劳强度条件进行疲劳计算。钢结构设计规范(GBJ17—88)规定，在承受动应力荷载重复作用的钢结构构件（如吊车梁、吊车桁架、工作平台梁等）及其联接部位，当应力变化的循环次数N等于或大于105次时，应进行疲劳计算。疲劳计算采用容许应力幅法；对常幅（所有应力循环内的应力幅保持常量）疲劳，按下式计算：∆\uf0f3≤\uf05b∆\uf0f3\uf05d(9-21)计算时，σmax、σmin按弹性状态计算。对焊接部位，应力幅Δσ=σmax-σmin；对非焊接部位，应力幅采用折算应力幅，即Δσ=σmax-0.7σmin。常幅疲劳的容许应力幅，按下式计算：1\uf8ebC\uf8f6\uf05b∆\uf0f3\uf05d\uf03d\uf8ec\uf8f7\uf0e2(9-22)\uf8edN\uf8f8式中N为交变应力循环次数，C，β是与构件和联接的类别及其受力情况有关的参数，见表9-1。关于疲劳计算构件和联接分类详见规范。在应力循环中不出现拉应力的部位，可不作疲劳计算。表9-1参数C，β构件和联接类别12345678C1940×1012861×10123.26×10122.18×10121.47×10120.96×10120.65×10120.41×1012β44333333例9-3图9-12示一焊接箱形钢梁，在跨中截面受到Fmin=10kN和Fmax=100kN的常幅交变荷载作用。该梁由手工焊接而成，属第4类构件，若欲使此梁在服役期内，能经受2×106次交变荷载作用，试校核其疲劳强度。解(1)计算梁跨中截面危险点处的应力幅。截面对z轴的惯性矩190mm\uf0d72113mm3Iz\uf03d12−170mm\uf0d717512mm3\uf03d72.81\uf0d710−6m4I跨中截面下翼缘底边上各点处的正应力相等，且为该截面上的最大拉应力。在Fmin=10kN的作用下图9-12例9-3图\uf0f3\uf03dMminymax1\uf0d710\uf0d7103\uf03d4N\uf0d71750\uf0d710−3m\uf0d7211\uf0d710−3m2\uf03d6.34MPaminz72.81\uf0d710−6m4当梁跨中荷载增加到Fmax=100kN时13−3211−3\uf0f3max\uf03dMmaxymax\uf0d7100\uf0d710\uf03d4N\uf0d71750\uf0d710−6m\uf0d7\uf0d71024m\uf03d63.39MPaIz故梁下翼缘底边上a点的应力幅为72.81\uf0d710m∆\uf0f3\uf03d\uf0f3max−\uf0f3min\uf03d63.39−6.34\uf03d57.05MPa(2)确定容许应力幅［Δσ］，并校核危险点的疲劳强度。因该焊接钢梁属第4类构件，由表9-1查得C\uf03d2.18\uf0d71012,\uf0e2\uf03d3将C和β代入式(9-22)，可得此焊接钢梁的常幅疲劳的容许应力幅11\uf8eb12\uf8f6\uf05b∆\uf0f3\uf05d\uf03d\uf8ebC\uf8f6\uf0e2\uf03d\uf8ec2.18\uf0d7103\uf8f7\uf03d103.0MPa\uf8ecN\uf8f7\uf8ec2\uf0d7106\uf8f7\uf8ed\uf8f8\uf8ed\uf8f8将工作应力幅与容许应力幅比较：显然Δσ＜［Δσ］因此，该焊接钢梁在服役期限内，能满足疲劳强度要求。思考题9-1凡是运动着的构件是否都有惯性力?作匀速圆周运动的构件如何计算惯性力?9-2在一竖向冲击问题中，若冲击高度、被冲击物及其支承条件和冲击点均相同，问冲击物的重量增加1倍时，冲击应力增加多少倍？9-3为了将一废构件冲断，在图示装置中可以采取哪些措施?l0增大些好还是减小些好?思考题9-3图9-4图示三种情况，重W的冲击物分别从上方、下方和水平方向冲击相同的简支梁中点，冲击物接触时的速度均为v，三种情况梁内最大正应力是否相同？为什么？思考题9-4图9-5材料相同，长度相等的变截面杆和等截面杆如图所示。若两杆的最大截面面积相2同，问哪一根杆件承受冲击的能力强?为什么?设变截面杆直径为d的部分长为l，D=2d。5为了便于比较，假设h较大，可以近似地把动荷因数取为kd\uf03d1\uf02b1\uf02b2h≈∆st2h∆st9-6材料在交变应力下破坏的原因是什么?它与静荷载作用下的破坏有何区别?9-7图示圆轴，在跨中作用有集中力F，试分别指出以下几种情况下轴的交变应力的循环名称。思考题9-5图思考题9-7图(1)荷载F不随时间变化，而圆轴以等角速度ω旋转；(2)圆轴不旋转，而F=F0+FHsinωt作周期性变化(其中F0和FH为常量)；(3)圆轴不旋转，而荷载在0～F之间随时间作周期性变化；(4)圆轴不旋转，荷载F也不变；(5)圆轴不旋转，荷载F大小也不变，其作用点位置沿跨中截面的圆周作连续移动，F的方向始终指向圆心。习题9-1用两根吊索以向上的匀加速平行地起吊一根18号工字钢梁。加速度a=10m/s2，工字钢梁的长度l=2m，吊索的横截面面积A=60mm2，若只考虑工字钢梁的质量，而不计吊索的质量，试计算工字钢梁内的最大动应力和吊索的动应力。9-2图示一自重W1=20kN的起重机装在两根22b号工字钢的大梁上，起吊重为Ｗ=40kN的物体。若重物在第一秒内以等加速度a=2.5m/s2上升。已知钢索直径d=20mm，钢索和梁的材料相同，［σ］=160MPa。试校核钢索与梁的强度(不计钢索和梁的质量)。题9-1图题9-2图9-3图示机车车轮以n=400转/分的转速旋转。平行杆AB的横截面为矩形，h=60mm，b=30mm，长l=2m，r=250mm，材料的密度为7.8×103kg/m3。试确定平行杆最危险位置和杆内最大正应力。9-4一杆以角速度ω绕铅直轴在水平面内转动。已知杆长l，杆的横截面面积为A，重量为W1，弹性模量为E；另有一重量为W的重物连接在杆的端点，如图所示。试求杆的伸长。题9-3图题9-49-5图示钢杆的下端有一固定圆盘，盘上放置弹簧。弹簧在1kN的静荷作用下缩短0.625mm。钢杆的直径d=40mm，l=4m容许应力［σ］=120MPa，E=200GPa。若有重为15kN的重物自由落下，求其容许高度h；又若没有弹簧，则容许高度h将等于多大?9-6外伸梁ABC在C点上方有一重物W=700N从高度h=300mm处自由下落。若梁材料的弹性模量E=1.0×104MPa，试求梁中最大正应力。题9-5图题9-6图9-7冲击物W=500kN，以速度v=0.35m/s的速度水平冲击图示简支梁中点C，梁的弯曲截面系数W=1.0×107mm3，惯性矩I=5.0×109mm4，弹性模量E=2.0×105MPa。试求梁内最大动应力。9-8试求图示4种交变应力的最大应力σmax，最小应力σmin，循环特征r和应力幅Δσ。9-9试求图示车轴n-n截面周边上任一点交变应力中的σmax，σmin，循环特征r和应力幅Δσ。题9-7图题9-8图题9-9图9-10图示吊车梁由22a号工字钢制成，并在中段焊上两块截面为120mm×10mm，长为2.5m的加强钢板，吊车每次起吊50kN的重物。若不考虑吊车及梁的自重，该梁所承受的交变荷载可简化为Fmax=50Kn，Fmin=0的常幅交变荷载。焊接段采用手工焊接，属第3类构件，若此吊车梁在服役期内，能经受2×106次交变荷载作用，试校核梁的疲劳强度。题9-10图习题答案第八章返回总目录第十章在应变能和功的概念上建立起来的能量法，是固体力学中一个应用很广的基本方法，可以用来研究与弹性体变形有关的许多问题，如变形固体的位移、变形和内力计算以及冲击等问题。本章仅介绍杆件的弹性应变能、虚力原理、用卡氏第二定理和莫尔定理计算杆和简单杆系的位移和变形。第十章杆件变形计算的能量法§10-1概述§10-2杆件的弹性应变能一、在基本变形下的应变能二、杆在组合变形下的应变能三、应变能的一般算式§10-3虚力原理一、余功和余应变能二、虚力原理§10-4卡氏第二定理§10-5莫尔定理思考题习题习题答案返回总目录N第十章杆件变形计算的能量法§10-1概述前面已介绍了杆在基本变形下位移(或变形)的计算。但是，对组合变形下的杆以及桁架、刚架、拱等结构，用以前的方法计算某一点或某截面的位移将是十分复杂的。本章将介绍在应变能和功的概念的基础上建立起来的能量法(energymethod)，这种方法可以计算变形固体的位移、变形和内力。能量法的应用范围非常广泛，它可以用来研究与弹性体变形有关的许多问题。本章只介绍用能量法计算杆和简单杆系的位移或变形。§10-2杆件的弹性应变能在§5-6中曾经介绍了弹性体在外力作用下发生变形时，由于外力作功，在其内部将积蓄应变能。应变能在数值上等于外力所做的功，即Vc=W。因为应变能的计算是能量法的基础，现先介绍杆件应变能的计算及其特点。一、在基本变形下的应变能1．杆在轴向拉伸(压缩)时的应变能在§5-6中已导出了杆在轴向拉伸(压缩)时的应变能，其表达式为：V\uf03d1F∆l\uf03dF2l（10-1）2．圆杆扭转时的应变能\uf0e52N2EA图10-1圆杆扭转时T～φ之间的关系图10-1(a)所示圆杆，在外力偶矩T作用下，杆端的扭转角为ϕ。当材料在弹性范围时，因扭转角和外力偶矩成正比，故外力偶矩所做的功可用图10-1(b)中的三角形面积OAB表示，即因扭矩圆杆的Mx=T，ϕ=MxlGIpW\uf03d1Tϕ2，所以圆杆扭转时的应变能为xx2V\uf03dW\uf03d1M\uf0e52xϕ\uf03dM2l2GI（10-2）p3.梁弯曲时的应变能首先计算梁纯弯曲时的应变能。图10-2示一简支梁，在两端受力偶矩M作用后，产生纯弯曲。各个横截面上的弯矩均为M。梁弯曲后，轴线上各点处的曲率半径ρ相同，即梁弯曲后的轴线为一圆弧。由(4-1)式可得两端面的相对转角为\uf0e8\uf03dl\uf03dMl（a）图10-2纯弯曲梁\uf0f1EI即θ与M成正比。因此，外力偶矩M所作的功为W\uf03d1M\uf0e82（b）由(a)式和(b)式，得到梁纯弯曲时的应变能为V\uf03dW\uf03d1M\uf0e8\uf03dMl（10-3）\uf0e522EI梁在剪切弯曲时，横截面上一般既有弯矩，又有剪力，而且弯矩和剪力均为截面位置x的函数。现由发生剪切弯曲的梁上取一长度dx的梁段，如图10-3所示。该梁段由弯矩M(x)引起的应变能为M\uf028x\uf0292ddV\uf03dx\uf0e5M2EI故全梁的应变能为V\uf0e5M\uf03d∫lM\uf028x\uf0292d2EI（10-4）为了计算剪力FQ(x)引起的应变能，必须考虑切应力在横截面上的分布规律。现以高为h，宽为b的矩形截面为例进行计算。矩形截面上的切应力分布规律由下式表示(见§4-3)：图10-3剪切弯曲6FQ\uf8ebh2\uf0f4\uf03d\uf8ecbh3\uf8ed4\uf8f6−y2\uf8f7\uf8f8（c）在距中性轴为y处，取一微小长方体bdxdy，则该微小长方体由切应力引起的应变能为1\uf0f42dV\uf0e5Q\uf03d2Gbdxdy（d）由(c)式及(d)式，可得到全梁由剪力引起的应变能为∫2222\uf0e5Lh18F2\uf028x\uf029\uf8ebh2\uf8f6V\uf0e5Q\uf03d∫0dx2−h2QGb2h6\uf8ec−y2\uf8f7\uf8ed4\uf8f8bdy（10-5）l6FQ\uf028x\uf029dxlFQ\uf028x\uf029dx\uf03d∫010Gbh\uf03d∫0\uf0eb2GA式中λ为剪切形状系数(formcoefficientforshear)。矩形截面λ=6，对于不同形状的截面，5剪切形状系数不同，如：圆形截面：λ=10；工字形和箱形截面：\uf0eb\uf03dA9Af，A为总面积、Af为腹板部分的面积。梁在剪切弯曲时的应变能等于弯矩引起的应变能与剪力引起的应变能之和；但对一般的细长梁，由剪切引起的应变能很小，可以略去不计。二、杆在组合变形下的应变能杆件产生组合变形时，截面上存在轴力FN(x)，弯矩M(x)、剪力FQ(x)和扭矩Mx(x)几种内力。每种内力只在与其本身相应的位移上做功，在其它内力引起的位移上不做功。所以，组合变形杆的总应变能等于与各种内力相应的应变能之和，其一般形式为lF2\uf028x\uf029dxV\uf03d∫N\uf02b∫lM\uf028x\uf0292dxl\uf02b∫\uf0ebFQ\uf028x\uf029dxlM2\uf028x\uf029\uf02b∫xdx（10-6）02EA02EI02GA02GIp对于非圆截面杆，上式中IP应该用IT来代替。三、应变能的一般算式由(10-1)～(10-6)式可见，杆件的应变能是内力的二次函数。因为内力和外力成正比，所以应变能也是外力的二次函数。对于一般弹性体，在小变形情况下，弹性体各点的位移与外力成线性关系，因而应变能仍为外力或位移的二次函数。图10-4弹性体外力与位移设一弹性体如图10-4所示。弹性体上受到外力F1、F2、⋯、Fi、、⋯Fn作用，且各外力是按同一比例逐渐由零增至最终值。以Δ1、Δ2、⋯、Δi、⋯、Δn表示各外力作用点沿外力作用方向的位移。在变形时，弹性体的应变能在数值上等于各外力所做的功，即V\uf0e5\uf03dW\uf03d1F1∆1\uf02b1F2∆2\uf02bL\uf02b1Fi∆i\uf02bL\uf02b1Fn∆n\uf03d1n∑Fi∆i（10-7）22222i\uf03d1这就是弹性体应变能的一般算式，称为克拉贝依隆（B.P.E.Clapeyron）原理。(10-7)式中的Fi称为广义力(generalizedforce)它既可代表集中力，也可代表集中力偶，Δi称为广义位移(generalizeddisplacement)，它代表与广义力相应的位移。因为广义力和广义位移成线性关系，所以应变能是广义力或广义位移的二次函数。应变能的大小，由各外力的最终值决定，与各外力作用的先后次序无关。例如图10-5(a)所示的梁，在中点受集中力F作用，左端受集中力偶矩M作用时，梁中点、力F作用方向的位移为∆C\uf03dFl38EIMl2\uf02b16EI（a）333梁左端的转角为Fl2Ml\uf0e8A\uf03d\uf02b16EI3EI若集中力F和集中力偶矩M同时按比例由零逐渐增加到最终值，则梁的弯曲应变能为（b）111\uf8ebF2l3M2lMFl2\uf8f6V\uf0e5\uf03dF∆c\uf02bM\uf0e8A\uf03d\uf8ec\uf02b22EI\uf8ed96\uf02b\uf8f7616\uf8f8（c）若先作用集中力F，再加集中力偶矩M，如图10-5(b)、(c)所示，则由集中力F所做的功为W\uf03d1F∆\uf03d1FFl3\uf03dFl（d）F2CF248EI96EI在力偶矩作用的过程中，除了M在由自身引起的位移θAM上做功外，F力在由M引起的F力作用点所产生位移ΔCM上也要做功，由于在M作用过程中F力保持不变，故这部分功为常力功，不需乘以1/2，因此，在这个过程中的总功为WM\uf03d1M\uf0e8AM2\uf02bF∆CM2图10-5梁的应变能\uf03d1M2Ml3EI\uf02bFMl16EIM2l\uf03d6EIMFl2\uf02b16EI（e）梁的弯曲应变能在数值上就等于上述两部分功的和。由(d)式和(e)式，得1\uf8ebF2l3M2lMFl2\uf8f6V\uf0e5\uf03dWF\uf02bWM\uf03d\uf8ec\uf02bEI\uf8ed96\uf02b\uf8f7616\uf8f8（f）由(c)式和(f)式可见，两种加载次序所得的弯曲应变能相等。这就说明应变能的大小是由各外力的最终值决定的，与各外力作用的先后次序无关。由图10-5的例子还可看出，当集中力F和集中力偶M分别单独作用于梁上，则梁的弯曲应变能分别为V\uf03d1F∆\uf03d1Fl\uf03dFl\uf0e5F2CF248EI96EI2V\uf03d1M\uf0e8\uf03d1MMl\uf03dMl\uf0e5M2AM23EI6EI将这两项应变能相加后所得的弯曲应变能，不等于由(c)式算出的弯曲应变能，即应变能的计算不能用叠加法。这是因为应变能与外力之间呈非线性关系。0§10-3虚力原理一、余功和余应变能图10-6(a)所示的弹性体，受荷载F的作用，其相应的位移为Δ，如二者之间的关系如图10-6(b)所示，则外力所作的功为W\uf03d∫∆1Fd∆若以力F作为积分变量，则\uf03d∫F1（a）WC0∆dF（b）图10-6功与余功称为余功(complementarywork)。由图10-6(b)可见，功和余功互补为常力功，即W\uf02bWC\uf03dF1∆1（c）弹性体的余应变能(complementarystrainenergy)用VC表示，在数值上等于余功，即F1VC\uf03dWC\uf03d∫0∆dF（d）余应变能也可通过对单元体的余应变能密度对体积积分求得，在此不再详述。对于材料应力～应变关系满足胡克定律的线弹性体，余应变能等于应变能，即VC\uf03dV\uf0e5（10-8）二、虚力原理对于处于平衡状态的弹性体，在外力作用下产生变形，在各外力作用点沿外力作用方向有相应的位移。若保持位移不变，使力有一微小的改变，这一改变量称为虚力(virtualforce)，虚力在真实位移上所作的功称为虚余功(complementaryvirtualwork)，用dWC表示。对于弹性体，保持变形协调的充分必要条件是外虚余功等于内虚余功，即dWeC\uf03ddWiC（10-9）这就是虚力原理(principleofvirtualforce)。式中dWeC为虚外力在相应的真实位移上所作的外虚余功，dWiC为虚力引起的内力分量在其相应的位移上所作的内虚余功。虚力原理和在《动力学基础》中讲述过的虚位移原理，都是虚功原理(principleofvirtualwork)的应用形式，关于虚功原理的全面论述，请见《结构静力学》。应该指出，虚力原理中的虚力可以是任意的，但必须满足平衡条件。虚力可以与真实力无关，也可以是作用在弹性体上真实力的增量。当虚力为作用在弹性体上真实力的增量时，外虚余功的增量等于弹性体余应变能的增量。于是(10-9)式的虚力原理又可以写成dWeC\uf03ddVC（10-10）虚力原理的应用，只有小变形条件的限制，而与材料的性能无关，即能适用于线性材料，也适用于非线性材料。5ii§10-4卡氏第二定理将虚力原理应用于受任意荷载作用的弹性体。如图10-7所示受多个集中力作用的梁，设与F1、F2、⋯Fi、⋯Fn相应的位移分别为Δ1、Δ2、⋯Δi、⋯Δn。现在要求荷载Fi相应的位移Δi。保持位移不变，设荷载Fi有一增量dFi，并以此作为虚力，则外虚余功的改变量应为图10-7用虚力原理推导卡氏定理dWeC\uf03d∆idFi（a）由于弹性体的余应变能是荷载F1、F2、⋯Fi、⋯Fn的函数，所以当Fi有一增量dFi后，余应变能的增量为dVC\uf03d∂VC∂F1dF1\uf02b∂VC∂F2dF2\uf02bL\uf02b∂VC∂FidFi\uf02bL\uf02b∂VC∂FndFn因为dF1=dF2⋯=dFn=0，只有dFi≠0，所以有∂VCdVC\uf03d∂FidFi（b）由(10-10)式，外虚余功增量在数值上等于弹性体余应变能的增量，即dWeC\uf03ddVC将(a)、(b)两式代入，经消去两端的dFi后，即得由(10-8)式，又可得∂V∆\uf03dC∂Fi∂V∆\uf03d\uf0e5（10-11）（10-12）∂Fi(10-12)式称为卡氏(A·Castigliano)第二定理。它表明，弹性体的应变能对作用于其上的某一广义力求偏导数，即得到与该广义力相应的位移。若弹性体上某点没有广义力作用，要求该点处的广义位移时，可在该点处加一广义力F0，然后与其它广义力一起计算弹性体的应变能，求得偏导数后，令F0=0，即可得到该点的广义位移为∆\uf03d∂V\uf0e5∂F0例10-1求图10-8所示桁架节点B的竖直位移。已知1，2两杆的材料相同，E=2.0×10MPa；1，2两杆的横截面面积分别为A1=90mm2,A2=150mm2；F=12kN。解1，2两杆分别受到轴向拉伸和压缩，杆的应变能由（10-1）计算。桁架的总应变能为Ni∑202F2liV\uf0e5\uf03d∑2EAi\uf03d1ii由(10-12)式，B点的竖直位移为∆BV\uf03d∂V\uf0e5\uf03d2FNili∂FNi∂Fi−1EiAi∂F由平衡方程，可求得各杆的轴力，并求它们对F的偏导数：F\uf03d5F,∂FN1\uf03d5N16∂F6图10-8例10-1图F\uf03d−5F,∂FN2\uf03d−5N26∂F6由此可求得B点的竖直位移为l\uf8eb5\uf8f6\uf8eb5\uf8f6l\uf8eb5\uf8f6\uf8eb5\uf8f6∆BV\uf03d\uf8ecF\uf8f7\uf8ec\uf8f7\uf02b\uf8ec−F\uf8f7\uf8ec−\uf8f7EA1\uf8ed6将l=1500mm和其它数据代入后，得\uf8f8\uf8ed6\uf8f8EA2\uf8ed6\uf8f8\uf8ed6\uf8f8∆BV\uf03d1.11mm位移方向和F力方向一致。例10-2图示曲拐ABC，求F力作用点C的铅直位移。设曲拐各段EI和GIP均为常数。解由(10-12)式，C点的铅直位移为∂V∆\uf03d\uf0e5CV∂F图10-9例10-2图在组合变形中，不计弯曲剪力的影响，BC段只有弯矩M1(x)，AB段有弯矩M2(x)和扭矩Mx(x)，由(10-6)式其应变能为aM\uf028x\uf0292lM\uf028x\uf0292lM\uf028x\uf0292V\uf0e5\uf03d∫1dx\uf02b∫2dx\uf02b∫xdx故∂V\uf0e502EI∂\uf8eeaM1\uf028x\uf029202EIlM2\uf028x\uf029202GIplMx\uf028x\uf029\uf020\uf8f9∆CV\uf03d∂F\uf03d\uf8ef∫0∂F\uf8ef\uf8f02EIdx\uf02b∫02EIdx\uf02b∫02GIPdx\uf8fa\uf8fa\uf8fbM\uf028x\uf029∂M\uf028x\uf029M\uf028x\uf029∂M\uf028x\uf029M\uf028x\uf029∂M\uf03d∫a11dx\uf02b∫l22dx\uf02b∫lxxdx0EI∂F0EI∂FGIp∂F现分段列出内力方程(参见图10-9)，并对F求偏导数：all2\uf8f0000\uf8fbBC段：M1\uf028x\uf029\uf03d−Fx1∂M1∂F\uf03d−x1(0≤x1≤a)AB段：M2\uf028x\uf029\uf03d−Fx2由此可得∂M2∂F\uf03d−x2(0≤x2≤l)∆\uf03d1∫\uf028−Fx\uf029\uf028−x\uf029dx\uf02b1∫\uf028−Fx\uf029\uf028−x\uf029dx\uf02b1∫FadxCVEI011EI0222GIp\uf03dF\uf028a3\uf02bl3\uf029\uf02bFal3EIGIp求得位移为正，表明实际位移方向和F力作用方向相同。例10-3求图10-10所示简支梁A截面的转角θA，设梁的EI为常数。解为了求A截面的转角θA，可在A端加一力偶M0，如图10-10所示，由(10-13)式，A截面的转角图10-10例10-3图\uf0e8A\uf03d∂V\uf0e5∂M0不计剪力的影响，梁的应变能为lM\uf028x\uf0292V\uf0e5\uf03d∫0故dx2EI\uf0e8\uf03d∂\uf03d\uf8ef∫M\uf028x\uf029∂\uf028\uf029dx\uf8faV\uf0e51\uf8eelAMx\uf8f9∂M0列梁的弯矩方程并对M0求偏导数：EI\uf8f00∂M0\uf8fbM\uf028x\uf029\uf03dMx−MOx\uf02bM,∂M\uf028x\uf029\uf03d−x\uf02b1（0≤x≤l）由此得l\uf0e8\uf03d∂V\uf0e5\uf03dl1\uf8eel\uf8ebM∫\uf8ec0∂Mx−M0x\uf02bMl\uf8f6\uf8eb\uf8f7\uf8ec−x\uf8f6\uf8f9\uf02b1\uf8f7dxA∂M\uf03dMlEI\uf8ef0\uf8edll0\uf8f8\uf8edl\uf8f8\uf8fa6EI求得的转角为正，表明实际转角的转向与M0的转向相同。0\uf028F3§10-5莫尔定理由卡氏第二定理可以导出计算弹性体位移的另一个重要定理——莫尔定理。现以梁为例导出这一定理。对于梁，当计算任意点的广义位移时，一般要在该点处加一广义力F0，如梁只考虑弯矩的影响，则任意点的广义位移可由卡氏第二定理(10-13)式求得为∆∂V\uf0e5\uf8eeM\uf028x\uf029∂M\uf028x\uf029\uf8f9（a）\uf03dF\uf03d∫l\uf8efEIFdx\uf8fa∂0\uf8f0∂0\uf8fbF0\uf03d0式中M（x）为荷载及广义力F0共同引起的弯矩，即M\uf028x\uf029\uf03dMF\uf028x\uf029\uf02bMF\uf028x\uf029（b）式中MF(x)为荷载引起的弯矩，M(x)为F0引起的弯距。MF(x)与F0无关,M(x)与F0成F0线性关系。因此，(a)式中的偏导数项为∂M\uf028x\uf0290\uf03dMx∂F0F0(c)M0\uf028x\uf029表示当F0=1(称为单位力)时的弯矩。将(b)式及(c)式代入(a)式求位移时，只需令(b)式中的F0=0，所以(b)式中的M(x)项为零，即M(x)=MF(x)，最后由(a)式得到0∆\uf03d∫lM\uf028x\uf029MO\uf028x\uf029dxEI(10-14)(10-14)式即为莫尔定理，或称莫尔积分。它是马克斯威尔(J.C.Maxwell)在1864年提出的，莫尔于1874年将它应用到实际计算中，故又称马克斯威尔——莫尔定理。应用(10-14)式求位移时，先列出荷载引起的弯矩方程，再在需求广义位移处加一个单位广义力，列出由单位广义力引起的弯矩方程M0\uf028x\uf029，然后代入(10-14)式积分后，即得到所求的广义位移。莫尔定理也可推广应用到拉压杆件、扭转杆件、桁架和其它结构。例10-4用莫尔定理求图10-11(a)所示悬臂梁A点处的竖直位移和转角。设梁的抗弯刚度为EI。解首先列出荷载引起的弯矩方程：M\uf028x\uf029\uf03d−1qxxx\uf03d−qx2l36l求A点竖直位移时，在A点加一单位力，图10-11例10-4图如图(b)。由单位力引起的弯矩方程为\uf8ed0F0\uf8ec\uf8f7\uf8f8,NOOM0\uf028x\uf029\uf03d−x由(10-14)式求得A点的竖直位移为M\uf028x\uf029M0\uf028x\uf029∆A\uf03d∫ldxEI\uf8eb3\uf8f61lqx\uf03d∫\uf8ec−\uf8f7\uf028−x\uf029dxEI\uf8ed6l\uf8f8∆A的方向与单位力的方向相同。ql3\uf03d30EI求A截面的转角时，在A点处加一单位力偶，如图(c)所示。由单位力偶引起的弯矩方程为M0\uf028x\uf029=1由(10-14)式求得A截面的转角为\uf8eb3\uf8f64\uf0e8\uf03d1lqx\uf8ec−\uf8f7\uf028\uf029dx\uf03d−qlAEI∫0\uf8ec6l\uf8f7124EIθA的方向与单位力偶的方向相反。例10-5用莫尔定理求图10-12所示结构C点的竖直位移。已知BD杆和AC杆的横截面面积分别为A1=5cm2,A2=50cm2,AC杆的惯性矩I=6×10-5m4；各杆的材料相同，E=7×104MPa。解在C点沿竖直方向加一向下的单位力，分别求出由荷载及单位力引起的各杆内力。BD杆：FN\uf03d5F,FN\uf03d5，图10-12例10-5图AB杆段：FN\uf03d−4F0\uf03d−4，M\uf028x1\uf029\uf03d−2Fx1,M\uf028x1\uf029\uf03d−2x1(0≤x1≤2)BC杆段：M\uf028x2\uf029\uf03dFx2−6F,M\uf028x2\uf029\uf03dx2−6(2≤x2≤6)因而，FF0LM\uf028x\uf029M0\uf028x\uf02926C将各杆的内力代入，得∆C\uf03d∑NiNiiEAi\uf02b∑∫lEIdx∆\uf03d5F\uf0d75\uf0d72.5\uf02b\uf020\uf028−4F\uf029\uf028−4\uf029\uf0d72\uf02b1∫\uf028−2F\uf029\uf028−2x\uf029dx\uf02b1∫\uf028F−6F\uf029\uf028x−6\uf029dxEA1EA2EI0x11EI2x22\uf03d62.5F\uf02b32F\uf02b32FEA1EA2EI\uf03d19.0\uf0d710−3m\uf03d19.0mm思考题10-1图示梁AB，在C，D处受集中力FC和FD的作用，试按以下三种加载情况，计算其应变能。(1)先在C处由零逐渐加载到FC，然后再在D处由零逐渐加载到FD；(2)先在D处由零逐渐加载到FD，然后再在C处由零逐渐加载到FC；(3)在C，D两处同时从零开始按同一比例逐渐加载到FC和FD值。思考题10-1图10-2如何理解应变能不能叠加，图示所列杆件应变能的计算是否正确?10-3梁ABC，能否可以由∂V\uf0e5∂F思考题10-2图来求B点的竖直位移?思考题10-3图10-4悬臂梁ABC，若仅在B点作用有集中力F时，引起C点的转角θC；若仅在C点作用一集中力偶M时，引起B点的位移ΔB。利用应变能与加载次序无关，证明它们之间的关系。思考题10-4图习题10-1计算图示各杆的应变能。设EA，EI，GIP均已知。题10-1图10-2用卡氏第二定理求下列各梁中C截面的竖直位移和转角。设梁的EI为已知。题10-2图10-3用卡氏第二定理求下列结构中C点的竖直位移。设各杆的材料、横截面积均相同并已知。题10-3图10-4用莫尔定理求下列各梁C截面的竖直位移和A截面的转角。题10-4图10-5用莫尔定理求下列各梁指定点处的位移。题10-5图习题答案第九章返回总目录附录A附录A平面图形几何性质一、平面图形的形心和面积矩二、惯性矩和惯性积三、惯性矩和惯性积的平行移轴公式四、惯性矩和惯性积的转轴公式五、主轴和主惯性矩习题习题答案返回总目录AVVV附录A平面图形几何性质计算杆在外力作用下的应力和变形时，需要用到与杆的横截面形状、尺寸有关的几何量，例如在轴向拉伸或压缩问题中，需要用到杆的横截面面积A；圆杆扭转问题中，需要用到横截面的极惯性矩和扭转截面系数；在弯曲问题和组合变形问题中，还要用到面积矩(areamoment)和惯性矩(momentofinertia)等。所有这些与杆的横截面(即平面图形)的形状和尺寸有关的量称为平面图形的几何性质。下面将介绍平面图形的各种几何性质的计算方法。一、平面图形的形心和面积矩1．形心的位置在静力学中推导出三维物体的形心为∫\uf020xdV∫\uf020ydV∫\uf020zdVxc\uf03dV,yc\uf03dV,zc\uf03dV对于Oyz面内的平面图形(见图A-1)，其形心则退化为二维问题：yc\uf03d∫A\uf03dydAA,zc∫\uf020zdA\uf03dA(A-1)可见，平面图形的形心就是它们的几何中心。2．面积矩(A-1)式中的积分，Sy\uf03d∫A,Sz\uf03d∫AydAzdA称为图形对y轴和z轴的面积矩，或称静矩(staticmoment)。面积矩Sy和Sz的大小不仅和平面图形的面积A有关，还与平面图形的形状以及坐标轴的位置有关，即同一平面图形对于不同的坐标轴有不同的面积矩。面积矩可为正、可为负，也可为零。其量纲为L3，常用单位为m3或mm3。面积矩的这些性质，与静力学和动力学中的质量矩、力对轴的矩有相似之处。(A-1)式可改写为图A-1形心和面积矩y\uf03dSz,z\uf03dSycAcA(A-2)或Sy\uf03dAzc,Sz\uf03dAyc(A-3)由(A-2)和(A-3)式可见：若平面图形对某一轴的面积矩为零，则该轴必通过平面图形的形心；若某一轴过平面图形的形心，则平面图形对该轴的面积矩为零。过平面图形形心的轴称为形心轴(centroidaxis)。3．组合平面图形的面积矩和形心n\uf03d\uf8eb\uf8f6\uf8ebcc1c2c3当平面图形由若干个简单的图形(如矩形、圆形、三角形等)组合而成时，该平面图形称为组合平面图形。由于各简单图形的形心位置是已知的，故组合平面图形对某一轴的面积矩为nSy\uf03d∑i\uf03d1Aizci,Szn\uf03d∑i\uf03d1Aiyci(A-4)式中Ai和yci，zci分别表示各简单图形的面积及其形心坐标。将(A-4)式代入(A-2)式，并将总n面积A用A\uf03d∑Ai代替，则组合平面图形的形心位置由下式确定：i\uf03d1n∑Aiyciy\uf03di\uf03d1,z∑Aii\uf03d1n∑Aizcii\uf03d1n∑Aii\uf03d1(A-5)例A-1求图A-2所示平面图形的形心位置。解取参考坐标系Oyz，其中y轴为对称轴，该图形由三个矩形组成，各矩形的面积及形心坐标分别为A\uf03d150mm\uf0d750mm\uf03d7.5\uf0d7103mm2,y\uf03d−\uf8ec50mm\uf02b180mm\uf02b50mm\uf8f7\uf03d−255mm1\uf8ed2\uf8f8A\uf03d180mm\uf0d750mm\uf03d9.0\uf0d7103mm2,y\uf03d−\uf8ec180mm\uf8f6\uf02b50mm\uf8f7\uf03d−140mm2\uf8ed2\uf8f8A\uf03d250mm\uf0d750mm\uf03d12.5\uf0d7103mm2,图A-2例A-1图yc3\uf03d−50mm\uf03d−25mm2zc1\uf03dzc2\uf03dzc3\uf03d0将以上数据代入(A-5)式，得7.5\uf0d7103mm2\uf0d7\uf028−255mm\uf029\uf02b9.0\uf0d7103mm2\uf0d7\uf028−140mm\uf029\uf02b12.5\uf0d7103mm2\uf0d7\uf028−25\uf029mmyc\uf03d\uf03d−120mm7.5\uf0d7103mm2\uf02b9.0\uf0d7103mm2\uf02b12.5\uf0d7103mm2zc\uf03d0二、惯性矩和惯性积1．惯性矩、惯性半径在动力学中已建立了刚体绕定轴转动的转动惯量的概念。对于单位厚度的均质薄板，其转动惯量为：2图A-3惯性矩与惯性积Jy\uf03d∫Vzdm,Jz\uf03d∫Vy2dmyz\uf03d22yzI3而dm＝ρ·1·dA(其中ρ为质量密度)。上式又可写为Jy\uf03d\uf0f1∫AzdA,Jz\uf03d\uf0f1∫Ay2dA定义上式中的积分为该平面图形对y轴和z轴的惯性矩(momentofinertia)，即Iy\uf03d∫AzdA,Iz\uf03d∫Ay2dA(A-6)由于y2和z2总是正值，所以Iy和Iz恒为正值。惯性矩的量纲为L4，常用单位为m4或mm4。需要指出的是，转动惯量和惯性矩这两个量的含义是不同的，前者是质量对轴的二次矩而后者是面积对轴的二次矩。但二者又有相似之处，二者都不仅与质量或面积的大小有关，而且与质量或面积对轴的分布远近有关。在工程中，还常用到惯性半径(radiusofgyration)。它与惯性矩的关系式为iy\uf03d或IyIz,iz\uf03dAA(A-7)I\uf03dAi2,I\uf03dAi2(A-8)惯性半径的量纲为Ｌ，单位为m或mm。显然，惯性半径虽与动力学中的回转半径也有相似的数学表示形式，但含义并不相同。例A-2计算图A-4所示矩形对y轴和z轴的惯性矩。解为了简便，计算Iz时，取dA=bdy。由(A-6)式，得h2z−h2y2bdy\uf03dbh2同理，计算Iy时，取dA=hdz。由(A-6)式，得Iy\uf03dhb32图A-4例A-2图图A-5例A03图例A-3计算图A-5所示圆形对其直径轴y和z的惯性矩。设圆的直径为d。解取dA\uf03d2zdy\uf03ddcosϕdy，由(A-6)式得2\uf8f82222I\uf03d∫y2dA\uf03d∫\uf0f02d2\uf8ebd2sin2ϕ\uf8ec\uf8f6\uf0f0d4cos2ϕdϕ\uf8f7\uf03dzA由圆的对称性可知，−\uf0f02Iy4\uf03dIz\uf8ec\uf8ed\uf03d\uf0f0d464\uf8f764\uf0f0d4在§3-2中已得到圆截面的极惯性矩为Ip\uf03d，故32Ip\uf03dIy\uf02bIz2．惯性积图A-3所示图形对y，z这一对正交坐标轴的惯性积(productofinertia)定义为Iyz\uf03d∫yzdA惯性积可为正值或负值，也可为零。其量纲为Ｌ4，常用单位为m4或mm4。由(A-9)式可见，若平面图形有一根对称轴，例如图A-6中的y轴，则图形对包含该轴在内的任意一对正交坐标轴的惯性积恒等于零。因为在对称于y轴处，各取一微面积dA，则它们的惯性积yzdA必定大小相等但正负号相反，故对整个平面图形求和后，惯性积必定为零。惯性积为零的一对轴，称为平面图形的主惯性轴，简称主轴(principalaxis)。(A-9)3．组合平面图形的惯性矩和惯性积由(A-6)式，组合图形对某轴(例如y轴)的惯性矩为图A-6对称图形的惯性积Iy\uf03d∫AzdA\uf03d∫A1zdA\uf02b∫A2zdA\uf02bLL∫AnnzdA\uf03d∑Iyii−1式中A1，A2⋯An为组合图形中各简单图形的面积。上式表明，组合平面图形对某轴的惯性矩，等于各简单图形对该轴的惯性矩之和。这一结论同样适用于惯性积的计算。为了应用方便，表A-1给出了几种常用平面图形的几何性质计算式。图形形状和形心位置面积(A)惯性积(Iy,Iz)惯性半径(iy,iz)bhhb3Iy\uf03d12bh3Iz\uf03d12i\uf03dby23i\uf03dhz23bh2hb3I\uf03dbh3Iz\uf03d36i\uf03dby32i\uf03dhz32\uf0f0d24\uf0f0d4Iy\uf03dIz\uf03d64i\uf03di\uf03ddyz424\uf0e1\uf03dd/D4I\uf03dI\uf03d\uf0f0D(1−\uf0e1)4Di\uf03di\uf03d1\uf02b\uf0e12yz4bh−b1h1hb3−hb3I\uf03d11y12bh3−bh3I\uf03d11z12\uf0f0d28\uf0f0d4Iy\uf03d128\uf0f0d4\uf0f0d4Iz\uf03d128−18\uf0f02表A-1常用平面图形的几何性质计算公式y36\uf0f0D(1−\uf0e1)2yz64三、惯性矩和惯性积的平行移轴公式在动力学中已推导出了转动惯量的平行移轴公式为Jz′\uf03dJz\uf02bmh223434式中Jz为刚体对其形心轴y的转动惯量，Jz′为该刚体对与形心轴z平行的z′轴的转动惯量，m为该刚体的质量，h为此二轴间的距离。由惯性矩与转动惯量的相似关系，用平面图形的面积A代替转动刚体的质量，即可得到惯性矩的平行移轴公式(parallel-axesformulas)：Iz\uf03dIzc\uf02ba2A\uf8f4\uf8fc2\uf8fd(A-10)Iy\uf03dIyc\uf02bbA\uf8f4\uf8fe此式表明，平面图形对任意轴的惯性矩，等于它对与该轴平行的形心轴的惯性矩，再加上该图形面积与上述两轴间距离平方的乘积，各轴及距离见图A-7。由于该乘积恒为正值，所以在一组互相平行的轴中，平面图形对形心轴的惯性矩最小。利用平行移轴公式，可以由平面图形对形心轴的惯性矩求出该图形对任一与形心轴平行的轴的惯性矩。这在计算组合平面图形的惯性矩时经常用到。与惯性矩的平行移轴公式相类似，惯性积的平位移轴公式为：Iyz\uf03dIyczc\uf02babA(A-11)由于a和b有正负号，所以Iyz可能大于或小于Iyczc。图A-7平行移轴定理例A-4在图A-8所示的矩形中，挖去两个直径为d的圆形，求余下部分(阴影部分)图形对z轴的惯性矩。解此平面图形对z轴的惯性矩为Iz\uf03dIz矩−2Iz圆z轴通过矩形的形心，故Iz矩\uf03dbh312；但z轴不通过圆形的形心，故求Iz圆时，需要应用平行移轴公式。由(A-10)式，一个圆形对z轴的惯性矩为\uf8eb\uf8f62254图A-8例A-4图Iz圆\uf03dIzc\uf02ba2A\uf03d\uf0f0d64\uf02b\uf8ecd\uf8f7\uf8ed2\uf8f8\uf0d7\uf0f0d4\uf03d\uf0f0d64最后得到I\uf03dbh−2\uf0d75\uf0f0d\uf03dbh−5\uf0f0dz12641232例A-5由两个20a号槽钢截面图形组成的组合平面图形如图A-9（a）所示。设a=100mm，试求此组合平面图形对y，z两根对称轴的惯性矩和惯性积。AAAAy02y图A-9例A-5图解由附录B可查得图A-9（b）所示一个20a号槽钢截面图形的几何性质A\uf03d28.83\uf0d7102mm2,Ic\uf03d128\uf0d7104mm4Izc\uf03d1780.4\uf0d7104mm4,z\uf03d20.1mm因此，组合图形Iz=2Izc=2×1780.4×104mm4=3560.8×104mm4由平行移轴公式(A-10)可求得\uf8ee\uf8eba\uf8f62\uf8f9Iy\uf03d2\uf8efIyc\uf02b\uf8ec\uf02bz0\uf8f7A\uf8fa2\uf8f0\uf8ef\uf8ed\uf8ee\uf8f8\uf8fa\uf8fb\uf8eb\uf8f6\uf8f9\uf03d2\uf8ef128\uf0d7104mm4\uf02b\uf8ec100mm\uf02b20.1mm\uf8f7\uf0d728.83\uf0d7102mm2\uf8fa\uf8ef\uf8f0\uf8ed2\uf8f8\uf03d3089.4\uf0d7104mm4四、惯性矩和惯性积的转轴公式设任意平面图形如图A-10所示。该图形对y，z轴的惯性矩为Iy和Iz，惯性积为Iyz。当y，z轴绕O点逆时针旋转α角后，该图形对y′，z′轴的惯性矩为Iy′，Iz′，惯性积为Iy′z′。现研究该图形对这两对坐标轴的惯性矩之间和惯性积之间的关系。由图可见，微面积dA在两坐标系中的坐标关系为y′\uf03dycos\uf0e1\uf02bzsin\uf0e1,z′\uf03dzcos\uf0e1−ysin\uf0e2由惯性矩的定义可得Iy′\uf03d∫Az′2dA\uf03d∫\uf028zcos\uf0e1−ysin\uf0e1\uf0292dA\uf03dcos2\uf0e1∫z2dA−2sin\uf0e1cos\uf0e1∫yzdA\uf02bsin2\uf0e1∫y2dA\uf03dIy利用三角函数关系：cos2\uf0e1−2sin\uf0e1cos\uf0e1I\uf02bIzsin2\uf0e1cos2\uf0e1\uf03d1\uf02bcos2\uf0e1,sin2\uf0e1\uf03d1−cos2\uf0e1,上式成为222sin\uf0e1cos\uf0e1\uf03dsin2\uf0e1Iy′Iy\uf02bIz\uf03d2Iy−Iz\uf02bcos2\uf0e1−Iyz2sin2\uf0e1(A-12)0y1用同样方法可得Iz′Iy\uf02bIz\uf03d2Iy−Iz−cos2\uf0e1\uf02bIyz2sin2\uf0e1(A-13)Iy′z′Iy−Iz\uf03dsin2\uf0e1\uf02bI2yzcos2\uf0e1(A-14)(A-12)～(A-14)式是惯性矩和惯性积的转轴公式(transferformulasforrotationofaxes)。式中α以逆时针方向旋转为正。将(A-12)式和(A-13)式相加得到Iy′\uf02bIz′\uf03dIy\uf02bIz(A-15)图A-10转轴定理上式表明，当坐标轴旋转时，平面图形对通过一点的任一对正交坐标轴的惯性矩之和为常量。五、主轴和主惯性矩由(A-14)式看出，当2α在0°～360°范围内变化时，Iy′z′有正、负的变化。因此，通过一点总可以找到一对轴，平面图形对这一对轴的惯性积为零，这一对轴即为主轴。当坐标系的原点和平面图形的形心重合时，这一对轴称为形心主轴(centroidprincipalaxesofinertia)。平面图形对主轴的惯性矩称为主惯性矩(principalmomentofinertia)，对形心主轴的惯性矩称为形心主惯性矩(centroidprincipalmomentofinertia)。现在确定主轴的位置。设α0为主轴与原坐标轴的夹角，将α=α0代入(A-14)式并令Iy′z′\uf03d0，得到Iy−I2zsin2\uf0e1\uf02bIyzcos2\uf0e10\uf03d0因此，tan2\uf0e10\uf03d−2IyzIy−Iz(A-16)由(A-12)式和(A-13)式还可看出，当2α在0°～360°范围内变化时，Iy′和Iz′存在着极值。设α1为惯性矩为极值的轴与原坐标轴的夹角，则可利用求极值的方法，得到dIy′d\uf0e1因此\uf03d−\uf028I−Iz\uf029sin2\uf0e1−2Iyzcos2\uf0e11\uf03d0tan2\uf0e11\uf03d−2IyzIy−Iz将上式与(A-16)式比较可知，α1=α0，即平面图形对主轴的惯性矩具有极值。由(A-15)式得知，对通过同一点的正交轴的惯性矩之和为常量，故平面图形对一根主轴的惯性距，是该图形对过该点的所有轴的惯性矩中的最大值，而对另一根主轴的惯性矩为最小值。现在确定主惯性矩的大小。利用(A-16)式可求得yy20yz0yzI2sin2\uf0e1tan2\uf0e1\uf03d0\uf03d−2Iyz01\uf02btan22\uf0e1\uf028I−I\uf0292\uf02b4I2cos2\uf0e1\uf03d1\uf03dIz−Iy01\uf02btan22\uf0e1\uf028I−I\uf0292\uf02b4I2将上式代入(A-12)式及(A-13)式，得到主惯性矩的计算公式为y0\uf03dIy\uf02bIz\uf02b2\uf8ebIy\uf8ec\uf8ed−Iz\uf8f6\uf8f72\uf8f82\uf8fc\uf02bIyz\uf8f4\uf8f4\uf8fd(A-17)Iy\uf02bIz\uf8ebIy−Iz\uf8f62\uf8f4Iz0\uf03d−\uf8ec2\uf8ed2\uf8f7\uf02bI\uf8f8yz\uf8f4\uf8f4\uf8fe由此可见，Imax=I，Imin=I。yoz0在以后的计算中，主要是求平面图形的形心主轴和形心主惯性矩。其计算方法如下：(1)如平面图形没有对称轴，则先由(A-5)式确定平面图形形心的位置，然后选取一对便于计算惯性矩和惯性积的形心轴y和z，计算平面图形的Iy，Iz和Iyz，再由(A-16)式确定形心主轴的位置，最后由(A-17)式计算形心主惯性矩的大小。(2)如平面图形有一根对称轴，则该轴和与之正交的形心轴即为该平面图形的形心主轴，平面图形对这对形心主轴的惯性矩，即为形心主惯性矩。(3)如平面图形有两根对称轴，则这两根对称轴即为形心主惯性轴，平面图形对这两根对称轴的惯性矩即为形心主惯性矩。例A-6计算图A-11所示平面图形的形心主惯性矩。图中尺寸单位为mm。解将平面图形划分成三个矩形I，II和III。（1）确定平面图形形心的位置由(A-5)式定出形心C的位置如图。（2）计算Iy，Iz和Iyz图A-11例A-6图过形心C，选取y，z轴。由平行移轴公式(A-10)和(A-11)，计算得到Iy\uf03d1\uf0d720mm\uf0d7\uf02860\uf0293mm3\uf02b11212\uf0d7100mm\uf0d7\uf02820\uf0293mm3\uf02b\uf028−20\uf0292mm2\uf0d7100mm\uf0d720mm\uf02b\uf02b\uf02820\uf0292mm2\uf0d7100mm\uf0d720mm\uf03d369\uf0d7104mm41\uf0d720mm\uf0d7\uf028100\uf0293mm312\uf02b−Iz\uf03d1\uf0d760mm\uf0d7\uf02820\uf0293mm3\uf02b\uf028−69.2\uf0292mm2\uf0d760mm\uf0d720mm12\uf02b1\uf0d720mm\uf0d7\uf028100\uf0293mm3\uf02b\uf028−9.2\uf0292mm2\uf0d720mm\uf0d7100mm12\uf02b1\uf0d7100mm\uf0d7\uf02820\uf0293mm3\uf02b\uf02850.8\uf0292mm2\uf0d7100mm\uf0d720mm12Iyz\uf03d1290\uf0d7104mm4\uf03d0\uf02b0\uf0d7\uf028−69.2mm\uf029\uf0d760mm\uf0d720mm\uf02b0\uf02b\uf028−20mm\uf029\uf0d7\uf028−9.2mm\uf029\uf0d7100mm\uf0d720mm\uf02b0\uf02b20mm\uf0d750.8mm\uf0d7100mm\uf0d720mm\uf03d240\uf0d7104mm4（3）确定形心主轴的位置由(A-16)式得到tan2\uf0e1\uf03d−2\uf0d7240\uf0d7104mm4\uf03d−480\uf03d0\uf028369−1290\uf029\uf0d7104mm4−9210.521因tan2α0的分子和分母均为负值，故2α0在第三象限，即2α0=27.52°-180°=-152.47°α0=-76.24°将y轴顺时针转76.24°，得y0轴，z0轴与y0轴垂直，如图所示。（4）计算形心主惯性矩由(A-17)式得到Imax\uf03dIy0\uf028369\uf02b1290\uf029\uf0d7104mm4\uf03d2\uf028369−1290\uf029\uf03d2\uf0d71082mm8\uf02b2402\uf0d7108mm82\uf03d1350\uf0d7104mm4\uf028369\uf02b1290\uf029\uf0d7104mm4Imin\uf03dIz0\uf03d2\uf028369−1290\uf029\uf03d2\uf0d71082mm8\uf02b2402\uf0d7108mm82\uf03d310\uf0d7104mm4这一例题中，通过计算可知，平面图形对y0轴的惯性矩最大，对z0轴的惯性矩最小。实际上，通过平面图形面积的分布，也可直观地作出判断。由图可见，该平面图形面积的分布离y0轴较远，而离z0轴较近，所以平面图形对y0轴的惯性矩最大，对z0轴的惯性矩最小。习题A-1试确定(a)、(b)两图形的形心位置。题A-1图A-2试求(a)、(b)两图形水平形心轴z的位置，并求影阴线部分面积对z轴的面积矩Sz。题A-2图A-3试计算(a)、(b)图形对y，z轴的惯性矩和惯性积。题A-3图A-4当图示组合截面对两对称轴y，z的惯性矩相等时，求它们的间距a。题A-4图(a)是由两个14a号槽钢组成的截面。(b)是由两个10号工字钢组成的截面。A-5四个70×70×8的等边角钢组合成(a)和(b)两种截面形式，试求这两种截面对z轴的惯性矩之比值。题A-5图A-6试证明正方形及等边三角形对通过形心的任一对轴均为形心主轴，并对任一形心主轴的惯性矩均相等。题A-6图A-7试画出图示各图形的形心主轴的大致位置，并指出图形对哪根轴的惯性矩最大。题A-7图A-8计算图示各图形的形心主惯性矩。题A-8图A-9确定图示截面形心主轴的位置，并求形心主惯性矩。题A-9图习题答案返回总目录9返回总目录返回总目录231返回总目录习题答案第二章2-1(a)σ①=35.4MPa,σ②=31.7MPa(b)σ①=−15.9MPa,σ②=22.5MPa,σ③=−38.2MPa2-2(a)σmax=350MPa,(b)σmax=950MPa(c)σmax=404MPa2-3σAB=138MPa,σBC=−12.1MPa2-4E=73.4GPa,ν=0.3262-5φ=23mm2-6F=1931kN2Fl3ρgl22-7∆B=+EA2E2-8∆F=0.69mm2-9∆l=4FlπEd1d22-10A=5cm2,A=14.1cm2,A=25cm22-11d=36mm2-12容许F=45.24kN2-13a=0.574m4P6P2-14σ①=11A,σ②=11A2-15∆BC=02-16τ=84.88MPa,d=33mm2-17F1=240kN,F2=190.4kN返回第二章第三章3-1τ1=31.4MPa,τ2=0,τ3=47.2MPa,γ=0.59×10−3rad3-23-33-43-53-6τmax=163MPa6.67%(1)τmax=35.5MPa,(2)ϕ=0.0113rada=402mm16ml2ϕ=xGπd43-7(1)d=79mm,(2)d1=66mm,d2=79mm,d3=79mm,d4=50mm3-8(1)d1=91mm,d2=80mm,(2)d=91mm3-9T1=5.23kN⋅m,T2=10.5kN⋅m3-10(a)τ=109.8MPa,(b)τ=133.8MPa3-1182%3-12l=1+(d2)4ad13-13τmax=80.3MPa,θmax=0.0197rad/m3-14τmax=18.2MPa,θmax=0.023rad/m返回第三章4-1ρ1=1215m,ρ2=2142m第四章344-2ρ=85.7m4-3σmax=1000MPa4-4σD=0.0754MPa,σtmax=4.75MPa,σcmax=6.28MPa4-5(1)21%,(2)腹板约15.9%，翼缘约84.1%4-6(a)σ3ql2=(b)σ3ql2=(c)σ3ql2=max4a3max2a3max4a34-74-8F=85.8kNτa−a=0，τb−b=1.75MPa4-9σ=55.8MPa，τ=15.9MPa4-10τ=1MPa3ql24-11(2)FQ′=4h4-134-144-154-16F=13.1kNσtmax=28.8MPa，σcmax=46.1MPad=266mmq=15.7kN/m4-1718层4-18qa3(a)θB=，wc=6EIqa412EI(b)θ=qa，w=−qaD2EID28EI3(c)θC=−Fa12EI，wC=−Fa12EI(d)wD=0.281mm，wB=0.584mm4-2027Fl3(a)wD=，wB=2EI23Fl312EI2432o(b)θ=Flc(c)w4EI=5Fl，θ=23Flc(d)w12EIB5Fl3=，θ12EI=11FlC8EIC12EI4-2114a号槽钢54-224-23（a）FBywc==3.48F，（b）FBy=Fl3ql，（c）FBy=F824(2I1+I2)E返回第四章5-1(a)σ60o=18.12MPa，τ60o第五章=47.99MPa(b)σ30o=−83.12MPa，τ−30o=−22.0MPa(c)σ45o=−60.0MPa，τ45o=10MPa(d)σ125o=−35MPa，τ125o=−8.66MPa5-2A点：σB点：σ-70oo=0.5835MPa，τ=0.4492MPa，τ−70oo=0.835MPa=1.234MPa-70−705-3(a)σ1=160MPa,σ3=−30MPa,α0=−23.56o(a)σ1=55MPa,σ3=−115MPa,α0=−55.28o(a)σ1=88.3MPa,σ3=−28.3MPa,α0=−15.48o(a)σ1=20MPa,σ3=0,α0=−45o5-4A点：σ1=5.84MPa,σ3=−0.01MPa,α0=1.86oB点：σ1=0.08MPa,σ3=−3.59MPa,α0=81.665-5FP=4.798kNabo5-7(a)σ1=3F,σ3=−F,α0=0(b)σ1=2F,σ3=−2F,α0=05-8(1)σx=4.48MPa，σy=2.52MPa，τx=3.36MPa(2)σ1=7MPa，σ2=0，α0=−36.905-9σ1=σ2=0,σ3=−66.5MPa5-10FP=13.4kN5-115-125-13FP=31.8kNT=54.8kN⋅mvv=0.0044MPa,vd=0.053MPa返回第五章6-1第六章σr3=95MPa,σr4=86.75MPa6-2σr3=250MPa,σr4=229MPa6-3σr3=183MPa6-4σr3=56.2MPa6-5(1)(σ)=r3σ2+4τ2,(σ)=σ+τr3(2)(σr4)a=(σr4)b=σ2+3τ26-6σrM=1.18MPa,τA−A=1.4MPa6-7σmax=168.7MPa,τmax=89.5MPa,(σr4)a=142.7MPa6-8ϕ=26.6o返回第六章7-1σmax=9.799MPa第七章7-2选用32b7-3F=−(εA+εB)Ea3/12l,M=(εB−εA)Ea3/127-4(1)σmax=9.88MPa,(2)σtmax=10.5MPa7-5σtmax=5.09MPa,σcmax=5.29MPa7-67-7b=5.81m(1)σcmax=0.72MPa(2)D=4.15m7-97-107-11σ左=−1.13MPa,σ右=−1.73MPaF=24.9kNF=129.3kN,a=0.144m7-13σr3=161MPa7-14σr3=161MPa7-15σr3=132MPa7-16σr3=80.5MPa返回第七章8-2Fcr=258.8kN第八章8-3矩形：实心圆：正方形：空心圆为：1：1.91：2.0：5.68-4Fcr=150kN8-58-68-78-8F=124.9kN,F=48.5kNF=89.93kNF=142kNq=60kN/m8-98-10σ=170MPaF=128.5kN,Fcr=1.84crF8-118-12梁σmax=175MPa,CD杆σF=34kN=102MPa返回第八章9-1梁σdmax=110MPa,吊索σd第九章=47.7MPa9-2梁σd=135.4MPa,吊索σd=160.4MPa9-3σmax=174.8MPa9-4∆l=ω2l3EA(3W+W1)9-5h1=0.392m,h2=0.01m9-6σdmax=43.14MPa9-7σdmax=153MPa9-8(a)r=0,∆σ=200MPa,(b)r=−1,∆σ3=200MPa(c)r=1,∆σ4=150MPa,(b)r=−1,∆σ=200MPa9-9σmax=32Faπd3,σmin=−32Faπd3,r=−1,∆σ=64Faπd39-10∆σ=117.7MPa返回第九章333z44zyzz3F2aM2a第十章F2a3D2F2a10-1(a)Vε=4EA,(b)Vε=12EI,(c)Vε=+12EI8GIP10-2(a)∆C5Fl3=6EI,θC3Fl2=2EI,(b)∆C5ql4=48EI,θC−ql3=48EI10-3(a)∆C=Fa2EA,(b)∆C=0,∆C=9Fa4EA10-4(a)∆C11qa4=24EI,θA=2qa33EI,(b)∆C13Ml2=36EI,θA=−Ml9EI10-5(a)∆=3Fa(b)∆=3Fa(c)∆=Fa,∆=0A2EIC8EID2EIC返回第十章A-1附录A(a)yc=38.8mm,(b)yc=35mm,zc=30mmA-2(a)sz=500cm3,(b)s=1159cm3A-3(a)I=πd,I=5πd,I=0y64z64yz(b)Iy=391.3cm4,I=5580cm4,I=0A-4(a)a=2.32cm,(b)a=0.901cmA-5(a)Iy=Iz=368.5cm4,(b)I=Iz=1247cm4A-8(a)Iy=1615cm4,I=10186cm4(b)Iy=25.66cm4,I4=244.36cm4A-9(c)Iy=Izy=11πd64o44(a)α0=45,Iy=73.5cm,Iz=286.5cmo(b)α0=4.4,Iy=237.2cm4,Iz=2308cm4返回附录A参考文献1．钱济成、徐道远、刘丽丽、符晓陵，材料力学，南京：河海大学出版社，1993。2．范钦珊、王波、殷雅俊，材料力学，北京：高等教育出版社，2000。3．孙训方、胡增强修订，材料力学（第四版），北京：高等教育出版社，2002。4．刘鸿文主编，材料力学（第三版），北京：高等教育出版社，1997。5．单辉祖，材料力学，北京：高等教育出版社，1999。6．胡增强主编，固体力学基础，南京：东南大学出版社，1990。7．宋子康、蔡文安，材料力学，上海：同济大学出版社，1998。8．GereJ.M.，TimoshenkoS.P.，Mechanicsofmaterials，SecondSIEdition，N.Y.，VanNostrandReinhold，1984。返回总目录',)