双曲线重难点题型归纳,双曲线高考题型归纳

('双曲线常考重难点题型归纳必考点1：双曲线的定义1．双曲线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线(1)在平面内；(2)动点到两定点的距离的差的绝对值为一定值；(3)这一定值一定要小于两定点的距离．2．双曲线的标准方程标准方程－＝1(a>0，b>0)－＝1(a>0，b>0)图形例题1：已知点O（0，0），A（–2，0），B（2，0）．设点P满足PA–PB=2，且P为函数y=图像上的点，则OP=（）A．B．C．D．【解析】因为，所以点在以为焦点，实轴长为，焦距为的双曲线的右支上，由可得，，即双曲线的右支方程为，而点还在函数的图象上，由，解得，即．故选：D.例题2：已知F为双曲线的左焦点，P，Q为双曲线C同一支上的两点．若PQ的长等于虚轴长的2倍，点在线段PQ上，则的周长为________．【解析】根据题意，双曲线的左焦点，所以点是双曲线的右焦点，虚轴长为：6；双曲线图象如图：①②而，①＋②得：，∴周长为．故答案为：32．【小结】1.双曲线定义的主要应用(1)判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程．(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合PF1－PF2＝2a，运用平方的方法，建立与PF1·PF2的联系．2.用定义法求双曲线方程，应依据条件辨清是哪一支，还是全部曲线．3．与双曲线两焦点有关的问题常利用定义求解．4．如果题设条件涉及动点到两定点的距离，求轨迹方程时可考虑能否应用定义求解．双曲线的标准方程例题3：已知双曲线的左焦点为，点在双曲线的渐近线上，是边长为2的等边三角形（为原点），则双曲线的方程为（）A.B.C.D.【解析】由题意结合双曲线的渐近线方程可得：，解得：，双曲线方程为：.本题选择D选项.【小结】1．求双曲线方程的思路(1)如果已知双曲线的中心在原点，且确定了焦点在x轴上或y轴上，则设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a，b，c的方程组，解出a2，b2，从而写出双曲线的标准方程(求得的方程可能是一个，也有可能是两个，注意合理取舍，但不要漏解)．(2)当焦点位置不确定时，有两种方法来解决：一是分类讨论，注意考虑要全面；二是注意巧设双曲线：①双曲线过两点可设为，②与共渐近线的双曲线可设为，（3）等轴双曲线可设为等，均为待定系数法求标准方程.2．利用待定系数法求双曲线标准方程的步骤如下：(1)定位置：根据条件判定双曲线的焦点在x轴上还是在y轴上，不能确定时应分类讨论．(2)设方程：根据焦点位置，设方程为－＝1或－＝1(a>0，b>0)，焦点不定时，亦可设为mx2＋ny2＝1(m·n<0)；(3)寻关系：根据已知条件列出关于a、b(或m、n)的方程组；(4)得方程：解方程组，将a、b、c(或m、n)的值代入所设方程即为所求．3．双曲线方程的几种形式：(1)双曲线的一般方程：当ABC≠0时，方程Ax2＋By2＝C可以变形为＋＝1，由此可以看出方程Ax2＋By2＝C表示双曲线的充要条件是ABC≠0，且A，B异号．此时称方程Ax2＋By2＝C为双曲线的一般方程．利用一般方程求双曲线的标准方程时，可以将其设为Ax2＋By2＝1(AB<0)，将其化为标准方程，即＋＝1.因此，当A>0时，表示焦点在x轴上的双曲线；当B>0时，表示焦点在y轴上的双曲线．(2)共焦点的双曲线系方程：与双曲线－＝1(a>0，b>0)有公共焦点的双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)；与双曲线－＝1(a>0，b>0)有公共焦点的双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)．必考点2：双曲线的实际应用例题4：已知A，B两地相距800m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s，且声速为340m/s，求炮弹爆炸点的轨迹方程.【解析】如图以为轴，的垂直平分线为轴，建立坐标系，设炮弹爆炸点为，由题知：.所以的轨迹是以，为焦点，的抛物线的右支.即，，.所以的轨迹方程为.【小结】解答实际应用问题时，要注意先将实际问题数学化，条件中有两定点，某点与这两定点的距离存在某种联系，解题时先画出图形，分析其关系，看是否与椭圆、双曲线的定义有关，再确定解题思路、步骤．焦点三角形问题例题5：设双曲线C：（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a=（）A．1B．2C．4D．8【解析】，，根据双曲线的定义可得，，即，，，，即，解得，故选：A.例题6：设是双曲线的两个焦点，点在双曲线上，且，求△面积【解析】双曲线的不妨设，则，而得故【小结】双曲线中的焦点三角形双曲线上的点P与其两个焦点F1，F2连接而成的三角形PF1F2称为焦点三角形．令PF1＝r1，PF2＝r2，∠F1PF2＝θ，因F1F2＝2c，所以有(1)定义：r1－r2＝2a．(2)余弦公式：4c2＝r＋r－2r1r2cosθ(3)面积公式：S△PF1F2＝r1r2sinθ．一般地，在△PF1F2中，通过以上三个等式，所以求问题就会顺利解决．已知双曲线的方程，研究其几何性质双曲线的几何性质标准方程－＝1(a>0，b>0)－＝1(a>0，b>0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±xy＝±x离心率e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝实虚轴线段A1A2叫作双曲线的实轴，它的长A1A2＝2a；线段B1B2叫作双曲线的虚轴，它的长B1B2＝2b；a叫作双曲线的实半轴长，b叫作双曲线的虚半轴长．a、b、c的关系c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)例题7：设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为【解析】，双曲线的渐近线方程是直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点不妨设为在第一象限，在第四象限，联立，解得，故联立，解得，故，，面积为：双曲线，其焦距为当且仅当取等号，的焦距的最小值：8例题8：已知双曲线离心率为，则点到渐近线的距离为（）A．B．C．D．【解析】，，所以双曲线的渐近线方程为所以点（4，0）到渐近线的距离，故选D例题9：已知双曲线，则C的右焦点的坐标为_________；C的焦点到其渐近线的距离是_________．【解析】在双曲线中，，，则，则双曲线的右焦点坐标为，双曲线的渐近线方程为，即，双曲线的焦点到其渐近线的距离为【小结】1.已知双曲线方程讨论其几何性质，应先将方程化为标准形式，找出对应的a、b，利用c2＝a2＋b2求出c，再按定义找出其焦点、焦距、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程．2．画双曲线图形，要先画双曲线的两条渐近线(即以2a、2b为两邻边的矩形对角线)和两个顶点，然后根据双曲线的变化趋势，就可画出双曲线的草图．3．双曲线的标准方程中对a、b的要求只是a＞0，b＞0易误认为与椭圆标准方程中a，b的要求相同．若a＞b＞0，则双曲线的离心率e∈(1，)；若a＝b＞0，则双曲线的离心率e＝；若0＜a＜b，则双曲线的离心率e＞.4．注意区分双曲线中的a，b，c大小关系与椭圆a、b、c关系，在椭圆中a2＝b2＋c2，而在双曲线中c2＝a2＋b2.5．等轴双曲线的离心率与渐近线关系双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e＝⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)．6．双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长b7．渐近线与离心率的一条渐近线的斜率为.可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小．8.与双曲线有关的范围问题的解题思路(1)若条件中存在不等关系，则借助此关系直接转化求解．(2)若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系，如借助双曲线上点的坐标范围，方程中Δ≥0等来解决．必考点3：由双曲线的性质求双曲线的方程例题10：已知双曲线的离心率为2，过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点.设到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且则双曲线的方程为()A．B．C．D．【解析】设双曲线的右焦点坐标为（c>0），则，由可得：，不妨设：，双曲线的一条渐近线方程为，据此可得：，，则，则，双曲线的离心率：，据此可得：，则双曲线的方程为.本题选择A选项.【小结】1.由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法，同样需要经历“定位→定式→定量”三个步骤．当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，为了避免讨论，也可设双曲线方程为mx2－ny2＝1(mn>0)，从而直接求得．2．根据双曲线的渐近线方程可设出双曲线方程．渐近线为y＝x的双曲线方程可设为：－＝λ(λ≠0)；如果两条渐近线的方程为Ax±By＝0，那么双曲线的方程可设为A2x2－B2y2＝m(m≠0)；与双曲线－＝1共渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)．必考点4：求双曲线的离心率(或范围)例题11：双曲线C:的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为（）A．2sin40°B．2cos40°C．D．【解析】由已知可得，选D例题12：已知双曲线C：右支上非顶点的一点A关于原点O的对称点为B，F为其右焦点，若，设，且，则双曲线C离心率的取值范围是______．【解析】设双曲线的左焦点为，连接，，，可得四边形为矩形，设，，即有，且，，，，由，可得，则，可得，即有，则，即有例题13：设双曲线C：(a>0，b>0)的一条渐近线为y=x，则C的离心率为_________．【解析】由双曲线方程可得其焦点在轴上，因为其一条渐近线为，所以，【小结】1.在解析几何中，求“范围”问题，一般可从以下几个方面考虑：①与已知范围联系，通过求值域或解不等式来完成；②通过判别式Δ求解；③利用点在双曲线内部形成的不等关系求解；④利用解析式的结构特点，如a，，a等非负性求解．2.求双曲线离心率的取值范围，关键是根据题目条件得到不等关系，并想办法转化为关于a，b，c的不等关系，结合c2＝a2＋b2和＝e得到关于e的不等式，然后求解．在建立不等式求e时，经常用到的结论：双曲线上一点到相应焦点距离的最小值为c－a.双曲线的离心率常以双曲线的渐近线为载体进行命题，注意二者参数之间的转化．3.与双曲线离心率、渐近线有关问题的解题策略(1)双曲线的离心率e＝是一个比值，故只需根据条件得到关于a，b，c的一个关系式，利用b2＝c2－a2消去b，然后变形成关于e的关系式，并且需注意e＞1.(2)双曲线的渐近线是令，即得两渐近线方程±＝0.(3)渐近线的斜率也是一个比值，可类比离心率的求法解答．注意应用.必考点5：与双曲线有关的综合问题例题14：在平面直角坐标系中，以点，为焦点的动椭圆与双曲线的右支有公共点，则椭圆通径的最小值为______.【解析】依题意知，为双曲线的右焦点，设双曲线的左焦点为，则，设点为两曲线的交点，则由双曲线及椭圆的定义可知，，，则，所以有.所以椭圆的通径为，这里，所以由函数的单调性可知，当时，椭圆的通径最小，最小值为.故答案为：例题15：已知双曲线：的右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线于交、两点，若，则的离心率为__________．【解析】如图所示，由题意可得，．设双曲线C的一条渐近线y=x的倾斜角为θ，则tanθ=．又tanθ=，∴，得a2=3b2，∴e=【小结】双曲线的综合问题常常涉及双曲线的离心率、渐近线、范围与性质，与圆、椭圆、抛物线、向量、三角函数、不等式等知识交汇考查综合运用数学知识的能力．(1)当与向量知识结合时，注意运用向量的坐标运算，将向量间的关系，转化为点的坐标问题，再根据根与系数的关系，将所求问题与条件建立联系求解．(2)当与直线有关时，常常联立直线与双曲线的方程，消元后利用一元二次方程的判别式、根与系数的关系构造相关数量关系求解．巩固提升1．（2019·北京高考真题（文））已知双曲线（a＞0）的离心率是则a=（）A．B．4C．2D．【解析】∵双曲线的离心率，，∴，解得，故选D.2．（全国高考真题（文））双曲线的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则的焦距等于（）．A.2B.C.4D.【解析】设双曲线的焦距为2c，双曲线的渐进线方程为，由条件可知，，又，解得，故答案选C．3.（2018·全国高考真题（理））设,是双曲线（）的左、右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为()A．B．C．D．【解析】由题可知，在中，在中,，，故选B.4.（2019·全国高考真题（理））双曲线C：=1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若，则△PFO的面积为（）A．B．C．D．【解析】由．，又P在C的一条渐近线上，不妨设为在上，，故选A．5.（2020·山东海南省高考真题）【多选题】已知曲线.（）A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B．若m=n>0，则C是圆，其半径为C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为D．若m=0，n>0，则C是两条直线【解析】对于A，若，则可化为，因为，所以，即曲线表示焦点在轴上的椭圆，故A正确；对于B，若，则可化为，此时曲线表示圆心在原点，半径为的圆，故B不正确；对于C，若，则可化为，此时曲线表示双曲线，由可得，故C正确；对于D，若，则可化为，，此时曲线表示平行于轴的两条直线，故D正确；故选：ACD.6.（2020·江苏省高考真题）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线﹣=1(a＞0)的一条渐近线方程为y=x，则该双曲线的离心率是____.【解析】双曲线，故.由于双曲线的一条渐近线方程为，即，所以，所以双曲线的离心率为.故答案为：7.（2020·全国高考真题（理））已知F为双曲线的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3，则C的离心率为______________.【解析】联立，解得，所以.依题可得，，，即，变形得，,因此，双曲线的离心率为.8.（2017·上海高考真题）设双曲线的焦点为、，为该双曲线上的一点，若，则________【解析】由双曲线的方程，可得，根据双曲线的定义可知，又因为，所以.9.（2019·浙江高三月考）已知，是椭圆：与双曲线的公共焦点，是，的公共点，若，则的渐近线方程为______.【解析】因为，是椭圆：与双曲线的公共焦点，所以，设点，由，不妨取正即，代入双曲线方程得：，又，即；即的渐近线方程为.10.（2020·全国高三课时练习（理））已知F为双曲线的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3，则C的离心率为______________.【解析】联立，解得，所以.依题可得，，，即，变形得，,因此，双曲线的离心率为.11.（2019·陕西高三月考（理））已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点在的渐近线上，且，，则______.【解析】不妨设点在第一象限，设，，则，而，故，联立两式可得，，联立，可得，由三角形的面积公式可得，即，故，即，故，故，则，解得12.（2019·湖南高三月考（理））已知双曲线：的左右焦点分别为，，过的直线与圆相切于点，且直线与双曲线的右支交于点，若，则双曲线的离心率为______.【解析】如图，由题可知，，则，又，，，又，作，可得，，则在，，即，又，化简可得，同除以，得，解得13.（2018·全国高考真题（理））已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点．若，则________．【解析】设，则，所以，所以取AB中点,分别过点A,B作准线的垂线，垂足分别为因为,，因为M’为AB中点，所以MM’平行于x轴，因为M(-1,1)，所以，则即14．（2020·浙江吴兴湖州中学高三其他）过双曲线22221(0,0)xyabab\uf02d\uf03d\uf03e\uf03e的右焦点2F向其一条渐近线作垂线l，垂足为P，l与另一条渐近线交于Q点.若223FQFP\uf03d\uf072\uf072\uf072\uf072\uf072\uf072\uf072\uf072\uf072\uf072\uf072\uf072\uf072\uf072\uf072\uf072\uf072\uf072\uf072\uf072\uf072\uf072\uf072\uf072\uf072\uf072\uf072\uf072，则该双曲线的离心率为_______.【解析】由题意可得该双曲线的渐近线方程为byxa\uf03d\uf0b1，设右焦点\uf028\uf0292,0Fc，不妨令直线l垂直于直线byxa\uf03d，则直线l的方程为\uf028\uf029ayxcb\uf03d\uf02d\uf02d，由\uf028\uf029byxaayxcb\uf0ec\uf03d\uf0ef\uf0ef\uf0ed\uf0ef\uf03d\uf02d\uf02d\uf0ef\uf0ee可得点22222,acabcPabab\uf0e6\uf0f6\uf0e7\uf0f7\uf02b\uf02b\uf0e8\uf0f8，因为222\uf02b\uf03dabc，所以点2,aabPcc\uf0e6\uf0f6\uf0e7\uf0f7\uf0e8\uf0f8，由\uf028\uf029byxaayxcb\uf0ec\uf03d\uf02d\uf0ef\uf0ef\uf0ed\uf0ef\uf03d\uf02d\uf02d\uf0ef\uf0ee可得点22222,acabcQabab\uf0e6\uf0f6\uf02d\uf0e7\uf0f7\uf02d\uf02d\uf0e8\uf0f8，又223FQFP\uf03d\uf072\uf072\uf072\uf072\uf072\uf072\uf072\uf072\uf072\uf072\uf072\uf072\uf072\uf072\uf072\uf072\uf072\uf072\uf072\uf072\uf072\uf072\uf072\uf072\uf072\uf072\uf072\uf072，所以223abcababc\uf02d\uf03d\uf0d7\uf02d即\uf028\uf0292222223333cabaca\uf02d\uf03d\uf02d\uf03d\uf02d\uf02d，所以223ca\uf03d，所以该双曲线的离心率223cceaa\uf03d\uf03d\uf03d.15．（2020·湖北黄石港黄石二中高二月考（理））已知椭圆22221xyab\uf047\uf02b\uf03d：与双曲线22221xymn\uf057\uf02d\uf03d：共焦点，F1、F2分别为左、右焦点，曲线\uf047与\uf057在第一象限交点为P，且离心率之积为1.若1212sin2sinFPFPFF\uf0d0\uf03d\uf0d0，则该双曲线的离心率为____________.【解析】设焦距为2c，在三角形PF1F2中，根据正弦定理可得2121212sinsinPFFFFPFPFF\uf03d\uf0d0\uf0d0因为1212sin2sinFPFPFF\uf0d0\uf03d\uf0d0，代入可得1222FFPF\uf03d，所以2PFc\uf03d在椭圆中，1212PFPFPFca\uf02b\uf03d\uf02b\uf03d在双曲线中，1212PFPFPFcm\uf02d\uf03d\uf02d\uf03d所以112,2PFacPFmc\uf03d\uf02d\uf03d\uf02b，即22acmc\uf02d\uf03d\uf02b，所以amc\uf03d\uf02b因为椭圆与双曲线的离心率乘积为1，即1ccam\uf0b4\uf03d，即2cam\uf03d，所以2cmcm\uf02b\uf03d化简得220cmmc\uf02d\uf02d\uf03d，等号两边同时除以2m得210ccmm\uf0e6\uf0f6\uf02d\uf02d\uf03d\uf0e7\uf0f7\uf0e8\uf0f8，因为cm即为双曲线离心率所以若双曲线离心率为e，则上式可化为210ee\uf02d\uf02d\uf03d由一元二次方程求根公式可求得152e\uf0b1\uf03d因为双曲线中1e\uf03e所以152e\uf02b\uf03d16．（2020·湖北高三月考（理））已知双曲线2222:1(0)xyCabab\uf02d\uf03d\uf03e\uf03e的左顶点为A，过A作双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为M，N，且45MNOA\uf03d（O为坐标原点），则此双曲线的离心率是___.【解析】由题意，\uf028\uf029,0Aa\uf02d，双曲线2222:1(0)xyCabab\uf02d\uf03d\uf03e\uf03e的渐近线方程为：byxa\uf03d\uf0b1，不妨令AM与直线byxa\uf03d垂直，AN与直线byxa\uf03d\uf02d垂直，则AMakb\uf03d\uf02d，ANakb\uf03d，所以直线AM的方程为：()ayxab=-+；直线AN的方程为：\uf028\uf029ayxab\uf03d\uf02b；由\uf028\uf029ayxabbyxa\uf0ec\uf03d\uf02d\uf02b\uf0ef\uf0ef\uf0ed\uf0ef\uf03d\uf0ef\uf0ee解得：3222axcbayc\uf0ec\uf03d\uf02d\uf0ef\uf0ef\uf0ed\uf0ef\uf03d\uf02d\uf0ef\uf0ee（其中222cab\uf03d\uf02b），则3222,abaMcc\uf0e6\uf0f6\uf02d\uf02d\uf0e7\uf0f7\uf0e8\uf0f8；由\uf028\uf029ayxabbyxa\uf0ec\uf03d\uf02b\uf0ef\uf0ef\uf0ed\uf0ef\uf03d\uf02d\uf0ef\uf0ee解得：3222axcbayc\uf0ec\uf03d\uf02d\uf0ef\uf0ef\uf0ed\uf0ef\uf03d\uf0ef\uf0ee，即3222,abaNcc\uf0e6\uf0f6\uf02d\uf0e7\uf0f7\uf0e8\uf0f8，所以222baMNc\uf03d，又45MNOA\uf03d，所以22245baac\uf03d，即225cab\uf03d，即222520aabb\uf02d\uf02b\uf03d，解得：2ab\uf03d或2ba\uf03d（不满足ab\uf03e），所以此双曲线的离心率是222225542cabbeaab\uf02b\uf03d\uf03d\uf03d\uf03d.',)