《三角函数线》高一年级下册PPT课件（第1.2.2课时）.pptx

1.2.1任意角的三角函数第2课时三角函数线1.2任意角的三角函数栏目导航01自主预习学案02互动探究学案03课时作业学案自主预习学案1第一章三角函数第一章三角函数情景引入江南水乡，水车在清清的河流里悠悠转动，缓缓地把河流里的水倒进水渠，流向绿油油的大地，流向美丽的大自然，在水车转动的时候，看到从水车上滴滴答答落下的水滴，同学们能想到些什么呢？第一章三角函数新知导学单位圆中的三角函数线1．有向线段一条线段有两个端点，如果规定其中一个端点为起点，另一个为终点，这条线段被看做带有方向，于是把它叫做有向线段．表示有向线段时，要先写起点的字母，后写终点的字母．当有向线段与数轴平行时，我们可根据此线段的方向(从起点向终点)与数轴的方向相同或相反，分别把它的长度加上正号或负号，这样所得的数，就是此有向线段的数值，它是一个实数，如图所示，有向线段AB＝2，CD＝1，而有向线段BA＝－2，DC＝－1.可根据此线段的方向(从起点向终点)与数轴的方向相同或相反，分别把它的长度加上正号或负号，这样所得的数，就是此有向线段的数值，它是一个实数，如图所示，有向线段AB＝2，CD＝1，而有向线段BA＝－2，DC＝－1.第一章三角函数2．三角函数线的作法如图，设单位圆与x轴的正半轴交于点A，与角α的终边交于点P(角α的顶点与原点重合，角α的始边与x轴的非负半轴重合)．第一章三角函数过点P作x轴的垂线PM，垂足为M，过点A作单位圆的切线交OP的延长线(或反向延长线)于T点，这样就有sinα＝________，cosα＝________，tanα＝________.单位圆中的有向线段MP、OM、AT分别叫做角α的________线、________线、________线，统称为三角函数线．MPOMAT正弦余弦正切第一章三角函数[知识点拨]①三角函数线的位置：正弦线为α的终边与单位圆的交点到x轴的垂直线段；余弦线在x轴上；正切线在过单位圆与x轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中正弦线和余弦线在单位圆内，正切线在单位圆外．②三角函数线的方向：正弦线由垂足指向α的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂足；正切线由切点指向切线与α的终边(或反向延长线)的交点．③三角函数线的正负：三条有向线段凡与x轴正方向或y轴正方向同向的为正值，与x轴正方向或y轴正方向反向的为负值．④三角函数线的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后．⑤三角函数线的意义：三角函数线的方向表示三角函数值的符号；三角函数线的长度等于所表示的三角函数值的绝对值．第一章三角函数预习自测1．判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内打“√”，错误的打“×”．(1)三角函数线是有向线段，既有大小，又有方向．()(2)正弦线的起点一定在x轴上，余弦线的起点一定是原点，正切线的起点一定是(1,0)．()(3)若角θ的余弦线是长度为单位长度的有向线段，则其终边落在x轴的正半轴上．()(4)终边在第一、三象限角的平分线上的角的正、余弦线，长度相等、符号相同．()√√×√第一章三角函数2．如图所示，P是角α的终边与单位圆的交点，PM⊥x轴于M，AT和A′T′均是单位圆的切线，则角α的()A．正弦线是PM，正切线是A′T′B．正弦线是MP，正切线是A′T′C．正弦线是MP，正切线是ATD．正弦线是PM，正切线是ATC第一章三角函数3．不论角α的终边位置如何，在单位圆中作三角函数线时，下列说法正确的是()A．总能分别作出正弦线、余弦线、正切线B．总能分别作出正弦线、余弦线、正切线，但可能不只一条C．正弦线、余弦线、正切线都可能不存在D．正弦线、余弦线总存在，但正切线不一定存在D第一章三角函数4．设a＝sin2π7，b＝cos2π7，c＝tan2π7，则()A．aM2P2，AT1OM2，又sin23π＝M1P1，sin45π＝M2P2，tan23π＝AT1，tan45π＝AT2，cos23π＝OM1，cos45π＝OM2，(1)sin23π>sin45π.(2)tan23πcos45π.[解析]如图所示，画出23π与45π的正弦线、余弦线、正切线，由图观察可得M1P1>M2P2，AT1OM2，又sin23π＝M1P1，sin45π＝M2P2，tan23π＝AT1，tan45π＝AT2，cos23π＝OM1，cos45π＝OM2，(1)sin23π>sin45π.(2)tan23πcos45π.第一章三角函数『规律总结』利用三角函数线比较函数值大小的关键及注意点：(1)关键：在单位圆中作出所要比较的角的三角函数线．(2)注意点：比较大小，既要注意三角函数线的长短，又要注意方向．第一章三角函数〔跟踪练习1〕在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边．(1)sinα＝23；(2)cosα＝－35；(3)tanα＝2；〔跟踪练习1〕在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边．(1)sinα＝23；(2)cosα＝－35；(3)tanα＝2；第一章三角函数[解析](1)作直线y＝23交单位圆于P、Q两点，则OP与OQ为角α的终边，如图①.(2)作直线x＝－35交单位圆M、N两点，则OM与ON为角α的终边．如图②.(3)在直线x＝1上截取AT＝2，其中点A的坐标为(1,0)，设直线OT与单位圆交于C、D两点，则OC与OD为角α的终边．如图③.[解析](1)作直线y＝23交单位圆于P、Q两点，则OP与OQ为角α的终边，如图①.(2)作直线x＝－35交单位圆M、N两点，则OM与ON为角α的终边．如图②.(3)在直线x＝1上截取AT＝2，其中点A的坐标为(1,0)，设直线OT与单位圆交于C、D两点，则OC与OD为角α的终边．如图③.第一章三角函数根据下列条件，求角α的取值集合：命题方向2⇨利用三角函数线求角的范围典例2(1)sinα＝12；(2)sinα≥32；(3)cosα≤－12.[思路分析]根据三角函数线，首先在单位圆中作出满足sinα＝12，sinα＝32，cosα＝－12的角的终边，然后确定满足条件的角的范围．(1)sinα＝12；(2)sinα≥32；(3)cosα≤－12.[思路分析]根据三角函数线，首先在单位圆中作出满足sinα＝12，sinα＝32，cosα＝－12的角的终边，然后确定满足条件的角的范围．第一章三角函数[解析](1)已知角α的正弦值，可知MP＝12，则点P纵坐标为12，所以在y轴上取点(0，12)，过这点作x轴的平行线y＝12，交单位圆于P1，P2两点，则OP1，OP2是角α的终边，因此角α的集合为{αα＝2kπ＋π6或α＝2kπ＋5π6，k∈Z}，如图①.[解析](1)已知角α的正弦值，可知MP＝12，则点P纵坐标为12，所以在y轴上取点(0，12)，过这点作x轴的平行线y＝12，交单位圆于P1，P2两点，则OP1，OP2是角α的终边，因此角α的集合为{αα＝2kπ＋π6或α＝2kπ＋5π6，k∈Z}，如图①.第一章三角函数(2)如图②所示，作直线y＝32交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，则OA与OB围成的区域(阴影部分)即为角α的终边的范围．故满足条件的角α的集合为{α2kπ＋π3≤α≤2kπ＋2π3，k∈Z}．(2)如图②所示，作直线y＝32交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，则OA与OB围成的区域(阴影部分)即为角α的终边的范围．故满足条件的角α的集合为{α2kπ＋π3≤α≤2kπ＋2π3，k∈Z}．第一章三角函数『规律总结』利用三角函数线求角的取值集合，关键是恰当地寻求点，一般来说，对于sinx≥b，cosx≥a.(或sinx≤b，cosx≤a)，只需作直线y＝b，x＝a与单位圆相交，连接原点和交点即得角的终边所在位置，此时根据方向即可确定相应的x的范围；对于tanx≥c(或tanx≤c)，则取点(1，c)，连接该点和原点即得角的终边所在直线的位置，结合图形可得．(3)如图③所示，作直线x＝－12交单位圆于C，D两点，连接OC与OD，则OC与OD围成的区域(阴影部分)即为角α的终边的范围．故满足条件的角α的集合为{α2kπ＋2π3≤α≤2kπ＋4π3，k∈Z}．(3)如图③所示，作直线x＝－12交单位圆于C，D两点，连接OC与OD，则OC与OD围成的区域(阴影部分)即为角α的终边的范围．故满足条件的角α的集合为{α2kπ＋2π3≤α≤2kπ＋4π3，k∈Z}．第一章三角函数〔跟踪练习2〕已知tanα≥33，求角α的取值集合．[解析]已知角α的正切值，可得AT＝33，取点T(1，33)，则OT即为角α的终边(或终边的反向延长线)，因此角α的取值集合为{α2kπ＋π6≤α<π2＋2kπ或2kπ＋76π<α<2kπ＋32π，k∈Z}＝αkπ＋π6≤αOP，∴sinα＋cosα>1.∴S△OAP＝12OA·QP＝12y＝12sinα，〔跟踪练习3〕已知α是锐角，求证：1OP，∴sinα＋cosα>1.∴S△OAP＝12OA·QP＝12y＝12sinα，第一章三角函数S△OBP＝12OB·RP＝12x＝12cosα，S扇形OAB＝π4×12＝π4.又∵S△OAP＋S△OBP12.利用三角函数线，得到α的取值范围是_________________.[错解]利用三角函数线可得所求角α的范围是(－π3，π3)．错解错在什么地方？你能发现吗？怎样避免这类错误呢？提示：上述错解忽视了角α范围的大前提是(0,2π)，从而导致错误．易错易混警示若0<α<2π，且sinα<32，cosα>12.利用三角函数线，得到α的取值范围是_________________.[错解]利用三角函数线可得所求角α的范围是(－π3，π3)．错解错在什么地方？你能发现吗？怎样避免这类错误呢？提示：上述错解忽视了角α范围的大前提是(0,2π)，从而导致错误．第一章三角函数[误区警示]当所求角的范围包含了终边落在x轴非负半轴上的角时，应特别注意角的范围的表达形式，这时可以用一个区间来表示，也可用两个区间并集来表示．[正解](0，π3)∪(5π3，2π)利用三角函数线得α的终边落在如图所示∠AOB区域内，所以α的取值范围是(0，π3)∪(5π3，2π)．[正解](0，π3)∪(5π3，2π)利用三角函数线得α的终边落在如图所示∠AOB区域内，所以α的取值范围是(0，π3)∪(5π3，2π)．第一章三角函数〔跟踪练习4〕求函数y＝lg(1－2cosx)＋1＋2cosx的定义域．[解析]如图所示，∵1－2cosx>01＋2cosx≥0，∴－22≤cosx<22，〔跟踪练习4〕求函数y＝lg(1－2cosx)＋1＋2cosx的定义域．[解析]如图所示，∵1－2cosx>01＋2cosx≥0，∴－22≤cosx<22，第一章三角函数∴x∈(2kπ＋π4，2kπ＋3π4]∪[2kπ＋5π4，2kπ＋7π4)(k∈Z)，即x∈(kπ＋π4，kπ＋3π4)或x＝2kπ＋34π或x＝2kπ＋54π，(k∈Z)，函数定义域为{xkπ＋π4