《平面向量的正交分解及坐标表示和运算》高一年级下册PPT课件.pptx

平面向量的基本定理及坐标表示第二章平面向量2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3平面向量的坐标运算自主预习学案01互动探究学案02课时作业学案03栏目导航CONTENT自主预习学案第二章平面向量01卫星运载火箭每一时刻的速度都有确定的大小和方向，为了便于分析，如何将整个飞行过程中的速度分解为水平和竖直两个方向的速度呢？1．平面向量的正交分解把一个平面向量分解为两个互相________的向量，叫做平面向量的正交分解．2．平面向量的坐标表示(1)基底：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向________的两个________向量i，j作为________.垂直相同单位基底第二章平面向量(2)坐标：对于平面内的一个向量a，______________对实数x、y，使得a＝xi＋yj，我们把有序实数对______________叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中x叫做向量a在______轴上的坐标，y叫做向量a在______轴上的坐标．(3)坐标表示：a＝(x，y)就叫做向量的坐标表示．(4)特殊向量的坐标：i＝______________，j＝______________，0＝______________.有且只有一(x，y)xy(1,0)(0,1)(0,0)第二章平面向量3．向量与坐标的关系设OA→＝xi＋yj，则向量OA→的坐标______________就是终点A的坐标；反过来，终点A的________就是向量OA→的坐标(x，y)．因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序实数对唯一表示．即以原点为起点的向量与实数对是____________的．(x，y)坐标一一对应3．向量与坐标的关系设OA→＝xi＋yj，则向量OA→的坐标______________就是终点A的坐标；反过来，终点A的________就是向量OA→的坐标(x，y)．因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序实数对唯一表示．即以原点为起点的向量与实数对是____________的．第二章平面向量[知识点拨]点的坐标与向量的坐标的联系与区别点的坐标反映的是点的位置，而向量的坐标反映的是向量的大小和方向，向量仅由大小和方向决定，与位置无关．1．联系：(1)当且仅当向量的起点为原点时，向量终点的坐标等于向量本身的坐标．(2)两个向量相等，当且仅当它们的坐标相同．即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＝b⇔x1＝x2，y1＝y2.[知识点拨]点的坐标与向量的坐标的联系与区别点的坐标反映的是点的位置，而向量的坐标反映的是向量的大小和方向，向量仅由大小和方向决定，与位置无关．1．联系：(1)当且仅当向量的起点为原点时，向量终点的坐标等于向量本身的坐标．(2)两个向量相等，当且仅当它们的坐标相同．即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＝b⇔x1＝x2，y1＝y2.第二章平面向量注意：相等向量的坐标是相同的，但是两个相等向量的起点、终点的坐标却可以不同．2．区别：(1)书写不同，如a＝(1,2)，A(1,2)．(2)给定一个向量，它的坐标是唯一的；给定一个有序实数对，由于向量可以平移，故以这个有序实数对为坐标的向量有无穷多个．因此，符号(x，y)在平面直角坐标系中有双重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量．为了加以区分，在叙述中，常说点(x，y)或向量(x，y)．第二章平面向量4．平面向量的坐标运算设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R，则有下表：文字描述符号表示加法两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的______a＋b＝_______________________减法两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的______a－b＝_______________________和(x1＋x2，y1＋y2)差(x1－x2，y1－y2)文字描述符号表示加法两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的______a＋b＝_______________________减法两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的______a－b＝_______________________第二章平面向量相应坐标数乘实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的___________λa＝______________________向量坐标公式一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→＝_____________________________(λx1，λy1)(x2－x1，y2－y1)数乘实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的___________λa＝______________________向量坐标公式一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→＝_____________________________1．判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内打“√”，错误的打“×”．(1)一个坐标对应唯一的一个向量．()(2)相等的向量，即坐标是相同的．()(3)相等的向量其终点坐标与起点坐标是相同的．()(4)一个向量的坐标等于其起点的坐标减去其终点的坐标．()(5)任何平面向量都有唯一的坐标．()×√××√第二章平面向量2．已知A(－5，－1)，B(3，－2)，是－12AB→的坐标为()A．(8,1)B．(－4，12)C．(－8,1)D．(－8，－1)B[解析]AB→＝(3，－2)－(－5－1)＝(8，－1)，∴－12AB→＝(－4，12)．2．已知A(－5，－1)，B(3，－2)，是－12AB→的坐标为()A．(8,1)B．(－4，12)C．(－8,1)D．(－8，－1)[解析]AB→＝(3，－2)－(－5－1)＝(8，－1)，∴－12AB→＝(－4，12)．互动探究学案第二章平面向量02在直角坐标系xOy中，向量a、b、c的方向如图所示，且a＝2，b＝3，c＝4，分别计算出它们的坐标．命题方向1利用正交分解求向量的坐标⇨典例1第二章平面向量[解析]设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，c＝(c1，c2)，则a1＝acos45°＝2×22＝2，a2＝asin45°＝2×22＝2，b1＝bcos120°＝3×(－12)＝－32，[解析]设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，c＝(c1，c2)，则a1＝acos45°＝2×22＝2，a2＝asin45°＝2×22＝2，b1＝bcos120°＝3×(－12)＝－32，第二章平面向量b2＝bsin120°＝3×32＝332，c1＝ccos(－30°)＝4×32＝23，c2＝csin(－30°)＝4×(－12)＝－2.因此a＝(2，2)，b＝(－32，332)，c＝(23，－2)．b2＝bsin120°＝3×32＝332，c1＝ccos(－30°)＝4×32＝23，c2＝csin(－30°)＝4×(－12)＝－2.因此a＝(2，2)，b＝(－32，332)，c＝(23，－2)．第二章平面向量『规律总结』求向量坐标的三个步骤：平移―→将向量的始点移至坐标原点↓求角―→找出以x轴正向为始边，向量所在射线为终边的角θ↓求坐标―→根据x＝rcosθ，y＝rsinθr为向量的模求终点坐标，即为向量坐标『规律总结』求向量坐标的三个步骤：平移―→将向量的始点移至坐标原点↓求角―→找出以x轴正向为始边，向量所在射线为终边的角θ↓求坐标―→根据x＝rcosθ，y＝rsinθr为向量的模求终点坐标，即为向量坐标第二章平面向量〔跟踪练习1〕在平面直角坐标系中，a＝4，且a如图所示，则a的坐标为()A．(23，2)B．(2，－23)C．(－2,23)D．(23，－2)D[解析]x＝r·cos(－30°)＝4×32＝23，y＝r·sin(－30°)＝4×(－12)＝－2.〔跟踪练习1〕在平面直角坐标系中，a＝4，且a如图所示，则a的坐标为()A．(23，2)B．(2，－23)C．(－2,23)D．(23，－2)[解析]x＝r·cos(－30°)＝4×32＝23，y＝r·sin(－30°)＝4×(－12)＝－2.第二章平面向量命题方向2向量的坐标运算⇨典例2已知平面上三个点A(4,6)、B(7,5)、C(1,8)，求AB→、AC→、AB→＋AC→、AB→－AC→、2AB→＋12AC→.[思路分析]先计算出AB→，AC→的坐标，再进行向量的线性运算．已知平面上三个点A(4,6)、B(7,5)、C(1,8)，求AB→、AC→、AB→＋AC→、AB→－AC→、2AB→＋12AC→.[思路分析]先计算出AB→，AC→的坐标，再进行向量的线性运算．第二章平面向量[解析]∵A(4,6)、B(7,5)、C(1,8)∴AB→＝(7,5)－(4,6)＝(3，－1)；AC→＝(1,8)－(4,6)＝(－3,2)；AB→＋AC→＝(3，－1)＋(－3,2)＝(0,1)；AB→－AC→＝(3，－1)－(－3,2)＝(6，－3)；2AB→＋12AC→＝2(3，－1)＋12(－3,2)＝(6，－2)＋(－32，1)＝(92，－1)．[解析]∵A(4,6)、B(7,5)、C(1,8)∴AB→＝(7,5)－(4,6)＝(3，－1)；AC→＝(1,8)－(4,6)＝(－3,2)；AB→＋AC→＝(3，－1)＋(－3,2)＝(0,1)；AB→－AC→＝(3，－1)－(－3,2)＝(6，－3)；2AB→＋12AC→＝2(3，－1)＋12(－3,2)＝(6，－2)＋(－32，1)＝(92，－1)．第二章平面向量『规律总结』(1)向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，要注意三角形法则及平行四边形法则的应用．(2)若是给出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则．第二章平面向量〔跟踪练习2〕已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，且CM→＝3CA→，CN→＝2CB→，求M、N的坐标和MN→的坐标．[解析]因为A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，所以CA→＝(1,8)，CB→＝(6,3)．设M(x，y)，则CM→＝(x＋3，y＋4)．由CM→＝3CA→得(x＋3，y＋4)＝3(1,8)，即x＋3＝3y＋4＝24，解得x＝0y＝20，即M(0,20)．同理可得N(9,2)．所以MN→＝(9，－18)．〔跟踪练习2〕已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，且CM→＝3CA→，CN→＝2CB→，求M、N的坐标和MN→的坐标．[解析]因为A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，所以CA→＝(1,8)，CB→＝(6,3)．设M(x，y)，则CM→＝(x＋3，y＋4)．由CM→＝3CA→得(x＋3，y＋4)＝3(1,8)，即x＋3＝3y＋4＝24，解得x＝0y＝20，即M(0,20)．同理可得N(9,2)．所以MN→＝(9，－18)．方程思想的运用典例3已知A(1，－2)，B(2,1)，C(3,2)，D(6,9)，试用AB→，AC→表示AD→.[思路分析]利用向量加减法的三角形法则，建立等量关系，代入坐标利用向量相等得到参数的值．已知A(1，－2)，B(2,1)，C(3,2)，D(6,9)，试用AB→，AC→表示AD→.[思路分析]利用向量加减法的三角形法则，建立等量关系，代入坐标利用向量相等得到参数的值．第二章平面向量[解析]由已知可得AB→＝(1,3)，AC→＝(2,4)，AD→＝(5,11)．设AD→＝xAB→＋yAC→.则(5,11)＝x(1,3)＋y(2,4)，即(5,11)＝(x＋2y,3x＋4y)，∴x＋2y＝5，3x＋4y＝11，解得x＝1，y＝2.∴AD→＝AB→＋2AC→.[解析]由已知可得AB→＝(1,3)，AC→＝(2,4)，AD→＝(5,11)．设AD→＝xAB→＋yAC→.则(5,11)＝x(1,3)＋y(2,4)，即(5,11)＝(x＋2y,3x＋4y)，∴x＋2y＝5，3x＋4y＝11，解得x＝1，y＝2.∴AD→＝AB→＋2AC→.第二章平面向量『规律总结』利用坐标运算求向量的基底表示，一般先求基底向量和被表示向量的坐标，再利用待定系数法．设c＝xa＋yb，在求解时要运用相等向量坐标相同的关系列方程(组)求出x，y的值．误把向量的坐标当作点的坐标典例4已知点A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)，若AP→＝AB→＋λAC→(λ∈R)，试求当点P在第三象限时，λ的取值范围．[错解]由已知得AP→＝AB→＋λAC→＝(5－2,4－3)＋λ(7－2,10－3)＝(3,1)＋λ(5,7)＝(3＋5λ，1＋7λ)，又点P在第三象限，所以3＋5λ<0，1＋7λ<0，所以λ<－35，故λ的取值范围为(－∞，－35)．已知点A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)，若AP→＝AB→＋λAC→(λ∈R)，试求当点P在第三象限时，λ的取值范围．[错解]由已知得AP→＝AB→＋λAC→＝(5－2,4－3)＋λ(7－2,10－3)＝(3,1)＋λ(5,7)＝(3＋5λ，1＋7λ)，又点P在第三象限，所以3＋5λ<0，1＋7λ<0，所以λ<－35，故λ的取值范围为(－∞，－35)．第二章平面向量[错因分析]错解中误把向量AP→的坐标当作点P的坐标，混淆了点的坐标与向量的坐标的概念．[正解]同错解得AP→＝(3＋5λ，1＋7λ)，设点P(x，y)，则AP→＝(x－2，y－3)．于是(x－2，y－3)＝(3＋5λ，1＋7λ)，即x－2＝3＋5λ，y－3＝1＋7λ.又点P在第三象限，所以x＝5＋5λ<0，y＝4＋7λ<0，解得λ<－1.所以λ的取值范围为(－∞，－1)．[错因分析]错解中误把向量AP→的坐标当作点P的坐标，混淆了点的坐标与向量的坐标的概念．[正解]同错解得AP→＝(3＋5λ，1＋7λ)，设点P(x，y)，则AP→＝(x－2，y－3)．于是(x－2，y－3)＝(3＋5λ，1＋7λ)，即x－2＝3＋5λ，y－3＝1＋7λ.又点P在第三象限，所以x＝5＋5λ<0，y＝4＋7λ<0，解得λ<－1.所以λ的取值范围为(－∞，－1)．第二章平面向量[误区警示]向量的坐标反映的是向量的长度和向量的方向，与终点坐标无关，只有当向量的始点是坐标原点时，向量的坐标与终点的坐标才是一致的．1．向量正交分解中，两基底的夹角等于()A．45°B．90°C．180°D．不确定B第二章平面向量2．如图所示，向量MN→的坐标是()A．(1,1)B．(－1，－2)C．(2,3)D．(－2，－3)D[解析]由图知，M(1,1)，N(－1，－2)，则MN→＝(－1－1，－2－1)＝(－2，－3)．2．如图所示，向量MN→的坐标是()A．(1,1)B．(－1，－2)C．(2,3)D．(－2，－3)[解析]由图知，M(1,1)，N(－1，－2)，则MN→＝(－1－1，－2－1)＝(－2，－3)．课时作业学案第二章平面向量03感谢您下载68素材平台上提供的PPT作品，为了您和68素材以及原创作者的利益，请勿复制、传播、销售；素材均来源于网络用户分享，故68素材不具备充分的监控能力来审查图片是否存在侵权等情节。68素材不拥有此类图片的版权，本站所有资源仅供学习与交流，不得用于任何商业用途的范围，用户应自觉遵守著作权法及其他相关法律的规定，不得侵犯本网站及权利人的合法权利，给68素材和任何第三方造成损失的，侵权用户应负全部责任。版权声明谢谢观看新课标导学数学必修④·人教A版