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《等比数列》高二年级上册PPT课件(第2.4.1课时).pptx

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第二章数列主讲人:办公资源2.4.1等比数列等比数列(第1课时)YOURLOGO学习目标LEARNINGOBJECTIVES011.理解等比数列的定义(重点).2.掌握等比数列的通项公式及其应用(重点、难点).3.熟练掌握等比数列的判定方法(易错点).目录CONTENS01学习目标LEARNINGOBJECTIVES学习目标LEARNINGOBJECTIVES1.等比数列的概念(1)文字语言:如果一个数列从第项起,每一项与它的前一项的比等于,那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的,公比通常用字母q表示(q≠0).2同一常数公比1.等比数列的概念(1)文字语言:如果一个数列从第项起,每一项与它的前一项的比等于,那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的,公比通常用字母q表示(q≠0).学习目标LEARNINGOBJECTIVES(2)符号语言:an+1an=(q为常数,q≠0,n∈N).思考:能将定义中的“每一项与前一项的比”理解为“每相邻两项的比”吗?[提示]不能.q(2)符号语言:an+1an=(q为常数,q≠0,n∈N).思考:能将定义中的“每一项与前一项的比”理解为“每相邻两项的比”吗?[提示]不能.学习目标LEARNINGOBJECTIVES2.等比中项(1)前提:三个数a,G,b成等比数列.(2)结论:叫做a,b的等比中项.(3)满足的关系式:G2=.思考:当G2=ab时,G一定是a,b的等比中项吗?[提示]不一定,如数列0,0,5就不是等比数列.Gab2.等比中项(1)前提:三个数a,G,b成等比数列.(2)结论:叫做a,b的等比中项.(3)满足的关系式:G2=.思考:当G2=ab时,G一定是a,b的等比中项吗?[提示]不一定,如数列0,0,5就不是等比数列.学习目标LEARNINGOBJECTIVES3.等比数列的通项公式一般地,对于等比数列{an}的第n项an,有公式an=.这就是等比数列{an}的通项公式,其中a1为首项,q为公比.a1·qn-13.等比数列的通项公式一般地,对于等比数列{an}的第n项an,有公式an=.这就是等比数列{an}的通项公式,其中a1为首项,q为公比.学习目标LEARNINGOBJECTIVES4.等比数列与指数函数的关系等比数列的通项公式可整理为an=a1q·qn,而y=a1q·qx(q≠1)是一个不为0的常数a1q与指数函数qx的乘积,从图象上看,表示数列a1q·qn中的各项的点是函数y=a1q·qx的图象上的点.思考:除了课本上采用的不完全归纳法,还能用什么方法求数列的通项公式.孤立4.等比数列与指数函数的关系等比数列的通项公式可整理为an=a1q·qn,而y=a1q·qx(q≠1)是一个不为0的常数a1q与指数函数qx的乘积,从图象上看,表示数列a1q·qn中的各项的点是函数y=a1q·qx的图象上的点.思考:除了课本上采用的不完全归纳法,还能用什么方法求数列的通项公式.学习目标LEARNINGOBJECTIVES[提示]还可以用累乘法.当n>2时,anan-1=q,an-1an-2=q,…,a2a1=q,∴an=a1·a2a1·a3a2……an-1an-2·anan-1=a1·qn-1.[提示]还可以用累乘法.当n>2时,anan-1=q,an-1an-2=q,…,a2a1=q,∴an=a1·a2a1·a3a2……an-1an-2·anan-1=a1·qn-1.学习目标LEARNINGOBJECTIVES[基础自测]1.思考辨析(1)若一个数列从第二项起每一项与前一项的比为常数,则该数列为等比数列.()(2)等比数列的首项不能为零,但公比可以为零.()(3)常数列一定为等比数列.()(4)任何两个数都有等比中项.()[答案](1)×(2)×(3)×(4)×[基础自测]1.思考辨析(1)若一个数列从第二项起每一项与前一项的比为常数,则该数列为等比数列.()(2)等比数列的首项不能为零,但公比可以为零.()(3)常数列一定为等比数列.()(4)任何两个数都有等比中项.()[答案](1)×(2)×(3)×(4)×学习目标LEARNINGOBJECTIVES提示:(1)错误,根据等比数列的定义,只有比值为同一个常数时,该数列才是等比数列.(2)错误,当公比为零时,根据等比数列的定义,数列中的项也为零.(3)错误,当常数列不为零数列时,该数列才是等比数列.(4)错误.当两数同号时才有等比中项,异号时不存在等比中项.提示:(1)错误,根据等比数列的定义,只有比值为同一个常数时,该数列才是等比数列.(2)错误,当公比为零时,根据等比数列的定义,数列中的项也为零.(3)错误,当常数列不为零数列时,该数列才是等比数列.(4)错误.当两数同号时才有等比中项,异号时不存在等比中项.学习目标LEARNINGOBJECTIVES2.下列数列为等比数列的序号是________.①2,22,3×22;②1a,1a2,1a3,1a4,1a5(a≠0);③s-1,(s-1)2,(s-1)3,(s-1)4,(s-1)5;④0,0,0,0,0.②[222≠3×2222,所以①不是等比数列;②是首项为1a,公比为1a的等比数列;③中,当s=1时,数列为0,0,0,0,0,所以不是等比数列;④显然不是等比数列.]2.下列数列为等比数列的序号是________.①2,22,3×22;②1a,1a2,1a3,1a4,1a5(a≠0);③s-1,(s-1)2,(s-1)3,(s-1)4,(s-1)5;④0,0,0,0,0.②[222≠3×2222,所以①不是等比数列;②是首项为1a,公比为1a的等比数列;③中,当s=1时,数列为0,0,0,0,0,所以不是等比数列;④显然不是等比数列.]学习目标LEARNINGOBJECTIVES3.等比数列{an}中,a2=2,a5=14,则公比q=________.12[由定义知a2a1=a3a2=a4a3=a5a4=q,则a2=a1q=2,①a5=a4q=a3q2=a2q3=a1q4=14,②所以②÷①得q3=18,所以q=12.]3.等比数列{an}中,a2=2,a5=14,则公比q=________.12[由定义知a2a1=a3a2=a4a3=a5a4=q,则a2=a1q=2,①a5=a4q=a3q2=a2q3=a1q4=14,②所以②÷①得q3=18,所以q=12.]学习目标LEARNINGOBJECTIVES4.在等比数列{an}中,a4=27,q=-3,则a7=________.-729[由等比数列定义知a7a6=a6a5=a5a4=q.所以a5=a4q=27×(-3)=-81,a6=a5q=-81×(-3)=243,a7=a6q=243×(-3)=-729.]4.在等比数列{an}中,a4=27,q=-3,则a7=________.-729[由等比数列定义知a7a6=a6a5=a5a4=q.所以a5=a4q=27×(-3)=-81,a6=a5q=-81×(-3)=243,a7=a6q=243×(-3)=-729.]02合作探究COOPERATIVEINQUIRY合作探究COOPERATIVEINQUIRY等比数列的通项公式及应用例1、在等比数列{an}中.(1)已知a1=3,q=-2,求a6;(2)已知a3=20,a6=160,求an.等比数列的通项公式及应用例1、在等比数列{an}中.(1)已知a1=3,q=-2,求a6;(2)已知a3=20,a6=160,求an.合作探究COOPERATIVEINQUIRY[解](1)由等比数列的通项公式得,a6=3×(-2)6-1=-96.(2)设等比数列的公比为q,那么a1q2=20,a1q5=160,解得q=2,a1=5.所以an=a1qn-1=5×2n-1.[解](1)由等比数列的通项公式得,a6=3×(-2)6-1=-96.(2)设等比数列的公比为q,那么a1q2=20,a1q5=160,解得q=2,a1=5.所以an=a1qn-1=5×2n-1.合作探究COOPERATIVEINQUIRY[规律方法]1.等比数列的通项公式涉及4个量a1,an,n,q,只要知道其中任意三个就能求出另外一个,在这四个量中,a1和q是等比数列的基本量,只要求出这两个基本量,问题便迎刃而解.2.关于a1和q的求法通常有以下两种方法:(1)根据已知条件,建立关于a1,q的方程组,求出a1,q后再求an,这是常规方法.(2)充分利用各项之间的关系,直接求出q后,再求a1,最后求an,这种方法带有一定的技巧性,能简化运算.[规律方法]1.等比数列的通项公式涉及4个量a1,an,n,q,只要知道其中任意三个就能求出另外一个,在这四个量中,a1和q是等比数列的基本量,只要求出这两个基本量,问题便迎刃而解.2.关于a1和q的求法通常有以下两种方法:(1)根据已知条件,建立关于a1,q的方程组,求出a1,q后再求an,这是常规方法.(2)充分利用各项之间的关系,直接求出q后,再求a1,最后求an,这种方法带有一定的技巧性,能简化运算.合作探究COOPERATIVEINQUIRY[跟踪训练]1.在等比数列{an}中,(1)若它的前三项分别为5,-15,45,求a5;(2)若a4=2,a7=8,求an.[解](1)∵a5=a1q4,而a1=5,q=a2a1=-3,∴a5=405.(2)因为a4=a1q3,a7=a1q6,所以a1q3=2,①a1q6=8,②由②①得q3=4,从而q=34,而a1q3=2,于是a1=2q3=12,所以an=a1qn-1=22n-53.[跟踪训练]1.在等比数列{an}中,(1)若它的前三项分别为5,-15,45,求a5;(2)若a4=2,a7=8,求an.[解](1)∵a5=a1q4,而a1=5,q=a2a1=-3,∴a5=405.(2)因为a4=a1q3,a7=a1q6,所以a1q3=2,①a1q6=8,②由②①得q3=4,从而q=34,而a1q3=2,于是a1=2q3=12,所以an=a1qn-1=22n-53.合作探究COOPERATIVEINQUIRY等比中项例2、(1)等比数列{an}中,a1=18,q=2,则a4与a8的等比中项是()A.±4B.4C.±14D.14(2)已知b是a,c的等比中项,求证:ab+bc是a2+b2与b2+c2的等比中项.思路探究:(1)用定义求等比中项.等比中项例2、(1)等比数列{an}中,a1=18,q=2,则a4与a8的等比中项是()A.±4B.4C.±14D.14(2)已知b是a,c的等比中项,求证:ab+bc是a2+b2与b2+c2的等比中项.思路探究:(1)用定义求等比中项.合作探究COOPERATIVEINQUIRY(2)证明(ab+bc)2=(a2+b2)(b2+c2)即可.(1)A[由an=18·2n-1=2n-4知,a4=1,a8=24,所以a4与a8的等比中项为±4.](2)证明:b是a,c的等比中项,则b2=ac,且a,b,c均不为零,又(a2+b2)(b2+c2)=a2b2+a2c2+b4+b2c2=a2b2+2a2c2+b2c2,(ab+bc)2=a2b2+2ab2c+b2c2=a2b2+2a2c2+b2c2,所以(ab+bc)2=(a2+b2)·(b2+c2),即ab+bc是a2+b2与b2+c2的等比中项.(2)证明(ab+bc)2=(a2+b2)(b2+c2)即可.(1)A[由an=18·2n-1=2n-4知,a4=1,a8=24,所以a4与a8的等比中项为±4.](2)证明:b是a,c的等比中项,则b2=ac,且a,b,c均不为零,又(a2+b2)(b2+c2)=a2b2+a2c2+b4+b2c2=a2b2+2a2c2+b2c2,(ab+bc)2=a2b2+2ab2c+b2c2=a2b2+2a2c2+b2c2,所以(ab+bc)2=(a2+b2)·(b2+c2),即ab+bc是a2+b2与b2+c2的等比中项.合作探究COOPERATIVEINQUIRY[规律方法]等比中项应用的三点注意:(1)由等比中项的定义可知Ga=bG⇒G2=ab⇒G=±ab,所以只有a,b同号时,a,b的等比中项有两个,异号时,没有等比中项.(2)在一个等比数列中,从第二项起,每一项有穷数列的末项除外都是它的前一项和后一项的等比中项.(3)a,G,b成等比数列等价于G2=ab(ab>0).[规律方法]等比中项应用的三点注意:(1)由等比中项的定义可知Ga=bG⇒G2=ab⇒G=±ab,所以只有a,b同号时,a,b的等比中项有两个,异号时,没有等比中项.(2)在一个等比数列中,从第二项起,每一项有穷数列的末项除外都是它的前一项和后一项的等比中项.(3)a,G,b成等比数列等价于G2=ab(ab>0).合作探究COOPERATIVEINQUIRY[跟踪训练]2.若1,a,3成等差数列,1,b,4成等比数列,则ab的值为()A.±12B.12C.1D.±1D[由题知2a=1+3,∴a=2.由b2=4得b=±2∴ab=±1.][跟踪训练]2.若1,a,3成等差数列,1,b,4成等比数列,则ab的值为()A.±12B.12C.1D.±1D[由题知2a=1+3,∴a=2.由b2=4得b=±2∴ab=±1.]合作探究COOPERATIVEINQUIRY3.设等差数列{an}的公差d不为0,a1=9d,若ak是a1与a2k的等比中项,则k等于()A.2B.4C.6D.8B[∵an=(n+8)d,又∵a2k=a1·a2k,∴[(k+8)d]2=9d·(2k+8)d,解得k=-2(舍去),k=4.]3.设等差数列{an}的公差d不为0,a1=9d,若ak是a1与a2k的等比中项,则k等于()A.2B.4C.6D.8B[∵an=(n+8)d,又∵a2k=a1·a2k,∴[(k+8)d]2=9d·(2k+8)d,解得k=-2(舍去),k=4.]合作探究COOPERATIVEINQUIRY等比数列的判断与证明[探究问题]1.若数列{an}是等比数列,易知有an+1an=q(q为常数,且q≠0)或a2n+1=an·an+2(an≠0,n∈N)成立.反之,能说明数列{an}是等比数列吗?提示:能.若数列{an}满足an+1an=q(q为常数,q≠0)或a2n+1=an·an+2(an≠0,n∈N)都能说明{an}是等比数列.等比数列的判断与证明[探究问题]1.若数列{an}是等比数列,易知有an+1an=q(q为常数,且q≠0)或a2n+1=an·an+2(an≠0,n∈N)成立.反之,能说明数列{an}是等比数列吗?提示:能.若数列{an}满足an+1an=q(q为常数,q≠0)或a2n+1=an·an+2(an≠0,n∈N)都能说明{an}是等比数列.合作探究COOPERATIVEINQUIRY2.若数列{an}是公比为q的等比数列,则它的通项公式为an=a1·qn-1(a,q为非零常数,n∈N).反之,能说明数列{an}是等比数列吗?提示:能.根据等比数列的定义可知.2.若数列{an}是公比为q的等比数列,则它的通项公式为an=a1·qn-1(a,q为非零常数,n∈N).反之,能说明数列{an}是等比数列吗?提示:能.根据等比数列的定义可知.合作探究COOPERATIVEINQUIRY例3、已知数列的前n项和为Sn=2n+a,试判断{an}是否是等比数列.思路探究:①如何由求和公式得通项公式?②a1是否适合an=Sn-Sn-1(n≥2)?需要检验吗?[解]an=Sn-Sn-1=2n+a-2n-1-a=2n-1(n≥2).当n≥2时an+1an=2n2n-1=2;当n=1时,an+1an=a2a1=22+a.故当a=-1时,数列{an}成等比数列,其首项为1,公比为2;当a≠-1时,数列{an}不是等比数列.例3、已知数列的前n项和为Sn=2n+a,试判断{an}是否是等比数列.思路探究:①如何由求和公式得通项公式?②a1是否适合an=Sn-Sn-1(n≥2)?需要检验吗?[解]an=Sn-Sn-1=2n+a-2n-1-a=2n-1(n≥2).当n≥2时an+1an=2n2n-1=2;当n=1时,an+1an=a2a1=22+a.故当a=-1时,数列{an}成等比数列,其首项为1,公比为2;当a≠-1时,数列{an}不是等比数列.合作探究COOPERATIVEINQUIRY母题探究:1.(变条件)将例题中的条件“Sn=2n+a”变为“Sn=2-an”.求证数列{an}是等比数列.[证明]∵Sn=2-an,∴Sn+1=2-an+1,∴an+1=Sn+1-Sn=(2-an+1)-(2-an)=an-an+1,∴an+1=12an.又∵S1=2-a1,∴a1=1≠0.又由an+1=12an知an≠0,∴an+1an=12,∴{an}是等比数列.母题探究:1.(变条件)将例题中的条件“Sn=2n+a”变为“Sn=2-an”.求证数列{an}是等比数列.[证明]∵Sn=2-an,∴Sn+1=2-an+1,∴an+1=Sn+1-Sn=(2-an+1)-(2-an)=an-an+1,∴an+1=12an.又∵S1=2-a1,∴a1=1≠0.又由an+1=12an知an≠0,∴an+1an=12,∴{an}是等比数列.合作探究COOPERATIVEINQUIRY2.(变条件变结论)将例题中的条件“Sn=2n+a”变为“a1=1,an+1=2an+1”证明数列{an+1}是等比数列,并求出数列{an}的通项公式.[解]因为an+1=2an+1,所以an+1+1=2(an+1).由a1=1,知a1+1≠0,从而an+1≠0.所以an+1+1an+1=2(n∈N+),所以数列{an+1}是等比数列.所以{an+1}是以a1+1=2为首项,2为公比的等比数列,所以an+1=2·2n-1=2n,即an=2n-1.2.(变条件变结论)将例题中的条件“Sn=2n+a”变为“a1=1,an+1=2an+1”证明数列{an+1}是等比数列,并求出数列{an}的通项公式.[解]因为an+1=2an+1,所以an+1+1=2(an+1).由a1=1,知a1+1≠0,从而an+1≠0.所以an+1+1an+1=2(n∈N+),所以数列{an+1}是等比数列.所以{an+1}是以a1+1=2为首项,2为公比的等比数列,所以an+1=2·2n-1=2n,即an=2n-1.合作探究COOPERATIVEINQUIRY[规律方法]判断一个数列{an}是等比数列的方法:(1)定义法:若数列{an}满足an+1an=q(q为常数且不为零)或anan-1=q(n≥2,q为常数且不为零),则数列{an}是等比数列.(2)等比中项法:对于数列{an},若a2n+1=an·an+2且an≠0,则数列{an}是等比数列.(3)通项公式法:若数列{an}的通项公式为an=a1qn-1(a1≠0,q≠0),则数列{an}是等比数列.[规律方法]判断一个数列{an}是等比数列的方法:(1)定义法:若数列{an}满足an+1an=q(q为常数且不为零)或anan-1=q(n≥2,q为常数且不为零),则数列{an}是等比数列.(2)等比中项法:对于数列{an},若a2n+1=an·an+2且an≠0,则数列{an}是等比数列.(3)通项公式法:若数列{an}的通项公式为an=a1qn-1(a1≠0,q≠0),则数列{an}是等比数列.03当堂达标REACHINGTHEGOALINCOURT当堂达标REACHINGTHEGOALINCOURT1.(2019年宣城校级月考)下列数列是等比数列的是()A.2,2,-2,-2,2,2,-2,-2,…B.-1,1,-1,1,-1,…C.0,2,4,6,8,10,…D.a1,a2,a3,a4,…【答案】B[A.从第2项起,每一项与前一项的比不是同一常数,故不选A.B.由等比数列定义知该数列为等比数列.C.等比数列各项均不为0,故该数列不是等比数列.D.当a=0时,该数列不是等比数列;当a≠0时,该数列为等比数列.]1.(2019年宣城校级月考)下列数列是等比数列的是()A.2,2,-2,-2,2,2,-2,-2,…B.-1,1,-1,1,-1,…C.0,2,4,6,8,10,…D.a1,a2,a3,a4,…【答案】B[A.从第2项起,每一项与前一项的比不是同一常数,故不选A.B.由等比数列定义知该数列为等比数列.C.等比数列各项均不为0,故该数列不是等比数列.D.当a=0时,该数列不是等比数列;当a≠0时,该数列为等比数列.]当堂达标REACHINGTHEGOALINCOURT2.若2a,b,2c成等比数列,则函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点个数是()A.0B.1C.2D.0或2【答案】B[由题意,得b2=4ac,故函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相切.]2.若2a,b,2c成等比数列,则函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点个数是()A.0B.1C.2D.0或2【答案】B[由题意,得b2=4ac,故函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相切.]当堂达标REACHINGTHEGOALINCOURT3.(2019年大同期中)在等比数列{an}中,若a2=4,a5=-32,则公比q应为()A.±12B.±2C.12D.-2【答案】D[因为a5a2=q3=-8,故q=-2.]3.(2019年大同期中)在等比数列{an}中,若a2=4,a5=-32,则公比q应为()A.±12B.±2C.12D.-2【答案】D[因为a5a2=q3=-8,故q=-2.]当堂达标REACHINGTHEGOALINCOURT4.(2019年邯郸模拟)在等比数列{an}中,若公比q=4,且前三项之和等于21,则该数列的通项公式an=________.【答案】4n-1[由题意知a1+4a1+16a1=21,解得a1=1,所以通项公式an=4n-1.]4.(2019年邯郸模拟)在等比数列{an}中,若公比q=4,且前三项之和等于21,则该数列的通项公式an=________.【答案】4n-1[由题意知a1+4a1+16a1=21,解得a1=1,所以通项公式an=4n-1.]当堂达标REACHINGTHEGOALINCOURT5.(2019年厦门模拟)已知数列{an}是首项为2,公差为-1的等差数列,令bn=12an,求证数列{bn}是等比数列,并求其通项公式.【答案】依题意an=2+(n-1)×(-1)=3-n,于是bn=123-n.而bnbn-1=123-n124-n=12-1=2.∴数列{bn}是公比为2的等比数列,通项公式为bn=2n-3.5.(2019年厦门模拟)已知数列{an}是首项为2,公差为-1的等差数列,令bn=12an,求证数列{bn}是等比数列,并求其通项公式.【答案】依题意an=2+(n-1)×(-1)=3-n,于是bn=123-n.而bnbn-1=123-n124-n=12-1=2.∴数列{bn}是公比为2的等比数列,通项公式为bn=2n-3.感谢您下载68素材平台上提供的PPT作品,为了您和68素材以及原创作者的利益,请勿复制、传播、销售;素材均来源于网络用户分享,故68素材不具备充分的监控能力来审查图片是否存在侵权等情节。68素材不拥有此类图片的版权,本站所有资源仅供学习与交流,不得用于任何商业用途的范围,用户应自觉遵守著作权法及其他相关法律的规定,不得侵犯本网站及权利人的合法权利,给68素材和任何第三方造成损失的,侵权用户应负全部责任。版权声明第二章数列主讲人:办公资源2.4.1等比数列谢谢各位同学倾听THANKYOUFORLISTE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