《一元二次不等式及其解法》高二年级上册PPT课件（第3.2.1课时）.pptx

第三章不等式主讲人：办公资源3.2第一课时一元二次不等式及其解法学习目标LEARNINGOBJECTIVES—————————————————————————————————1.掌握一元二次不等式的解法(重点).2.能根据“三个二次”之间的关系解决简单问题(难点)．CONTENTS目录01PART学习目标LEARNINGOBJECTIVES学习目标LEARNINGOBJECTIVES1．一元二次不等式的概念只含有未知数，并且未知数的最高次数是的不等式，称为一元二次不等式．一个21．一元二次不等式的概念只含有未知数，并且未知数的最高次数是的不等式，称为一元二次不等式．学习目标LEARNINGOBJECTIVES2．一元二次不等式的一般形式(1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)．(2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)．(3)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)．(4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)．思考：不等式x2－y2>0是一元二次不等式吗？[提示]此不等式含有两个变量，根据一元二次不等式的定义，可知不是一元二次不等式．2．一元二次不等式的一般形式(1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)．(2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)．(3)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)．(4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)．思考：不等式x2－y2>0是一元二次不等式吗？[提示]此不等式含有两个变量，根据一元二次不等式的定义，可知不是一元二次不等式．学习目标LEARNINGOBJECTIVES3．一元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的未知数的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的．思考：类比“方程x2＝1的解集是{1，－1}，解集中的每一个元素均可使等式成立”．不等式x2>1的解集及其含义是什么？[提示]不等式x2>1的解集为{xx<－1或x>1}，该集合中每一个元素都是不等式的解，即不等式的每一个解均使不等式成立．解集3．一元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的未知数的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的．思考：类比“方程x2＝1的解集是{1，－1}，解集中的每一个元素均可使等式成立”．不等式x2>1的解集及其含义是什么？[提示]不等式x2>1的解集为{xx<－1或x>1}，该集合中每一个元素都是不等式的解，即不等式的每一个解均使不等式成立．学习目标LEARNINGOBJECTIVES4．三个“二次”的关系：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)，方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac判别式Δ＞0Δ＝0Δ＜0解不等式f(x)＞0或f(x)＜0的步骤求方程f(x)＝0的解有两个不等的实数解x1，x2有两个相等的实数解x1＝x2没有实数解4．三个“二次”的关系：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)，方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac判别式Δ＞0Δ＝0Δ＜0解不等式f(x)＞0或f(x)＜0的步骤求方程f(x)＝0的解有两个不等的实数解x1，x2有两个相等的实数解x1＝x2没有实数解学习目标LEARNINGOBJECTIVES解不等式f(x)＞0或f(x)＜0的步骤画函数y＝f(x)的示意图得等的集不式解f(x)＞0__________________________Rf(x)＜0______________{xx＜x1或x＞x2}{xx1＜x＜x2}∅∅xx≠－b2a解不等式f(x)＞0或f(x)＜0的步骤画函数y＝f(x)的示意图得等的集不式解f(x)＞0__________________________Rf(x)＜0______________xx≠－b2a学习目标LEARNINGOBJECTIVES思考：若一元二次不等式ax2＋x－1>0的解集为R，则实数a应满足什么条件？[提示]结合二次函数图象可知，若一元二次不等式ax2＋x－1>0的解集为R，则a>0，1＋4a<0，解得a∈∅，所以不存在a使不等式ax2＋x－1>0的解集为R.思考：若一元二次不等式ax2＋x－1>0的解集为R，则实数a应满足什么条件？[提示]结合二次函数图象可知，若一元二次不等式ax2＋x－1>0的解集为R，则a>0，1＋4a<0，解得a∈∅，所以不存在a使不等式ax2＋x－1>0的解集为R.学习目标LEARNINGOBJECTIVES[基础自测]1．思考辨析(1)mx2－5x<0是一元二次不等式．()(2)若a>0，则一元二次不等式ax2＋1>0无解．()(3)若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为x1，x2(x10的解集为R.()[答案](1)×(2)×(3)×(4)√[基础自测]1．思考辨析(1)mx2－5x<0是一元二次不等式．()(2)若a>0，则一元二次不等式ax2＋1>0无解．()(3)若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为x1，x2(x10的解集为R.()学习目标LEARNINGOBJECTIVES提示：(1)错误．当m＝0时，是一元一次不等式；当m≠0时，是一元二次不等式．(2)错误．因为a>0，所以不等式ax2＋1>0恒成立，即原不等式的解集为R.(3)错误．当a>0时，ax2＋bx＋c<0的解集为{xx10的解集为R.提示：(1)错误．当m＝0时，是一元一次不等式；当m≠0时，是一元二次不等式．(2)错误．因为a>0，所以不等式ax2＋1>0恒成立，即原不等式的解集为R.(3)错误．当a>0时，ax2＋bx＋c<0的解集为{xx10的解集为R.学习目标LEARNINGOBJECTIVES2．(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{xx2－x－2＞0}，则∁RA＝()A．{x－1＜x＜2}B．{x－1≤x≤2}C．{xx＜－1}∪{xx＞2}D．{xx≤－1}∪{xx≥2}B[通解A＝{x(x－2)(x＋1)＞0}＝{xx＜－1或x＞2}，所以∁RA＝{x－1≤x≤2}，故选B.优解因为A＝{xx2－x－2＞0}，所以∁RA＝{xx2－x－2≤0}＝{x－1≤x≤2}，故选B.]2．(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{xx2－x－2＞0}，则∁RA＝()A．{x－1＜x＜2}B．{x－1≤x≤2}C．{xx＜－1}∪{xx＞2}D．{xx≤－1}∪{xx≥2}B[通解A＝{x(x－2)(x＋1)＞0}＝{xx＜－1或x＞2}，所以∁RA＝{x－1≤x≤2}，故选B.优解因为A＝{xx2－x－2＞0}，所以∁RA＝{xx2－x－2≤0}＝{x－1≤x≤2}，故选B.]学习目标LEARNINGOBJECTIVES3．不等式x2－2x－5>2x的解集是________．{xx>5或x<－1}[由x2－2x－5>2x，得x2－4x－5>0，因为x2－4x－5＝0的两根为－1,5，故x2－4x－5>0的解集为{xx<－1或x>5}．]3．不等式x2－2x－5>2x的解集是________．{xx>5或x<－1}[由x2－2x－5>2x，得x2－4x－5>0，因为x2－4x－5＝0的两根为－1,5，故x2－4x－5>0的解集为{xx<－1或x>5}．]学习目标LEARNINGOBJECTIVES4．不等式－3x2＋5x－4>0的解集为________.∅[原不等式变形为3x2－5x＋4<0.因为Δ＝(－5)2－4×3×4＝－23<0，所以3x2－5x＋4＝0无解．由函数y＝3x2－5x＋4的图象可知，3x2－5x＋4<0的解集为∅.]4．不等式－3x2＋5x－4>0的解集为________.∅[原不等式变形为3x2－5x＋4<0.因为Δ＝(－5)2－4×3×4＝－23<0，所以3x2－5x＋4＝0无解．由函数y＝3x2－5x＋4的图象可知，3x2－5x＋4<0的解集为∅.]02PART合作探究COOPERATIVEINQUIRY合作探究COOPERATIVEINQUIRY一元二次不等式的解法例1、解下列不等式：(1)2x2＋7x＋3>0；(2)－4x2＋18x－814≥0；(3)－2x2＋3x－2<0.一元二次不等式的解法例1、解下列不等式：(1)2x2＋7x＋3>0；(2)－4x2＋18x－814≥0；(3)－2x2＋3x－2<0.合作探究COOPERATIVEINQUIRY[解](1)因为Δ＝72－4×2×3＝25>0，所以方程2x2＋7x＋3＝0有两个不等实根x1＝－3，x2＝－12.又二次函数y＝2x2＋7x＋3的图象开口向上，所以原不等式的解集为xx>－12或x<－3.(2)原不等式可化为2x－922≤0，所以原不等式的解集为xx＝94.(3)原不等式可化为2x2－3x＋2>0，因为Δ＝9－4×2×2＝－7<0，所以方程2x2－3x＋2＝0无实根，又二次函数y＝2x2－3x＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R.[解](1)因为Δ＝72－4×2×3＝25>0，所以方程2x2＋7x＋3＝0有两个不等实根x1＝－3，x2＝－12.又二次函数y＝2x2＋7x＋3的图象开口向上，所以原不等式的解集为xx>－12或x<－3.(2)原不等式可化为2x－922≤0，所以原不等式的解集为xx＝94.(3)原不等式可化为2x2－3x＋2>0，因为Δ＝9－4×2×2＝－7<0，所以方程2x2－3x＋2＝0无实根，又二次函数y＝2x2－3x＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R.合作探究COOPERATIVEINQUIRY[规律方法]解不含参数的一元二次不等式的一般步骤(1)化标准.通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正.(2)判别式.对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式.(3)求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根.(4)画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图.(5)写解集.根据图象写出不等式的解集.[规律方法]解不含参数的一元二次不等式的一般步骤(1)化标准.通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正.(2)判别式.对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式.(3)求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根.(4)画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图.(5)写解集.根据图象写出不等式的解集.合作探究COOPERATIVEINQUIRY[跟踪训练]1．解下列不等式(1)2x2－3x－2>0；(2)x2－4x＋4>0；(3)－x2＋2x－3<0；(4)－3x2＋5x－2>0.[解](1)∵Δ>0，方程2x2－3x－2＝0的根是x1＝－12，x2＝2，∴不等式2x2－3x－2>0的解集为xx<－12或x>2.(2)∵Δ＝0，方程x2－4x＋4＝0的根是x1＝x2＝2，∴不等式x2－4x＋4>0的解集为xx≠2.[跟踪训练]1．解下列不等式(1)2x2－3x－2>0；(2)x2－4x＋4>0；(3)－x2＋2x－3<0；(4)－3x2＋5x－2>0.[解](1)∵Δ>0，方程2x2－3x－2＝0的根是x1＝－12，x2＝2，∴不等式2x2－3x－2>0的解集为xx<－12或x>2.(2)∵Δ＝0，方程x2－4x＋4＝0的根是x1＝x2＝2，∴不等式x2－4x＋4>0的解集为xx≠2.合作探究COOPERATIVEINQUIRY(3)原不等式可化为x2－2x＋3>0，由于Δ<0，方程x2－2x＋3＝0无解，∴不等式－x2＋2x－3<0的解集为R.(4)原不等式可化为3x2－5x＋2<0，由于Δ>0，方程3x2－5x＋2＝0的两根为x1＝23，x2＝1，∴不等式－3x2＋5x－2>0的解集为x230，由于Δ<0，方程x2－2x＋3＝0无解，∴不等式－x2＋2x－3<0的解集为R.(4)原不等式可化为3x2－5x＋2<0，由于Δ>0，方程3x2－5x＋2＝0的两根为x1＝23，x2＝1，∴不等式－3x2＋5x－2>0的解集为x230三类进行讨论？②当a≠0时，是否还要比较两根的大小？含参数的一元二次不等式的解法例2、解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0.思路探究：①对于二次项的系数a是否分a＝0，a<0，a>0三类进行讨论？②当a≠0时，是否还要比较两根的大小？合作探究COOPERATIVEINQUIRY[解]当a＝0时，原不等式可化为x>1.当a≠0时，原不等式可化为(ax－1)(x－1)<0.当a<0时，不等式可化为x－1a(x－1)>0，∵1a<1，∴x<1a或x>1.当a>0时，原不等式可化为x－1a(x－1)<0.若1a<1，即a>1，则1a1，即01.当a≠0时，原不等式可化为(ax－1)(x－1)<0.当a<0时，不等式可化为x－1a(x－1)>0，∵1a<1，∴x<1a或x>1.当a>0时，原不等式可化为x－1a(x－1)<0.若1a<1，即a>1，则1a1，即01；当a＝0时，原不等式的解集为{xx>1}；当01时，原不等式的解集为x1a1；当a＝0时，原不等式的解集为{xx>1}；当01时，原不等式的解集为x1a0、y<0、y＝0时x的取值集合分别是什么？这说明二次函数与二次方程、二次不等式有何关系？一元二次不等式、二次方程、二次函数的关系[探究问题]1．利用函数y＝x2－2x－3的图象说明当y>0、y<0、y＝0时x的取值集合分别是什么？这说明二次函数与二次方程、二次不等式有何关系？合作探究COOPERATIVEINQUIRY提示：y＝x2－2x－3的图象如图所示．提示：y＝x2－2x－3的图象如图所示．合作探究COOPERATIVEINQUIRY函数y＝x2－2x－3的值满足y>0时自变量x组成的集合，亦即二次函数y＝x2－2x－3的图象在x轴上方时点的横坐标x的集合{xx<－1或x>3}；同理，满足y<0时x的取值集合为{x－10(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)是函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的一种特殊情况，它们之间是一种包含关系，也就是当y＝0时，函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)就转化为方程，当y>0或y<0时，就转化为一元二次不等式．函数y＝x2－2x－3的值满足y>0时自变量x组成的集合，亦即二次函数y＝x2－2x－3的图象在x轴上方时点的横坐标x的集合{xx<－1或x>3}；同理，满足y<0时x的取值集合为{x－10(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)是函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的一种特殊情况，它们之间是一种包含关系，也就是当y＝0时，函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)就转化为方程，当y>0或y<0时，就转化为一元二次不等式．合作探究COOPERATIVEINQUIRY2．方程x2－2x－3＝0与不等式x2－2x－3>0的解集分别是什么？观察结果你发现什么问题？这又说明什么？提示：方程x2－2x－3＝0的解集为{－1,3}．不等式x2－2x－3>0的解集为{xx<－1或x>3}，观察发现不等式x2－2x－3>0解集的端点值恰好是方程x2－2x－3＝0的根．2．方程x2－2x－3＝0与不等式x2－2x－3>0的解集分别是什么？观察结果你发现什么问题？这又说明什么？提示：方程x2－2x－3＝0的解集为{－1,3}．不等式x2－2x－3>0的解集为{xx<－1或x>3}，观察发现不等式x2－2x－3>0解集的端点值恰好是方程x2－2x－3＝0的根．合作探究COOPERATIVEINQUIRY3．设一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)和ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集分别为{xxx2}，{xx10(a>0)和ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集分别为{xxx2}，{xx10(a>0)和ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集分别为{xxx2}，{xx10(a>0)和ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集分别为{xxx2}，{xx10的解集为{x20的解集为{x20，即x2－56x＋16>0，解得x<13或x>12，所以不等式cx2＋bx＋a<0的解集为－∞，13∪12，＋∞例3、已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x20的解集为{x20，即x2－56x＋16>0，解得x<13或x>12，所以不等式cx2＋bx＋a<0的解集为－∞，13∪12，＋∞合作探究COOPERATIVEINQUIRY法二：由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x20的解集为{x20的解集为{x20的解集为{x20的解集．[解]由根与系数的关系知ba＝－5，ca＝6且a<0.∴c<0，bc＝－56，故不等式cx2－bx＋a>0即x2－bcx＋ac<0，即x2＋56x＋16<0.解之得x－120的解集．[解]由根与系数的关系知ba＝－5，ca＝6且a<0.∴c<0，bc＝－56，故不等式cx2－bx＋a>0即x2－bcx＋ac<0，即x2＋56x＋16<0.解之得x－120的解集为{x20的解集为{x20，得(x－1)(2x＋1)>0，解得x>1或x<－12，从而得原不等式的解集为－∞，－12∪(1，＋∞)．]3．（2019年北京模拟）设a<－1，则关于x的不等式a(x－a)x－1a<0的解集为________．【答案】xx1a[因为a<－1，所以a(x－a)·x－1a<0⇔(x－a)·x－1a>0.又a<－1，所以1a>a，所以x>1a或x0，得(x－1)(2x＋1)>0，解得x>1或x<－12，从而得原不等式的解集为－∞，－12∪(1，＋∞)．]3．（2019年北京模拟）设a<－1，则关于x的不等式a(x－a)x－1a<0的解集为________．【答案】xx1a[因为a<－1，所以a(x－a)·x－1a<0⇔(x－a)·x－1a>0.又a<－1，所以1a>a，所以x>1a或x－12，则ax2－bx＋c>0的解集为________．【答案】x120即为2x2－5x＋2<0，解得120的解集为x12－12，则ax2－bx＋c>0的解集为________．【答案】x120即为2x2－5x＋2<0，解得120的解集为x122(x－1).【答案】(1)原不等式可化为x2－7x＋12≤0，因为方程x2－7x＋12＝0的两根为x1＝3，x2＝4，所以原不等式的解集为{x3≤x≤4}．(2)原不等式可以化为x2－2x＋2>0，因为判别式Δ＝4－8＝－4<0，方程x2－2x＋2＝0无实根，而抛物线y＝x2－2x＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R.5．（2019年海南校级月考）解下列不等式：(1)x(7－x)≥12；(2)x2>2(x－1).【答案】(1)原不等式可化为x2－7x＋12≤0，因为方程x2－7x＋12＝0的两根为x1＝3，x2＝4，所以原不等式的解集为{x3≤x≤4}．(2)原不等式可以化为x2－2x＋2>0，因为判别式Δ＝4－8＝－4<0，方程x2－2x＋2＝0无实根，而抛物线y＝x2－2x＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R.第三章不等式主讲人：办公资源3.2第一课时谢谢倾听