《二倍角的正弦余弦正切公式》高一年级下册PPT课件.pptx

两角和与差的正弦、余弦和正切公式第三章三角恒等变换3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式自主预习学案互动探究学案课时作业学案010203栏目导航CONTENT自主预习学案第三章三角恒等变换01在我们接触到的事物中，带有一般性的事物总是大开大合，纵横驰骋，往往包含一切，而特殊的事物则是小巧玲珑，温婉和融，往往显出简洁，奇峻之美．三角函数的和(差)角的正弦、余弦、正切公式中的角都是带有一般性的，一般性中又蕴含着特殊性，即两角相等的情形，那么这些二倍角又有什么简洁，奇峻之美呢？二倍角的正弦、余弦、正切公式如下表三角函数公式简记正弦sin2α＝______________________S(α＋β)S2α余弦cos2α＝cos2α－sin2α＝_______________＝_______________C(α＋β)C2α正切tan2α＝_______________T(α＋β)T2α2sinαcosα2cos2α－11－2sin2α2tanα1－tan2α三角函数公式简记正弦sin2α＝______________________S(α＋β)S2α余弦cos2α＝cos2α－sin2α＝_______________＝_______________C(α＋β)C2α正切tan2α＝_______________T(α＋β)T2α2tanα1－tan2α第三章三角恒等变换[知识点拨]1.倍角的含义：对于“二倍角”应该有广义的理解，如2α是α的二倍角，4α是2α的二倍角，8α是4α的二倍角，α是α2的二倍角……这里的蓄含着换元思想．这就是说，“倍”是相对而言的，是描述两个数量之间的关系的．2．公式的适用条件：在S2α，C2α中，α∈R，在T2α中，α≠kπ2＋π4且α≠kπ＋π2(k∈Z)，当α＝kπ＋π2(k∈Z)时，tanα不存在，求tan2α的值可采用诱导公式．[知识点拨]1.倍角的含义：对于“二倍角”应该有广义的理解，如2α是α的二倍角，4α是2α的二倍角，8α是4α的二倍角，α是α2的二倍角……这里的蓄含着换元思想．这就是说，“倍”是相对而言的，是描述两个数量之间的关系的．2．公式的适用条件：在S2α，C2α中，α∈R，在T2α中，α≠kπ2＋π4且α≠kπ＋π2(k∈Z)，当α＝kπ＋π2(k∈Z)时，tanα不存在，求tan2α的值可采用诱导公式．第三章三角恒等变换3．二倍角公式的逆用、变形用(1)逆用形式：2sinαcosα＝sin2α；sinαcosα＝12sin2α；cosα＝sin2α2sinα；cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α＝cos2α；2tanα1－tan2α＝tan2α.3．二倍角公式的逆用、变形用(1)逆用形式：2sinαcosα＝sin2α；sinαcosα＝12sin2α；cosα＝sin2α2sinα；cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α＝cos2α；2tanα1－tan2α＝tan2α.第三章三角恒等变换(2)变形用形式：1±sin2α＝sin2α＋cos2α±2sinαcosα＝(sinα±cosα)2；1＋cos2α＝2cos2α；1－cos2α＝2sin2α；cos2α＝1＋cos2α2；sin2α＝1－cos2α2.(2)变形用形式：1±sin2α＝sin2α＋cos2α±2sinαcosα＝(sinα±cosα)2；1＋cos2α＝2cos2α；1－cos2α＝2sin2α；cos2α＝1＋cos2α2；sin2α＝1－cos2α2.1．判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内打“√”，错误的打“×”．(1)对任意的角总有sin2θ＝2sinθ.()(2)不存在角α，使得cos2θ＝2cosθ.()××第三章三角恒等变换×(3)公式tan2α＝2tanα1－tan2α成立的条件是α≠kπ＋π2，k∈Z.()(4)对于任意角α，都有sinα2＝2sinα4cosα4.()(5)若tanα＝2，则tan2α＝－43.()√√(3)公式tan2α＝2tanα1－tan2α成立的条件是α≠kπ＋π2，k∈Z.()(4)对于任意角α，都有sinα2＝2sinα4cosα4.()(5)若tanα＝2，则tan2α＝－43.()第三章三角恒等变换2．已知sinα＝35，cosα＝45，则sin2α等于()A．75B．125C．1225D．2425D[解析]sin2α＝2sinαcosα＝2425.2．已知sinα＝35，cosα＝45，则sin2α等于()A．75B．125C．1225D．2425[解析]sin2α＝2sinαcosα＝2425.互动探究学案第三章三角恒等变换02求下列各式的值：命题方向1利用二倍角公式解决给角求值问题⇨典例1(1)sinπ12cosπ12；(2)1－2sin2750°；(3)2tan150°1－tan2150°；(4)1sin10°－3cos10°；(5)cos20°cos40°cos80°.[思路分析]观察角的特点→寻求角的联系→选择公式→化简求值(1)sinπ12cosπ12；(2)1－2sin2750°；(3)2tan150°1－tan2150°；(4)1sin10°－3cos10°；(5)cos20°cos40°cos80°.[思路分析]观察角的特点→寻求角的联系→选择公式→化简求值第三章三角恒等变换[解析](1)原式＝2sinπ12cosπ122＝sinπ62＝14.(2)原式＝cos(2×750°)＝cos1500°＝cos(4×360°＋60°)＝cos60°＝12.(3)原式＝tan(2×150°)＝tan300°＝tan(360°－60°)＝－tan60°＝－3.[解析](1)原式＝2sinπ12cosπ122＝sinπ62＝14.(2)原式＝cos(2×750°)＝cos1500°＝cos(4×360°＋60°)＝cos60°＝12.(3)原式＝tan(2×150°)＝tan300°＝tan(360°－60°)＝－tan60°＝－3.第三章三角恒等变换(4)原式＝cos10°－3sin10°sin10°cos10°＝212cos10°－32sin10°sin10°cos10°＝4sin30°cos10°－cos30°sin10°2sin10°cos10°＝4sin20°sin20°＝4.(5)原式＝2sin20°·cos20°·cos40°·cos80°2sin20°＝2sin40°·cos40°·cos80°4sin20°＝2sin80°·sin80°8sin20°＝sin160°8sin20°＝18.(4)原式＝cos10°－3sin10°sin10°cos10°＝212cos10°－32sin10°sin10°cos10°＝4sin30°cos10°－cos30°sin10°2sin10°cos10°＝4sin20°sin20°＝4.(5)原式＝2sin20°·cos20°·cos40°·cos80°2sin20°＝2sin40°·cos40°·cos80°4sin20°＝2sin80°·sin80°8sin20°＝sin160°8sin20°＝18.第三章三角恒等变换『规律总结』对于给角求值问题，一般有两类：(1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式进行转化，一般可以化为特殊角．(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式．第三章三角恒等变换〔跟踪练习1〕求下列各三角函数式的值：(1)cos72°cos36°；(2)1sin50°＋3cos50°.[解析](1)原式＝cos36°·cos72°＝2sin36°·cos36°·cos72°2sin36°＝12sin144°2sin36°＝14.(2)原式＝cos50°＋3sin50°sin50°·cos50°＝2sin50°＋30°12sin100°＝4sin80°sin100°＝4.〔跟踪练习1〕求下列各三角函数式的值：(1)cos72°cos36°；(2)1sin50°＋3cos50°.[解析](1)原式＝cos36°·cos72°＝2sin36°·cos36°·cos72°2sin36°＝12sin144°2sin36°＝14.(2)原式＝cos50°＋3sin50°sin50°·cos50°＝2sin50°＋30°12sin100°＝4sin80°sin100°＝4.(1)化简：21＋sin8＋2＋2cos8；(2)设α∈(3π2，2π)，化简：12＋1212＋12cos2α.二倍角公式的变形应用典例2[思路分析](1)1＋sin8＝sin24＋2sin4cos4＋cos24＝(sin4＋cos4)2,2(1＋cos8)＝4cos24.(2)连续运用公式：1＋cos2α＝2cos2α.(1)化简：21＋sin8＋2＋2cos8；(2)设α∈(3π2，2π)，化简：12＋1212＋12cos2α.[思路分析](1)1＋sin8＝sin24＋2sin4cos4＋cos24＝(sin4＋cos4)2,2(1＋cos8)＝4cos24.(2)连续运用公式：1＋cos2α＝2cos2α.第三章三角恒等变换[解析](1)原式＝21＋2sin4cos4＋4cos24＝2sin4＋cos4＋2cos4.因为4∈(π，3π2)，所以sin4<0，cos4<0.故原式＝－2(sin4＋cos4)－2cos4＝－2sin4－4cos4＝－2(sin4＋2cos4)．(2)因为α∈(3π2，2π)，所以cosα>0，cosα2<0.故原式＝12＋12cos2α＝12＋12cosα＝cos2α2＝cosα2＝－cosα2.[解析](1)原式＝21＋2sin4cos4＋4cos24＝2sin4＋cos4＋2cos4.因为4∈(π，3π2)，所以sin4<0，cos4<0.故原式＝－2(sin4＋cos4)－2cos4＝－2sin4－4cos4＝－2(sin4＋2cos4)．(2)因为α∈(3π2，2π)，所以cosα>0，cosα2<0.故原式＝12＋12cos2α＝12＋12cosα＝cos2α2＝cosα2＝－cosα2.第三章三角恒等变换『规律总结』二倍角公式的变形应用(1)公式的逆用、变形用十分重要．特别是1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α形式相似极易出错．应用时要加强“目标意识”．(2)公式变形的主要形式有1±sin2α＝sin2α＋cos2α±2sinαcosα＝(sinα±cosα)2,1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α，cos2α＝1＋cos2α2，sin2α＝1－cos2α2.『规律总结』二倍角公式的变形应用(1)公式的逆用、变形用十分重要．特别是1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α形式相似极易出错．应用时要加强“目标意识”．(2)公式变形的主要形式有1±sin2α＝sin2α＋cos2α±2sinαcosα＝(sinα±cosα)2,1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α，cos2α＝1＋cos2α2，sin2α＝1－cos2α2.已知θ是第二象限角，化简1＋sinθ＋1－sinθ.典例3[错解]原式＝1＋2sinθ2cosθ2＋1－2sinθ2cosθ2＝sinθ2＋cosθ22＋sinθ2－cosθ22＝sinθ2＋cosθ2＋sinθ2－cosθ2＝2sinθ2.[错因分析]在去根号时，对sinθ2±cosθ2的符号未加以讨论，导致化简错误．已知θ是第二象限角，化简1＋sinθ＋1－sinθ.[错解]原式＝1＋2sinθ2cosθ2＋1－2sinθ2cosθ2＝sinθ2＋cosθ22＋sinθ2－cosθ22＝sinθ2＋cosθ2＋sinθ2－cosθ2＝2sinθ2.[错因分析]在去根号时，对sinθ2±cosθ2的符号未加以讨论，导致化简错误．第三章三角恒等变换[正解]原式＝1＋2sinθ2cosθ2＋1－2sinθ2cosθ2＝sinθ2＋cosθ22＋sinθ2－cosθ22＝sinθ2＋cosθ2＋sinθ2－cosθ2.因为θ是第二象限角，即2kπ＋π2<θ<2kπ＋π，k∈Z，所以kπ＋π4<θ2