苏州市初三中考数学一模模拟试卷【含答案】(2)

("苏州市初三中考数学一模模拟试卷【含答案】(2)一、单项选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）1．（3分）下列实数为无理数的是（）A．B．C．D．02．（3分）2019年“五一”小长假有四天假期，长沙市共接待游客356万人次，称为新晋“网红城市”，356万人用科学记数法表示为（）A．3.56×106人B．35.6×105人C．3.6×105人D．0.356×107人3．（3分）下列各式正确的是（）A．（a2）3＝a5B．2a2+2a3＝2a5C．D．（x1﹣）（x+1）＝x21﹣4．（3分）下列手机屏幕手势解锁图案中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．5．（3分）在下列说法中不正确的是（）A．两条对角线互相垂直的矩形是正方形B．两条对角线相等的菱形是正方形C．两条对角线垂直且相等的平行四边形是正方形D．两条对角线垂直且相等的四边形是正方形6．（3分）如图是一个由6个相同正方体组成的立体图形，它的主视图是（）A．B．C．D．7．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．8．（3分）已知一次函数y＝（3﹣a）x+3，如果y随自变量x的增大而增大，那么a的取值范围为（）A．a＜3B．a＞3C．a＜﹣3D．a＞﹣3．9．（3分）将抛物线y＝5x2先向右平移3个单位，再向上平移2个单位后，所得的抛物线的解析式为（）A．y＝5（x+3）2+2B．y＝5（x+3）22﹣C．y＝5（x3﹣）2+2D．y＝5（x3﹣）22﹣10．（3分）如图，已知CA、CB分别与⊙O相切于A、B两点，D是⊙O上的一点，连接AD、BD，若∠C＝56°，则∠D等于（）A．72°B．68°C．64°D．62°11．（3分）如图，考古队在A处测得古塔BC顶端C的仰角为45°，斜坡AD长10米，坡度i＝3：4，BD长12米，请问古塔BC的高度为（）米．A．25.5B．26C．28.5D．20.512．（3分）如图，在边长为1的正方形ABCD中，动点F、E分别以相同的速度从D、C两点同时出发向C、B运动（任何一个点到达即停止），BF、AE交于点P，连接CP，则线段CP的最小值为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）13．（3分）分解因式：3a212﹣＝．14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心．位似比为2：3，点B、E在第一象限，若点A的坐标为（1，0），则点E的坐标是．15．（3分）在不透明的盒子中装有6个黑色棋子和若干个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同．任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是，则白色棋子的个数是．16．（3分）小红需要用扇形薄纸板制作成底面半径为9厘米，高为12厘米的圆锥形生日帽，如图所示，则该扇形薄纸板的圆心角为．17．（3分）如图抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是x＝﹣1，与x轴的一个交点为（﹣5，0），则不等式ax2+bx+c＞0的解集为．18．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，E为边BC上一点，AC与DE相交于点F，若CE＝2EB，S△AFD＝27，则三角形ACD的面积等于．三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题6分，第23、24题每小题6分，第25、26题每小题6分，共66分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19．（6分）计算：﹣2sin45°+﹣（）﹣2+（）0．20．（6分）先化简，然后从﹣2≤a≤2的范围内选取一个你认为合适的整数作为a的值代入求值．21．（8分）某校为了解全校2400名学生到校上学的方式，在全校随机抽取了若干名学生进行问卷调查．问卷给出了五种上学方式供学生选择，每人只能选一项，且不能不选．将调查得到的结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图（均不完整）（1）这次调查中，一共抽取了名学生；（2）补全条形统计图；（3）估计全校所有学生中有多少人乘坐公交车上学？（4）小明在上学的路上要经过2个路口，每个路口都设有红、黄、绿三种信号灯，假设在各路口遇到信号灯是相互独立的，求小明在上学路上到第二个路口时第二次遇到红灯的概率，（请用“画树状图”或“列表”的方法写出分析过程）22．（8分）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，CD的垂直平分线分别交AC、DC、BC于点E、F、G，连接DE、DG．（1）求证：四边形DGCE是菱形；（2）若∠DGB＝60°，GC＝4，求菱形DGCE的面积．23．（9分）某工厂，甲负责加工A型零件，乙负责加工B型零件．已知甲加工60个A型零件所用时间和乙加工80个B型零件所用时间相同，每天甲、乙两人共加工两种零件35个，设甲每天加工x个A型零件．（1）求甲、乙每天各加工多少个零件；（列分式方程解应用题）（2）根据市场预测估计，加工A型零件所获得的利润为m元/件（3≤m≤5），加工B型零件所获得的利润每件比A型少1元．求每天甲、乙加工两种零件所获得的总利润y（元）与m（元/件）的函数关系式，并求总利润y的最大值和最小值．24．（9分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H连接C．过弧BD上一点，过E作EG∥AC交CD的延长线于点G，连接AE交CD于点F，且EG＝FG，连接CE（1）求证：EG是⊙O的切线；（2）求证：GF2＝GD•GC；（3）延长AB交GE的延长线于点M．若tanG＝，HC＝4，求EM的值．25．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，已知△ABC，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，顶点A在第二象限，B，C两点在x轴的负半轴上（点C在点B的右侧），BC＝2，△ACD与△ABC关于AC所在的直线对称．（1）当OC＝2时，求点D的坐标；（2）若点A和点D在同一个反比例函数的图象上，求OC的长；（3）如图2，将第（2）题中的四边形ABCD向左平移，记平移后的四边形为A1B1C1D1，过点D1的反比例函数y＝（k≠0）的图象与BA的延长线交千点P，问：在平移过程中，是否存在这样的k，使得以点P，A1，D为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的k的值；若不存在，请说明理由．26．（10分）在平面直角坐标系中，若点A、C同时在某函数的图象上（点A在点C的左侧），以AC为对角线作矩形ABCD，若矩形ABCD的各边都分别与坐标轴乘直，则称矩形ABCD为该函数图象的“雅垂矩形”，如图1，矩形ABCD为直线l的“雅垂矩形”（1）若某正比例函数图象的“雅垂矩形”的两邻边比为1：4，则下列函数：①y＝4x；②y＝﹣4x；③y＝2x；④y＝x中，符合条件的是（只填写序号）（2）若二次函数y＝x22﹣x图象的“雅垂矩形”ABCD的顶点C的横坐标是顶点A横坐标的3倍，设顶点A的横坐标为m（0＜m＜0.5），矩形ABCD的周长为L，求L的最大值．（3）若二次函数y＝x22﹣nx的图象的“雅垂矩形”ABCD的顶点A、C的横坐标分别为﹣2，1，分别作点A、C关于此二次函数图象对称轴的对称点A、C，连接A'C'，是否存在这样的一个n，使得线段A'C'将矩形ABCD两部分图形的面积比为2：7的两部分？若存在，请求出n的值；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一、单项选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）1．（3分）下列实数为无理数的是（）A．B．C．D．0【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【解答】解：A、＝2是整数，是有理数，故选项不符合题意；B、是分数，是有理数，故选项不符合题意；C、是无理数，故选项符合题意；D、0是整数，是有理数，故选项不符合题意．故选：C．【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．2．（3分）2019年“五一”小长假有四天假期，长沙市共接待游客356万人次，称为新晋“网红城市”，356万人用科学记数法表示为（）A．3.56×106人B．35.6×105人C．3.6×105人D．0.356×107人【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤a＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：356万＝3.56×106．故选：A．【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤a＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．（3分）下列各式正确的是（）A．（a2）3＝a5B．2a2+2a3＝2a5C．D．（x1﹣）（x+1）＝x21﹣【分析】各项计算得到结果，即可作出判断．【解答】解：A、原式＝a6，不符合题意；B、原式不能合并，不符合题意；C、原式＝a3，不符合题意；D、原式＝x21﹣，符合题意，故选：D．【点评】此题考查了平方差公式，合并同类项，以及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．4．（3分）下列手机屏幕手势解锁图案中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项正确；B、不是轴对称图形，故本选项错误；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，故本选项错误．故选：A．【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．5．（3分）在下列说法中不正确的是（）A．两条对角线互相垂直的矩形是正方形B．两条对角线相等的菱形是正方形C．两条对角线垂直且相等的平行四边形是正方形D．两条对角线垂直且相等的四边形是正方形【分析】根据既是矩形又是菱形的四边形是正方形进行判断．【解答】解：A、两条对角线互相垂直的矩形是正方形，故选项不符合题意；B、两条对角线相等的菱形是正方形，故选项不符合题意；C、两条对角线垂直且相等的平行四边形是正方形，故选项不符合题意；D、应是两条对角线垂直且相等的平行四边形是正方形，故选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查了正方形的判定，通过这道题可以掌握正方形和矩形，菱形的关系．6．（3分）如图是一个由6个相同正方体组成的立体图形，它的主视图是（）A．B．C．D．【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．【解答】解：从正面看第一层是3个小正方形，第二层右边2个小正方形，第三层右边2个小正方形，故选：D．【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．7．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【分析】求出不等式组的解集，表示在数轴上即可．【解答】解：不等式组整理得：，∴不等式组的解集为x＜1，故选：A．【点评】此题考查了解一元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．8．（3分）已知一次函数y＝（3﹣a）x+3，如果y随自变量x的增大而增大，那么a的取值范围为（）A．a＜3B．a＞3C．a＜﹣3D．a＞﹣3．【分析】先根据一次函数的性质得出关于a的不等式，再解不等式即可求出a的取值范围．【解答】解：∵一次函数y＝（3﹣a）x+3，函数值y随自变量x的增大而增大，3∴﹣a＞0，解得a＜3．故选：A．【点评】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知一次函数的增减性是解答此题的关键．9．（3分）将抛物线y＝5x2先向右平移3个单位，再向上平移2个单位后，所得的抛物线的解析式为（）A．y＝5（x+3）2+2B．y＝5（x+3）22﹣C．y＝5（x3﹣）2+2D．y＝5（x3﹣）22﹣【分析】根据向右平移横坐标加，向上平移纵坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可．【解答】解：∵y＝5x2先向右平移3个单位，再向上平移2个单位后的顶点坐标为（3，2），∴所得的抛物线的解析式为y＝5（x3﹣）2+2．故选：C．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用顶点的变化确定函数解析式求解更简便．10．（3分）如图，已知CA、CB分别与⊙O相切于A、B两点，D是⊙O上的一点，连接AD、BD，若∠C＝56°，则∠D等于（）A．72°B．68°C．64°D．62°【分析】连接OA，OB．根据圆周角定理和四边形内角和定理求解即可．【解答】解：连接OA，OB，∵CA、CB切⊙O于点A、B，∴∠CAO＝∠CBO＝90°，∵∠C＝56°，∴∠AOB＝360°﹣∠CAO﹣∠CBO﹣∠C＝360°90°90°56°﹣﹣﹣＝124°．由圆周角定理知，∠D＝∠AOB＝62°，故选：D．【点评】本题考查了切线的性质、圆周角定理、以及四边形的内角和为360度．熟练掌握：圆心与切点的连线垂直切线；过圆心垂直于切线的直线必过切点；过圆外一点引圆的两条切线，切线长相等等知识是解题的关键．11．（3分）如图，考古队在A处测得古塔BC顶端C的仰角为45°，斜坡AD长10米，坡度i＝3：4，BD长12米，请问古塔BC的高度为（）米．A．25.5B．26C．28.5D．20.5【分析】作AE⊥BC，AF⊥BD，由i＝3：4，可设AF＝3x，DF＝4x，结合AD＝10，利用勾股定理可求得x的值，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，过点A作AF⊥BD，交BD延长线于点F，由i＝3：4，可设AF＝3x，DF＝4x，∵AD＝10，9∴x2+16x2＝100，解得：x＝2（负值舍去），则AF＝BE＝6，DF＝8，∴AE＝DF+BD＝8+12＝20，∵∠CAE＝45°，∴CE＝AE＝20，则BC＝CE+BE＝20+6＝26，故选：B．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解题的关键是能根据题意构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形．12．（3分）如图，在边长为1的正方形ABCD中，动点F、E分别以相同的速度从D、C两点同时出发向C、B运动（任何一个点到达即停止），BF、AE交于点P，连接CP，则线段CP的最小值为（）A．B．C．D．【分析】首先判断出△ABE≌△BCF，即可判断出∠BAE＝∠CBF，再根据∠BAE+∠BEA＝90°，可得∠CBF+∠BEA＝90°，所以∠APB＝90°；然后根据点P在运动中保持∠APB＝90°，可得点P的路径是一段以AB为直径的弧，设AB的中点为G，连接CG交弧于点P，此时CP的长度最小，最后在Rt△BCG中，根据勾股定理，求出CG的长度，再求出PG的长度，即可求出线段CP的最小值为多少．【解答】解：如图，∵动点F，E的速度相同，∴DF＝CE，又∵CD＝BC，∴CF＝BE，在△ABE和△BCF中，∴△ABE≌△BCF（SAS），∴∠BAE＝∠CBF，∵∠BAE+∠BEA＝90°，∴∠CBF+∠BEA＝90°，∴∠APB＝90°，∵点P在运动中保持∠APB＝90°，∴点P的路径是一段以AB为直径的弧，设AB的中点为G，连接CG交弧于点P，此时CP的长度最小，在Rt△BCG中，CG＝＝＝，∵PG＝AB＝，∴CP＝CG﹣PG＝﹣＝，即线段CP的最小值为，故选：A．【点评】此题还考查了全等三角形的判定和性质的应用，正方形的性质和应用，直角三角形的性质和应用，以及勾股定理的应用，解答此题的关键是判断出什么情况下，CP的长度最小．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）13．（3分）分解因式：3a212﹣＝3（a+2）（a2﹣）．【分析】先提取公因式3，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．【解答】解：3a212﹣＝3（a+2）（a2﹣）．【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后要继续利用平方差公式进行因式分解，分解因式要彻底，直到不能再分解为止．14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心．位似比为2：3，点B、E在第一象限，若点A的坐标为（1，0），则点E的坐标是（，）．【分析】由题意可得OA：OD＝2：3，又由点A的坐标为（1，0），即可求得OD的长，又由正方形的性质，即可求得E点的坐标．【解答】解：∵正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为2：3，∴OA：OD＝2：3，∵点A的坐标为（1，0），即OA＝1，∴OD＝，∵四边形ODEF是正方形，∴DE＝OD＝．∴E点的坐标为：（，）．故答案是：（，）．【点评】此题考查了位似变换的性质与正方形的性质，注意理解位似变换与相似比的定义是解此题的关键．15．（3分）在不透明的盒子中装有6个黑色棋子和若干个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同．任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是，则白色棋子的个数是24．【分析】设盒子中白色棋子有x个，根据概率公式列出关于x的方程，解之可得．【解答】解：设盒子中白色棋子有x个，根据题意，得：＝，解得：x＝24，经检验：x＝24是原分式方程的解，所以白色棋子有24个，故答案为：24．【点评】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．16．（3分）小红需要用扇形薄纸板制作成底面半径为9厘米，高为12厘米的圆锥形生日帽，如图所示，则该扇形薄纸板的圆心角为216°．【分析】利用勾股定理计算出母线长＝15，设该扇形薄纸板的圆心角为n°，利用弧长公式得到2π•9＝，解得n＝216．【解答】解：母线长＝＝15，设该扇形薄纸板的圆心角为n°，所以2π•9＝，解得n＝216，即该扇形薄纸板的圆心角为216°．故答案为216°．【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．17．（3分）如图抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是x＝﹣1，与x轴的一个交点为（﹣5，0），则不等式ax2+bx+c＞0的解集为﹣5＜x＜3．【分析】先根据抛物线的对称性得到A点坐标（3，0），由y＝ax2+bx+c＞0得函数值为正数，即抛物线在x轴上方，然后找出对应的自变量的取值范围即可得到不等式ax2+bx+c＞0的解集．【解答】解：根据图示知，抛物线y＝ax2+bx+c图象的对称轴是x＝﹣1，与x轴的一个交点坐标为（﹣5，0），根据抛物线的对称性知，抛物线y＝ax2+bx+c图象与x轴的两个交点关于直线x＝﹣1对称，即抛物线y＝ax2+bx+c图象与x轴的另一个交点与（﹣5，0）关于直线x＝﹣1对称，∴另一个交点的坐标为（3，0），∵不等式ax2+bx+c＞0，即y＝ax2+bx+c＞0，∴抛物线y＝ax2+bx+c的图形在x轴上方，∴不等式ax2+bx+c＞0的解集是﹣5＜x＜3．故答案为：﹣5＜x＜3．【点评】此题主要考查了二次函数与不等式，解答此题的关键是求出图象与x轴的交点，然后由图象找出当y＞0时，自变量x的范围，本题锻炼了学生数形结合的思想方法．18．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，E为边BC上一点，AC与DE相交于点F，若CE＝2EB，S△AFD＝27，则三角形ACD的面积等于45．【分析】先证明△ADF∽△CEF，可知＝，然后根据相似三角形的性质可知＝（）2，再根据，从而可求出三角形ACD的面积．【解答】解：在▱ABCD中，AD∥CE，AD＝BC∴△ADF∽△CEF，∴，∵CE＝2EB，∴CE＝BC＝AD，∴＝，∴＝（）2＝，∴S△CEF＝12，∵，∴S△CFD＝18，∴S△ACD＝S△AFD+S△CDF＝27+18＝45，故答案为：45【点评】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于中等题型．三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题6分，第23、24题每小题6分，第25、26题每小题6分，共66分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19．（6分）计算：﹣2sin45°+﹣（）﹣2+（）0．【分析】原式利用二次根式性质，特殊角的三角函数值，绝对值的代数意义，以及零指数幂、负整数指数幂法则计算即可得到结果．【解答】解：原式＝22×﹣+2﹣4+1﹣＝﹣1．【点评】此题考查了实数的运算，零指数幂、负整数指数幂，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．（6分）先化简，然后从﹣2≤a≤2的范围内选取一个你认为合适的整数作为a的值代入求值．【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后从﹣2≤a≤2的范围内选取一个使得原分式有意义的整数代入化简后的式子即可解答本题．【解答】解：＝＝＝，当a＝1时，原式＝．【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．21．（8分）某校为了解全校2400名学生到校上学的方式，在全校随机抽取了若干名学生进行问卷调查．问卷给出了五种上学方式供学生选择，每人只能选一项，且不能不选．将调查得到的结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图（均不完整）（1）这次调查中，一共抽取了80名学生；（2）补全条形统计图；（3）估计全校所有学生中有多少人乘坐公交车上学？（4）小明在上学的路上要经过2个路口，每个路口都设有红、黄、绿三种信号灯，假设在各路口遇到信号灯是相互独立的，求小明在上学路上到第二个路口时第二次遇到红灯的概率，（请用“画树状图”或“列表”的方法写出分析过程）【分析】（1）由给的图象解题，根据自行车所占比例为30%，而频数分布直方图知一共有24人骑自行车上学，从而求出总人数；（2）由扇形统计图知：步行占20%，而由（1）总人数已知，从而求出步行人数，补全频数分布直方图；（3）自行车、步行、公交车、私家车、其他交通工具所占比例之和为100%，再由直方图具体人数来相减求解．（4）画树状图列出所有等可能结果，从中找到到第二个路口时第二次遇到红灯的结果数，根据概率公式计算可得．【解答】解：（1）被抽到的学生中，骑自行车上学的学生有24人，占整个被抽到学生总数的30%，∴抽取学生的总数为24÷30%＝80（人）．故答案为：80；（2）被抽到的学生中，步行的人数为80×20%＝16人，直方图：（3）被抽到的学生中，乘公交车的人数为80﹣（24+16+10+4）＝26，∴全校所有学生中乘坐公交车上学的人数约为×2400＝780人．（4）画树状图如下：由树状图知，共有9种等可能结果，其中到第二个路口时第二次遇到红灯的结果数为1，所以到第二个路口时第二次遇到红灯的概率为．【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．22．（8分）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，CD的垂直平分线分别交AC、DC、BC于点E、F、G，连接DE、DG．（1）求证：四边形DGCE是菱形；（2）若∠DGB＝60°，GC＝4，求菱形DGCE的面积．【分析】（1）由角平分线的性质和中垂线性质可得∠EDC＝∠DCG＝∠ACD＝∠GDC，可得CE∥DG，DE∥GC，DE＝EC，可证四边形DGCE是菱形；（2）过点D作DH⊥BC，由锐角三角函数可求DH的长，即可求菱形DGCE的面积．【解答】证明：（1）∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠DCG，∵EG垂直平分CD∴DG＝CG，DE＝EC，∴∠DCG＝∠GDC，∠ACD＝∠EDC∴∠EDC＝∠DCG＝∠ACD＝∠GDC∴CE∥DG，DE∥GC∴四边形DECG是平行四边形，且DE＝EC∴四边形DGCE是菱形（2）如图，过点D作DH⊥BC，∵四边形DGCE是菱形，∴DE＝DG＝GC＝4，DG∥EC在Rt△DGH中，∠DGB＝60°∴DH＝DGcos30°＝2∴菱形DGCE的面积＝GC×DH＝8【点评】本题考查了菱形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握菱形的判定是关键．23．（9分）某工厂，甲负责加工A型零件，乙负责加工B型零件．已知甲加工60个A型零件所用时间和乙加工80个B型零件所用时间相同，每天甲、乙两人共加工两种零件35个，设甲每天加工x个A型零件．（1）求甲、乙每天各加工多少个零件；（列分式方程解应用题）（2）根据市场预测估计，加工A型零件所获得的利润为m元/件（3≤m≤5），加工B型零件所获得的利润每件比A型少1元．求每天甲、乙加工两种零件所获得的总利润y（元）与m（元/件）的函数关系式，并求总利润y的最大值和最小值．【分析】（1）根据题意，易得，解可得x的值，进而可得答案；（2）根据题意，可得关系式y＝15m+20（m1﹣），化简可得y＝35m20﹣，根据一次函数的性质分析可得答案．【解答】解：（1）根据题意，每天甲、乙两人共加工35个零件，设甲每天加工x个，则乙每天加工35﹣x；根据题意，易得，解得x＝15，经检验，x＝15是原方程的解，且符合题意．3515﹣＝20，答：甲每天加工15个，乙每天加工20个；（2）y＝15m+20（m1﹣），即y＝35m20﹣，∵在y＝35m20﹣中，y是m的一次函数，k＝35＞0，y随m的增大而增大，又由已知得：3≤m≤5，∴当m＝5时，y最大值＝155，当m＝3时，y最小值＝85．【点评】此题主要考查了分式方程的应用，能根据题意，列出关系式，进而结合一次函数的性质得到结论或求解方程是解题关键．24．（9分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H连接C．过弧BD上一点，过E作EG∥AC交CD的延长线于点G，连接AE交CD于点F，且EG＝FG，连接CE（1）求证：EG是⊙O的切线；（2）求证：GF2＝GD•GC；（3）延长AB交GE的延长线于点M．若tanG＝，HC＝4，求EM的值．【分析】（1）连接OE，证明∠GEO＝90°，即GE⊥OE，于是EG是⊙O的切线；（2）连接DE，易得△GDE∽△GEC，得到GE2＝GC•GD，又GF＝GE，所以GF2＝GC•GD；（3）如图，连接OC．设⊙O的半径为r．在Rt△AHC中，，，在Rt△HOC中，由勾股定理得，由△AHC∽△MEO，所以．【解答】解：（1）证明：如图，连接OE，∵GF＝GE，∴∠GFE＝∠GEF＝∠AFH，∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA，∵∠AFH+∠FAH＝90°，∴∠GEF+∠AEO＝90°，∴∠GEO＝90°，∴GE⊥OE，∴EG是⊙O的切线；（2）连接DE，易得△GDE∽△GEC，∴，∴GE2＝GC•GD，又∵GF＝GE，∴GF2＝GC•GD；（3）如图，连接OC．设⊙O的半径为r．在Rt△AHC中，，∵，∴，在Rt△HOC中，∵OC＝r，，，∴，∴，∵GM∥AC，∴∠CAH＝∠M，∵∠OEM＝∠AHC，∴△AHC∽△MEO，∴，∴，∴．【点评】本题考查了圆，熟练运用圆的切线定理、相似三角形的性质以及勾股定理是解题的关键．25．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，已知△ABC，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，顶点A在第二象限，B，C两点在x轴的负半轴上（点C在点B的右侧），BC＝2，△ACD与△ABC关于AC所在的直线对称．（1）当OC＝2时，求点D的坐标；（2）若点A和点D在同一个反比例函数的图象上，求OC的长；（3）如图2，将第（2）题中的四边形ABCD向左平移，记平移后的四边形为A1B1C1D1，过点D1的反比例函数y＝（k≠0）的图象与BA的延长线交千点P，问：在平移过程中，是否存在这样的k，使得以点P，A1，D为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的k的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）△ADC与△ABC关于AC所在的直线对称，则CD＝BC＝2，∠ACD＝∠ACB＝30°，过点D作DE⊥BC于点E，∠DCE＝60°，则，即可求解；（2）求出A，D坐标，两个点在同一反比例函数上，则，即可求解；（3）分P为直角顶点、D为直角顶点，两种情况分别求解即可．【解答】解：（1）∵△ADC与△ABC关于AC所在的直线对称，∴CD＝BC＝2，∠ACD＝∠ACB＝30°，过点D作DE⊥BC于点E，∵∠DCE＝60°，∴，∵OC＝2，∴OE＝3，∴；（2）设OC＝m，则OE＝m+1，OB＝m+2在Rt△ABC中，∠ACB＝30°，BC＝2，∴，∴，∵A，D在同一反比例函数上，∴，解得：m＝1，∴OC＝1；（3）由（2）得：∴，∵四边形A1B1C1D1由四边形ABCD平移得到，∴，∵D1在反比例函数上，∴同理：，，∴，∴，∵xP＝xA＝﹣3，P在反比例函数上，∴，①若P为直角顶点，则A1P⊥DP，过点P作l1⊥y轴，过点A1作A1F⊥l1，过点D作DG⊥l1，则△A1PF～△PDG，，解得：；②若D为直角顶点，则A1D⊥DP，过点D作l2⊥x轴，过点A1作A1H⊥l2，则△A1DH～△DPG，，，解得：k＝0（舍），综上：存在．【点评】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到一次函数、三角形相似等知识点，此类题目的关键是，通过设线段长度，确定图象上点的坐标，进而求解．26．（10分）在平面直角坐标系中，若点A、C同时在某函数的图象上（点A在点C的左侧），以AC为对角线作矩形ABCD，若矩形ABCD的各边都分别与坐标轴乘直，则称矩形ABCD为该函数图象的“雅垂矩形”，如图1，矩形ABCD为直线l的“雅垂矩形”（1）若某正比例函数图象的“雅垂矩形”的两邻边比为1：4，则下列函数：①y＝4x；②y＝﹣4x；③y＝2x；④y＝x中，符合条件的是①②④（只填写序号）（2）若二次函数y＝x22﹣x图象的“雅垂矩形”ABCD的顶点C的横坐标是顶点A横坐标的3倍，设顶点A的横坐标为m（0＜m＜0.5），矩形ABCD的周长为L，求L的最大值．（3）若二次函数y＝x22﹣nx的图象的“雅垂矩形”ABCD的顶点A、C的横坐标分别为﹣2，1，分别作点A、C关于此二次函数图象对称轴的对称点A、C，连接A'C'，是否存在这样的一个n，使得线段A'C'将矩形ABCD两部分图形的面积比为2：7的两部分？若存在，请求出n的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由“雅垂矩形”的两邻边比为1：4可以得出正比例函数的系数k的值，从而得出答案；（2）由题意知A（m，m22﹣m），C（3m，9m26﹣m）．由0＜m＜0.5知CD＝3m﹣m＝2m，BC＝m22﹣m﹣（9m26﹣m）＝4m28﹣m，从而得L＝2（CD+BC）＝﹣16m2﹣12m＝﹣16（m0.375﹣）2+2.25，据此可得答案；（3）作A′H⊥CC′，证四边形A′BDC′是平行四边形得A′C′∥BD，由题意可知，A（﹣2，4+4n）、C（1，12﹣n），二次函数图象的对称轴为直线x＝n，AB＝CD＝3，根据两部分图形的面积比为2：7，分n＜0和n≥0两种情况，分别得出关于n的方程，解之可得．【解答】解：（1）如图1，当正比例函数y＝kx图象经过第一、三象限时，由题意知，＝或＝即＝4，则k＝tan∠CAB＝或k＝4；当正比例函数y＝kx图象经过第二、四象限时，k＝﹣或k＝﹣4，∴此正比例函数解析式为y＝±4x或y＝±x，故答案为：①②④；（2）由题意可知，A（m，m22﹣m），C（3m，9m26﹣m）．0∵＜m＜0.5，∴CD＝3m﹣m＝2m，BC＝m22﹣m﹣（9m26﹣m）＝4m28﹣m，∴L＝2（CD+BC）＝﹣16m212﹣m＝﹣16（m0.375﹣）2+2.25，∴当m＝0.375时，周长最大为2.25；（3）如图2，过点A′作A′H⊥CC′于点H，∴四边形A′BCH是矩形．∴A′B＝CH，由抛物线的轴对称性可知，CH＝C′D．∴A′B＝C′D．∵A′B∥C′D，∴四边形A′BDC′是平行四边形．∴A′C′∥BD．由题意可知，A（﹣2，4+4n）、C（1，12﹣n），二次函数图象的对称轴为直线x＝n，AB＝CD＝3．若线段A′C′将矩形ABCD分成两部分图形的面积比为2：7，当n＜0时，AA′：AB＝2：3，AA′＝2n+4，．∴AA′＝2n+4＝2．∴n＝﹣1，当n≥0时，CC′：CD＝2：3，CC′＝2（12﹣n）＝22﹣n∴CC′＝22﹣n＝2．∴n＝0，′综上，n的值为﹣1或0．【点评】本题是二次函数的综合问题，解题的关键是理解并掌握“雅垂矩形”的概念、二次函数性质的运用、平行四边形的判定与性质等知识点．中学数学一模模拟试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）计算20的结果是（）A．0B．1C．2D．2．（3分）下列运算正确的是（）A．（a﹣b）2＝a2﹣b2B．（a+b）2＝a2+b2C．a2b2＝（ab）4D．（a3）2＝a63．（3分）下列调查方式，合适的是（）A．要了解一批灯泡的使用寿命，采用普查方式B．要了解广州电视台“今日报道”栏目的收视率，采用普查方式C．要了解我国15岁少年身高情况，采用普查方式D．要选出某校短跑最快的学生参加全市比赛，采用普查方式4．（3分）若分式的值为0，则x的值为（）A．﹣1B．0C．1D．±15．（3分）解方程+时，去分母后得到的方程是（）A．3（x5﹣）+2（x1﹣）＝1B．3（x5﹣）+2x1﹣＝1C．3（x5﹣）+2（x1﹣）＝6D．3（x5﹣）+2x1﹣＝66．（3分）下列函数中，当x＞0时，y随x的增大而增大的是（）A．y＝﹣2x+1B．y＝C．y＝﹣2x2+1D．y＝2x7．（3分）如图，将矩形ABCD折叠，使点C与点E重合，折痕为线段DF，已知矩形ABCD的面积为6，四边形CDEF的面积为4，则AC＝（）A．B．C．D．8．（3分）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，过点C作CE∥BD，交AB延长线于点E，对角线AC、BD相交于点O，下列结论中，错误的是（）A．△AOB∽△CODB．∠AOB＝∠ACBC．四边形BDCE是平行四边形D．S△AOD＝S△BOC9．（3分）在正方体表面上画有如图中所示的粗线，那么它的展开图可以是（）A．B．C．D．10．（3分）k≠0，函数y＝kx﹣k与y＝在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）计算：6ab2÷3ab＝．12．（3分）不等式组的解集是．13．（3分）如图，如果AE∥BD，CD＝20，CE＝36，AC＝27，那么BC＝．14．（3分）某样本数据分成5组，第1组和第2组的频率之和为0.3，第3组的频率是0.14，第4组和第5组的频率相等，那么第5组的频率是．15．（3分）一张试卷只有25道选择题，答对一题得4分，答错倒扣1分，某学生解答了全部试题共得70分，他答对了道题．16．（3分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC垂直平分BD，∠BAD＝120°，AB＝4，点E是AB的中点，点F是AC上一动点，则EF+BF的最小值是．三、解答题（本大题共9小题，共102分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（9分）计算：2sin30°﹣（﹣）﹣1﹣．18．（9分）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，且DF＝BE．求证：四边形AECF是平行四边形．19．（10分）已知a、b（a＞b）是方程x25﹣x+4＝0的两个不相等的实数根，求﹣的值．20．（10分）现需了解2019年各月份中5至14日广州市每天最低气温的情况：图①是3月份的折线统计图．（数据来源于114天气网）（1）图②是3月份的频数分布直方图，根据图①提供的信息，补全图②中的频数分布直方图；（2）3月13日与10日这两天的最低气温之差是℃；（3）图③是5月份的折线统计图．用S表示5月份的方差；用S表示3月份的方差，比较大小：SS；比较3月份与5月份，月份的更稳定．21．（12分）某商场销售产品A，第一批产品A上市40天内全部售完．该商场对第一批产品A上市后的销售情况进行了跟踪调查，调查结果如图所示：图①中的折线表示日销售量w与上市时间t的关系；图②中的折线表示每件产品A的销售利润y与上市时间t的关系．（1）观察图①，试写出第一批产品A的日销售量w与上市时间t的关系；（2）第一批产品A上市后，哪一天这家商店日销售利润Q最大？日销售利润Q最大是多少元？（日销售利润＝每件产品A的销售利润×日销售量）22．（12分）某校初三（1）班综合实践小组去某地测量人工湖的长，如图A、D是人工湖边的两座雕塑，AB、BC是小路，小东同学进行如下测量：D点在A点的正北方向，B点在A点的北偏东60°方向，C点在B点的北偏东45°方向，C点在D点正东方向，且测得AB＝20米，BC＝40米，求AD的长．（结果保留根号）23．（12分）如图，⊙O的半径为5，点A在⊙O上，过点A的直线l与⊙O相交于点B，AB＝6，以直线l为图象的一次函数解析式为y＝kx8﹣k（k为常数且k≠0）．（1）求直线l与x轴交点的坐标；（2）求点O到直线AB的距离；（3）求直线AB与y轴交点的坐标．24．（14分）如图①，△ABC表示一块含有60°角的直角三角板，60°所对的边BC的长为6，以斜边AB所在直线为x轴，AB边上的高所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．等腰直角△DEF的直角顶点F初始位置落在y轴的负半轴，斜边DE始终在x轴上移动，且DE＝6．抛物线y＝ax2+bx+c经过A、B、C三点．（1）求a、b、c；（2）△DEF经过怎样的平移后，点E与点B重合？求出点E与点B重合时，点F的坐标；（3）△DEF经过怎样的平移后，⊙E与直线AC和BC均相切？（参考数据：＝，＝）25．（14分）已知：如图①，四边形ABCD是正方形，在CD的延长线上任取一点E，以CE为边作正方形CEFG，使正方形ABCD与正方形CEFG分居在CD的两侧，连接AF，取AF的中点M，连接EM、DM，DM的延长线交EF于点N．（1）求证：△ADM≌△FNM；（2）判断△DEM的形状，并加以证明；（3）如图②，将正方形CEFG绕点C按逆时针方向旋转n°（30＜n＜45）后，其他条件不变，（2）中的结论还成立吗？如果成立，请加以证明；如果不成立，请说明理由．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）计算20的结果是（）A．0B．1C．2D．【分析】根据：a0＝1（a≠0）可得结论．【解答】解：20＝1，故选：B．【点评】本题考查了零指数幂的计算，比较简单，熟练掌握公式是关键．2．（3分）下列运算正确的是（）A．（a﹣b）2＝a2﹣b2B．（a+b）2＝a2+b2C．a2b2＝（ab）4D．（a3）2＝a6【分析】直接利用完全平方公式以及积的乘方运算法则分别判断得出答案．【解答】解：A、（a﹣b）2＝a22﹣ab+b2，故此选项错误；B、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故此选项错误；C、a2b2＝（ab）2，故此选项错误；D、（a3）2＝a6，正确．故选：D．【点评】此题主要考查了完全平方公式以及积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．3．（3分）下列调查方式，合适的是（）A．要了解一批灯泡的使用寿命，采用普查方式B．要了解广州电视台“今日报道”栏目的收视率，采用普查方式C．要了解我国15岁少年身高情况，采用普查方式D．要选出某校短跑最快的学生参加全市比赛，采用普查方式【分析】调查方式的选择需要将普查的局限性和抽样调查的必要性结合起来，具体问题具体分析，普查结果准确，所以在要求精确、难度相对不大，实验无破坏性的情况下应选择普查方式，当考查的对象很多或考查会给被调查对象带来损伤破坏，以及考查经费和时间都非常有限时，普查就受到限制，这时就应选择抽样调查．【解答】解：A、要了解一批灯泡的使用寿命，调查过程带有破坏性，只能采取抽样调查，而不能将整批灯泡全部用于实验；B、要了解广州电视台“今日报道”栏目的收视率，进行一次全面的调查，费大量的人力物力是得不尝失的，采取抽样调查即可；C、要了解我国15岁少年身高情况，进行一次全面的调查，费大量的人力物力是得不尝失的，采取抽样调查即可；D、要选出某校短跑最快的学生参加全市比赛，必须选用普查；故选：D．【点评】本题考查的是调查方法的选择；正确选择调查方式要根据全面调查的优缺点再结合实际情况去分析．4．（3分）若分式的值为0，则x的值为（）A．﹣1B．0C．1D．±1【分析】直接利用分式的值为零则分子为零，分母不等于零，进而得出答案．【解答】解：∵分式的值为0，∴x21﹣＝0，x1≠0﹣，解得：x＝﹣1．故选：A．【点评】此题主要考查了分式的值为零，正确把握相关定义是解题关键．5．（3分）解方程+时，去分母后得到的方程是（）A．3（x5﹣）+2（x1﹣）＝1B．3（x5﹣）+2x1﹣＝1C．3（x5﹣）+2（x1﹣）＝6D．3（x5﹣）+2x1﹣＝6【分析】根据一元一次方程的解法即可求出答案．【解答】解：等式两边同时乘以6可得：3（x5﹣）+2（x1﹣）＝6，故选：C．【点评】本题考查一元一次方程，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．6．（3分）下列函数中，当x＞0时，y随x的增大而增大的是（）A．y＝﹣2x+1B．y＝C．y＝﹣2x2+1D．y＝2x【分析】根据二次函数、一次函数、反比例函数的增减性，结合自变量的取值范围，逐一判断．【解答】解：A、y＝﹣2x+1，一次函数，k＜0，故y随着x增大而减小，故A错误；B、y＝，k＝2＞0，在每个象限里，y随x的增大而减小，故B错误；C、y＝﹣2x2+1（x＞0），二次函数，a＜0，故当图象在对称轴右侧，y随着x的增大而减小；而在对称轴左侧（x＜0），y随着x的增大而增大，故C错误；D、y＝2x，一次函数，k＞0，故y随着x增大而增大，故D正确．故选：D．【点评】本题综合考查二次函数、一次函数、反比例函数的增减性（单调性），是一道难度中等的题目．7．（3分）如图，将矩形ABCD折叠，使点C与点E重合，折痕为线段DF，已知矩形ABCD的面积为6，四边形CDEF的面积为4，则AC＝（）A．B．C．D．【分析】根据四边形CDEF是正方形，即可得出CD＝＝2，根据矩形ABCD的面积为6，即可得出AD＝3，再根据勾股定理即可得到AC的长．【解答】解：由折叠可得，∠DEF＝∠DCF＝∠CDE＝90°，∴四边形CDEF是矩形，由折叠可得，CD＝DE，∴四边形CDEF是正方形，∴CD＝＝2，又∵矩形ABCD的面积为6，∴AD＝3，Rt∴△ACD中，AC＝＝，故选：C．【点评】本题主要考查了折叠问题以及矩形的性质的运用，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．8．（3分）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，过点C作CE∥BD，交AB延长线于点E，对角线AC、BD相交于点O，下列结论中，错误的是（）A．△AOB∽△CODB．∠AOB＝∠ACBC．四边形BDCE是平行四边形D．S△AOD＝S△BOC【分析】根据梯形的性质和相似三角形的判定和性质解答即可．【解答】解：∵CD∥AB，∴△AOB∽△COD，故A正确；∵CD∥BE，DB∥CE，∴四边形BDCE是平行四边形，故C正确；∵△ABC的面积＝△BOC的面积+△AOB的面积＝△ADB的面积＝△AOD的面积+△AOB的面积，∴△AOD的面积＝△BOC的面积，故D正确；∵∠AOB＝∠COD，∴∠DOC＝∠OCE＞∠ACB，故B错误；故选：B．【点评】此题考查相似三角形的判定，关键是根据梯形的性质和相似三角形的判定和性质解答．9．（3分）在正方体表面上画有如图中所示的粗线，那么它的展开图可以是（）A．B．C．D．【分析】具体折一折，从中发挥想象力，可得正确的答案．【解答】解：由带有各种符号的面的特点及位置，可知只有选项D符合．故选：D．【点评】考查了几何体的展开图，解决此类问题，要充分考虑带有各种符号的面的特点及位置．10．（3分）k≠0，函数y＝kx﹣k与y＝在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（）A．B．C．D．【分析】分两种情况讨论，当k＞0时，分析出一次函数和反比例函数所过象限；再分析出k＜0时，一次函数和反比例函数所过象限，符合题意者即为正确答案．【解答】解：①当k＞0时，y＝kx﹣k过一、三、四象限；y＝过一、三象限；②当k＜0时，y＝kx﹣k过一、二、四象象限；y＝过二、四象限．观察图形可知，只有A选项符合题意．故选：A．【点评】本题主要考查了反比例函数的图象和一次函数的图象，熟悉两函数中k和b的符号对函数图象的影响是解题的关键．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）计算：6ab2÷3ab＝2b．【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．【解答】解：原式＝2b，故答案为：2b【点评】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．12．（3分）不等式组的解集是x＞0．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式﹣x＜0得x＞0，解不等式3x+5＞0得x＞﹣，所以不等式组的解集为x＞0，故答案为：x＞0．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．13．（3分）如图，如果AE∥BD，CD＝20，CE＝36，AC＝27，那么BC＝15．【分析】根据平行线分线段成比例解答即可．【解答】解：∵AE∥BD，CD＝20，CE＝36，AC＝27，∴，即，解得：BC＝15，故答案为：15【点评】此题考查平行线分线段成比例，关键是根据平行线分线段成比例解答．14．（3分）某样本数据分成5组，第1组和第2组的频率之和为0.3，第3组的频率是0.14，第4组和第5组的频率相等，那么第5组的频率是0.28．【分析】直接利用5各小组的频率之和为1，进而得出答案．【解答】解：∵某样本数据分成5组，第1组和第2组的频率之和为0.3，第3组的频率是0.14，∴第4组和第5组的频率和为：10.30.14﹣﹣＝0.56，∵第4组和第5组的频率相等，∴第5组的频率是：0.28．故答案为：0.28．【点评】此题主要考查了频率的意义，正确得出第4组和第5组的频率和是解题关键．15．（3分）一张试卷只有25道选择题，答对一题得4分，答错倒扣1分，某学生解答了全部试题共得70分，他答对了19道题．【分析】设他做对了x道题，则小英做错了（25﹣x）道题，根据总得分＝4×做对的题数﹣1×做错的题数，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：设他做对了x道题，则他做错了（25﹣x）道题，根据题意得：4x﹣（25﹣x）＝70，解得：x＝19．故答案为：19．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，根据总得分＝4×做对的题数﹣1×做错的题数列出关于x的一元一次方程是解题的关键．16．（3分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC垂直平分BD，∠BAD＝120°，AB＝4，点E是AB的中点，点F是AC上一动点，则EF+BF的最小值是2．【分析】连接DF，过E作EG⊥BD于G，当E，F，D三点共线时，EF+BF的最小值等于DE的长，利用勾股定理求得DE的长，即可得出EF+BF的最小值．【解答】解：如图所示，连接DF，过E作EG⊥BD于G，∵AC垂直平分BD，∴FB＝FD，AB＝AD，∴EF+BF＝EF+FD，当E，F，D三点共线时，EF+BF的最小值等于DE的长，∵∠BAD＝120°，∴∠ABD＝30°，又∵AB＝4，点E是AB的中点，∴EG＝BE＝1，AH＝AB＝2，∴BG＝，BH＝2，GH＝，∴DH＝2，DG＝3，Rt∴△DEG中，DE＝＝＝2，故答案为：2．【点评】本题主要考查了最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．三、解答题（本大题共9小题，共102分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（9分）计算：2sin30°﹣（﹣）﹣1﹣．【分析】直接利用二次根式的性质以及特殊角的三角函数值、负指数幂的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式＝2×﹣（﹣2）﹣6＝1+26﹣＝﹣3．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．18．（9分）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，且DF＝BE．求证：四边形AECF是平行四边形．【分析】在▱ABCD中，AD＝BC，又BE＝DF，可得AF＝EC，得出AF平行且等于EC，根据平行四边形的判定，可得出四边形AECF是平行四边形．【解答】证明：∵四边形ABCD平行四边形∴AD＝BC．又∵BE＝DF，∴AF＝EC．又∵AF∥EC，∴四边形AECF是平行四边形．【点评】此题主要要掌握平行四边形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键．19．（10分）已知a、b（a＞b）是方程x25﹣x+4＝0的两个不相等的实数根，求﹣的值．【分析】利用平方差公式可将原式化简成a+b，再根据方程的系数结合根的判别式可得出a+b＝5，此题得解．【解答】解：﹣＝，＝，＝a+b．∵a、b（a＞b）是方程x25﹣x+4＝0的两个不相等的实数根，∴a+b＝5，∴原式＝a+b＝5．【点评】本题考查了根与系数的关系以及平方差公式，利用平方差公式将原式化简成a+b是解题的关键．20．（10分）现需了解2019年各月份中5至14日广州市每天最低气温的情况：图①是3月份的折线统计图．（数据来源于114天气网）（1）图②是3月份的频数分布直方图，根据图①提供的信息，补全图②中的频数分布直方图；（2）3月13日与10日这两天的最低气温之差是3℃；（3）图③是5月份的折线统计图．用S表示5月份的方差；用S表示3月份的方差，比较大小：S＜S；比较3月份与5月份，3月份的更稳定．【分析】（1）最低气温14℃的有3天，据此补充频数分布直方图；（2）3月13日与10日这两天的最低气温之差是1512﹣＝3（℃）；（3）根据折线统计图分布，可知3月份最低气温波动比3月份最低气温波动小，所以所以S32＜S，3月份更稳定．【解答】解：（1）最低气温14℃的有3天，所以补充频数分布直方图如下：（2）3月13日与10日这两天的最低气温之差是1512﹣＝3（℃），故答案为3；（3）根据折线统计图分布，可知3月份最低气温波动比3月份最低气温波动小，所以所以S32＜S，3月份更稳定，故但为＜，3．【点评】本题考查的是条形统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．21．（12分）某商场销售产品A，第一批产品A上市40天内全部售完．该商场对第一批产品A上市后的销售情况进行了跟踪调查，调查结果如图所示：图①中的折线表示日销售量w与上市时间t的关系；图②中的折线表示每件产品A的销售利润y与上市时间t的关系．（1）观察图①，试写出第一批产品A的日销售量w与上市时间t的关系；（2）第一批产品A上市后，哪一天这家商店日销售利润Q最大？日销售利润Q最大是多少元？（日销售利润＝每件产品A的销售利润×日销售量）【分析】（1）根据题意和函数图象中的数据可以求得第一批产品A的日销售量w与上市时间t的关系；（2）根据函数图象中的数据可以求得第一批产品A上市后，哪一天这家商店日销售利润Q最大，并求出Q的最大值．【解答】解：（1）由图①可得，当0≤t≤30时，可设日销售量w＝kt，∵点（30，60）在图象上，60∴＝30k．∴k＝2，即w＝2t；当30＜t≤40时，可设日销售量w＝k1t+b．∵点（30，60）和（40，0）在图象上，∴，解得，k1＝﹣6，b＝240，∴w＝﹣6t+240．综上所述，日销售量w＝；即当0≤t≤30时，日销售量w＝2t；当30＜t≤40时，日销售量w＝﹣6t+240；（2）由图①知，当t＝30（天）时，日销售量w达到最大，最大值w＝60，又由图②知，当t＝30（天）时，产品A的日销售利润y达到最大，最大值y＝60（元/件），∴当t＝30（天）时，日销售量利润Q最大，最大日销售利润Q＝60×60＝3600（元），答：第一批产品A上市后30天，这家商店日销售利润Q最大，日销售利润Q最大是3600元．【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．22．（12分）某校初三（1）班综合实践小组去某地测量人工湖的长，如图A、D是人工湖边的两座雕塑，AB、BC是小路，小东同学进行如下测量：D点在A点的正北方向，B点在A点的北偏东60°方向，C点在B点的北偏东45°方向，C点在D点正东方向，且测得AB＝20米，BC＝40米，求AD的长．（结果保留根号）【分析】过点B作BF⊥AD、BE⊥CD，垂足分别为E、F，已知AD＝AF+FD，则分别求得AF、DF的长即可求得AD的长．【解答】解：过点B作BF⊥AD、BE⊥CD，垂足分别为E、F．在Rt△ABF中，∵∠FAB＝60°，AB＝20，∴AF＝ABcos∠FAB＝20×＝10．在Rt△BCE中，∵∠EBC＝45°，BC＝40，∴BE＝BCcos∠EBC＝40×＝20．在矩形BEDF中，FD＝BE＝20，∴AD＝AF+FD＝10+20．答：AD的长为（10+20）米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．23．（12分）如图，⊙O的半径为5，点A在⊙O上，过点A的直线l与⊙O相交于点B，AB＝6，以直线l为图象的一次函数解析式为y＝kx8﹣k（k为常数且k≠0）．（1）求直线l与x轴交点的坐标；（2）求点O到直线AB的距离；（3）求直线AB与y轴交点的坐标．【分析】（1）令y＝0，得kx8﹣k＝0，解出即可；（2）作OD⊥AB，垂足为D．可知点O到直线AB的距离为线段OD的长度，利用勾股定理可得OD的长；（3）介绍两种方法：方法一，先根据勾股定理计算DN的长，证明Rt△OMDRt∽△NOD，列比例式求OM的长，可得结论；方法二：先得∠OND＝30°．根据30度的正切列式可得OM的长，可得结论．【解答】解：（1）令y＝0，得kx8﹣k＝0，∵k≠0，解得x＝8，∴直线l与x轴的交点N的坐标为（8，0）．（2）连接OB，过点O作OD⊥AB，垂足为D．∴点O到直线AB的距离为线段OD的长度，∵⊙O的半径为5，∴OB＝5．又∵AB＝6，∴BD＝AB＝＝3．在Rt△OBD中，∵∠ODB＝90°，∴OD＝＝＝4．答：点O到直线AB的距离为4．（3）由（1）得N的坐标为（8，0），∴ON＝8．由（2）得OD＝4．方法一：∴在Rt△ODN中，DN＝＝＝4．又∵∠OMD+∠MOD＝90°，∠NOD+∠MOD＝90°，∴∠OMD＝∠NOD．∵∠ODM＝∠ODN，Rt∴△OMDRt∽△NOD，∴．∴OM＝•NO＝×8＝．∴直线AB与y轴的交点为（0，）．方法二：∴在Rt△OND中，sin∠OND＝＝．∴∠OND＝30°．∵在Rt△OMN中，tan30°＝∴OM＝ON•tan∠OND，∴OM＝8tan30°＝．∴直线AB与y轴的交点为（0，）．【点评】此题考查了一次函数的综合题，考查了待定系数法和解直角三角形，三角形相似的性质和判定，同时也利用了垂径定理和勾股定理解决问题，难度适中．24．（14分）如图①，△ABC表示一块含有60°角的直角三角板，60°所对的边BC的长为6，以斜边AB所在直线为x轴，AB边上的高所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．等腰直角△DEF的直角顶点F初始位置落在y轴的负半轴，斜边DE始终在x轴上移动，且DE＝6．抛物线y＝ax2+bx+c经过A、B、C三点．（1）求a、b、c；（2）△DEF经过怎样的平移后，点E与点B重合？求出点E与点B重合时，点F的坐标；（3）△DEF经过怎样的平移后，⊙E与直线AC和BC均相切？（参考数据：＝，＝）【分析】（1）通过解直角三角形可求出点A，B，C的坐标，根据点A，B，C的坐标，利用待定系数法可求出a，b，c的值；（2）求出当等腰直角△DEF的直角顶点F在y轴负半轴时点E，F的坐标，结合点B的坐标可得出将△DEF沿x轴正方向（向右）平移（33﹣）个单位长度可使点E与点B重合，再结合点F的坐标即可得出平移后点F的坐标；（3）设⊙P的半径为r，⊙P与直线AC和BC都相切，分两种情况考虑：①圆心P1在直线AC的右侧时，过点P1作P1Q1⊥AC，垂足为Q1，作P1R1⊥BC，垂足为R1，则四边形Q1CR1P1是正方形，设Q1C＝CR1＝R1P1＝P1Q1＝r1，在Rt△P1R1B中通过解直角三角形BR1＝r1，进而可得出BC＝（+1）r1，结合BC＝6可求出r1的值，由BR1＝r1，结合OP1＝OB﹣BP1可求出点P1的坐标，再结合点E的坐标即可得出把△DEF沿x轴负方向（向左）平移（33﹣）个单位长度可使⊙E与直线AC和BC均相切；②当圆心P2在直线AC的左侧时，过点P2作P2Q2⊥AC，垂足为Q2，作P2R2⊥BC，垂足为R2，则四边形Q2CR2P2是正方形，同理，可求出点P2的坐标，再结合点E的坐标即可得出把△DEF沿x轴负方向（向左）平移（9+3）个单位长度可使⊙E与直线AC和BC均相切．综上，此题得解．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠CAB＝60°，∠ACB＝90°，BC＝6，∴∠ABC＝30°，OC＝BC•sin∠ABC＝6×sin30°＝3，∴点C的坐标为（0，3）；在Rt△COB中，OC＝3，∠OBC＝30°，∴OB＝OC•cot∠OBC＝3×cot30°＝3，∴点B的坐标为（3，0）；在Rt△AOC中，OC＝3，∠CAO＝60°，∴AO＝OC•cot∠CAO＝3×cot60°＝，∴点A的坐标为（﹣，0）．将A（﹣，0），B（3，0），C（0，3）代入y＝ax2+bx+c，得：，解得：，∴a＝﹣，b＝，c＝3．（2）当等腰直角△DEF的直角顶点F在y轴负半轴时，∵DE＝6，∴OE＝OF＝DE＝×6＝3，∴点F起始位置的坐标为（0，﹣3），点E起始位置的坐标为（3，0）．∵点B的坐标为（3，0），∴BE＝OB﹣OE＝33﹣，∴△DEF沿x轴正方向（向右）平移（33﹣）个单位长度，可使点E与点B重合，∴当点E与点B重合时，点F的坐标为（33﹣，﹣3）．（3）设⊙P的半径为r，⊙P与直线AC和BC都相切，有两种情况：①圆心P1在直线AC的右侧时，过点P1作P1Q1⊥AC，垂足为Q1，作P1R1⊥BC，垂足为R1，如图③所示．∵∠ACB＝90°，∴四边形Q1CR1P1是矩形．∵⊙P1与AC、BC相切于点Q1、R1，∴R1P1＝P1Q1，∴矩形Q1CR1P1是正方形．设Q1C＝CR1＝R1P1＝P1Q1＝r1，∴在Rt△P1R1B中，BR1＝R1P1cot∠CBA＝r1cot30°＝r1，∴BC＝CR1+BR1＝r1+r1＝（+1）r1，又∵BC＝6，∴（+1）r1＝6，∴r1＝＝＝3（﹣1）＝33﹣．∴P1B＝2R1P1＝2r1＝2（33﹣）＝66﹣，∴OP1＝OB﹣BP1＝3﹣（66﹣）＝63﹣，∴P1的坐标为（63﹣，0）．∵OE＝3，∴EP1＝OE﹣OP1＝3﹣（63﹣）＝33﹣，∴把△DEF沿x轴负方向（向左）平移（33﹣）个单位长度，可使⊙E与直线AC和BC均相切；②当圆心P2在直线AC的左侧时，过点P2作P2Q2⊥AC，垂足为Q2，作P2R2⊥BC，垂足为R2，如图④所示．∵∠ACB＝90°，∴∠R2CQ2＝90°，∵⊙P2与AC、BC相切于点Q2、R2，∴矩形Q2CR2P2是正方形．设Q2C＝CR2＝R2P2＝P2Q2＝r2，∴在Rt△P2R2B中，BR2＝R2P2cot∠CBA＝r2cot30°＝r2，∴BC＝BR2﹣CR2＝r2﹣r2＝（﹣1）r2，又∵BC＝6，∴（﹣1）r2＝6，∴r2＝＝＝3（+1）＝3+3，∴P2B＝2R2P2＝2r2＝2（3+3）＝6+6，∴OP2＝BP2﹣OB＝6+63﹣＝6+3，∴P2的坐标为（﹣63﹣，0）．∵OE＝3，OP2＝6+3，∴EP2＝OE+OP2＝3+（6+3）＝9+3，∴把△DEF沿x轴负方向（向左）平移（9+3）个单位长度，可使⊙E与直线AC和BC均相切．综上所述，把△DEF沿x轴负方向（向左）平移（33﹣）或（9+3）个单位长度，可使⊙E与直线AC和BC均相切．【点评】本题考查了解直角三角形、待定系数法求二次函数解析式、等腰直角三角形、正方形的判定与性质以及平移的性质，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出a，b，c的值；（2）利用等腰直角三角形的性质求出点E，F的坐标；（3）分两种情况求出点P的坐标（即点E移动到的位置）．25．（14分）已知：如图①，四边形ABCD是正方形，在CD的延长线上任取一点E，以CE为边作正方形CEFG，使正方形ABCD与正方形CEFG分居在CD的两侧，连接AF，取AF的中点M，连接EM、DM，DM的延长线交EF于点N．（1）求证：△ADM≌△FNM；（2）判断△DEM的形状，并加以证明；（3）如图②，将正方形CEFG绕点C按逆时针方向旋转n°（30＜n＜45）后，其他条件不变，（2）中的结论还成立吗？如果成立，请加以证明；如果不成立，请说明理由．【分析】（1）根据正方形的性质和全等三角形的判定解答即可；（2）①根据全等三角形的性质和等腰直角三角形的判定和性质解答即可；②在MN上截取MP＝MD，连结EP、FP，延长FP与DC延长线交于点H，根据全等三角形的判定和性质以及等腰直角三角形的判定解答即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD和四边形CGFE是正方形，∴CE＝FE，AD＝DC，∠CEF＝90°，AD∥EF．1∴∠＝∠2．在△AMD和△FMN中，∵∴△AMD≌△FMN（ASA）（2）答：△DEM是等腰直角三角形．由（1）得△AMD≌△FMN，∴MD＝MN，AD＝FN．在正方形ABCD中，∵AD＝DC，∴DC＝NF，又∵EC＝EF，∴EC﹣DC＝EF﹣NF，即ED＝EN．又∵∠DEN＝90°，∴△DEN是等腰直角三角形．∴EM⊥MD，ME＝MD．∴△DEM是等腰直角三角形；（3）答：仍然成立．如图，在MN上截取MP＝MD，连结EP、FP，延长FP与DC延长线交于点H．在△AMD和△FMP中，∵∴△AMD≌△FMP（SAS）．3∴∠＝∠4，AD＝PF，又∵四边形ABCD、四边形CGFE均为正方形，∴CE＝FE，AD＝DC，∠ADC＝90°，∠CEF＝∠ADC＝∠EFG＝∠ECG＝90°．∴DC＝PF．3∵∠＝∠4，∴AD∥FH．∴∠H＝∠ADC＝90°．∵∠G＝90°，∠5＝∠6，∠GCH＝180°﹣∠H5﹣∠，∠GFH＝180°﹣∠G6﹣∠，∴∠GCH＝∠GFH．∵∠GCH+∠DCE＝∠GFH+∠PFE＝90°，∴∠DCE＝∠PFE，在△DCE和△PFE中，∵∴△DCE≌△PFE（SAS）．∴ED＝EP，∠DEC＝∠PEF，∵∠CEF＝90°，∴∠DEP＝90°．∴△DEP是等腰直角三角形．∴EM⊥MD，ME＝MD，∴△DEM是等腰直角三角形．【点评】本题考查的是四边形的综合题，关键是根据正方形的性质、全等三角形的判定定理和性质定理以及等腰直角三角形的判定进行解答．中学数学一模模拟试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）下列各数中，比﹣1大的数是（）A．B．﹣2C．﹣3D．02．（3分）中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，根据规划“一带一路”地区覆盖总人口44亿，这个数用科学记数法表示为（）A．44×108B．4.4×109C．4.4×108D．4.4×10103．（3分）如图所示的几何体的主视图是（）A．B．C．D．4．（3分）下列各运算中，计算正确的是（）A．2a•3a＝6aB．（3a2）3＝27a6C．a4÷a2＝2aD．（a+b）2＝a2+ab+b25．（3分）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，按以下步骤作图：①分别以点C和点D为圆心，大于CD的长为半径画弧，两弧交于点M，N；②作直线MN，且MN恰好经过点A，与CD交于点E，连接BE，则BE的值为（）A．B．2C．3D．46．（3分）在某中学理科竞赛中，张敏同学的数学、物理、化学得分（单位：分）分别为84，88，92，若依次按照4：3：3的比例确定理科成绩，则张敏的成绩是（）A．84分B．87.6分C．88分D．88.5分7．（3分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC平分∠BAD，若AC＝12，BD＝16，则对边之间的距离为（）A．B．C．D．8．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且点C、D在AB的异侧，连接AD、BD、OD、OC，若∠ABD＝15°，且AD∥OC，则∠BOC的度数为（）A．120°B．105°C．100°D．110°9．（3分）如图，以矩形ABOD的两边OD、OB为坐标轴建立直角坐标系，若E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交OD于F点．若OF＝1，FD＝2，则G点的坐标为（）A．（，）B．（，）C．（，）D．（，）10．（3分）如图①，在矩形ABCD中，AB＞AD，对角线AC、BD相交于点O，动点P由点A出发，沿AB→BC→CD向点D运动，设点P的运动路径为x，△AOP的面积为y，图②是y关于x的函数关系图象，则AB边的长为（）A．3B．4C．5D．6二、填空题（每小题3分，共15分）11．（3分）＝．12．（3分）二次函数y＝x24﹣x+a在﹣2≤x≤3的范围内有最小值﹣3，则a＝．13．（3分）一个不透明的袋中有四张完全相同的卡片，把它们分别标上数字1、2、3、4．随机抽取一张卡片，然后放回，再随机抽取一张卡片，则两次抽取的卡片上数字之和为偶数的概率是．14．（3分）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，分别以B、C为圆心，AB长为半径画弧，则图中阴影部分的面积为．15．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E为AD中点，点P为线段AB上一个动点，连接EP，将△APE沿PE折叠得到△FPE，连接CE，CF，当△ECF为直角三角形时，AP的长为．三、解答题（75分）16．（8分）先化简，再求值：，其中x＝4cos30°+317．（9分）“足球运球”是中考体育必考项目之一．兰州市某学校为了解今年九年级学生足球运球的掌握情况，随机抽取部分九年级学生足球运球的测试成绩作为一个样本，按A，B，C，D四个等级进行统计，制成了如下不完整的统计图．（说明：A级：8分﹣10分，B级：7分﹣7.9分，C级：6分﹣6.9分，D级：1分﹣5.9分）根据所给信息，解答以下问题：（1）在扇形统计图中，C对应的扇形的圆心角是度；（2）补全条形统计图；（3）所抽取学生的足球运球测试成绩的中位数会落在等级；（4）该校九年级有300名学生，请估计足球运球测试成绩达到A级的学生有多少人？18．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，以边上AC上一点O为圆心，OA为半径作⊙O，⊙O恰好经过边BC的中点D，并与边AC相交于另一点F．（1）求证：BD是⊙O的切线．（2）若AB＝，E是半圆上一动点，连接AE，AD，DE．填空：①当的长度是时，四边形ABDE是菱形；②当的长度是时，△ADE是直角三角形．19．（9分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝（n≠0）的图象交于第二、四象限内的A、B两点，与x轴交于点C，点B坐标为（m，﹣1），AD⊥x轴，且AD＝3，tan∠AOD＝．（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）求△AOB的面积；（3）点E是x轴上一点，且△AOE是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的E点的坐标．20．（9分）如图①，②分别是某款篮球架的实物图和示意图，已知支架AB的长为2.3m，支架AB与地面的夹角∠BAC＝70°，BE的长为1.5m，篮板部支架BD与水平支架BE的夹角为46°，BC、DE垂直于地面，求篮板顶端D到地面的距离．（结果保留一位小数，参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，sin46°≈0.72，cos46°≈0.69，tan46°≈1.04）21．（10分）某公司开发出一款新的节能产品，该产品的成本价为6元件，该产品在正式投放市场前通过代销点进行了为期30天的试销售，售价为8元/件，工作人员对销售情况进行了跟踪记录，并将记录情况绘成如图所示的图象，图中的折线ODE表示日销售量y（件）与销售时间x（天）之间的函数关系，已知线段DE表示的函数关系中，时间每增加1天，日销售量减少5件．（1）第24天的日销售量是件，日销售利润是元．（2）求线段DE所对应的函数关系式．（不要求写出自变量的取值范围）（3）通过计算说明试销售期间第几天的日销售量最大？最大日销售量是多少？22．（10分）（1）阅读理解利用旋转变换解决数学问题是一种常用的方法．如图1，点P是等边三角形ABC内一点，PA＝1，PB＝，PC＝2．求∠BPC的度数．为利用已知条件，不妨把△BPC绕点C顺时针旋转60°得△AP′C，连接PP′，则PP′的长为；在△PAP′中，易证∠PAP′＝90°，且∠PP′A的度数为，综上可得∠BPC的度数为；（2）类比迁移如图2，点P是等腰Rt△ABC内的一点，∠ACB＝90°，PA＝2，PB＝，PC＝1，求∠APC的度数；（3）拓展应用如图3，在四边形ABCD中，BC＝3，CD＝5，AB＝AC＝AD．∠BAC＝2∠ADC，请直接写出BD的长．23．（11分）如图，直线y＝与x轴，y轴分别交于点A，C，经过点A，C的抛物线y＝ax2+bx3﹣与x轴的另一个交点为点B（2，0），点D是抛物线上一点，过点D作DE⊥x轴于点E，连接AD，DC．设点D的横坐标为m．（1）求抛物线的解析式；（2）当点D在第三象限，设△DAC的面积为S，求S与m的函数关系式，并求出S的最大值及此时点D的坐标；（3）连接BC，若∠EAD＝∠OBC，请直接写出此时点D的坐标．参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）1．【解答】解：A、﹣＜﹣1，故本选项不符合题意；B、﹣2＜﹣1，故本选项不符合题意；C、﹣3＜﹣1，故本选项不符合题意；D、0＞﹣1，故本选项，符合题意；故选：D．2．【解答】解：44亿＝4.4×109．故选：B．3．【解答】解：该几何体的主视图为：故选：C．4．【解答】解：A、原式＝6a2，不符合题意；B、原式＝27a6，符合题意；C、原式＝a2，不符合题意；D、原式＝a2+2ab+b2；不符合题意；故选：B．5．【解答】解：由作法得AE垂直平分CD，∴∠AED＝90°，CE＝DE，∵四边形ABCD为菱形，∴AD＝2DE，∴∠DAE＝30°，∠D＝60°，∴∠ABC＝60°，∵AB＝2DE，作EH⊥BC交BC的延长线于H，如图，若AB＝4，在Rt△ECH中，∵∠ECH＝60°，∴CH＝CE＝1，EH＝CH＝，在Rt△BEH中，BE＝＝2，故选：B．6．【解答】解：张敏的成绩是：＝87.6（分），故选：B．7．【解答】解：设AC，BD交点为O，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA，又∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠BAC，∴∠BCA＝∠BAC，∴AB＝BC，∴平行四边形ABCD是菱形；∵四边形ABCD是菱形，且AC＝12、BD＝16，∴AO＝6、BO＝8，且∠AOB＝90°，∴AB＝＝10，∴对边之间的距离＝＝，故选：C．8．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∠ABD＝15°，∴∠ADB＝90°，∴∠A＝75°，∵AD∥OC，∴∠AOC＝75°，∴∠BOC＝180°75°﹣＝105°，故选：B．9．【解答】解：连结EF，作GH⊥x轴于H，如图，∵四边形ABOD为矩形，∴AB＝OD＝OF+FD＝1+2＝3，∵△ABE沿BE折叠后得到△GBE，∴BA＝BG＝3，EA＝EG，∠BGE＝∠A＝90°，∵点E为AD的中点，∴AE＝DE，∴GE＝DE，在Rt△DEF和Rt△GEF中，∴Rt△DEF≌Rt△GEF（HL），∴FD＝FG＝2，∴BF＝BG+GF＝3+2＝5，在Rt△OBF中，OF＝1，BF＝5，∴OB＝＝2，∵GH∥OB，∴△FGH∽△FBO，∴＝＝，即＝＝，∴GH＝，FH＝，∴OH＝OF﹣HF＝1﹣＝，∴G点坐标为（，）．故选：B．10．【解答】解：当P点在AB上运动时，△AOP面积逐渐增大，当P点到达B点时，△AOP面积最大为3．∴AB•＝3，即AB•BC＝12．当P点在BC上运动时，△AOP面积逐渐减小，当P点到达C点时，△AOP面积为0，此时结合图象可知P点运动路径长为7，∴AB+BC＝7．则BC＝7﹣AB，代入AB•BC＝12，得AB27﹣AB+12＝0，解得AB＝4或3，因为AB＞BC，所以AB＝4．故选：B．二、填空题（每小题3分，共15分）11．【解答】解：原式＝24+4﹣＝2，故答案为：2．12．【解答】解：y＝x24﹣x+a＝（x2﹣）2+a4﹣，当x＝2时，函数有最小值a4﹣，∵二次函数y＝x24﹣x+a在﹣2≤x≤3的范围内有最小值﹣3，2≤﹣x≤3，y随x的增大而增大，∴a4﹣＝﹣3，∴a＝1，故答案为1．13．【解答】解：画树状图为：共有16种等可能的结果数，其中两次抽取的卡片上数字之和为偶数的结果数为8，所以两次抽取的卡片上数字之和为偶数的概率为＝，故答案为：．14．【解答】解：连接BG，CG∵BG＝BC＝CG，∴△BCG是等边三角形．∴∠CBG＝∠BCG＝660°，∵在正方形ABCD中，AB＝4，∴BC＝4，∠BCD＝90°，∴∠DCG＝30°，∴图中阴影部分的面积＝S扇形CDG﹣S弓形CG＝﹣（﹣×4×2）＝4﹣，故答案为：4﹣．15．【解答】解：如图所示，当∠CFE＝90°时，△ECF是直角三角形，由折叠可得，∠PFE＝∠A＝90°，AE＝FE＝DE，∴∠CFP＝180°，即点P，F，C在一条直线上，在Rt△CDE和Rt△CFE中，，∴Rt△CDE≌Rt△CFE（HL），∴CF＝CD＝4，设AP＝FP＝x，则BP＝4﹣x，CP＝x+4，在Rt△BCP中，BP2+BC2＝PC2，即（4﹣x）2+62＝（x+4）2，解得x＝，即AP＝；如图所示，当∠CEF＝90°时，△ECF是直角三角形，过F作FH⊥AB于H，作FQ⊥AD于Q，则∠FQE＝∠D＝90°，又∵∠FEQ+∠CED＝90°＝∠ECD+∠CED，∴∠FEQ＝∠ECD，∴△FEQ∽△ECD，∴＝＝，即＝＝，解得FQ＝，QE＝，∴AQ＝HF＝，AH＝，设AP＝FP＝x，则HP＝﹣x，∵Rt△PFH中，HP2+HF2＝PF2，即（﹣x）2+（）2＝x2，解得x＝1，即AP＝1．综上所述，AP的长为1或．三、解答题（75分）16．【解答】解：原式＝÷＝•＝，当x＝4cos30°+3＝4×+3＝2+3时，原式＝＝．17．【解答】解：（1）∵总人数为18÷45%＝40人，∴C等级人数为40﹣（4+18+5）＝13人，则C对应的扇形的圆心角是360°×＝117°，故答案为：117；（2）补全条形图如下：（3）因为共有40个数据，其中位数是第20、21个数据的平均数，而第20、21个数据均落在B等级，所以所抽取学生的足球运球测试成绩的中位数会落在B等级，故答案为：B．（4）估计足球运球测试成绩达到A级的学生有300×＝30人．18．【解答】（1）证明：如图1，连接OD，∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，∴AB＝BC，∵D是BC的中点，∴BD＝BC，∴AB＝BD，∴∠BAD＝∠BDA，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠ODB＝∠BAO＝90°，即OD⊥BC，∴BD是⊙O的切线．（2）①当DE⊥AC时，四边形ABDE是菱形；如图2，设DE交AC于点M，连接OE，则DE＝2DM，∵∠C＝30°，∴CD＝2DM，∴DE＝CD＝AB＝BC，∵∠BAC＝90°，∴DE∥AB，∴四边形ABDE是平行四边形，∵AB＝BD，∴四边形ABDE是菱形；∵AD＝BD＝AB＝CD＝BC＝，∴△ABD是等边三角形，OD＝CD•tan30°＝1，∴∠ADB＝60°，∵∠CDE＝90°∠﹣C＝60°，∴∠ADE＝180°∠﹣ADB∠﹣CDE＝60°，∴∠AOE＝2∠ADE＝120°，∴的长度为：＝π；故答案为：；②若∠ADE＝90°，则点E与点F重合，此时的长度为：＝π；若∠DAE＝90°，则DE是直径，则∠AOE＝2∠ADO＝60°，此时的长度为：＝π；∵AD不是直径，∴∠AED≠90°；综上可得：当的长度是π或π时，△ADE是直角三角形．故答案为：π或π．19．【解答】解：（1）如图，在Rt△OAD中，∠ADO＝90°，∵tan∠AOD＝，AD＝3，∴OD＝2，∴A（﹣2，3），把A（﹣2，3）代入y＝，考点：n＝3×（﹣2）＝﹣6，所以反比例函数解析式为：y＝﹣，把B（m，﹣1）代入y＝﹣，得：m＝6，把A（﹣2，3），B（6，﹣1）分别代入y＝kx+b，得：，解得：，所以一次函数解析式为：y＝﹣x+2；（2）当y＝0时，﹣x+2＝0，解得：x＝4，则C（4，0），所以；（3）当OE3＝OE2＝AO＝，即E2（﹣，0），E3（，0）；当OA＝AE1＝时，得到OE1＝2OD＝4，即E1（﹣4，0）；当AE4＝OE4时，由A（﹣2，3），O（0，0），得到直线AO解析式为y＝﹣x，中点坐标为（﹣1，1.5），令y＝0，得到y＝﹣，即E4（﹣，0），综上，当点E（﹣4，0）或（，0）或（﹣，0）或（﹣，0）时，△AOE是等腰三角形．20．【解答】解：延长AC、DE交于点F，则四边形BCFE为矩形，∴BC＝EF，在Rt△ABC中，sin∠BAC＝，∴BC＝AB•sin∠BAC＝2.3×0.94＝2.162，∴EF＝2.162，在Rt△DBE中，tan∠DBE＝，∴DE＝BE•tan∠DBE＝1.5×1.04＝1.56，∴DF＝DE+EF＝2.162+1.56≈3.7（m）答：篮板顶端D到地面的距离约为3.7m．21．【解答】解：（1）340﹣（2422﹣）×5＝330（件），330×（86﹣）＝660（元）．故答案为：330；660．（2）线段DE所表示的y与x之间的函数关系式为y＝3405﹣（x22﹣）＝﹣5x+450；（3）设线段OD所表示的y与x之间的函数关系式为y＝kx，将（17，340）代入y＝kx中，340＝17k，解得：k＝20，∴线段OD所表示的y与x之间的函数关系式为y＝20x．联立两线段所表示的函数关系式成方程组，得，解得：，∴交点D的坐标为（18，360），∵点D的坐标为（18，360），∴试销售期间第18天的日销售量最大，最大日销售量是360件．22．【解答】解：（1）把△BPC绕点C顺时针旋转60°得△AP'C，连接PP′（如图1）．由旋转的性质知△CP′P是等边三角形；∴P′A＝PB＝、∠CP′P＝60°、P′P＝PC＝2，在△AP′P中，∵AP2+P′A2＝12+（）2＝4＝PP′2；∴△AP′P是直角三角形；∴∠P′AP＝90°．∵PA＝PC，∴∠AP′P＝30°；∴∠BPC＝∠CP′A＝∠CP′P+∠AP′P＝60°+30°＝90°．故答案为：2；30°；90°；（2）如图2，把△BPC绕点C顺时针旋转90°得△AP'C，连接PP′．由旋转的性质知△CP′P是等腰直角三角形；∴P′C＝PC＝1，∠CPP′＝45°、P′P＝，PB＝AP'＝，在△AP′P中，∵AP'2+P′P2＝（）2+（）2＝2＝AP2；∴△AP′P是直角三角形；∴∠AP′P＝90°．∴∠APP'＝45°∴∠APC＝∠APP'+∠CPP'＝45°+45°＝90°（3）如图3，∵AB＝AC，将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACG，连接DG．则BD＝CG，∵∠BAD＝∠CAG，∴∠BAC＝∠DAG，∵AB＝AC，AD＝AG，∴∠ABC＝∠ACB＝∠ADG＝∠AGD，∴△ABC∽△ADG，∵AD＝2AB，∴DG＝2BC＝6，过A作AE⊥BC于E，∵∠BAE+∠ABC＝90°，∠BAE＝∠ADC，∴∠ADG+∠ADC＝90°，∴∠GDC＝90°，∴CG＝＝＝，∴BD＝CG＝．23．【解答】解：（1）在y＝﹣x3﹣中，当y＝0时，x＝﹣6，即点A的坐标为：（﹣6，0），将A（﹣6，0），B（2，0）代入y＝ax2+bx3﹣得：，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝x2+x3﹣；（2）设点D的坐标为：（m，m2+m3﹣），则点F的坐标为：（m，﹣m﹣3），∴DF＝﹣m3﹣﹣（m2+m3﹣）＝﹣m2﹣m，∴S△ADC＝S△ADF+S△DFC＝DF•AE+•DF•OE＝DF•OA＝×（﹣m2﹣m）×6＝﹣m2﹣m＝﹣（m+3）2+，∵a＝﹣＜0，∴抛物线开口向下，∴当m＝﹣3时，S△ADC存在最大值，又∵当m＝﹣3时，m2+m3﹣＝﹣，∴存在点D（﹣3，﹣），使得△ADC的面积最大，最大值为；（3）①当点D与点C关于对称轴对称时，D（﹣4，﹣3），根据对称性此时∠EAD＝∠ABC．②作点D（﹣4，﹣3）关于x轴的对称点D′（﹣4，3），直线AD′的解析式为y＝x+9，由，解得或，此时直线AD′与抛物线交于D（8，21），满足条件，综上所述，满足条件的点D坐标为（﹣4，﹣3）或（8，21）",)