考研数学挑战：相似、合同与等价的深度解析

('精品资料欢迎阅读考研数学：令人头大的相似、合同、等价摘要：考研数学里关于矩阵的相似、合同、等价的关系有时令大家头晕脑胀，就需要大家对它们的性质、定义要更加清楚，得分才不难。接下来一起看看三者的纠缠吧。关于矩阵的相似、合同、等价的关系总结起来就是一句话相似必合同，合同必等价（反之，则不一定）...........背好这一句话基本可以应付70%的填空选择，至于剩下那30%，则需要对各自的性质、定义以及判别的条件有充分的了解。分割线卡通一、等价的定义两个SxN矩阵A,B等价的充要条件为：存在可逆的s阶矩阵p与可逆的n阶矩阵Q，使得B=PAQ矩阵A与B等价必须具备的两个条件(1)矩阵A与B必为同型矩阵(不要求是方阵)(2)存在s阶可逆矩阵p和n阶可逆矩阵Q，使B=PAQ矩阵等价的性质(1)反身性:即A~=A(2)对称性:若A~=B，则B~=A.(3)传递性:若A~=B，B~=C，则A~=C.(4)A等价于B的充要条件是r(A)=r(B)(5)设A为mn矩阵，r(A)合同，C又与B合同，那么C与A合同.(4)合同的两矩阵有相同的二次型标准型.(5)任一个对称矩阵都合同于一个对角矩阵(6)合同矩阵的秩相等三、相似的定义设A,B均为n阶方阵，若存在n阶可逆矩阵P，使P1AP=B，则称矩阵A与B为相似矩阵(若n阶可逆矩阵P为正交阵，则称A与B为正交相似矩阵).矩阵A与B相似，必须同时具备两个条件(1)矩阵A与B不仅为同型矩阵，而且是方阵(2)存在n阶可逆矩阵P，使得P1AP=B矩阵相似的性质(1)反身性:即A~A(2)对称性:若A~B，则B~A.(3)传递性:若A~B，B~C，则A~C.(4)若矩阵A、B相似，则r(A)=r(B)(5)若矩阵A、B相似，则KA~KB(6)若矩阵A、B相似，则A1精品资料欢迎阅读~B2精品资料欢迎阅读(7)若矩阵A、B相似，f(x)是一个多项式，则f(A)~f(B)注：(1)与单位矩阵相似的n阶矩阵只有单位阵E本身，与数量矩阵kE相似的n阶方阵只有数量阵kE本身。(2)有相同特征多项式的矩阵不一定相似。这里老师给大家整理成了表格的形式关于相似必合同，合同必等价的关系证明相似必等价，等价未必相似证明：那么在什么情况下，等价可以推出相似呢？推论：对于n阶方阵A,B，若存在n阶可逆矩阵P,Q使PAQ=B,(A与B等价)，且PQ=E(E为n阶单位矩阵)，则A与B相似.这个大家就自行证明吧！合同必等价，等价未必合同证明：什么时候等价矩阵是合同的？?只有当等价矩阵的正惯性指数相同时等价矩阵是合同矩阵相似必合同，合同未必相似这里相似必合同有一个条件：例如A与B相似，则存在可逆矩阵P使B=P1BP,如果P的逆矩阵与P的转置矩阵不相等，则相似矩阵不是合同矩阵所以：正交相似矩阵必为合同矩阵，正交合同矩阵未必是相似矩阵证明：以上，就是对相似合同等价关系的总结了，掌握这些，应付考试，不在话下！3',)