光电子技术基础-第4章--光波导技术基础

('====Word行业资料分享--可编辑版本--双击可删====第4章光波导技术基础为使激光器发出的光直接或间接地为人类服务，需要将光源发出的光调制后传送到接收器，这当中最重要的是要有一种衰减尽可能小而且尽可能不失真地传输光的光路。对于光电子技术来讲，用于发光的光源和将光转换成电的探测元件作为光电子系统的“发”端与“收”端，是不可缺少的重要器件，而用于各器件间光传输的介质光波导也是极其重要的，它将光限制在一定路径中向前传播，减小了光的耗散，便于光的调制、耦合等，为光学系统的固体化、小型化、集成化打下了基础，是光电子学向集成光电子学发展的主要基础知识，也是光纤通信的重要基础知识。传统光学中常用空气作传输介质，用透镜、棱镜、光栅等光学元件构成光路来实现光的焦、传输、转折等。但在长距离传输中，大气中的水分和气体等的吸收、水滴和粉尘等烟雾的散射等都很大，各种光学元件又存在菲涅耳反射等耗散，因而没有实用价值。也有人曾试验过气体透镜：将圆管中充满清洁的空气，四周加热，调整气体流速以保持层流，用气体温差构成气体透镜，使通过的光向中心汇聚，不致耗散，但实现起来相当困难。最终人们发现介质光波导可以用来引导光按需要的路径传播，并且损耗可以做到很小，这正如电流被限制在线路布线、电线等中传输一样。介质波导常用的有平面(薄膜)介质波导、条形介质波导和圆柱形介质波导。当工作于光波波段时，这些介质波导常称为平面光波导、条形光波导与光纤。光纤分为阶跃折射率光纤和渐变折射率光纤。阶跃折射率光纤的原理由英国的Tyndall于1854年提出，英国的Baird与美国的Hansell于1927年申请石英光纤应用专利。向玻璃光纤输入光最早于1930年前后由德国人完成。l958年，美国的Kapany设计了细束光纤，同年美国光学公司为减少光纤包层杂散光引入第二吸收鞘；1961年美国的Snitzer研制了光纤激光器。1963年，日本的西迟等人申请了渐变折射率光纤专利，l968年日本玻璃板公司研制出产品。l970年，美国Corning公司研制出20dB／km的低损耗光纤，从此之后，各公司为实现光通信的商用化，开展了大量光学元器件和传输通路的研制。目前，光纤通信已产业化，各国都在实现光纤通信网络化。平板与条形光波导是光学系统小型化、集成化、固体化需求下的产物。可以将光限制在低损耗的波导内传播。其起源可追溯到1910年德国的Hondros和Debye进行的电介质棒的研究。1962年前后开始了薄膜光波导的研究：当年美国的Yariv从pn结中观测到平板层中的光波导现象，l963年，Nelson等人发现了光波导电光调制现象，1965年美国的Anderson开始用光刻方法制作光波导，1964年，0sterberg与Smith开始光波导耦合实验。此后各国开始了各种功能光波导器件的研制。无论是平面型介质波导还是圆介质波导，它们的电磁场主要集中于芯区，但并非封闭于芯区，在衬底与覆盖层中，在包层中也有电磁场存在。它们紧贴着芯区，沿芯区的外法线方向场指数衰减。介质波导是开放型波导，纵向传播的波是表面波。平面波导是更复杂的波导结构的基本几何形状，其结构最为简单、直观与精练，便于对波导中光的轨迹有最清晰的概念，我们就由此出发来进行光波导的研究；光纤是现实====Word行业资料分享--可编辑版本--双击可删====应用最广泛的光波导，并且是典型的柱面结构，也是本章学习的重点之一。以下我们研究远离电源的介质光波导，即没有空间电荷、没有电流的系统，其间填充的是线性、均匀、各向同性的不导电介质。平面波导就是界面为平面的波导，为此需要研究界面上光线的传播情况，就此分析形成波导的条件。4．1平面介质光波导中的光传播与导引波、消逝波、波导当均匀平面波在由无源、无荷的线性、均匀、各向同性、不导电介质构成的无损介质界面发生全反射时，整个介质空间的合成场将形成沿界面方向传播的非均匀平面波：在光密介质中，波场沿界面法线方向按驻波分布，称导引波；在光疏介质中，波场沿界面法线方向按指数衰减分布，称消逝波。4．1．1光在介质界面的传播特性由光学知识可知(图2-6)：电磁波通过两种介质的界面时，将发生波的反射和折射，反射波和折射波的方向遵守折、反射定律反射波的振幅服从菲涅耳公式r称为振幅反射系数，下标“”和“”分别表示电矢量垂直和平行于入射面。时，增大到，其中满足时，产生全反射。由此得当时====Word行业资料分享--可编辑版本--双击可删====式中下面我们分析合成场的性质。4．1．2光密介质中的波场——导波在光密介质中，反射波在界面发生相位突变，光强反射率即入射功率全部反射回原光密介质中，光密介质中的场由入射波和反射波叠加而成。为简化，考虑入射波电矢量垂直入射面的情况，则有：入射电场反射电场式中，。而称为纵向传播常量，以标识；称为横向传播常量，记为h，即又由于于是有====Word行业资料分享--可编辑版本--双击可删====合成波电场同理可得合成磁场式中，称为波阻抗。于是可得光密介质中合成场的特性：1)合成场的等相位面(z为常量)垂直于波传播方向，等振幅面(x常量)平行于界面，二者互相垂直，因而属非均匀平面波。2)合成波的电矢量只有横向分量，而磁矢量除有横向分量外还有纵向分量，因而合成波为横电波。3)合成场区沿x向为驻波，场分量与的相位差为／2，x向无能量传播。4)合成场区沿z方向为行波，传播相速度为可见大于介质中光的传播速度，甚至可大于真空中光速c。相应地，z波长为====Word行业资料分享--可编辑版本--双击可删====可见，大于介质中的自由波长，甚至可以大于真空中的波长。在波导理论中，称为导波波长。由于与同相，所以其坡印亭矢量可见，能量沿z方向传播，群速度即这种波只沿z传播功率，如同是被界面所引导，故称导引波，简称导波。波电矢量平行界面时，为TM波，分析方法同上。4．1．3光疏介质中的场——消逝波按理在界面上发生全反射时，入射光功率全部返回中，光疏介质中似无透射场，但实际上全反射过程仅进行了功率全反射，而场是有透射的。假设透射场存在，则式中，。全反射时，，因而于是式中====Word行业资料分享--可编辑版本--双击可删====于是可知，在光疏介质中合成电场有特性：1)合成波场等相位面垂直于界面，而等振幅面平行于界面，二者互相垂直，为非均匀平面波。2)振幅沿界面法向按指数衰减，故称为消逝场，p为消逝系数，并定义消逝长度为波场衰减到边界值的l／e时的透入深度，即如取，1.52(石英)，1(空气)时，对可见光波可算得。可见，一般来讲，消逝场透射深度很小。3)沿z方向为行波，其相速度和能量传递速度皆同光密介质，波场集中在x=0附近较小的范围内，好像贴着表面传播，所以称光疏介质中传播的波场为表面波，又称消逝波。由前述分析可见：1)若在光密介质中z距界面／2(m=1，2，…)处放光疏介质，则不影响界面与所加光疏介质中间夹层中光密介质中的场分布，于是光被约束在中间介质层中沿z向传播，这种层状结构即形成波导；介质波导是开放型波导，纵向传播的波是表面波。2)若在界面外小于范围内放置另一的光密介质板，则可通过消逝场的渗透将原光密介质中传播的功率耦合出来。4．2平面介质光波导中光导模的几何光学分析上面，我们介绍了介质波导、光导波、消逝波(表面波)等概念。下面我们从几何光学的观点来定性分析入射波在波导中的传播情况。几何光学分析法从介质界面观点出发得出，光波导的基本原理是光在介质表面的全反射。但仅满足这点是不足以形成沿轴向均匀传播的导波的，因为某些光波之间会发生相消干涉，造成导波出现轴向不均匀，因而要使波导中传播均匀导波，还必须满足横向相位匹配条件，在二条件皆满足的条件下，则入射的平面波在介质光波导上、下两界面处全反射，成“之”字形不断前进，形成横向驻波、纵向行波的场分布。以三层平板波导为例来介绍光导模的线光学模型。如图4-1所示，三层分别称为波导层、衬底层、包====Word行业资料分享--可编辑版本--双击可删====层(又称覆盖层)，其折射率分别为，，，且>≥，平面光以角入射到厚度为d的波导层中，不同，则光传输情况不同：图4一l三层平板介质波导（1）如图4-2(a)所示，此时上、下界面均满足全反射条件。但只有当横向(x<0)往返一次相位变化是2的整数倍时，光波才能在上下界面间来回反射，并限制在该层内沿锯齿光路传播，即仅当此时才能有一定模式的光沿z方向均匀传播。由于往返一次的相位变化包括传播常量的横向分量造成的相移和上下界面上反射所产生的相位滞后，于是有m的不同取值对应于横向驻波波节数，每一个m值对应一个稳定的横向驻波分布，如图4-3所示，这种波导中稳定的场分布称为导波模式，简称导模，于是该方程称为导波模式的本征方程。====Word行业资料分享--可编辑版本--双击可删====图4-2平面波导光导模的线光学分析图4-3平板波导中的导模及其场分布这充分说明：并非满足的所有角入射的光场均可形成导波，对于一定波长的光波，只有满足式(4—6)的角入射的光波才可形成导波。即只有某些大于的才能形成导波，且m越大，越小，即小的入射角度相应的模式阶次高，z向单位长度内导模上下振荡次数多；当====Word行业资料分享--可编辑版本--双击可删====时，，于是波近乎只有z向分量，可以认为此时波沿z向传播。由得式中称为归一化厚度，有时又叫做归一化频率，它直接影响m的取值，也就是波导中波的传播模式。材料一定时，d越薄，m越小，薄到一定程度，仅m=0的导模能沿近乎z向传播，此时的波导称为单模波导。而当波导结构确定之后，式(4—6)中的变量只有m、和，也就是说，对于一定波长的波，导波模式仅与入射角有关。(2)在、界面反射，、界面透射，光线向衬底辐射，不再形成导波，称为衬底辐射模，如图4-2(b)所示。(3)各面均不满足全反射条件，光线在两个界面上都发生透射，这种模式称为包层辐射模，如图4-2(c)所示。由上述三点可以得出：仅当入射波满足式(4-6)及全反射条件时，入射光才能在波导中形成导波，且这种导波具有一定模式，叫导模。综上所述，形成导模的条件为：1)(即全反射)；2)。满足这两个条件之后，对于每一个m值，光波在波导中形成稳定的、横向为驻波、纵向为行波的场分====Word行业资料分享--可编辑版本--双击可删====布，这种分布称为导波模式，简称导模，对于m阶导模，有：传播常量相速度有效折射率4．3平面介质光波导中光导波的物理光学分析物理光学分析是从麦克斯韦方程出发，分析电磁场在三层波导中的分布情况，从而得出波导中光导波传播情况的方法。4．3．1定性解释如图4-4的三层平板波导，设材料是均匀、各向同性、无源、无损的非磁性介质；波导层折射率为、厚度为d；、层的厚度均远大于，可认为是无限厚；y、z方向无限延伸，则频率为的入射平面光波场满足波动方程设波为沿z方向传播的简谐波，则上式的解可表示为y方向没有限制，因而算符，即场沿y向不变化。于是式(4-11a)写为====Word行业资料分享--可编辑版本--双击可删====图4-4平面波导物理光学分析坐标系在三层介质中分量解分别写出分量波动方程为：波导层衬底层(4—13b)覆盖层(4—13c)代表E的任一分量，，，方程(4-13)的解称为平面波导的本征模式，相应的本征值就是该模式沿z方向的传播常量，也就是说导波模式就是波导空间中的一种稳定的场分布。在波的传播中，一个模式的场在波导表面上的分布保持形状不变。下面我们先定性讨论一下波导中的模式。====Word行业资料分享--可编辑版本--双击可删====图4-5平面波导模式场分布1)当时，均小于0，各处皆有，相应的场解E均为指数形式，根据边界连续条件，可得其相应的电场分布如图4—5(a)所示，场随离开波导的距离增大而无限制地增大，因而这一解没有物理意义，不对应于真实波。2)当时，E在波导层具有正弦解，而在衬底层、覆盖层中为指数形式解，于是得到满足边界条件的场解是在波导层中振荡，衬底层、覆盖层中衰减的场解，其场分布如图4—5(b)、4-5(c)所示，可见，这种模式传播的光在波导层及其附近沿z向传播，为导模。3)当时，E在波导层、衬底层中为正弦解，覆盖层中为指数衰减解；相当于在-x方向无限制，因而不能形成分立的取值，这种模式未被限制在波导中，而是向衬底部分辐射，因而称衬底辐射模，如图4—5(d)所示。在耦合器等器件中，都要用到辐射模。4)，在所有区域均为正弦解，称包层辐射模，如图4-5(e)所示。由上述讨论可知，只有当时，场被限制在平面介质波导中。对应于线光学中的，同样====Word行业资料分享--可编辑版本--双击可删====4．3．2本征方程我们来看上述三层平板波导中的导模。由于由麦氏方程将场的横向分量用纵向分量表示得对于一个给定的波导结构，和应分别满足波动方程，这意味着二者是相互独立的。由电磁场的纵向分量来定义场类型：1)横电波(TE波)，即的波，其各场分量为====Word行业资料分享--可编辑版本--双击可删====2)横磁波(TM波)，即的波，可得由此可见：TE波只有惟一的横向电场分量，而TM波只有惟一的横向磁场分量。于是，对TE波仅需求解波动方程对TM波仅需求解波动方程即可。方程(4-14a)、(4-14b)形式完全相同；因而二者的求解过程及所得解均十分相似。所以，以下仅以TE波为例来分析其结果。由于E(x，y)仅有分量，因而波动方程简化为：波导层衬底层覆盖层于是其满足导波条件及边界条件（及处、连续)的模场表达式为====Word行业资料分享--可编辑版本--双击可删====式中且有可见，波导中的电磁场主要集中于芯区，但并非封闭于芯区，在衬底与覆盖层中也有电磁场存在，它紧贴着导波区，并沿其外法线方向指数衰减。由于式(4—17)中的、、表达式均包含传播常量，因而式(4—17)称为TE模的本征方程。至此，可见式(4—15)中仅有未知常量A。一般来说，它是可以任意选取的，但在有些情况下，特别是涉及多个模式的传播和功率交换时，最好将这个系数与模式的总功率联系起来，以期对其有一个对不同模式相对能量大小的概念。于是，以此为依据，我们对A进行归一化。令A的选取使所表示的场对应的模式在y方向单位宽度所携带的功率流密度为，即对应的平均功率为则有====Word行业资料分享--可编辑版本--双击可删====式中，，称为波导TE模的有效厚度，、即前述渗透深度。同时，我们还可以定义其他参数：有效折射率归一化折射率归一化频率式(4—17)给出了TE模的本征方程，即，，之间的关系，实际上，它可化为这是一个超越方程，可用作图法求解，如图4-6所示，等号左边函数对应画为实线，右边函数画为虚线[分母为零时，出现奇点]，于是两组曲线交点便为一系列取值，由于为的函数，因而对应为一系列分立的取值。但当时，右边函数成为虚数，与为实数相悖，因而虚线必须在处终止，此处对应着这一截止条件。于是可见，由模式本征方程即可求得的有限个分立取值，每一个值即可确定一个TE导模，====Word行业资料分享--可编辑版本--双击可删====对应有模场及相应的,,；V即前述定义的归一化厚度(有时称归一化频率)。图4-6平面波导TE模本征方程的图解4．3．3对称波导下面讨论一个特殊情况，即的波导，称对称波导，这种结构在激光二极管、集成光路、光纤等中常被采用，它与时有一些不同。用下标s表示对称波导，它对应的截止条件为由式(4-17)有即将代入得由上式可见，时，，换句话说：对应的模式永不被截止，也就是说，在对称波导中，最低阶模、没有截止值，即在对称波导中至少有两种模存在；而不对称波导中各种模式均可被====Word行业资料分享--可编辑版本--双击可删====截止。由式(4-23)还能推出由此可得到要形成波导所需的最小折射率差。4．3．4扩散平板光波导在集成光电子器件中，经常要通过扩散方式制作光波导，扩散波导性质的研究对于波导形成具有指导作用。然而扩散光波导不能直接用通常的阶跃平板光波导方法分析。下面我们根据扩散离子浓度分布与折射率分布之间的关系，以及折射率分布特性，用有效折射率法来分析扩散波导的性质。我们以z切x传钛扩散铌酸锂(Ti：LN)平板波导为例来进行分析。用表示晶体表面折射率变化量，表示体扩散深度。根据具体扩散条件，折射率的变化分别可以用以下几种典型的分布来近似：(1)指数分布函数这是最初采用的典型折射率分布函数，形式最简单，扩散形成的玻璃波导常取这种形式，但在分析实际Ti：LN光波导折射率分布时，符合情况略逊于后两种。(2)余误差函数分布余误差函数分布是对膜层金属刚好扩散完时衬底中折射率分布的最好描述，因而在扩散时间较短时，如外扩散铌酸锂波导时，一般取这种近似。(3)高斯分布当扩散时间足够长，从而使(d为待扩散金属膜层厚度)时，如内扩散铌酸锂波导，其实际折射率分布与此符合最好，因而取该种形式。令，可见，扩散引起的折射率变化都可以用，形式来描述，且均在====Word行业资料分享--可编辑版本--双击可删====处取最大值，并随着z的增加而逐渐减小，取值范围在0到1之间，即式中，为扩散前体折射率，为扩散后表面折射率。当很小时，上式还可近似为导模在扩散波导中的传播途径如图4—7所示。图4—7导模在扩散波导中的传播沿z方向传播的模其传播矢量为,表示x方向单位矢量。深处传播矢量为,与z轴间的夹角为传输距离沿x方向每增加，波透入波导深度增加，相应的相位变化为这样，导模就从表面开始不断地深入波导中，直到处,,，光线开始向表面折回。当时，z向总的相位变化可表示为一个积分分析过程中还应考虑全反射相移。在扩散波导的上表面，,,且，因而对于TE、TM模，界面相移分别表示为====Word行业资料分享--可编辑版本--双击可删====由于扩散波导中，因而，接近于，又因为Ti：LN光波导折射率远大于空气折射率，于是，上表面处TE、TM模相移均可近似为在扩散波导中行进的波在透入最深点处也会产生一个相移。这一相移相应于波掠射且折射率趋向均匀的极限情况，TE、TM模相移均为则根据横向相位匹配条件式(4—6)可得采用式(4—19)定义的归一化参数，上式可简化为这实际上就是扩散平板光波导的模式色散方程。以下我们根据模式色散方程来分析扩散光波导的性质。图4-8给出了两种扩散光波导的b-V曲线。图4-9还给出两种扩散光波导有效折射率与各阶模式扩散深度关系曲线；图4-l0给出两种扩散波导的折射率变化及不同阶模m扩散深度间关系曲线；Y0为扩散深度用自由空间波长归一化后的值：。图4-11还给出了不同有效折射率下各模式透入扩散波导最大深度图。====Word行业资料分享--可编辑版本--双击可删====图4-8两种类型扩散光波导b—V曲线图4-9扩散波导有效折射率与扩散深度Y0关系====Word行业资料分享--可编辑版本--双击可删====图4一l0不同扩散波导的折射率变化及扩散深度Y0关系图4-11不同有效折射率下各模式曲线4．4光纤——圆柱介质光波导4．4．1光纤的基本知识光学纤维(简称光纤)是一种圆柱对称的介质波导，其导波原理及分析方法与介质波导相似，但由于其圆柱结构的折射率分布与界面分布，数学处理更为复杂。它为二维波导，因而在用于平面一维波导的直角坐标中处理不再适用，而要在圆柱坐标系中解波动方程。光纤的主要结构如图4一l2所示。====Word行业资料分享--可编辑版本--双击可删====图4-12圆柱介质光波导(光纤)它由传导光的纤芯(折射率)和外层的包层(折射率)两同心圆形的双层结构组成，且。如果为常量，则折射率仅在、分界面上发生突变，称为阶跃折射率光纤；如果是光纤半径r的函数，即从中心到r=a折射率是渐变的，则称为渐变折射率光纤。另一方面，根据光纤中传输模式多少可将光纤分为多模光纤和单模光纤，其芯径、折射率、光线轨迹与传输带宽各不相同。一般单模光纤芯径约10，光在其中几乎沿轴向传输，传输带宽10GHz以上；多模渐变型光纤芯径约50，光的传输轨迹近似为正弦型，传输带宽从数百MHz到数GHz；多模阶跃型光纤芯径约62．5，光传输轨迹为“之”字形，传输带宽10MHz到50MHz。光纤包括石英光纤与塑料光纤两大类，石英光纤损耗小、性能好，常用于通信；塑料光纤损耗大、易于耦合、制作容易，用于短距离能量传导等，未来希望向光纤入户与局域网方向发展。考虑到目前情况，本章主要介绍石英光纤。4．4．2光纤的结构参数光纤的结构参数有纤芯直径2a，包层直径2b，数值孔径N．A．，相对折射率△，归一化频率与折射率分布。1．直径光纤的直径包括纤芯直径2a和包层直径2b。从成本考虑，光纤的直径应尽量小，从机械强度和柔韧性考虑也应细些，这是因为石英光纤很脆，若粗了，很容易折断；但从对接、耦合、损耗等方面来考虑，光纤以粗为宜。综合二者因素，一般光纤总粗小于150。典型单模光纤芯径约l0(多取9)，多模阶跃光纤芯径62．5，多模渐变型光纤芯径约50，但它们的包层外径一般均取l25。2．数值孔径====Word行业资料分享--可编辑版本--双击可删====数值孔径定义为光纤可能接受外来入射光的最大受光角()的正弦与入射区折射率的乘积。如图4-13所示，因为只有的光线才能在光纤中传播(其中为纤芯折射率，为包层折射率，为空气折射率)，所以于是得N．A．代表光纤接收入射光的能力，只有的光锥内的光才可能在光纤中发生全反射而向前传播。对于波长处典型值，=1．46，=1．455，可算得N．A．=0．12。图4．13光纤界面光传输情况3．相对折射率△相对折射率△定义为纤芯折射率同包层折射率的差与纤芯折射率之比一般只略大于：单模光纤△=0．3％，多模光纤△=1％，于是4．归一化频率V表示在光纤中传播模式多少的参数，定义为====Word行业资料分享--可编辑版本--双击可删====它与平板波导中的归一化频率定义一致。和N．A．越小，V越小，在光纤中的传播模式越少。一般地，当V<2.405时，只有基模能传播；而当V>2.405时，为多模传输态。5．折射率分布纤芯折射率分布通式为为纤芯中心折射率，r取值范围为0≤r≤，为折射率分布系数。取值不同，折射率分布不同：=时，折射率为阶跃型分布；=2时，折射率为平方律分布(渐变型分布的一种)；=1时，折射率为三角型分布。4．5光纤中光导波的线光学分析光纤中光导波的传输原理及分析方法与平面介质波导基本一致，其导波机理亦在于光的全反射，只是由于光纤的圆对称结构，处理方法由原来的一维变为二维，坐标系也由直角坐标系变为极坐标系，因而数学处理方法更为复杂。在平板波导中，光的轨迹都在一个平面内，只要用界面入射角口就能描述光线的方位；而在光纤中仅用光线与界面法线的夹角来表示是不够的，还要用光线与轴线的夹角。因为光线可能通过波导轴线(子午光线)而在同一平面内传播，也可不通过轴线(偏射光线)在不同的平面内传播。4．5．1子午光线入射角通过圆柱轴线，且大于临界角时，光将在柱面上不断发生反射，形成曲折光线，传导光线的轨迹始终处于入射光线与轴线决定的平面(子午面)内，如图4-14。图4-14光纤芯中的子午光线4．5．2偏射光====Word行业资料分享--可编辑版本--双击可删====当入射光线不通过圆柱波导轴线时，传导光线将不在同一平面内，而按图4—15所示之空间折线传播，这种光线称为偏射光线。如果将其投影到端截面上，就可看到传导光线将完全被限制在两个共轴圆柱面之间，其中之一是纤芯与包层边界，另一个在纤芯中，其位置决定于和，二者均称为散焦面。在两散焦面之间，光波按驻波分布，其外，场沿径向按指数衰减。随着入射角增大，内焦面向外焦面逼近，极限情况下，两焦面重合，光纤端面的光线入射面与圆柱面相切()，在光纤中传导的光线成为一条与圆柱面相切的螺线。图4-15圆柱介质波导中的偏射光线光线在A点以角入射，于P、Q等点发生全反射。PP′、QQ′平行于OO′，交端面圆周于P′、Q′，AP与PP′(即与轴线)交角为，称为折射角(又称轴线角)；AP与端面夹角；入射面与子午面夹角为，为AP在界面的入射角，则====Word行业资料分享--可编辑版本--双击可删====还满足于是的最大允许值满足因此式中，为偏射光线阶模式的最大允许入射角，而为子午光线阶模式的最大允许入射角。由于，因而，可见满足时。可依的取值不同而取直到的值：时，取最小值；而时。为。因而对没有限制。但是否的光都能形成光导波，还要受取值的限制。也就是说的光线中，只有某部分相应的光线才能形成导波。偏射光线的纵向传播常量为若，则而正是导模的截止条件，凡是的模都被截止，不能形成导模。也就是说，一旦，即使，导模都将被截止。可见，满足并不一定满足传导条件，要形成导模====Word行业资料分享--可编辑版本--双击可删====还要满足。根据与的取值范围不同，可将偏射光线分为以下几类(图4-16)：(1)非导引光线当时，不满足全反射条件，不能够向前传导。它相应于图4—16中以过A点的界面法线为轴线、以为锥角的圆锥内的光线。图4—16光纤中的导引光线、非导引光线与泄漏光线(2)导引光线——传输模当，且时，光功率将在光纤中无损耗地传输，相应的入射孔径角有它与子午线N．A．相等。导引光线相应于图4—16中，以过A点且平行Z轴的直线AA′为轴线、以为锥角所做的圆锥被光纤圆柱所截出的半圆锥内的光线。(3)泄漏光线——辐射模当。且时，光功率不能被全部限制在纤芯中，部分向纤芯外泄漏。它相应于圆柱中上述两圆锥以外区域中的光线。4．6阶跃光纤中光导波的物理光学分析4．6．1场方程====Word行业资料分享--可编辑版本--双击可删====同样，我们从波动方程出发来分析光导波在光纤中的传播情况，由于场的横向分量均可用其纵向分量来表达，因而可直接求出其纵向分量表达式，则其他各分量的表达式均可很方便地写出。假设光纤为无限长圆柱系统，芯区半径a，介质电常量(折射率)；包层沿径向延伸至无限远，介电常量(折射率)；，无损。一般实用的光纤芯区高于包层。包层延伸至，这一假定主要是考虑到实际导波模在包层内的场随的增加迅速衰减，“看”不到包层的外边界。满足的波动方程为在圆柱坐标系中上式化为采用分离变量法，令，则上式可化为三个独立的方程由于设光沿z向传播，于是由式(4—41a)，并考虑无穷远处场有限这一边界条件，可得考虑到系统的圆柱对称性，稳定的电磁场沿向的分布必须是以2为周期的函数，即正弦或余弦函数(虚指数函数)，因而由式(4—41b)并考虑边界条件妒=0处场有限，可直接得出对于式(4—41c)，令，，可得====Word行业资料分享--可编辑版本--双击可删====它是典型的贝塞耳(Bessel)方程，其解为各类Bessel函数形式，至于是哪类Bessel函数，由的正负决定：时解为实宗量Bessel函数，其中处函数为有限值的称第一类实宗量Bessel函数，处函数为无限值的称第二类实宗量Bessel函数；时解为虚宗量Bessel函数，其中处函数为有限值的称第一类虚宗量Bessel函数，处函数为无限值的称第二类虚宗量Bessel函数。4．6．2模式分析根据上述场解存在的边界条件：和处连续，且在处、对于任意及任意z均连续，可得：1)当时，纤芯和包层中s均为虚数，Bessel方程解为虚宗量Bessel函数。由于芯内场是有限的，因而为第一类虚宗量Bessel函数(见图4—17(c))；又由于在包层内当时场有限，因而包层内场分布为第二类虚宗量Bessel函数，见图4-17(d)。从图上可以看到，无法做到两类函数在边界连续，因而没有物理意义。====Word行业资料分享--可编辑版本--双击可删====图4-17Bessel函数曲线2)当时，在芯中S为实数，又由于在处场有限，因而芯中场分布为第一类Bessel函数，见图4-17(a)；芯外s为虚数且处场有限，因而取第二类虚Bessel函数，见图4-17(d)，即场分布沿径向指数衰减。这样就形成了芯内振荡、芯外指数衰减的导模分布。再考虑式(4-41a)与式(4-41b)可得：若，则E与无关，导模为轴对称场，相应于子午光线，对应于；若，则E沿向周期性变化，为偏射光；相当于。3)，此时芯内外的s均为实数，由于时有限，因而芯内解为第一类Bessel函数；包层中，由于时E有限，而第一类Bessel函数与第二类Bessel函数均满足条件，因而场可取为Hankel函数(即第三类Bessel函数)此时，芯和包层中均为振荡场，光向包层辐射，形成连续辐射模。4．6．3导模的解前述得出了导模、、的表达式，于是导模的解可写为====Word行业资料分享--可编辑版本--双击可删====式中于是以纵向磁场表达横向磁场，有将，代入，并考虑边界连续条件，得到导模本征方程(色散方程)在由边界连续条件得出色散方程的过程中，还得出另一个表征磁场纵向分量与电场纵向分量之比的重要参====Word行业资料分享--可编辑版本--双击可删====数它在模式鉴别中很重要，可作为模式判别的判据：1)对于子午光线，，这种光线在光纤中的行为类似平面波导的情形，因而可能存在TE、TM两种模式，TE模，TM模，且两种模式均只有三个场分量(TE模有、、；TM模有、、)，解模式本征方程后知：模场沿向分布没有变化，而场的横向分量沿径向的分布均正比于，因而在轴上为最大场点，场沿径向的变化次数由的根的数目来决定。若用模指数来标记这些根的序号，则模式记作、。2)对于偏射光线，，此时，直接求解本征方程是很复杂的，在远离截止条件，即，这种极限下解本征方程知：这时存在着两种不同的模式，相应场的纵向分量、均不为零，但与横向分量比较都弱得多，称混合模。这两种模是对应的EH模和对应的HE模，它们在边界上()横向分量均为零，且在同一值下传输的能量比较而言，HE模比EH模更集中于光纤中心，且越大，场越集中于边界；两种模式横向分量振幅相等，但位相不等，EH模的超前相位，HE模的落后相位。EH和HE模的阶次表示为和，其中表示场沿角向变化周期次数，表示径向变化周期次数(不含原点)。4．7光纤色散与脉冲展宽大多数光纤通信采用脉冲调制。如果光脉冲在光纤中传输时其形状保持不变，则只要脉冲能量足够大，在输出端总可以被探测并被分辨出来，最大的传输距离仅由光纤的损耗决定。但在实际光纤中，由于传输====Word行业资料分享--可编辑版本--双击可删====光波不可能是严格的单色光，另外又由于在光纤中光波往往是多模传输，所以势必存在着色散的影响。当光纤的纤芯很小，仅几倍于光波波长时，光纤只能传输近乎平行轴线的光波，形成单模传输。这时只存在着由于信号频率不单一而引起的单一导模各频率分量所产生的色散，称为模内色散，包括材料色散和波导色散等。当纤芯直径是光波波长的几十倍时，光纤中传播多种模式，不同导模对应于不同角度的光线，在入射端与接收端之间具有不同的光程，从而到达接收端存在时间差，造成显著的脉冲展宽，产生严重的色散，称为模间色散。色散的存在，使光波在传输过程中产生畸变，光脉冲随传播距离增长而展宽，致使输出脉冲列变得不可分辨，使信息之间相互干扰和畸变，限制信息传输的容量，还使调制速度(或带宽)成了限制传输距离的重要因素。4．7．1脉冲展宽的傅里叶分析光纤中光波的传播一般以光脉冲形式出现。对于一个光脉冲，其宽度用时间间隔来表示。从频域角度看，一定时间间隔对应于一定宽度的频谱(或)。两者之间是反比关系。每一频谱分量在光纤中都将分解为许多模式分量传播。由于同一频率的不同模式有不同的传播常量，因而其传播速度各不相同；而同一模式的传播常量随频率而变，又其相速度是频率的函数，并随之发生变化。所以光脉冲在光纤中传播一段距离后，其能量将逐渐散开，结果引起光脉冲在空间的分布展宽或作用于光纤中某一点的时间延长。由此可见，光纤的色散主要来自于传播常量的变化，而最终表现却是接收端信息接收时间的延长。一般用群延迟时间(简称群延时)来表示，定义为光脉冲传播长度L所需的时间也可用比群延来表示。式中为光脉冲群速度一般来讲，脉冲越窄(即越小)，频谱越宽，在传播过程中畸变越严重，所以在讨论脉冲展宽问题时，总是通过傅里叶变换，首先将信号从时域变到频域，经过对频域的分析后，再变换回时域，就得到了脉冲畸变。光脉冲，与其频谱间有傅里叶关系====Word行业资料分享--可编辑版本--双击可删====若光纤输入端为单色时谐波式中，为中心载波频率，为模指数。则处有若输人端为任意时域的光脉冲式中，是脉冲的时域分布。则输入光脉冲频谱为振幅函数可写成本征模的展开式，且不同频率的场分量各自按相应的模式展开于是光脉冲传到z处后我们以光功率受高斯信号脉冲调制为例来进行研究。此时则光振幅调制为====Word行业资料分享--可编辑版本--双击可删====因此对于毫微秒脉冲，由于，因而为量级，而随指数下降，可见下降很陡；、是的缓变函数，就此，可将式(4-50)中和所含用代换，得高斯分布时一般不是的线性函数，但实际传导信号谱宽一般远小于，于是可在处展开为代回式(4-54)，得====Word行业资料分享--可编辑版本--双击可删====光强则正比于1)在处，，可见，时，光强有最大值S，脉宽为。2)在处，最大光强出现在处，幅值减小为。其脉宽，L足够大时，。由此可见的二阶或高阶导数是脉冲展宽的主要原因，只考虑到二阶微商时，高斯光脉冲仍保持高斯分布，但脉宽由展宽至，如图4-18所示。但只考虑至一阶微商时，脉冲不畸变，只有时延。====Word行业资料分享--可编辑版本--双击可删====图4-18脉冲展宽4．7．2光纤的色散特性光脉冲有两个速度，一个是相速度表征光纤中某一导模的等相面移动速度；另一个是群速度用以表征光脉冲能量的传播速度。于是光脉冲某一导模分量在光纤中传播单位长度所需的时间为称为比群延时。由于信号调制带宽比光载波频率小得多，故而光脉冲的群速度可用其载波频率时的群速度表示。又由归一化传播常量归一化频率于是====Word行业资料分享--可编辑版本--双击可删====还可求出传播常量展开并取一阶近似，得代回式(4—58)中有实际阶跃光纤中，纤芯折射率与包层折射率相差不大，称这种光纤为弱导光纤，弱导条件为，于是因为很小，而且折射率随频率变化不是十分明显，因而可以略去上式中第三项。又因为代入式(4—59)中并整理得可见是V，也就是的函数。上式是单模传播的比群延表达式，此时引起光纤色散的因素只有材料色散和波导色散，合称模内色散。上式第一项是由光纤的纤芯折射率随频率变化引起的。称材料色散比群延，用表示====Word行业资料分享--可编辑版本--双击可删====第二项由波导归一化传播常量b随频率V变化引起，称为波导色散比群延，用表示另外，对于多模光纤，不同导模的是不同的，这将导致多模色散。取最高阶导模与最低阶导模的之差定义为多模群延离散，用表示。因此，多模光纤中光脉冲的总比群延为4．7．3脉冲展宽的三种机制其他一个中心频率为，群速度为的光脉冲，其比群延可展开为式中第一项可以认为是频率的光脉冲的比群延。由于脉冲宽度与相比很小，因而可以认为这种比群延是光脉冲整体引起的，相当于整个脉冲用一个群速度传播。它不会导致脉冲展宽。而第二项表示比群延随频率变化引起的时延展宽，记为为真空波长。大多实际光源(如LED、LD)的谱线宽度远大于信号脉冲的傅里叶谱宽，因而、可用光源谱线宽度代替。因此，各种色散对脉冲展宽的贡献如下。1．材料色散在弱导条件()下，且设纤芯和包层折射率色散特性相差不大，则====Word行业资料分享--可编辑版本--双击可删====式中，，称为纤芯群折射率。考虑多个谐振频率情况，纤芯材料色散特性可以写为式中，表示真空光波波长，表示振子的固有谐振波长，为与有关的一个材料常量。因此于是以某一石英光纤为例，画出其图(图4一l9)，可见石英光纤在处．光纤的传输带宽极大，同时此处正是红外波长处，瑞利散射产生的损耗最小，且光探测器仍能正常工作，无需特殊冷却。====Word行业资料分享--可编辑版本--双击可删====图4-19熔融石英的材料色散特性目前，实用光纤材料色散引起的脉冲展宽约为：在时，在时，2．波导色散一般远小于，式中曲线如图4—20。====Word行业资料分享--可编辑版本--双击可删====图4-20单模光纤的波导色散3．多模色散(又叫分布色散)、均对单模光纤而言，其中起主要作用。多模光纤中，由于不同导模不同而导致的模间色散导致的脉冲展宽起主要作用。从折射率分布通式出发看，不同下最高阶模与最低阶模之差由此可见。的光纤，即阶跃光纤，其多模色散引起的脉冲展宽主要决定于纤芯与包层之间的折射率差。折射率差越大，脉冲展宽也越厉害。从电磁理论角度看，就是越小，通过光纤的导模数越少，因而模式之间的群速度离散的时间也越小。取其他值，对应于渐变折射率光纤：时。，高阶模落后；时，，高阶模超前。最小要求但，此时====Word行业资料分享--可编辑版本--双击可删====若令，则，此时，最高与最低阶模同步，但居二者间的中间模式并不一定与之同步，这些中间模产生的最大群延差为可见，多模色散为负色散。总之，采用渐变多模光纤对于增大光纤传输带宽具有极其重要的意义。4．7．4光孤子(soliton)为提高光纤系统的信息容量，最好采用单模光纤并调整使之与零色散点相匹配，且在此处损耗也正好为极小。这很不容易实现。利用光纤的非线性光学特性，也可产生光脉冲畸变。这样，当光纤折射率的非线性和群速负色散特性共同作用时，光脉冲在传播过程中可不发生畸变，或脉冲形状随传播距离周期性变化，形成光学孤子，简称光孤子。现考虑一个光脉冲在光纤中传播，假设此光纤具有非线性光学Kerr效应，于是(4—66)式中，I为光强，b很小，但因光波被约束在纤芯内极小截面内传播，因而光场相当强，于是在长距离传输中，非线性效应非常可观，它所产生的相移为(4—67)如图4—21(b)所示。可见这一效应造成脉冲的前一部分频率降低，后一部分频率升高，且正比于传播距离L。这一效应使脉冲有展宽的趋向。再考虑色散的影响。当光纤的群速度随频率增高而增大时，称群速负色散，它将导致光脉冲中频率较高的脉冲后部超前，而频率较低的脉冲前部落后，因而使整个光脉冲有变窄的趋向[图4—21(c)]。于是在Kerr效应和负色散效应的“挤压”下，光脉冲由于光纤色散所引起的脉冲展宽与介质的非线性折射率变化抵消，光脉冲保持不变的形状向前传播，形成光孤子[图4—21(a)]。====Word行业资料分享--可编辑版本--双击可删====图4-21光纤中光孤子的形成习题1．某光纤传输的波段为。若每一路电话带宽为4kHz，每套彩电节目带宽10MHz．则该光纤理论上可传送多少路电话或多少套彩电节目?2．什么是光波导?平面介质光波导中几类模式各有何特点?3．几何光学和物理光学在分析平面介质光波导中光传输时各自的出发点是什么?4．推导三层平板波导TM模本征方程。5.推导四层平板波导TE模场分布表达式及其本征方程(设厚衬底层2上生长波导层1，1上覆缓冲层3，这一结构置于空气层4中，且)。6.光纤的基本结构是什么?单独的纤芯可否作为光波导?包层的作用是什么?光纤传输光的基本原理是什么?什么是传输模、辐射模和消逝模?7．设有一平面介质波导，各层折射率分别为，，，波导层厚度若总反射相移为。则当入射光波长为时(1)波导中能传输的模式总数是多少?====Word行业资料分享--可编辑版本--双击可删====(2)要想传输单模，波导厚度应如何设计?(3)若要传输的入射激光，重复(1)、(2)的计算。8．波长的光射人单模阶跃折射率光纤，其芯区与包层折射率分别为，(1)若将其置于空气(折射率为l)中，则其数值孔径、最大入射角及芯直径分别为多少?(2)若将其置于水(折射率为l．33)中呢?9．波长的光从空气中射入纤芯直径、纤芯折射率的单模阶跃折射率光纤中，求(1)若包层折射率为，求其数值孔径与最大入射角。(2)包层折射率应在何范围内方能维持单模传输?(3)包层折射率为时的模式有效折射率。10．将光功率注入到500m长的光纤中，若末端收到功率为。则每公里光纤的损耗为多少dB／km?若光纤长5km，则输出光功率为多少?11．设计一个小型光纤通信系统，用LED光源，，，多模光纤，=0．01。材料色散，(1)若探测器最小可探测功率，光源功率P=1mW，光纤传输损耗为2dB／km(用dB表示的光纤损耗)，输入输出耦合损耗共5dB，试求损耗限制的最大传输距离。(2)若采用阶跃折射率光纤，试计算由于材料色散与模间色散引起的脉冲展宽。若传输脉冲速率为，求色散限制的最大传输距离。(3)若采用平方律折射率渐变光纤()，重复(2)的计算，并比较结果。12．试简单分析光纤通信与其他通信方式相比的优点和特点，并分析玻璃光纤的色散与吸收损耗，说明光纤通信使用的波长范围和使用的光源。====Word行业资料分享--可编辑版本--双击可删====13．分析光孤子的形成机制。',)