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('精品文档一.数值积分的实现方法1．变步长辛普生法基于变步长辛普生法，MATLAB给出了quad函数来求定积分。该函数的调用格式为：[I,n]=quad(\'fname\',a,b,tol,trace)其中fname是被积函数名。a和b分别是定积分的下限和上限。tol用来控制积分精度，缺省时取tol=0.001。trace控制是否展现积分过程，若取非0则展现积分过程，取0则不展现，缺省时取trace=0。返回参数I即定积分值，n为被积函数的调用次数。例8-1求定积分。(1)建立被积函数文件fesin.m。functionf=fesin(x)f=exp(-0.5x).sin(x+pi/6);(2)调用数值积分函数quad求定积分。[S,n]=quad(\'fesin\',0,3pi)S=0.9008n=772．牛顿－柯特斯法基于牛顿－柯特斯法，MATLAB给出了quad8函数来求定积分。该函数的调用格式为：[I,n]=quad8(\'fname\',a,b,tol,trace)其中参数的含义和quad函数相似，只是tol的缺省值取10-6。\x7f该函数可以更精确地求出定积分的值，且一般情况下函数调用的步数明显小于quad函数，从而保证能以更高的效率求出所需的定积分值。(1)被积函数文件fx.m。functionf=fx(x)f=x.sin(x)./(1+cos(x).cos(x));(2)调用函数quad8求定积分。I=quad8(\'fx\',0,pi)I=2.4674分别用quad函数和quad8函数求定积分的近似值，并在相同的积分精度下，比较函数的调用次数。调用函数quad求定积分：formatlong;fx=inline(\'exp(-x)\');[I,n]=quad(fx,1,2.5,1e-10)I=0.28579444254766n=65调用函数quad8求定积分：formatlong;fx=inline(\'exp(-x)\');[I,n]=quad8(fx,1,2.5,1e-10)I=0.28579444254754n=33精品文档精品文档3．被积函数由一个表格定义在MATLAB中，对由表格形式定义的函数关系的求定积分问题用trapz(X,Y)函数。其中向量X,Y定义函数关系Y=f(X)。用trapz函数计算定积分。命令如下：x=1:0.01:2.5;Y=exp(-X);%生成函数关系数据向量trapz(X,Y)ans=0.285796824163938.1.3二重定积分的数值求解使用MATLAB提供的dblquad函数就可以直接求出上述二重定积分的数值解。该函数的调用格式为：I=dblquad(f,a,b,c,d,tol,trace)该函数求f(x,y)在[a,b]×[c,d]区域上的二重定积分。参数tol，trace的用法与函数quad完全相同。计算二重定积分(1)建立一个函数文件fxy.m：functionf=fxy(x,y)globalki;ki=ki+1;%ki用于统计被积函数的调用次数f=exp(-x.^2/2).sin(x.^2+y);(2)调用dblquad函数求解。globalki;ki=0;I=dblquad(\'fxy\',-2,2,-1,1)kiI=1.57449318974494ki=1038二.数值微分数值微分的实现在MATLAB中，没有直接提供求数值导数的函数，只有计算向前差分的函数diff，其调用格式为：DX=diff(X)：计算向量X的向前差分，DX(i)=X(i+1)-X(i)，i=1,2,…,n-1。DX=diff(X,n)：计算X的n阶向前差分。例如，diff(X,2)=diff(diff(X))。DX=diff(A,n,dim)：计算矩阵A的n阶差分，dim=1时(缺省状态)，按列计算差分；dim=2，按行计算差分。生成以向量V=[1,2,3,4,5,6]为基础的范得蒙矩阵，按列进行差分运算。命令如下：V=vander(1:6)DV=diff(V)%计算V的一阶差分精品文档精品文档例8-7用不同的方法求函数f(x)的数值导数，并在同一个坐标系中做出f\'(x)的图像。程序如下：f=inline(\'sqrt(x.^3+2x.^2-x+12)+(x+5).^(1/6)+5x+2\');g=inline(\'(3x.^2+4x-1)./sqrt(x.^3+2x.^2-x+12)/2+1/6./(x+5).^(5/6)+5\');x=-3:0.01:3;p=polyfit(x,f(x),5);%用5次多项式p拟合f(x)dp=polyder(p);%对拟合多项式p求导数dpdpx=polyval(dp,x);%求dp在假设点的函数值dx=diff(f([x,3.01]))/0.01;%直接对f(x)求数值导数gx=g(x);%求函数f的导函数g在假设点的导数plot(x,dpx,x,dx,\'.\',x,gx,\'-\');%作图Matlab数值积分的一些做法Filedunder:未分类—franz@9:31pm今天是元宵节，突然来讲Matlab的确很奇怪，连我自己也这样感觉．由于Matlab对于计算过程的细节要求定义详细，往往让人觉得使用不方便．与同样很流行的Mathematic相比，Matlab更象是程序，而不是象Mathematic那么直观的写作业．Matlab同样提供符号积分（不定积分）和数值积分（定积分）两大功能．符号积分使用int命令，配合之前的函数定义使用．比如：a=…;b=…;functionf=fun(x)f=ax^2+b;将此文件寸为一个单独m文件，再在主程序中调用即可：F=int(fun,c,d);c和d为积分上下限，通常为符号，可使用symsc;语句定义。在完成符号积分之后可以对其附值，则就完成了数值积分的任务．有一点需要注意的是，通过这样过程求的数值，其格式为符号格式’sym’，不能做图，不能和数值进行运算．处理方法是：精品文档精品文档vpa(F);求得３２位符号近似解，再用double(vpa(F));将其转换成Matlab默认的双精度位数就可以．注意，直接做double(F)行不通，Matlab会提示你＂Conversionfromsymtodoubleisnotpossible＂，不知道＂notpossbile"和"impossible"有什么区别，呵呵．符号积分中一个最大的问题在于存在不可积的函数，比如十分常用的Boltzman分布，或者叫Arrhenius公式：exp(-qV/(kT))．插句话，我一直以为Arrhenius是德国人，知道前几天在和老师讨论中讲起，我老师很自豪的对我说，有个著名的瑞典化学家，得过NoblePrize，叫Arrhenius你知道不知道，才发现这个小问题，３滴汗，搞的我老师也很有挫败感．．．对于不可积的函数，使用int命令之后，得到的表达式中会含有Ei项，其本身也是一个函数，以你给定的符号积分上下限为变量．在含有Ei项后，对符号上下限附值亦无法得到数值积分解，因为Ei项也需要解．解Ei项的方法如下：result=str2num(maple(‘evalf(Ei(a,b))’));％此语句可以直接使用，其中的a和b就是你所要解数值解的积分上下限，并且只能是具体数值，不能为符号．若是积分上限或者下限是一个变化的值（比如今天我做的一个很简单的计算就是这样的情况），则可以使用以下的方法：>>result=maple(‘evalf’,\'(Ei(1,y))’)result=Ei(1,y)>>y=2y=2>>result=subs(result)result=Ei(1,2)>>result=vpa(result)result=.48900510708061119567239835228050e-1>>result=str2num(maple(‘evalf’,\'(Ei(1,2))’))result=0.0489比如其中的y就可以是一个变化的值，写成一个循环，从而计算相应的积分值．精品文档精品文档Matlab也直接提供两种主要的数值积分函数：quad和quad8．quad是变步长辛普生法，quad8是牛顿－柯特斯法，以我今天的例子持续来看，相差很小．对被积分函数的定义同上，另外，还有一种办法，可以不用另外写一个m文件再调用，省下些小麻烦．可使用inline语句：fxy=inline(‘exp(-axy/b)’,‘x’,\'y’);Matlab将字符串中的表达式录入内存，准备之后使用．这个语句有一个很大的缺点是，表达式中，除了变量之外，其他数值（如上式中的a和b)不能使用字母等符号表示，而必须为数值，即使你已经在之前定义过，也不行，因为inline语句将引号中的表达式录为符号格式，其中任何的字母或者字母组合，都会被认为是变量，即使你在语句之后只写了真正的变量，程序还是会全部误读．这就在做积分时候带来错误，明明是常量的a和b，Matlab还是要求你给他们一个积分空间进行积分，从而出错．定义完函数之后，直接使用quad或者quad8，进行数值积分：F=quad(fx,1,10,1e-10);%1,1０是积分上下限，1e-10是积分精度．元宵节说了一堆电脑计算的事情，真的很奇怪．．．祝大家元宵节快乐！四数值积分trapz()用复化梯形公式求解定积分命令格式:I=trapz(x,y)X是积分区间内的离散数据点向量，y是x的各分量函数值构成的向量，输出项I为积分的近似值例：计算积分exp(x)在0到1上clear;clc;x=0:0.2:1;y=exp(x);I=trapz(x,y)quad()采用自适应步长的辛普森公式求定积分命令格式:I=quad(fun,a,b,tol)Fun是被积函数，a，b是积分区间的左右端点，tol为积分的精度要求，缺省值是1e-6，输精品文档精品文档出项为积分的近似值。例：计算积分exp(x)在0到1上fun=inline(‘exp(x)’);I=quad(fun,0,1);quadl()采用自适应步长的Lobatto公式求定积分命令格式：I=quadl(fun,a,b,tol)dblquad()在矩形区域上求二重积分命令格式:I=dblquad(fun,a,b,c,d,tol,method)Fun是二元被积函数f(x,y)，a,b是变量x的上下限，cd是变量y的上下限，tol微积分的精度要求，缺省值是1e-6，method是积分方法，一种是@quad,另一种是@quadl，缺省值为@quad.例子：(1)计算二重积分x^2+y^2,x从0到1，y从0到1I=dblquad(inline(\'x.^2+y.^2\'),0,1,0,1)symsxy;I2=int(int(x^2+y^2,\'y\',0,1),0,1)(2)计算二重积分I=∫∫√(1-x^2-y^2)dxdy,其中D={(x,y)x^2+y^2<=1}clear;clc;fun1=inline(\'sqrt(max(1-(x.^2+y.^2),0))\',\'x\',\'y\');fun2=inline(\'sqrt(1-(x.^2+y.^2)).(x.^2+y.^2<=1)\',\'x\',\'y\');I1=dblquad(fun1,-1,1,-1,1)I2=dblquad(fun2,-1,1,-1,1)triplequad()在立方体区域上求三重积分命令格式:I=triplequad(fun,a,b,c,d,e,f,tol,method)Fun是三元被积分函数;a，b是变量x的上下限；cd是y的上下限；ef是变量z的上下限；tol为积分进度要求，缺省值为1e-6；method是积分方法，一种是@quad，另一种为@quadl例子：计算三重积分:I=∫∫∫[ysin(x)+zcos(x)]dv,式中区域{（x,y,z）0<=x<=pi,0<=y<=1,-1<=z<=1}symsxyz;I4=int(int(int(ysin(x)+zcos(x)),\'z\',-1,1),\'y\',0,1),\'x\',0,pi)I3=triplequad(inline(\'y.sin(x)+z.cos(x)\'),0,pi,0,1,-1,1)广义积分的数值方法：（1）无界函数的广义积分。对被积函数在积分区间某点附近无界的（奇点），然后用数值方法计算。例子：计算积分∫1/√xdx,x从0到1I=quadl(inline(‘1./sqrt(x)’),eps,1)symsxI2=int(1/sqrt(x),0,1)精品文档精品文档1梯形数值积分的MATLAB主程序functionT=rctrap(fun,a,b,m)%fun函数，a积分上限b积分下限m递归次数n=1;h=b-a;T=zeros(1,m+1);x=a;T(1)=h(feval_r(fun,a)+feval_r(fun,b))/2;fori=1:mh=h/2;n=2n;s=0;fork=1:n/2x=a+h(2k-1);s=s+feval_r(fun,x);endT(i+1)=T(i)/2+hs;endT=T(1:m);e.g运行后屏幕显示精确值Fs，用rctrap计算的递归值T和T与精确值Fs的绝对误差wT>>fun=@(x)exp((-x^.2./2)./(sqrt(2pi)))T=rctrap(fun,0,pi/2,14),symstfi=int(exp((-t^2)/2)/(sqrt(2pi)),t,0,pi/2);Fs=double(fi),wT=double(abs(fi-T))fun=@(x)exp((-x^.2./2)./(sqrt(2pi)))T=Columns1through71.41681.35781.33131.31951.31421.31191.3109Columns8through14精品文档精品文档1.31051.31031.31021.31021.31011.31011.3101Fs=0.4419wT=Columns1through70.97490.91590.88940.87760.87230.87000.8690Columns8through140.86860.86840.86830.86830.86830.86820.8682>>2复合辛普森（Simpson）数值积分的MATLAB主程序functiony=comsimpson(fun,a,b,n)%fun函数a积分上限b积分下限n分割小区间数z1=feval_r(fun,a)+feval_r(fun,b);m=n/2;h=(b-a)/(2m);x=a;z2=0;z3=0;x2=0;x3=0;fork=2:2:2mx2=x+kh;z2=z2+2feval_r(fun,x2);endfork=3:2:2mx3=x+kh;z3=z3+4feval_r(fun,x3);endy=(z1+z2+z3)h/3;由于Matlab自带了quad就是这个算法所以比较少自己编3龙贝格数值积分的MATLAB主程序精品文档精品文档function[RT,R,wugu,h]=romberg(fun,a,b,wucha,m)%fun被积函数a，b积分上下限wucha两次相邻迭代绝对差值m龙贝格积分表最大行数%RT龙贝格积分表R数值积分结果wucha误差估计h最小步长n=1;h=b-a;wugu=1;x=a;k=0;RT=zeros(4,4);RT(1,1)=h(feval_r(fun,a)+feval_r(fun,b))/2;while((wugu>wucha)&(k
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