常用微分公式 (7),常用微分公式

('..-§1-3微分公式(甲)基本函数的微分公式(1)=nxn\uf02d1，n\uf0ceN。(2)。(3)=0，其中c为常数。(4)(sinx)/=cosx(5)(cosx)/=\uf02dsinx另一种表示：\uf081(xn)/=nxn\uf02d1\uf082=\uf083(c)/=0证明：(2)设a为f(x)=定义域中的任意点，则f/(a)=====()=()(4)设a为任意实数，f(x)=sinx==计算f/(a)==()=cosa。(1)(3)(5)自证(乙)导数的四则运算(1)f(x)与g(x)为可微分的函数。f(x)+g(x)为可微分的函数。且(f(x)+g(x))=(f(x))+(g(x))成立。另一种表示：(f(x)+g(x))/=f/(x)+g/(x)证明：令h(x)=f(x)+g(x)，设a为h(x)定义域中的任一点h/(a)===(+)=()+()=f/(a)+g/(a)例：求？推论：(f1(x)+f2(x)+...+fn(x))=(2)设f(x)为可微分的函数。cf(x)为可微分的函数。且(cf(x))=c，特别c=\uf02d1时，(\uf02df(x))=\uf02d。(3)，另一种表示：(f(x)\uf02dg(x))/=f/(x)\uf02dg/(x)(4)(c1f1(x)+c2f2(x)+...+fn(x))=c1(f1(x))+c2(f2(x))+...+(fn(x))例如：(1)(anxn+an\uf02d1xn\uf02d1+...+a1x+a0)(2)(3x5\uf02d2x3+4)/=？(5)f(x)，g(x)为可微分的函数。f(x)g(x)为可微分的函数。且(f(x)\uf0d7g(x))=(f(x))\uf0d7g(x)+f(x)\uf0d7(g(x))另一种表示：(f(x)\uf0d7g(x))/=f/(x)\uf0d7g(x)+f(x)\uf0d7g/(x)证明：例如：试求下面我们要推导例2的一般情形：(a)=(b)(逐次轮流微分)(c)如果，则可得例如：试求的导数。[例題1]证明。-..可修编...-(6)若f(x)，g(x)在x=a可微分，且，则。因此可得：若f(x)=1，则()/=例如：试求的导函数。例如：求()/=？例如：设为负有理数，证明。结论：若设r为有理数，则。[例題2]求下列各函数的导函数：(1)(x2+2x)(x2+3x+2)(2)(x\uf02d2)3(x2\uf02d1)(3)(x2+x+1)(4x3+x\uf02d4)(x+3)(3)(4)Ans：(1)4x3+15x2+16x+4(2)(x\uf02d2)2(5x2\uf02d4x\uf02d3)(3)(2x+1)(4x3+x\uf02d4)(x+3)+(x2+x+1)(12x2+1)(x+3)+(x2+x+1)(4x3+x\uf02d4)(4)(5)[例題3]请利用(sinx)/=cosx，(cosx)/=\uf02dsinx的结果证明：(tanx)/=sec2x，(secx)/=secx\uf0d7tanx(練習1.)试求下列的导函数：(1)x3\uf02d6x2+7x\uf02d11(2)(x3+3x)2(2x+1)(3)(x+1)(2x2+2)(3x2+x+1)(4)(2x3+x+1)5Ans：(1)3x2\uf02d12x+7(2)2(x3+3x)(3x2+3)(2x+1)+2(x3+3x)(3)(2x2+2)(3x2+x+1)+(x+1)\uf0d7(4x)\uf0d7(3x2+x+1)+(x+1)(2x2+2)\uf0d7(6x+1)(4)5(2x3+x+1)4\uf0d7(6x2+1)(練習2.)求下列各函数的导函数。(1)f(x)=(2)f(x)=(3)f(x)=(4)f(x)=Ans：(1)(2)(3)\uf0d7(12x2+6x+2)(4)(練習3.)证明，-..可修编...-(丙)连锁法则(1)合成函数：(a)设，则。，所以为x的函数。(b)(2)连锁法则：既然为x的函数，我们就可以讨论例：设，则利用，可得=上式并不是巧合，一般的情形亦是如此。定理：(连锁法则ChainRule)若f(x),g(y)都是可微分的函数，则合成函数亦可微分，而且。[例題4]求？一般情形：，f(x)可微分，求=?[例題5]求f(x)=sin2x的导函数。Ans：2sinx\uf0d7cosx[例題6]求下列函数的导函数：(1)(2)(3)Ans：(1)3tan2x\uf0d7sec2x(2)\uf02d5csc5x\uf0d7cot5x(3)-..可修编...-(練習4.)设n为正整数而f(x)为可微分的函数，试用连锁律去计算(f(x))n的导函数。Ans：n(f(x))n\uf02d1\uf0d7f/(x)(練習5.)求(=？Ans：\uf0d7(4x3+6x\uf02d1)(練習6.)Ans：(練習7.)求下列各小题y/(1)(2)(3)(4)(5)Ans：(1)(2)(3)(4)(5)(練習8.)计算下列各小题：(1)(x\uf0d7)/=？Ans：(2)()=？Ans：(3)求f(x)=的导函数。Ans：f/(x)=(練習9.)设可微函数f(x)满足f()=x，则f/(0)=？Ans：2[例題7]试求？(練習10.)试求的导函数。Ans：(練習11.)求f(x)=的导函数。Ans：f/(x)=(練習12.)，求f/(3)=？(練習13.)设y=(x+)10，试求=？Ans：\uf0d7(x+)10[例題8]求斜率为2，而与曲线y=f(x)=x3\uf02dx2+相切之直线方程式。Ans：4x\uf02d2y+3=0，2x\uf02dy\uf02d3=0-..可修编...-(練習14.)求过曲线y=f(x)=x3+x2\uf02d2的点，而斜率最小的切线方程式。Ans：y+=(\uf02d1)(x+1)(練習15.)求通过y=x3\uf02d3x2\uf02d4x\uf02d1上x=1处之切线与法线方程式。Ans：7x+y=0，x\uf02d7y\uf02d50=0(練習16.)函数f(x)=的图形上以(0,\uf02d1)为切点的切线斜率为。Ans：1[例題9]设拋物线y=ax2+bx+c与直线7x\uf02dy\uf02d8=0相切于点(2,6)，而与直线x\uf02dy+1=0相切，求a,b,c之值。Ans：a=3,b=\uf02d5,c=4(85日大自然)[例題10]直角坐标上，给定一曲线\uf047：y=x3\uf02d3x2，自点P(2,\uf02d5)向\uf047所作的切线方程式。Ans：3x+y\uf02d1=0，15x\uf02d4y\uf02d50=0(練習17.)过原点且与曲线y=x3\uf02d3x2\uf02d1相切之直线方程式。Ans：y=\uf02d3x，y=。(練習18.)设拋物线y=ax2+bx+c过点(1,1)，且与直线x\uf02dy=3相切于(2,\uf02d1)。求a,b,c之值Ans：a=3，b=\uf02d11，c=9[例題11]设a,b,c为实数，已知二曲线y=x2+ax+b与y=\uf02dx3+c在点A(1,\uf02d2)处相切，L为两曲线在A点的公切线，试求(1)a,b,c(2)求L的方程式。Ans：(1)a=\uf02d5，b=2，c=\uf02d1(2)3x+y\uf02d1=0(練習19.)拋物线\uf047：y=p(x)的对称轴平行于y轴，且\uf047与x轴交于点(2,0)，并在x=1时与函数y=x4+1的图形相切，试求p(x)=？Ans：p(x)=\uf02d6x2+16x\uf02d8(練習20.)求y=x3\uf02d3x，y=x3\uf02d3x+32两曲线的公切线方程式。Ans：9x\uf02dy+16=0综合练习-..可修编...-1.(1)，求=?(2)，求f/()=？(3)f(x)=x3(x3+5x)10，求f/(x)Ans：(1)(2)(3)2.求下列各函数的导函数：(1)(2)(3)Ans：(1)(2)(3)3.试求下列个函数的导函数：(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)Ans：(1)(2)(3)(4)(5)(6)0(7)(8)4.(1)设，若f/(1)=2，则a=?(2)设，则f/(2)=?Ans：(1)2(2)5.设，，求=?Ans：6.求在(1,0)的切线方程式与法线方程式。Ans：y=0,x=17.曲线在x=\uf02d1处之切线方程式。Ans：2x+y+3=08.设f(x)=x3+ax2+b，，若y=f(x)之图形通过点(1,4)且在此点的斜率为\uf02d3，则求a,b之值为何?Ans:a=\uf02d3,b=69.若直线y=x与曲线y=x3\uf02d3x2+ax相切，试求a=?Ans：a=1或10.过点，且与曲线相切的直线有几条?其斜率分别为何?Ans：(1)3(2)0，3\uf0b12-..可修编.',)