历年初中数学竞赛试题精选,华罗庚初中数学竞赛试题精选

('初中数学竞赛专项训练1、一个六位数，如果它的前三位数码与后三位数码完全相同，顺序也相同，由此六位数可以被（）整除。A.111B.1000C.1001D.1111解：依题意设六位数为，则＝a×105＋b×104＋c×103＋a×102＋b×10＋c＝a×102（103＋1）＋b×10（103＋1）＋c（103＋1）＝（a×103＋b×10＋c）（103＋1）＝1001（a×103＋b×10＋c），而a×103＋b×10＋c是整数，所以能被1001整除。故选C方法二：代入法2、若，则S的整数部分是____________________解：因1981、1982……2001均大于1980，所以，又1980、1981……2000均小于2001，所以，从而知S的整数部分为90。3、设有编号为1、2、3……100的100盏电灯，各有接线开关控制着，开始时，它们都是关闭状态，现有100个学生，第1个学生进来时，凡号码是1的倍数的开关拉了一下，接着第二个学生进来，由号码是2的倍数的开关拉一下，第n个（n≤100）学生进来，凡号码是n的倍数的开关拉一下，如此下去，最后一个学生进来，把编号能被100整除的电灯上的开关拉了一下，这样做过之后，请问哪些灯还亮着。解：首先，电灯编号有几个正约数，它的开关就会被拉几次，由于一开始电灯是关的，所以只有那些被拉过奇数次的灯才是亮的，因为只有平方数才有奇数个约数，所以那些编号为1、22、32、42、52、62、72、82、92、102共10盏灯是亮的。4、某商店经销一批衬衣，进价为每件m元，零售价比进价高a%，后因市场的变化，该店把零售价调整为原来零售价的b%出售，那么调价后每件衬衣的零售价是（数学竞赛专项训练（9）－1）A.m(1+a%)(1-b%)元B.m·a%(1-b%)元C.m(1+a%)b%元D.m(1+a%b%)元解：根据题意，这批衬衣的零售价为每件m（1＋a%）元，因调整后的零售价为原零售价的b%，所以调价后每件衬衣的零售价为m（1＋a%）b%元。应选C5、如果a、b、c是非零实数，且a+b+c=0，那么的所有可能的值为（）A.0B.1或-1C.2或-2D.0或-2解：由已知，a，b，c为两正一负或两负一正。①当a，b，c为两正一负时：；②当a，b，c为两负一正时：由①②知所有可能的值为0。应选A6、在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若∠B＝60°，则的值为（）A.B.C.1D.解：过A点作AD⊥CD于D，在Rt△BDA中，则于∠B＝60°，所以DB＝，AD＝。在Rt△ADC中，DC2＝AC2－AD2，所以有（a－）2＝b2－C2，整理得a2＋c2=b2＋ac，从而有应选C数学竞赛专项训练（9）－2cABCab7、设a＜b＜0，a2+b2=4ab，则的值为（）A.B.C.2D.3解：因为(a+b)2=6ab，(a-b)2=2ab，由于ab，若两个三角形的最小内角相等，则的值等于（）A.B.C.D.7、在凸10边形的所有内角中，锐角的个数最多是（）A.0B.1C.3D.58、若函数与函数的图象相交于A，C两点，AB垂直x轴于B，则数学竞赛专项训练（9）－1760°ABCDABCDP图8-1图8-2ADCBEF图8-3图8-4ABCDADCFC’BE△ABC的面积为（）A.1B.2C.kD.k2二、填空题1、若四边形的一组对边中点的连线的长为d，另一组对边的长分别为a，b，则d与的大小关系是＿＿＿＿＿＿＿2、如图8-5，AA′、BB′分别是∠EAB、∠DBC的平分线，若AA′＝BB′＝AB，则∠BAC的度数为＿＿＿3、已知五条线段长度分别是3、5、7、9、11，将其中不同的三个数组成三数组，比如（3、5、7）、（5、9、11）……问有多少组中的三个数恰好构成一个三角形的三条边的长＿＿＿＿＿4、如图8-6，P是矩形ABCD内一点，若PA＝3，PB＝4，PC＝5，则PD＝＿＿＿＿＿＿＿5、如图8-7，甲楼楼高16米，乙楼座落在甲楼的正北面，已知当地冬至中午12时太阳光线与水平面的夹角为30°，此时求①如果两楼相距20米，那么甲楼的影子落在乙楼上有多高？＿＿＿＿＿＿②如果甲楼的影子刚好不落在乙楼上，那么两楼的距离应当是＿＿＿＿＿＿米。6、如图8-8，在△ABC中，∠ABC＝60°，点P是△ABC内的一点，使得∠APB＝∠BPC＝∠CPA，且PA＝8，PC＝6，则PB＝＿＿数学竞赛专项训练（9）－18图8-6ABDCP16米20米ABCD甲乙图8-7图8-8BACP·ABB′DC图8-5EA′三、解答题1、如图8-9，AD是△ABC中BC边上的中线，求证：AD＜（AB+AC）2、已知一个三角形的周长为P，问这个三角形的最大边长度在哪个范围内变化？3、如图8-10，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是角平分线，DE∥BC交AC于点E，DF∥AC交BC于点F。求证：①四边形CEDF是正方形。②CD2＝2AE·BF4、从1、2、3、4……、2004中任选k个数，使所选的k个数中一定可以找到能构成三角形边长的三个数（这里要求三角形三边长互不相等），试问满足条件的k的最小值是多少？数学竞赛专项训练（8）参考答案一、选择题1、如图过C作CE⊥AD于E，过D作DF⊥PB于F，过D作DG⊥CE于G。显然DG＝EF＝AB＝5，CD≥DG，当P为AB中点时，有CD＝DG＝5，所以CD长度的最小值是5。2、如图延长AB、DC相交于E，在Rt△ADE中，可求得AE＝16，DE＝8，于是BE＝AE－AB＝9，在Rt△BEC中，可求得BC＝3，CE＝6，于是CD＝DE－CE＝2BC＋CD＝5。3、由已知AD+AE+EF+FD＝EF+EB+BC+CF∴AD+AE+FD＝EB+BC+CF＝数学竞赛专项训练（9）－19ABDC图8-9ACFBDE图8-10ABCDPEFG60°ABCDEADCBEFHG∵EF∥BC，∴EF∥AD，设，AD+AE+FD＝3+∴解得k＝4作AH∥CD，AH交BC于H，交EF于G，则GF＝HC＝AD＝3，BH＝BC－CH＝9-3＝6∵，∴∴4、假设α、β、γ三个角都是锐角，即α＜90°，β＜90°，γ＜90°，也就是A+B＜90°，B+C＜90°，C+A＜90°。∵2（A+B+C）＜270°，A＋B＋C＜135°与A＋B＋C＝180°矛盾。故α、β、γ不可能都是锐角，假设α、β、γ中有两个锐角，不妨设α、β是锐角，那么有A＋B＜90°，C＋A＜90°，∴A＋(A＋B＋C)<180°，即A+180°＜180°，A＜0°这也不可能，所以α、β、γ中至多只有一个锐角，如A＝20°，B＝30°，C＝130°，α＝50°，选A。5、折叠后，DE＝BE，设DE＝x，则AE＝9－x，在Rt△ABC中，AB2＋AE2＝BE2，即，解得x＝5，连结BD交EF于O，则EO＝FO，BO＝DO∵∴DO＝在Rt△DOE中，EO＝∴EF＝。选B。6、设△ABC中，AB＝AC＝a，BC＝b，如图D是AB上一点，有AD＝b，因a>b，故∠A是△ABC的最小角，设∠A＝Q，则以b,b,a为三边之三角形的最小角亦为Q，从而它与△ABC全等，所以DC＝b，∠ACD＝Q，因有公共底角∠B，所以有等腰△ADC∽等腰△CBD，从而得，即，令，即得方程，解得。选B。7、C。由于任意凸多边形的所有外角之和都是360°，故外角中钝角的个数不能超过3个，又因为内角与外角互补，因此，内角中锐角最多不能超过3个，实际上，容易构造出内角中有三个锐角的凸10边形。8、A。设点A的坐标为（），则，故△ABO的面积为，又因为△ABO与△CBO同底等高，因此△ABC的面积＝2×△ABO的面积＝1。数学竞赛专项训练（9）－20QABCD二、填空题1、如图设四边形ABCD的一组对边AB和CD的中点分别为M、N，MN＝d，另一组对边是AD和BC，其长度分别为a、b，连结BD，设P是BD的中点，连结MP、PN，则MP＝，NP＝，显然恒有，当AD∥BC，由平行线等分线段定理知M、N、P三点共线，此时有，所以与的大小关系是。2、12°。设∠BAC的度数为x，∵AB＝BB′∴∠B′BD＝2x，∠CBD＝4x∵AB＝AA′∴∠AA′B＝∠ABA′＝∠CBD＝4x∵∠A′AB＝∴，于是可解出x＝12°。3、以3，5，7，9，11构成的三数组不难列举出共有10组，它们是（3，5，7）、（3，5，9）、（3，5，11）、（3，7，9）、（3，7，11）、（3，9，11）、（5，7，9）、（5，7，11）、（5，9，11）、（7，9，11）。由3+5＜9，3+5＜11，3+7＜11可以判定（3，5，9）、（3，5，11）、（3，7，11）这三组不能构成三角形的边长，因此共有7个数组构成三角形三边长。4、过P作AB的平行线分别交DA、BC于E、F，过P作BC的平行线分别交AB、CD于G、H。设AG＝DH＝a，BG＝CH＝b，AE＝BF＝c，DE＝CF＝d，则于是，故，DP＝35、①设冬天太阳最低时，甲楼最高处A点的影子落在乙楼的C处，那么图中CD的长度就是甲楼的影子在乙楼上的高度，设CE⊥AB于点E，那么在△AEC中，∠AEC＝90°，∠ACE＝30°，EC＝20米。所以AE＝EC（米）。CD＝EB＝AB-AE＝16-11.6＝4.4（米）②设点A的影子落到地面上某一点C，则在△ABC中，∠ACB＝30°，AB＝16米，所以（米）。所以要使甲楼的影子不影响乙楼，那么乙楼距离甲楼至少要27.7米。数学竞赛专项训练（9）－21ABDCPMNABDCPEFGHaabbcd16米20米ABCD甲乙E6、提示：由题意∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，设∠PBC＝α，∠ABC＝60°则∠ABP＝60°－α，∴∠BAP＝∠PBC＝α，∴△ABP∽△BPC，，BP2＝AP·PC三、解答题1、证明：如图延长AD至E，使AD＝DE，连结BE。∵BD＝DC，AD＝DE，∠ADC＝∠EDB∴△ACD≌△EBD∴AC＝BE在△ABE中，AE＜AB＋BE，即2AD＜AB＋AC∴AD＜（AB＋AC）2、答案提示：在△ABC中，不妨设a≤b≤c∵a+b>ca+b+c>2c即p>2cc<，另一方面c≥a且c≥b2c≥a+b∴3c。因此3、证明：①∵∠ACB＝90°，DE∥BC，DF∥AC，∴DE⊥AC，DE⊥BC，从而∠ECF＝∠DEC＝∠DFC＝90°。∵CD是角平分线∴DE＝DF，即知四边形CEDF是正方形。②在Rt△AED和Rt△DFB中，∵DE∥BC∴∠ADE＝∠B∴Rt△AED∽Rt△DFB∴，即DE·DF＝AE·BF∵CD＝DE＝DF，∴4、解：这一问题等价于在1，2，3，……，2004中选k－1个数，使其中任意三个数都不能成为三边互不相等的一个三角形三边的长，试问满足这一条件的k的最大值是多少？符合上述条件的数组，当k＝4时，最小的三个数就是1，2，3，由此可不断扩大该数组，只要加入的数大于或等于已得数组中最大的两个数之和，所以，为使k达到最大，可选加入之数等于已得数组中最大的两数之和，这样得：1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，1597①共16个数，对符合上述条件的任数组，a1，a2……an显然总有ai大于等于①中的第i个数，所以n≤16≤k－1，从而知k的最小值为17。初中数学竞赛专项训练数学竞赛专项训练（9）－22ABDCE（9）（面积及等积变换）一、选择题：1、如图9-1，在梯形ABCD中，AB∥CD，AC与BD交于O，点P在AB的延长线上，且BP＝CD，则图形中面积相等的三角形有（）A.3对B.4对C.5对D.6对2、如图9-2，点E、F分别是矩形ABCD的边AB、BC的中点，连AF、CE，设AF、CE交于点G，则等于（）A.B.C.D.3、设△ABC的面积为1，D是边AB上一点，且＝，若在边AC上取一点E，使四边形DECB的面积为，则的值为（）A.B.C.D.4、如图9-3，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC、AB为边，在△ABC外作正方形ACEF和正方形AGHB，作CK⊥AB，分别交AB和GH于D和K，则正方形ACEF的面积S1与矩形AGKD的面积S2的大小关系是（）A.S1＝S2B.S1＞S2C.S1＜S2D.不能确定，与的大小有关5、如图9-4，四边形ABCD中，∠A＝60°，∠B＝∠D＝90°，AD＝8，AB＝7，则BC+CD等于（）A.B.5C.4D.36、如图9-5，若将左边正方形剪成四块，恰能拼成右边的矩形，设a＝1，则正方形的面积为（）数学竞赛专项训练（9）－23PADCBO图9-1ABCDEFG图9-2ABCDHGKFE图9-3ABCD图9-4abaabbⅡⅠⅢⅣ图9-5aⅠⅡⅢⅣbA.B.253\uf02bC.D.7、如图9-6，矩形ABCD中，AB＝a，BC＝b，M是BC的中点，DE⊥AM，E为垂足，则DE＝（）A.B.C.D.8、O为△ABC内一点，AO、BO、CO及其延长线把△ABC分成六个小三角形，它们的面积如图9-7所示，则S△ABC＝（）A.292B.315C.322D.357二、填空题1、如图9-8，梯形ABCD的中位线EF的长为a，高为h，则图中阴影部分的面积为＿＿＿2、如图9-9，若等腰三角形的底边上的高等于18cm，腰上的中线等于15cm，则这个等腰三角形的面积等于＿＿＿＿3、如图9-10，在△ABC中，CE∶EB＝1∶2，DE∥AC，若△ABC的面积为S，则△ADE的面积为＿＿＿＿＿4、如图9-11，已知D、E分别是△ABC的边BC、CA上的点，且BD＝4，DC＝1，AE＝5，EC＝2。连结AD和BE，它们相交于点P，过点P分别作PQ∥CA，PR∥CB，它们分别与边AB交于点Q、R，则△PQR的面积与△ABC的面积之比为＿＿＿＿＿5、如图9-12，梯形ABCD中，AD∥BC，AD∶BC＝2∶5，AF∶FD＝1∶1，BE∶EC＝2∶3，EF、CD延长线交于G，用最简单的整数比来表示，S△GFD∶S△FED∶S△DEC＝＿＿＿＿＿6、如图9-13，P是矩形ABCD内一点，若PA＝3，PB＝4，PC＝5，则PD＝＿＿＿＿三、解答题1、如图9-14，在矩形ABCD中，E是BC上的点，F是CD上的点，S△ABE＝S△ADF＝S矩形ABCD。数学竞赛专项训练（9）－24ABCDEM图9-6ABCDEFO84xyy40y30y35y图9-7图9-8AEDCFBAMCDBG图9-9ACEBD图9-10ABQRDCEP图9-11ABCDGFE图9-12ABCDP图9-13ADFCEB图9-14求：的值。2、一条直线截△ABC的边BC、CA、AB（或它们的延长线）于点D、E、F。求证：数学竞赛专项训练（9）－25ABCDEF图9-153、如图9-16，在ABCD中，P1、P2、P3……Pn-1是BD的n等分点，连结AP2，并延长交BC于点E，连结APn-2并延长交CD于点F。①求证：EF∥BD②设ABCD的面积是S，若S△AEF＝S，求n的值。4、如图9-17，△ABC是等腰三角形，∠C＝90°，O是△ABC内一点，点O到△ABC各边的距离等于1，将△ABC绕点O顺时针旋转45°得到△A1B1C1，两三角形的公共部分为多边形KLMNPQ。①证明：△AKL，△BMN，△CPQ都是等腰直角三角形。②求证：△ABC与△A1B1C1公共部分的面积。数学竞赛专项训练（9）－26DBACEF··P1P2Pn-2Pn-1图9-16图9-17ABCC1A1B1LMKNQP·O数学竞赛专项训练（9）参考答案一、选择题：1、C。2、D。连结AC，有，则。3、B。如图联结BE，＝，设，则∴4、A。解：，因为，所以，即，又因为AB＝AG，所以，所以应选A。5、B。解：如图延长AD，BC相交于E，在Rt△ABE中，可求得AE＝14，于是DE＝AE，AD=6，又BE＝，在Rt△CDE中，可求得CD＝2，CE＝4，于是BC＝BE－CE＝，BC+CD＝5。6、A。解：由右图与左图的面积相等，得，已知，所以有，即，解得，从而正方形的面积为。7、A。解：由△ADE∽△ABM，得DE＝数学竞赛专项训练（7）－27AEDBCABCDE60°8、B。∵，即又∵，即∴，解之得∴S△ABC＝84+40+30+35+70+56＝315。二、填空题1、。解：延长AF交DC的延长线于M，则△ABF≌△MCF，∴AF＝FM，S△ABF＝S△CMF。∴S阴影＝S△DFM，∵AF＝FM∴S△ADF＝S△MDF∴∵，∴。2、144。解：作MN⊥BC于N，∵AM＝MC，MN∥AD，∴DN＝NC。∴，在Rt△BMN中，BM＝15，MN＝9。∴BN＝12，而BD＝DC＝2DN，∴3DN＝12，DN＝4，∴BC＝16，S△ABC=AD·BC＝×18×16＝144。3、S△ADE＝S。解：∵CE∶EB＝1∶2，设CE＝k，则EB＝2k，∵DE∥AC，而BE∶BC＝2k∶3k＝2∶3，∴，S△BDE＝S∵DE∥AC∴，∴，则S△ADE＝S△BDE＝S4、。解：过点E作EF∥AD，且交BC于点F，则，所以。因为PQ∥CA，所以于是。因为PQ∥CA，PR∥CB，所以∠QPR＝∠ACB，因为△PQR∽△CAB故。5、1∶2∶6。解：设AD＝2，则BC＝5，FD＝1，EC＝3数学竞赛专项训练（7）－28∵GF∶GE＝FD∶EC＝1∶3，GF∶FE＝1∶2，S△GFD∶S△FED＝GF∶FE＝1∶2显然有S△EFD∶S△CED＝FD∶EC＝1∶3，∴S△GFD∶S△FED∶S△CED＝1∶2∶6。6、3。解：过点P作AB的平行线分别交DA、BC于E、F，过P作BC的平行线分别交AB、CD于G、H。设AG＝DH＝a，BG＝CH＝b，AE＝BF＝c，DE＝CF＝d，则，于是，故，DP＝3。三、解答题1、设BC＝a，CD＝b，由，得。∴BE＝a，则EC＝a。同理FC＝b，∴。∵，∴∴。2、答案提示：连结BE、AD，并把线段之比转化为两三角形面积之比；再约分。3、解：①因AD∥BC，AB∥DC，所以从而有即所以EF∥BD②由①可知，所以，同理可证显然，所以，从而知，已知所以有，即数学竞赛专项训练（7）－29解方程得n＝6。4、证明：①连结OC、OC1，分别交PQ、NP于点D、E，根据题意得∠COC1＝45°。∵点O到AC和BC的距离都等于1，∴OC是∠ACB的平分线。∵∠ACB＝90°∴∠OCE＝∠OCQ＝45°同理∠OC1D＝∠OC1N＝45°∴∠OEC＝∠ODC1＝90°∴∠CQP＝∠CPQ＝∠C1PN＝∠C1NP＝45°∴△CPQ和△C1NP都是等腰直角三角形。∴∠BNM＝∠C1NP＝45°∠A1QK＝∠CQP＝45°∵∠B＝45°∠A1＝45°∴△BMN和△A1KQ都是等腰直角三角形。∴∠B1ML＝∠BMN＝90°，∠AKL＝∠A1KQ＝90°∴∠B1＝45°∠A＝45°∴△B1ML和△AKL也都是等腰直角三角形。②在Rt△ODC1和Rt△OEC中，∵OD＝OE＝1，∠COC1＝45°∴OC＝OC1＝∴CD＝C1E＝-1∴PQ＝NP＝2（-1）＝2-2，CQ＝CP＝C1P＝C1N＝（-1）＝2－∴延长CO交AB于H∵CO平分∠ACB，且AC＝BC∴CH⊥AB，∴CH＝CO＋OH＝+1∴AC＝BC＝A1C1＝B1C1＝（＋1）＝2＋∴∵A1Q＝BN＝（2+）－（2-2）－（2－）＝2∴KQ＝MN＝＝∴∵AK＝（2+）－（2－）－＝∴数学竞赛专项训练（7）－30初中数学竞赛专项训练（10）（三角形的四心及性质、平移、旋转、覆盖）一、填空题：1、G是△ABC的重心，连结AG并延长交边BC于D，若△ABC的面积为6cm2，则△BGD的面积为（）A.2cm2B.3cm2C.1cm2D.cm22、如图10-1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，∠C的平分线与∠B的外角的平分线交于E点，则∠AEB是（）A.50°B.45°C.40°D.35°3、在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝20°，如图10-2，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转角α到∠A’C’B’的位置，其中A’、B’分别是A、B的对应点，B在A’B’上，CA’交AB于D，则∠BDC的度数为（）A.40°B.45°C.50°D.60°4、设G是△ABC的垂心，且AG＝6，BG＝8，CG＝10，则三角形的面积为（）A.58B.66C.72D.845、如图10-3，有一块矩形纸片ABCD，AB＝8，AD＝6，将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED沿DE向右翻折，AE与BC的交点为F，△CEF的面积为（）A.2B.4C.6D.86、在△ABC中，∠A＝45°，BC＝a，高BE、CF交于点H，则AH＝（）A.B.C.aD.数学竞赛专项训练（7）－31ACBE图10-1ABCDA’B’α图10-2ABCDDAEBCADEBCF图10-37、已知点I是锐角三角形ABC的内心，A1、B1、C1分别是点I关于BC、CA、AB的对称点，若点B在△A1B1C1的外接圆上，则∠ABC等于（）A.30°B.45°C.60°D.90°8、已知AD、BE、CF是锐角△ABC三条高线，垂心为H，则其图中直角三角形的个数是（）A.6B.8C.10D.12二、填空题1、如图10-4，I是△ABC的内心，∠A＝40°，则∠CIB＝＿＿2、在凸四边形ABCD中，已知AB∶BC∶CD∶DA＝2∶2∶3∶1，且∠ABC＝90°，则∠DAB的度数是＿＿＿＿＿3、如图10-5，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，将矩形ABCD沿对角线对折，然后放在桌面上，折叠后所成的图形覆盖桌面的面积是＿＿＿＿＿＿＿4、在一个圆形时钟的表面，OA表示秒针，OB表示分针（O为两针的旋转中心）若现在时间恰好是12点整，则经过＿＿＿＿秒钟后，△OAB的面积第一次达到最大。5、已知等腰三角形顶角为36°，则底与腰的比值等于＿＿＿＿＿＿6、已知AM是△ABC中BC边上的中线，P是△ABC的重心，过P作EF（EF∥BC），分别交AB、AC于E、F，则＝＿＿＿＿＿＿＿＿三、解答题1、如图10-6，在正方形ABCD的对角线OB上任取一点E，过D作AE的垂线与OA交于F。求证：OE＝OF数学竞赛专项训练（7）－32ACIBD图10-4ABCDED’图10-52、在△ABC中，D为AB的中点，分别延长CA、CB到点E、F，使DE＝DF，过E、F分别作CA、CB的垂线相交于P，设线段PA、PB的中点分别为M、N。求证：①△DEM≌△DFN②∠PAE＝∠PBF3、如图10-8，在△ABC中，AB＝AC，底角B的三等分线交高线AD于M、N，边CN并延长交AB于E。求证：EM∥BN数学竞赛专项训练（7）－33AECBFDPMN图10-7ABCNMED图10-84、如图10-9，半径不等的两圆相交于A、B两点，线段CD经过点A，且分别交两于C、D两点，连结BC、CD，设P、Q、K分别是BC、BD、CD中点M、N分别是弧BC和弧BD的中点。求证：①②△KPM∽△NQK数学竞赛专项训练（7）－34ABCDMNKPQ图10-9数学竞赛专项训练（10）参考答案一、选择题1、解：。选C。2、解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，则∠ABC＝60°，因为EB是∠B的外角的平分线，所以∠ABE＝60°，因为E是∠C的平分线与∠B的平分线的交点，所以E点到CB的距离等于E到AB的距离，也等于E点到CA的距离，从而AE是∠A的外角的平分线。所以，∠AEB＝180°－60°－75°＝45°。应选B。3、解：依题意在等腰三角形B′CB中，有∠B′CB＝α，∠B′＝90°－20°＝70°。所以α＝180°－2×70°＝40°，即∠DCA＝α＝40°，从而∠BDC＝∠DCA＋∠A＝40°＋20°＝60°。应选D。4、解：设AD为中线，则DG＝AG＝3，延长GD到G′，DG＝DG′＝3，。应选C。5、解：由折叠过程知，DE＝AD＝6，∠DAE＝∠CEF＝45°，所以△CEF是等腰直角三角形，且EC＝8－6＝2，所以S△CEF＝2。故选A。6、解：取△ABC的外心及BC中点M，连OB、OC、OM，由于∠A＝45°，故∠BOC＝90°，OM＝a，由于AH＝2OM，AH＝a。应选C。7、解：因为IA1＝IB1＝IC1＝2r（r为△ABC的内切圆半径），所以I点同时是△A1B1C1的外接圆的圆心，设IA1与BC的交点为D，则IB＝IA1＝2ID，所以∠IBD＝30°。同理，∠IBA＝30°，于是∠ABC＝60°。故选C。8、图中有6个直角，每一个直角对应两个直角三角形，共有12个直角三角形：△ADB、△ADC、△BEA、△CFA、△CFB、△HDB、△HDC、△HEC、△HEA、△HFA、△BEC、△HFB。故选D。二、填空题1、解：2、解：连AC，即AD＝a，则在等腰Rt△ABC中数学竞赛专项训练参考答案（10）－35有∠CAD＝90°∠DAB＝∠DAC＋∠CAB＝90°+45°＝135°。3、解：设折叠后所成圆形覆盖桌面的面积为S，则：由Rt△ABE≌Rt△CD1E知EC＝AE设EC＝x，则，即解得：4、解：答：。设OA边上的高为h，则h≤OB，所以当OA⊥OB时，等号成立，此时△OAB的面积最大。设经过t秒时，OA与OB第一次垂直，又因为秒针1秒钟旋转6度，分针1秒钟旋转0.1度，于是（6－0.1）t＝90，解得t=。5、解：设等腰三角形底边为a，腰为b，作底角∠B的平分线交AC于D，则∴△BCD、△DAB均为等腰三角形。BD＝AD＝BC＝a，而CD＝b－a由△BCD∽△ABC∴则有（取正）6、解：如图分别过B、C两点作BG、CK平行于AM交直线EF于G、K，则有两式相加又梯形BCKG中，PM＝（BG+CK），而由P为重心得AP＝2PM故数学竞赛专项训练参考答案（10）－36ABMCKFDEG三、解答题1、证明：∵正方形ABCD∴OA⊥DE∵DF⊥AE∴F是△DAE的垂心∴EF⊥AD∴EF∥AB∵OA＝OB∴OE＝OF2、证明：①如图，据题设可知DM平行且等于BN，DN平行且等于AM，∴∠AMD＝∠BND∵M、N分别是Rt△AEP和Rt△BFP斜边的中点∴EM＝AM＝DNFN＝BN＝DM又已知DE＝DF∴△DEM≌△DFN②由上述全等三角形可知∠EMD＝∠FND∴∠AME＝∠BNF而△AME、△BNF均为等腰三角形∴∠PAE＝∠PBF。3、证明：连结MC∵AB＝BC，AD⊥BC∴∠1＝∠2＝∠3∵∠4＝∠5＝∠6又∵∠7＝∠8∴M是△AEC的内心∴EM是∠AEN的平分线∴又∵∠EBN＝2∠NBD＝2∠1∠ENB＝∠NBD＋∠4＝2∠1∴EB＝EN∴∴EN∥BN4、证明：①如图：因为M是的中点，P是BC的中点，所以MP⊥BC，∠BPM＝90°，连结AB，则有∠PBM＝∠CAB＝（180°－∠DAB）＝90°－∠DAB＝90°－∠NBD＝∠QNB。所以Rt△BPM∽Rt△NQB。于是有②因为KP∥BD，且KP＝BD＝BQ，所以，四边形PBQK是平行四边形。于是，有BP＝KQBQ＝KP由式①得。又∠KPM＝∠KPB＋90°＝∠KQB＋90°＝∠NQK，所以△KPM∽△NQK。数学竞赛专项训练参考答案（10）－37ABCNMED41235678',)