18-小结与复习

小结与复习第十八章平行四边形八年级数学下（RJ）教学课件要点梳理考点讲练课堂小结课后作业一、几种特殊四边形的性质项目四边形边角对角线对称性对边平行且相等对边平行且相等对边平行且四边相等对边平行且四边相等对角相等四个角都是直角对角相等四个角都是直角互相平分互相平分且相等互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角中心对称图形中心对称图形轴对称图形中心对称图形轴对称图形中心对称图形轴对称图形互相垂直且平分，每一条对角线平分一组对角四边形条件平行四边形矩形菱形正方形二、几种特殊四边形的常用判定方法：1.定义：两组对边分别平行2.两组对边分别相等3.两组对角分别相等4.对角线互相平分5.一组对边平行且相等1.定义：有一个角是直角的平行四边形2.对角线相等的平行四边形3.有三个角是直角的四边形1.定义：一组邻边相等的平行四边形2.对角线互相垂直的平行四边形3.四条边都相等的四边形1.定义：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形2.有一组邻边相等的矩形3.有一个角是直角的菱形5种判定方法三个角是直角四条边相等一个角是直角或对角线相等一组邻边相等或对角线垂直一组邻边相等或对角线垂直一个角是直角或对角线相等一个角是直角且一组邻边相等三、平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系四、其他重要概念及性质1.两条平行线之间的距离：2.三角形的中位线定理：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离叫做两条平行线之间的距离.三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半3.直角三角形斜边上的中线：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.考点一平行四边形的性质与判定考点讲练例1如图，在▱ABCD中，∠ODA=90°，AC=10cm，BD=6cm，则AD的长为（）A．4cmB．5cmC．6cmD．8cm解析：∵四边形ABCD是平行四边形，AC=10cm，BD=6cm∴OA=OC=AC=5cm，OB=OD=BD=3cm，∵∠ODA=90°，∴AD==4cm．故选A．121222OA-ODA方法总结主要考查了平行四边形的性质，平行四边形的对角线互相平分，解题时还要注意勾股定理的应用.针对训练1.如图，在▱ABCD中，对角线AC和BD交于点O，AC=24cm，BD=38cm，AD=28cm，则△BOC的周长是（）A．45cmB．59cmC．62cmD．90cmB例2如图，已知▱ABCD中，AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，分别交BC、AD于E、F．求证：AF=EC．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=D∠，AD=BC，AB=CD，∠BAD=BCD∠，∵AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，∴∠EAB=BAD∠，∠FCD=BCD∠，∴∠EAB=FCD∠，在△ABE和△CDF中∠B＝∠D，AB＝CD，∴△ABE≌CDF△，∴BE=DF．∠EAB＝∠FCD，∵AD=BC，∴AF=EC．1212利用平行四边形的性质来证明线段或角相等是一种常用方法.方法总结2.如图，四边形ABCD为平行四边形，延长BA至E，延长DC至F，使BE=DF，AF交BC于H，CE交AD于G.求证：∠E=F.∠ABHFCDEG分析：四边形ABCD是平行四边形AB∥CD，AB=CDBE=DF，AB=CDAE∥CF，AE=CF四边形AFCE是平行四边形∠E=F∠针对训练AB∥CD考点二特殊平行四边形的性质与判定例3如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE∥BD，过点D作ED∥AC，两线相交于点E．求证：四边形AODE是菱形；∵证明：AE∥BD，ED∥AC，∴四边形AODE是平行四边形.∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，OA=OC=AC，OB=OD=BD，∴OA=OC=OD，∴四边形AODE是菱形；12123.如图，O是菱形ABCD对角线的交点，作BE∥AC，CE∥BD，BE、CE交于点E，四边形CEBO是矩形吗？说出你的理由.DABCEO解：四边形CEBO是矩形.理由如下：已知四边形ABCD是菱形.∴AC⊥BD.∴∠BOC=90°.∵DEAC∥,CEBD∥，∴四边形CEBO是平行四边形.∴四边形CEBO是矩形.针对训练例4过正方形ABCD对角线BD上的一点P，作PEBC⊥于E，PFCD⊥于F.求证：AP=EFP·ABCDEF证明：连接AC、PC，∵正边形ABCD是正方形，∴BD垂直且平分AC，∴PA=PC.∵PEBC⊥，PFCD⊥，∠BCD=90°，∴四边形PECF是矩形，∴EF=PC，∴AP=EF.4.把正方形ABCD绕着点A，按顺时针方向旋转得到正方形AEFG，边FG与BC交于点H（如图）.试问线段HG与线段HB相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想.针对训练解：HG=HB.证法1：连接AH，∵四边形ABCD，AEFG都是正方形，∴∠B=G=90°.∠由题意知AG=AB，又AH=AH，∴RtAGH△≌RtABH△（HL），∴HG=HB.证法2：连接GB，∵四边形ABCD，AEFG都是正方形，∴∠ABC=AGF=90°.∠由题意知AB=AG，∴∠AGB=ABG∠，∴∠ABC-ABG=AGF-AGB∠∠∠，即∠HBG=HGB∠，∴HG=HB.例5如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，点G是BC延长线上一点，连接AG，点E、F分别在AG上，连接BE、DF，∠1＝∠2，∠3＝∠4.(1)证明：△ABE≌△DAF；(2)若∠AGB＝30°，求EF的长．(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD.在△ABE和△DAF中，∴△ABE≌DAF.△(2)解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠1＋∠4＝90°，∵∠3＝∠4，∴∠1＋∠3＝90°，∴∠AFD＝90°.在正方形ABCD中，ADBC∥，∴∠1＝∠AGB＝30°.在RtADF△中，∠AFD＝90°，AD＝2，∴AF＝3，DF＝1.由(1)得△ABE≌DAF△，∴AE＝DF＝1，∴EF＝AF－AE＝3－1.针对训练5.如图，在正方形ABCD中，点E，H，F，G分别在边AB，BC，CD，DA上，EF，GH交于点O，∠FOH＝90°，EF＝4.则GH的长为.4MN分析：分别过F，G作垂线，可证△HGN≌EFM△，于是可得GH=EF=4.考点三三角形的中位线例6ABC△的中线BD、CE相交于O，F，G分别是BO、CO的中点，求证：EF∥DG，且EF=DG．证明：连接DE，FG，∵BD、CE是△ABC的中线，∴DE是△ABC中位线，∴DE∥BC，DE=BC，同理：FG∥BC，FG=BC，∴DE∥FG，DE=FG，∴四边形DEFG是平行四边形，∴EF∥DG，EF=DG．ABCDEOFG1212利用三角形的中点，构造中位线，然后利用中位线的性质，得到线段的平行或倍数关系.方法总结针对训练6.如图，△ABC中，M是BC的中点，AD是∠BAC的平分线，BDAD⊥于D，AB=12，AC=18.则DM的长为.ABCMD12121818N解析：延长BD交AC与N，易证△ADB≌ADN△，得AN=AB=12，BD=ND.所以DM是△BCN的中位线，DM=NC=(AC-AN)=3.663331212四边形课堂小结矩形菱形正方形平行四边形两组对边平行一个角是直角一组邻边相等一组邻边相等一个角是直角一个角是直角且一组邻边相等