截面的静矩和形心位置及惯性矩的计算

oyz§І-1截面的静矩和形心位置一、定义dAyz截面对z,y轴的静矩为：AzydASAyzdAS静矩可正，可负，也可能等于零。yzodAyz截面的形心C的坐标公式为：zycAAydAySzAAAzdAzSyA截面对形心轴的静矩等于零。若截面对某一轴的静矩等于零，则该轴必过形心。yASzzASy二、组合截面截面各组成部分对于某一轴的静矩之代数和，就等于该截面对于同一轴的静矩。由几个简单图形组成的截面称为组合截面其中：Ai——第i个简单截面面积——第i个简单截面的形心坐标),(zyii组合截面静矩的计算公式为yASiniiz1niiiyzAS1计算组合截面形心坐标的公式如下：niiniiiAyAy11niiniiiAzAz111010120o80取x轴和y轴分别与截面的底边和左边缘重合解：将截面分为1，2两个矩形。12x1y1x2y2yxAAxAxAAxAxniiniii21221111AAyAyAy212211例1-1试确定图示截面心C的位置。1010120o8012x1y1x2y2yx矩形1mmA21120012010mmx51mmy601矩形2mmA227007010mmx45270102mmy52所以40mm190075500AAyAyAy20mm190037500AAxAxAx2122112122111010120o8012x1y1x2y2yx),(xyC§І-2极惯性矩惯性矩惯性积yz0dAyz截面对o点的极惯性矩为定义：dA2ρIApdA2dA2zyAAIIzy截面对y,z轴的惯性矩分别为因为2z2y2ρIp=Ix+Iy所以xy0dAxydA2ρIApxydAIAxy截面对x,y轴的惯性积为惯性矩的数值恒为正，惯性积则可能为正值，负值，惯性矩的数值恒为正，惯性积则可能为正值，负值，也可能等于零。也可能等于零。。。截面的对称轴，截面的对称轴，若若x,yx,y两坐标轴中有一个为两坐标轴中有一个为则截面对则截面对x,yx,y轴的轴的惯性积一定等于零惯性积一定等于零xydxdxydAAIi,AIixxyy截面对x,y轴的惯性半俓为例2_1求矩形截面对其对称轴x,y轴的惯性矩。dA=bdy解：bhxyCydy1232222bhdybydAyIhhAxdAyIAx2123hbIy例2-2求圆形截面对其对称轴的惯性矩。解：因为截面对其圆心O的极惯性矩为yxd所以644dIIyxπ324dIπρIIIyxρIIyxxyoC(a,b)ba一、平行移轴公式xc,yc——过截面的形心c且与x,y轴平行的坐标轴（形心轴）（a,b)_____形心c在xoy坐标系下的坐标。§І-3惯性矩和惯性积的平行移轴公式组合截面的惯性矩和惯性积ycxcx,y——任意一对坐标轴C——截面形心Ixc,Iyc,Ixcyc——截面对形心轴xc,yc的惯性矩和惯性积。Ix,Iy,Ixy_____截面对x,y轴的惯性矩和惯性积。xyoC(a,b)baycxc则平行移轴公式为AaIIxcx2AbIIycy2abAIIyxccxy二、组合截面的惯性矩惯性积Ixi,Iyi,——第i个简单截面对x,y轴的惯性矩、惯性积。Ixyi组合截面的惯性矩，惯性积n1iyiyIInixyixyII1n1ixixII例3-1求梯形截面对其形心轴yc的惯性矩。解：将截面分成两个矩形截面。2014010020zcycy12截面的形心必在对称轴zc上。取过矩形2的形心且平行记作y轴。于底边的轴作为参考轴，所以截面的形心坐标为140201A801Z201002A02Z2014010020zcycy12mmAAZAZAZC746212211.ZC2014010020y12ZCzcyc).(746801402014020121231IyC).(7462010020100121232IyCmIIIyCyCyC4621101212.一、转轴公式顺時针转取为–号§І-4惯性矩和惯性积的转轴公式截面的主惯性轴和主惯性矩xoy为过截面上的任–点建立的坐标系x1oy1为xoy转过角后形成的新坐标系oxyx1y1逆時针转取为+号，显然yxyxIIII11α2sin2cos221xyyxyxxIαIIIIIαIαIIIIIxyyxyxy2sin2cos221αIαIIIxyyxyx2cos2sin211上式称为转轴公式oxyx1y1二、截面的主惯性轴和主惯性矩主惯性轴——总可以找到一个特定的角0,使截面对新坐标轴x0,y0的惯性积等于0,则称x0,y0为主惯轴。主惯性矩——截面对主惯性轴的惯性矩。αIαIIIxyyxyx2cos2sin211形心主惯性轴——当一对主惯性轴的交点与截面的形心重合时，则称为形心主惯性轴。形心主惯性矩——截面对形心主惯性轴的惯性矩。由此求出后，主惯性轴的位置就确定出来了。求出后，主惯性轴的位置就确定出来了。主惯性轴的位置：设为主惯性轴与原坐标轴之间的夹角，则有yx0II2tgxy2I02cos2sin200xyyxIII22xyyxyxyx4III212IIII00过截面上的任一点可以作无数对坐标轴，其中必有一对是主惯性轴。截面的主惯性矩是所有惯性矩中的极值。即：Imax=Ix0,Imin=Iy0主惯性矩的计算公式截面的对称轴一定是形心主惯性轴。确定形心的位置AyAyAxAxiiiiii,选择一对通过形心且便于计算惯性矩（积）的坐标轴x，y,计算Ix,Iy,Ixy求形心主惯性矩的步骤IIxixIIyiyIIxyixy确定主惯性轴的位置)2(021IIItyxxyg计算形心主惯性矩IIIIIIIxyyxyxyx2214)(2200y20c10101207080例4-1计算所示图形的形心主惯性矩。解：该图形形心c的位置已确定,如图所示。过形心c选一对座标轴X,y轴，计算其惯性矩（积）。xymmIx442323104.1001070)25(1070121101201510120121y20c10101207080xymmIy44104278.mmxyI44103.971070)35()25(01012020150y20c10101207080xy093.1)2(20IyIxIxytg8.11300形心主惯性轴x0,y0分别由x轴和y轴绕C点逆时针转113.80得出。形心主惯形矩为44422104.5710321421200mmIIIIIIIxyyxyxyxIIyxα20在第三象限α2062270.