高考数学解题技巧：选择题+填空+解答+规范

第1讲选择题第1讲选择题的解题方法与技巧题型特点概述选择题是高考数学试卷的三大题型之一．选择题的分数一般占全卷的40%左右，高考数学选择题的基本特点是：(1)绝大部分数学选择题属于低中档题，且一般按由易到难的顺序排列，主要的数学思想和数学方法能通过它得到充分的体现和应用，并且因为它还有相对难度(如思维层次、解题方法的优劣选择，解题速度的快慢等)，所以选择题已成为具有较好区分度的基本题型之一．(2)选择题具有概括性强、知识覆盖面广、小巧灵活及有一定的综合性和深度等特点，且每一题几乎都有两种或两种以上的解法，能有效地检测学生的思维层次及观察、分析、判断和推理能力．目前高考数学选择题采用的是一元选择题(即有且只有一个正确答案)，由选择题的结构特点，决定了解选择题除常规方法外还有一些特殊的方法．解选择题的基本原则是：“小题不能大做”，要充分利用题目中(包括题干和选项)提供的各种信息，排除干扰，利用矛盾，作出正确的判断．数学选择题的求解，一般有两条思路：一是从题干出发考虑，探求结果；二是从题干和选择支联合考虑或从选择支出发探求是否满足题干条件．解答数学选择题的主要方法包括直接对照法、概念辨析法、图象分析法、特例检验法、排除法、逆向思维法等，这些方法既是数学思维的具体体现，也是解题的有效手段．解题方法例析题型一直接对照法直接对照型选择题是直接从题设条件出发，利用已知条件、相关概念、性质、公式、公理、定理、法则等基础知识，通过严谨推理、准确运算、合理验证，从而直接得出正确结论，然后对照题目所给出的选项“对号入座”，从而确定正确的选择支．这类选择题往往是由计算题、应用题或证明题改编而来，其基本求解策略是由因导果，直接求解．例1设定义在R上的函数f(x)满足f(x)·f(x＋2)＝13，若f(1)＝2，则f(99)等于()A．13B．2C.132D.213思维启迪先求f(x)的周期．解析∵f(x＋2)＝13f(x)，∴f(x＋4)＝13f(x＋2)＝1313f(x)＝f(x)．∴函数f(x)为周期函数，且T＝4.∴f(99)＝f(4×24＋3)＝f(3)＝13f(1)＝132.C探究提高直接法是解选择题的最基本方法，运用直接法时,要注意充分挖掘题设条件的特点，利用有关性质和已有的结论，迅速得到所需结论．如本题通过分析条件得到f(x)是周期为4的函数，利用周期性是快速解答此题的关键．变式训练1函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x＋2)＝1f(x)，若f(1)＝－5，则f(f(5))的值为()A．5B．－5C.15D．－15解析由f(x＋2)＝1f(x)，得f(x＋4)＝1f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的函数，所以f(5)＝f(1)＝－5，从而f(f(5))＝f(－5)＝f(－1)＝1f(－1＋2)＝1f(1)＝－15.D例2设双曲线x2a2－y2b2＝1的一条渐近线与抛物线y＝x2＋1只有一个公共点，则双曲线的离心率为()A.54B．5C.52D.5思维启迪求双曲线的一条渐近线的斜率即ba的值，尽而求离心率．解析设双曲线的渐近线方程为y＝kx，这条直线与抛物线y＝x2＋1相切，联立y＝kxy＝x2＋1，整理得x2－kx＋1＝0，则Δ＝k2－4＝0，解得k＝±2，即ba＝2，故双曲线的离心率e＝ca＝c2a2＝a2＋b2a2＝1＋(ba)2＝5.D探究提高关于直线与圆锥曲线位置关系的题目，通常是联立方程解方程组．本题即是利用渐近线与抛物线相切，求出渐近线斜率．变式训练2已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，以C的右焦点为圆心且与C的渐近线相切的圆的半径是()A．aB．bC.abD.a2＋b2解析x2a2－y2b2＝1的其中一条渐近线方程为：y＝－bax，即bx＋ay＝0，而焦点坐标为(c,0)，根据点到直线的距离d＝b×a2＋b2a2＋b2＝b.故选B.B题型二概念辨析法概念辨析是从题设条件出发，通过对数学概念的辨析，进行少量运算或推理，直接选择出正确结论的方法．这类题目常涉及一些似是而非、很容易混淆的概念或性质，这需要考生在平时注意辨析有关概念，准确区分相应概念的内涵与外延，同时在审题时要多加小心，准确审题以保证正确选择．一般说来，这类题目运算量小，侧重判断，下笔容易，但稍不留意则易误入命题者设置的“陷阱”．例3已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，给出下列条件，①a＝kb(k∈R)；②x1x2＋y1y2＝0；③(a＋3b)∥(2a－b)；④a·b＝ab；⑤x21y22＋x22y21≤2x1x2y1y2.其中能够使得a∥b的个数是()A．1B．2C．3D．4解析显然①是正确的，这是共线向量的基本定理；②是错误的，这是两个向量垂直的条件；③是正确的，因为由(a＋3b)∥(2a－b)，可得(a＋3a)＝λ(2a－b)，当λ≠12时，整理得a＝λ＋32λ－1b，故a∥b，当λ＝12时也可得到a∥b；④是正确的，若设两个向量的夹角为θ，则由a·b＝abcosθ，可知cosθ＝1，从而θ＝0，所以a∥b；⑤是正确的，由x21y22＋x22y21≤2x1x2y1y2，可得(x1y2－x2y1)2≤0，从而x1y2－x2y1＝0，于是a∥b.D探究提高平行向量(共线向量)是一个非常重要和有用的概念，应熟练掌握共线向量的定义以及判断方法，同时要将共线向量与向量中的其他知识(例如向量的数量积、向量的模以及夹角等)有机地联系起来，能够从不同的角度来理解共线向量．变式训练3关于平面向量a，b，c，有下列三个命题：①若a·b＝a·c，则b＝c.②若a＝(1，k)，b＝(－2,6)，a∥b，则k＝－3.③非零向量a和b满足a＝b＝a－b，则a与a＋b的夹角为60°.则假命题为()A．①②B．①③C．②③D．①②③解析①a·b＝a·c⇔a·(b－c)＝0，a与b－c可以垂直，而不一定有b＝c，故①为假命题．②∵a∥b，∴1×6＝－2k.∴k＝－3.故②为真命题．③由平行四边形法则知围成一菱形且一角为60°，a＋b为其对角线上的向量，a与a＋b夹角为30°，故③为假命题．B题型三数形结合法“数”与“形”是数学这座高楼大厦的两块最重要的基石，二者在内容上互相联系、在方法上互相渗透、在一定条件下可以互相转化，而数形结合法正是在这一学科特点的基础上发展而来的．在解答选择题的过程中，可以先根据题意，做出草图，然后参照图形的做法、形状、位置、性质，综合图象的特征，得出结论．例4(2009·海南)用min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值．设f(x)＝min{2x，x＋2,10－x}(x≥0)，则f(x)的最大值为()A．4B．5C．6D．7思维启迪画出函数f(x)的图象，观察最高点，求出纵坐标即可．本题运用图象来求值，直观、易懂．解析由题意知函数f(x)是三个函数y1＝2x，y2＝x＋2，y3＝10－x中的较小者，作出三个函数在同一个坐标系之下的图象(如图中实线部分为f(x)的图象)可知A(4,6)为函数f(x)图象的最高点．C变式训练4(2010·湖北）设集合A＝(x，y)x24＋y216＝1，B＝(x，y)y＝3x，则A∩B的子集的个数是()A．4B．3C．2D．1解析集合A中的元素是椭圆x24＋y216＝1上的点，集合B中的元素是函数y＝3x的图象上的点．由数形结合，可知A∩B中有2个元素，因此A∩B的子集的个数为4.A例5函数f(x)＝1－2x－1，则方程f(x)·2x＝1的实根的个数是()A．0B．1C．2D．3思维启迪若直接求解方程显然不可能，考虑到方程可转化为f(x)＝12x，而函数y＝f(x)和y＝12x的图象又都可以画出，故可以利用数形结合的方法，通过两个函数图象交点的个数确定相应方程的根的个数．解析方程f(x)·2x＝1可化为f(x)＝12x，在同一坐标系下分别画出函数y＝f(x)和y＝12x的图象，如图所示．可以发现其图象有两个交点，因此方程f(x)＝12x有两个实数根．C探究提高一般地，研究一些非常规方程的根的个数以及根的范围问题，要多考虑利用数形结合法．方程f(x)＝0的根就是函数y＝f(x)图象与x轴的交点横坐标，方程f(x)＝g(x)的根就是函数y＝f(x)和y＝g(x)图象的交点横坐标．利用数形结合法解决方程根的问题的前提是涉及的函数的图象是我们熟知的或容易画出的，如果一开始给出的方程中涉及的函数的图象不容易画出，可以先对方程进行适当的变形，使得等号两边的函数的图象容易画出时再进行求解．变式训练5函数y＝log12x的定义域为[a，b]，值域为[0,2]，则区间[a，b]的长度b－a的最小值是()A．2B.32C．3D.34解析作出函数y＝log12x的图象，如图所示，由y＝0解得x＝1；由y＝2，解得x＝4或x＝14.所以区间[a，b]的长度b－a的最小值为1－14＝34.D题型四特例检验法特例检验(也称特例法或特殊值法)是用特殊值(或特殊图形、特殊位置)代替题设普遍条件，得出特殊结论，再对各个选项进行检验，从而做出正确的选择．常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等．特例检验是解答选择题的最佳方法之一，适用于解答“对某一集合的所有元素、某种关系恒成立”，这样以全称判断形式出现的题目，其原理是“结论若在某种特殊情况下不真，则它在一般情况下也不真”，利用“小题小做”或“小题巧做”的解题策略．例6已知A、B、C、D是抛物线y2＝8x上的点，F是抛物线的焦点，且FA→＋FB→＋FC→＋FD→＝0，则FA→＋FB→＋FC→＋FD→的值为()A．2B．4C．8D．16解析取特殊位置，AB，CD为抛物线的通径，显然FA→＋FB→＋FC→＋FD→＝0，则FA→＋FB→＋FC→＋FD→＝4p＝16，故选D.D探究提高本题直接求解较难，利用特殊位置法，则简便易行．利用特殊检验法的关键是所选特例要符合条件．变式训练6已知P、Q是椭圆3x2＋5y2＝1上满足∠POQ＝90°的两个动点，则1OP2＋1OQ2等于()A．34B．8C.815D.34225解析取两特殊点P(33，0)、Q(0，55)即两个端点，则1OP2＋1OQ2＝3＋5＝8.故选B.B例7数列{an}成等比数列的充要条件是()A．an＋1＝anq(q为常数)B．a2n＋1＝an·an＋2≠0C．an＝a1qn－1(q为常数)D．an＋1＝an·an＋2解析考查特殊数列0,0，…，0，…，不是等比数列，但此数列显然适合A，C，D项．故选B.B探究提高判断一个数列是否为等比数列的基本方法是定义法，也就是看an＋1an是否为常数，但应注意检验一个数列为等比数列的必要条件是否成立．变式训练7已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2nan＝4n－12n－1，则S2nSn的值为()A．2B．3C．4D．8解析方法一(特殊值检验法)取n＝1，得a2a1＝31，∴a1＋a2a1＝41＝4，于是，当n＝1时，S2nSn＝S2S1＝a1＋a2a1＝4.方法二(特殊式检验法)注意到a2nan＝4n－12n－1＝2·2n－12·n－1，取an＝2n－1，S2nSn＝1＋(4n－1)2·2n1＋(2n－1)2·n＝4.方法三(直接求解法)由a2nan＝4n－12n－1，得a2n－anan＝2n2n－1，即ndan＝2n2n－1，∴an＝d(2n－1)2，于是，S2nSn＝a1＋a2n2·2na1＋an2·n＝2·a1＋a2na1＋an＝2·d2＋d2(4n－1)d2＋d2(2n－1)＝4.答案C题型五筛选法数学选择题的解题本质就是去伪存真，舍弃不符合题目要求的选项，找到符合题意的正确结论．筛选法(又叫排除法)就是通过观察分析或推理运算各项提供的信息或通过特例，对于错误的选项，逐一剔除，从而获得正确的结论．例8方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负根的充要条件是()A．05π，故选D.D规律方法总结1．解选择题的基本方法有直接法、排除法、特例法、验证法和数形结合法．但大部分选择题的解法是直接法，在解选择题时要根据题干和选择支两方面的特点灵活运用上述一种或几种方法“巧解”，在“小题小做”、“小题巧做”上做文章，切忌盲目地采用直接法．2．由于选择题供选答案多、信息量大、正误混杂、迷惑性强，稍不留心就会误入“陷阱”，应该从正反两个方向肯定、否定、筛选、验证，既谨慎选择，又大胆跳跃．3．作为平时训练，解完一道题后，还应考虑一下能不能用其他方法进行“巧算”，并注意及时总结，这样才能有效地提高解选择题的能力.知能提升演练1．已知集合A＝{1,3,5,7,9}，B＝{0,3,6,9,12}，则A∩(∁NB)等于()A．{1,5,7}B．{3,5,7}C．{1,3,9}D．{1,2,3}解析由于3∈∁NB，所以3∈A∩(∁NB)∴排除B、C、D，故选A.A2．已知向量a，b不共线，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b.如果c∥d，那么()A．k＝1且c与d同向B．k＝1且c与d反向C．k＝－1且c与d同向D．k＝－1且c与d反向解析当k＝1时，c＝a＋b，不存在实数λ，使得a＝λb.所以c与d不共线，与c∥d矛盾．排除A、B；当k＝－1时，c＝－a＋b＝－(a－b)＝－d，所以c∥d，且c与d反向．故应选D.D3．已知函数y＝tanωx在－π2，π2内是减函数，则()A．0<ω≤1B．－1≤ω<0C．ω≥1D．ω≤－1解析可用排除法，∵当ω>0时正切函数在其定义域内各长度为一个周期的连续区间内为增函数，∴排除A、C，又当ω>1时正切函数的最小正周期长度小于π，∴y＝tanωx在－π2，π2内不连续，在这个区间内不是减函数，这样排除D，故选B.B4．已知函数f(x)＝2mx2－2(4－m)x＋1，g(x)＝mx，若对于任一实数x，f(x)与g(x)的值至少有一个为正数，则实数m的取值范围是()A．(0,2)B．(0,8)C．(2,8)D．(－∞，0)解析当m＝1时，f(x)＝2x2－6x＋1，g(x)＝x，由f(x)与g(x)的图象知，m＝1满足题设条件，故排除C、D.当m=2时，f(x)=4x2-4x+1,g(x)=2x,由其图象知，m=2满足题设条件，故排除A.因此，选项B正确．B5．已知向量OB→＝(2,0)，向量OC→＝(2,2)，向量CA→＝(2cosα，2sinα)，则向量OA→与向量OB→的夹角的取值范围是()A．[0，π4]B．[5π12，π2]C．[π4，5π12]D．[π12，5π12]解析∵CA→=2∴，A的轨迹是⊙C，半径为2.由图可知∠COB＝π4，设向量OA→与向量OB→的夹角为θ，则π4－π6≤θ≤π4＋π6，故选D.答案D6．设函数y＝f(x)在(－∞，＋∞)内有定义，对于给定的正数K，定义函数fK(x)＝f(x)，f(x)≤K，K，f(x)>K.取函数f(x)＝2－x，当K＝12时，函数fK(x)的单调递增区间为()A．(－∞，0)B．(0，＋∞)C．(－∞，－1)D．(1，＋∞)解析函数f(x)＝2－x＝(12)x，作图f(x)≤K＝12⇒x∈(－∞，－1]∪[1,＋∞),故在(－∞,－1)上是单调递增的,选C项．C7．设x，y∈R，用2y是1＋x和1－x的等比中项，则动点(x，y)的轨迹为除去x轴上点的()A．一条直线B．一个圆C．双曲线的一支D．一个椭圆解析(2y)2＝(1－x)(1＋x)(y≠0)得x2＋4y2＝1(y≠0)．D8．设A、B是非空数集，定义AB＝{xx∈A∪B且x∈A∩B}，已知集合A＝{xy＝2x－x2}，B＝{yy＝2x，x>0}，则AB等于()A．[0,1]∪(2，＋∞)B．[0,1)∪(2，＋∞)C．(－∞，1]D．[0,2]解析A＝R，B＝(1，＋∞)，故AB＝(－∞，1]，故选C.C9．(2010·福建)若点O和点F(－2,0)分别为双曲线x2a2－y2＝1(a>0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则OP→·FP→的取值范围为()A．[3－23，＋∞)B．[3＋23，＋∞)C．[－74，＋∞)D．[74，＋∞)解析由c＝2得a2＋1＝4，∴a2＝3，∴双曲线方程为x23－y2＝1.设P(x，y)(x≥3)，OP→·FP→＝(x，y)·(x＋2，y)＝x2＋2x＋y2＝x2＋2x＋x23－1＝43x2＋2x－1(x≥3)．令g(x)＝43x2＋2x－1(x≥3)，则g(x)在[3，＋∞)上单调递增．g(x)min＝g(3)＝3＋23.∴OP→·FP→的取值范围为[3＋23，＋∞)．B10．已知等差数列{an}满足a1＋a2＋…＋a101＝0，则有()A．a1＋a101>0B．a2＋a102<0C．a3＋a99＝0D．a51＝51解析取满足题意的特殊数列an＝0，则a3＋a99＝0，故选C.C11．在等差数列{an}中，若a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝80，则a7－12a8的值为()A．4B．6C．8D．10解析令等差数列{an}为常数列an＝16.显然a7－12a8＝16－8＝8.故选C.C12．若1a<1b<0，则下列不等式：①a＋bb；③a2中，正确的不等式是()A．①②B．②③C．①④D．③④解析取a＝－1，b＝－2，则②、③不正确，所以A、B、D错误，故选C.C13.(2010·全国)如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0(2，－2)，角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为()解析观察并联想P运动轨迹与d的关系，当t＝0时，d＝2，排除A、D；当开始运动时d递减，排除B.答案C14．若函数f(x)＝x2x2＋1－a＋4a的最小值等于3，则实数a的值等于()A.34B．1C.34或1D．不存在这样的a解析方法一直接对照法令x2x2＋1＝t，则t∈[0,1)．若a≥1，则f(x)＝t－a＋4a＝5a－t不存在最小值；若0≤a<1，则f(x)＝t－a＋4a，当t＝a时取得最小值4a，于是4a＝3，得a＝34符合题意；若a<0，f(x)＝t－a＋4a＝t＋3a，当t＝0时取得最小值3a，于是3a＝3，得a＝1不符合题意．综上可知，a＝34.方法二试验法若a＝1，则f(x)＝x2x2＋1－1＋4>4，显然函数的最小值不是3，故排除选项B、C；若a＝34，f(x)＝x2x2＋1－34＋3，这时只要令x2x2＋1－34＝0，即x＝±3，函数可取得最小值3，因此A项正确，D项错误．答案A15．已知sinθ＝m－3m＋5，cosθ＝4－2mm＋5(π2<θ<π)，则tanθ2等于()A.m－39－mB．m－39－mC.13D．5解析由于受条件sin2θ＋cos2θ＝1的制约，故m为一确定的值，于是sinθ，cosθ的值应与m的值无关，进而tanθ2的值与m无关，又π2<θ<π，π4<θ2<π2，∴tanθ2>1，故选D项．D16．已知函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象如下图，那么y＝f(x)，y＝g(x)图象可能是()解析从导函数的图象可知两个函数在x0处斜率相同，可以排除B项，再者导函数的函数值反映的是原函数增加的快慢，可明显看出y＝f(x)的导函数是减函数，所以原函数应该增加的越来越慢，排除A、C两项，最后只有D项，可以验证y＝g(x)导函数是增函数，增加越来越快．答案D第2讲填空题第2讲填空题的解题方法与技巧题型特点概述填空题是高考试卷中的三大题型之一，和选择题一样，属于客观性试题．它只要求写出结果而不需要写出解答过程．在整个高考试卷中，填空题的难度一般为中等．不同省份的试卷所占分值的比重有所不同．1．填空题的类型填空题主要考查学生的基础知识、基本技能以及分析问题和解决问题的能力，具有小巧灵活、结构简单、概念性强、运算量不大、不需要写出求解过程而只需要写出结论等特点．从填写内容看，主要有两类：一类是定量填写，一类是定性填写．2．填空题的特征填空题不要求写出计算或推理过程，只需要将结论直接写出的“求解题”．填空题与选择题也有质的区别：第一，表现为填空题没有备选项，因此，解答时有不受诱误干扰之好处，但也有缺乏提示之不足；第二，填空题的结构往往是在一个正确的命题或断言中，抽出其中的一些内容(既可以是条件，也可以是结论)，留下空位，让考生独立填上，考查方法比较灵活．从历年高考成绩看，填空题得分率一直不很高，因为填空题的结果必须是数值准确、形式规范、表达式最简，稍有毛病，便是零分．因此，解填空题要求在“快速、准确”上下功夫，由于填空题不需要写出具体的推理、计算过程，因此要想“快速”解答填空题，则千万不可“小题大做”，而要达到“准确”，则必须合理灵活地运用恰当的方法，在“巧”字上下功夫．3．解填空题的基本原则解填空题的基本原则是“小题不能大做”，基本策略是“巧做”．解填空题的常用方法有：直接法、数形结合法、特殊化法、等价转化法、构造法、合情推理法等．解题方法例析题型一直接法直接法就是从题设条件出发，运用定义、定理、公式、性质、法则等知识，通过变形、推理、计算等，得出正确结论，使用此法时，要善于透过现象看本质，自觉地、有意识地采用灵活、简捷的解法．例1在等差数列{an}中，a1＝－3,11a5＝5a8－13，则数列{an}的前n项和Sn的最小值为________．思维启迪计算出基本量d，找到转折项即可．解析设公差为d，则11(－3＋4d)＝5(－3＋7d)－13，∴d＝59.∴数列{an}为递增数列．令an≤0，∴－3＋(n－1)·59≤0，∴n≤325，∵n∈N.∴前6项均为负值，∴Sn的最小值为S6＝－293.答案－293探究提高本题运用直接法，直接利用等差数列的通项公式判断出数列的项的符号，进而确定前几项的和最小，最后利用等差数列的求和公式求得最小值．变式训练1设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2＝3，a6＝11，则S7＝________.解析方法一S7＝7(a1＋a7)2＝7(a2＋a6)2＝7×(3＋11)2＝49.故填49.方法二由a2＝a1＋d＝3，a6＝a1＋5d＝11可得a1＝1，d＝2，∴a7＝1＋6×2＝13.∴S7＝7(a1＋a7)2＝7×(1＋13)2＝49.故填49.49题型二特殊值法特殊值法在考试中应用起来比较方便，它的实施过程是从特殊到一般，优点是简便易行．当暗示答案是一个“定值”时，就可以取一个特殊数值、特殊位置、特殊图形、特殊关系、特殊数列或特殊函数值来将字母具体化，把一般形式变为特殊形式．当题目的条件是从一般性的角度给出时，特例法尤其有效．例2已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足(sinA－sinC)(a＋c)b＝sinA－sinB，则C＝_______.思维启迪题目中给出了△ABC的边和角满足的一个关系式，由此关系式来确定角C的大小，因此可考虑一些特殊的三角形是否满足关系式，如：等边三角形、直角三角形等，若满足，则可求出此时角C的大小．解析容易发现当△ABC是一个等边三角形时，满足(sinA－sinC)(a＋c)b＝sinA－sinB，而此时C＝60°，故角C的大小为60°.答案60°探究提高特殊值法的理论依据是：若对所有值都成立，那么对特殊值也成立，我们就可以利用填空题不需要过程只需要结果这一“弱点”，“以偏概全”来求值．在解决一些与三角形、四边形等平面图形有关的填空题时，可根据题意，选择其中的特殊图形(如正三角形、正方形)等解决问题．此题还可用直接法求解如下：由(sinA－sinC)(a＋c)b＝sinA－sinB可得(a－c)(a＋c)b＝a－b，整理得，a2－c2＝ab－b2，即a2＋b2－c2＝ab.由余弦定理，得cosC＝a2＋b2－c22ab＝12，所以C＝60°.变式训练2在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，如果a、b、c成等差数列，则cosA＋cosC1＋cosAcosC＝________.解析方法一取特殊值a＝3，b＝4，c＝5，则cosA＝45，cosC＝0，cosA＋cosC1＋cosAcosC＝45.方法二取特殊角A＝B＝C＝π3，cosA＝cosC＝12，cosA＋cosC1＋cosAcosC＝45.45例3如图所示，在△ABC中,AO是BC边上的中线，K为AO上一点，且OA→＝2AK→,过点K的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若AB→＝mAM→，AC→＝nAN→，则m＋n＝________.思维启迪题目中过点K的直线是任意的，因此m和n的值是变化的，但从题意看m＋n的值是一个定值，故可取一条特殊的直线进行求解．解析当过点K的直线与BC平行时，MN就是△ABC的一条中位线(∵OA→＝2AK→，∴K是AO的中点)．这时由于有AB→＝mAM→，AC→＝nAN→，因此m＝n＝2，故m＋n＝4.探究提高本题在解答中，充分考虑了“直线虽然任意,但m＋n的值却是定值”这一信息，通过取直线的一个特殊位置得到了问题的解,显得非常简单,在求解这类填空题时，就要善于捕捉这样的有效信息,帮助我们解决问题．答案4变式训练3设O是△ABC内部一点，且OA→＋OC→＝－2OB→，则△AOB与△AOC的面积之比为______．解析采用特殊位置，可令△ABC为正三角形，则根据OA→＋OC→＝－2OB→可知，O是△ABC的中心，则OA＝OB＝OC，所以△AOB≌△AOC，即△AOB与△AOC的面积之比为1.1题型三图象分析法(数形结合法)依据特殊数量关系所对应的图形位置、特征，利用图形直观性求解的填空题，称为图象分析型填空题，这类问题的几何意义一般较为明显．由于填空题不要求写出解答过程，因而有些问题可以借助于图形，然后参照图形的形状、位置、性质，综合图象的特征，进行直观地分析，加上简单的运算，一般就可以得出正确的答案．事实上许多问题都可以转化为数与形的结合，利用数形结合法解题既浅显易懂，又能节省时间．利用数形结合的思想解决问题能很好地考查考生对基础知识的掌握程度及灵活处理问题的能力，此类问题为近年来高考考查的热点内容．例4已知方程(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0的四个根组成一个首项为14的等差数列，则m－n的值等于________．思维启迪考虑到原方程的四个根，其实是抛物线y＝x2－2x＋m与y＝x2－2x＋n和x轴四个交点的横坐标，所以可以利用图象进行求解．解析如图所示，易知抛物线y＝x2－2x＋m与y＝x2－2x＋n有相同的对称轴x＝1，它们与x轴的四个交点依次为A、B、C、D.因为xA＝14，则xD＝74.又AB＝BC＝CD，所以xB＝34，xC＝54.故m－n＝14×74－34×54＝12.12探究提高本题是数列问题，但由于和方程的根有关系，故可借助数形结合的方法进行求解，因此在解题时，我们要认真分析题目特点，充分挖掘其中的有用信息，寻求最简捷的解法．变式训练4已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x),且在区间[0,2]上是增函数，若方程f(x)＝m(m>0)，在区间[－8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4＝________.解析因为定义在R上的奇函数，满足f(x－4)＝－f(x)，所以f(4－x)＝f(x)．因此，函数图象关于直线x＝2对称且f(0)＝0，由f(x－4)＝－f(x)知f(x－8)＝f(x)，所以函数是以8为周期的周期函数．又因为f(x)在区间[0,2]上是增函数，所以f(x)在区间[－2,0]上也是增函数，如图所示，那么方程f(x)＝m(m>0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3,x4，不妨设x10，或f(x)≥0，sinx<0，在给出的坐标系中，再作出y＝sinx在[－4,4]上的图象，如图所示,观察图象即可得到所求的解集为[－4，－π)∪(－π，0)∪[π2，π)．[－4，－π)∪(－π，0)∪[π2，π)探究提高与函数有关的填空题，依据题目条件，灵活地应用函数图象解答问题，往往可使抽象复杂的代数问题变得形象直观，使问题快速获解．变式训练5不等式（x-）·sinx<0，x[∈-π,2π］的解集为.解析在同一坐标系中分别作出y=x-与y=sinx的图象：根据图象可得不等式的解集为：2π2ππ),(π)π,()ππ,(2202π),(π)π,()ππ,(2202题型四等价转化法将所给的命题进行等价转化，使之成为一种容易理解的语言或容易求解的模式．通过转化，使问题化繁为简、化陌生为熟悉，将问题等价转化成便于解决的问题，从而得出正确的结果．例6设函数f(x)＝x2－4x＋6，x≥03x＋4，x<0，若互不相等的实数x1，x2，x3满足f(x1)＝f(x2)＝f(x3)，则x1＋x2＋x3的取值范围是________．思维启迪将问题转化为y＝m与y＝f(x)有三个不同的交点，再研究三个交点的横坐标之和的取值范围．解析本题可转化为直线y＝m与函数f(x)的图象有三个交点,y＝x2－4x＋6在[0,＋∞)的最小值为f(2)＝2，故20，由于y＝x2－4x＋6的对称轴为x＝2,则x1＋x2＝4，令3x＋4＝2，得x＝－23，则－230，m＋3>0，解得m≥6，即a＋b≥6，故a＋b的取值范围是[6，＋∞)．[6，＋∞)变式训练8若抛物线y＝－x2＋ax－2总在直线y＝3x－1的下方，则实数a的取值范围是________．解析构造不等式，依题意知，不等式－x2＋ax－2<3x－1在R上恒成立，即x2＋(3－a)x＋1>0在R上恒成立．故Δ＝(3－a)2－4<0，即a2－6a＋5<0，解得10}，∁UA＝[－1，－n]，则m2＋n2＝________.解析由∁UA＝[－1,－n],知A＝(－∞，－1)∪(－n,＋∞)，即不等式x－1x＋m>0的解集为(－∞,－1)∪(－n，＋∞),所以－n＝1,－m＝－1，因此m＝1，n＝－1，故m2＋n2＝2.22．在各项均为正数的等比数列{an}中，若a5·a6＝9，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝________.解析特殊化法：尽管满足a5·a6＝9的数列有无穷多，但所求结果应唯一的，故只需选取一个满足条件的特殊数列a5＝a6＝3，则公比q＝1就可以了．原式＝log3(3·3·3·…·3)＝log3310＝10.103．在数列{an}中，若a1＝1，an＋1＝2an＋3(n≥1)，则该数列的通项an＝________.解析由an＋1＝2an＋3，则有an＋1＋3＝2(an＋3)，即an＋1＋3an＋3＝2.所以数列{an＋3}是以a1＋3为首项、公比为2的等比数列，即an＋3＝4·2n－1＝2n＋1，所以an＝2n＋1－3.2n＋1－34．设非零向量a，b，c满足a＝b＝c，a＋b＝c，则cos〈a，b〉＝________.解析设正三角形△ABC中，BA→＝a，AC→＝b，BC→＝c，所以BA→与AC→的夹角为120°，所以cos〈a，b〉＝cos120°＝－12.－125．设等差数列{an}，{bn}的前n项的和分别为Sn与Tn，若SnTn＝2n3n＋1，则anbn＝________.解析因为等差数列的前n项和公式为Sn＝a1n＋n(n－1)d2＝d2n2＋(a1－12d)n，故可设Sn＝2n·n，Tn＝(3n＋1)·n，则可得an＝4n－2，bn＝6n－2，∴anbn＝4n－26n－2＝2n－13n－1.2n－13n－16．△ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，OH→＝m(OA→＋OB→＋OC→)，则实数m＝____.解析(特殊值法)当∠B＝90°时,△ABC为直角三角形,O为AC中点．AB、BC边上高的交点H与B重合．OA→＋OB→＋OC→＝OB→＝OH→，∴m＝1.17．(2010·湖南)若数列{an}满足：对任意的n∈N，只有有限个正整数m使得am5，故(a5)＝2.∵{an}＝{1,22,32，…，n2，…}，∴((a1))＝1，((a2))＝4＝22，((a3))＝9＝32，…，((an))＝n2.}.,,,,,,,,,,,,,,{)}{()(个个个个个12753133222221110nnnna2n28．直线y＝kx＋3k－2与直线y＝－14x＋1的交点在第一象限，则k的取值范围是________．解析因为y＝kx＋3k－2，即y＝k(x＋3)－2，故直线过定点P(－3，－2)，而定直线y＝－14x＋1在两坐标轴上的交点分别为A(4,0)，B(0,1)．如图所示，求得270，∴an－an－1＝12，于是{an}是等差数列，故an＝1＋(n－1)·12＝n＋12.an＝n＋1214．已知f(x)＝x＋log2x9－x，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(8)的值为________．解析由于f(x)＝x＋log2x9－x，所以f(9－x)＝9－x＋log29－xx＝9－x－log2x9－x，于是有f(x)＋f(9－x)＝9.从而f(1)＋f(8)＝f(2)＋f(7)＝f(3)＋f(6)＝f(4)＋f(5)＝9.故原式值为9×4＝36.3615．在△ABC中，如果sinA∶sinB∶sinC＝5∶6∶8，那么此三角形最大角的余弦值是_________．解析由正弦定理得a∶b∶c＝5∶6∶8，令a＝5，b＝6，c＝8，则C是最大角，即cosC＝a2＋b2－c22ab＝25＋36－6460＝－120.－12016．已知最小正周期为2的函数y＝f(x)，当x∈[－1,1]时，f(x)＝x2，则方程f(x)＝log5x的解的个数为________．解析设g(x)＝log5x，作出函数f(x)与g(x)的图象，由图象知两个函数共有5个交点，即方程f(x)＝log5x的解的个数为5个．5第3讲解答题答题模板第3讲解答题答题模板数学解答题是高考数学试卷中的一类重要题型，通常是高考的把关题和压轴题，具有较好的区分层次和选拔功能．目前的高考解答题已经由单纯的知识综合型转化为知识、方法和能力的综合型解答题．在高考考场上，能否做好解答题，是高考成败的关键，因此，在高考备考中学会怎样解题，是一项重要内容．本节以著名数学家波利亚的《怎样解题》为理论依据，结合具体的题目类型，来谈一谈解答数学解答题的一般思维过程、解题程序和答题格式，即所谓的“答题模板”．模板1三角函数的单调性及求值问题例1已知函数f(x)＝cos2(x＋π12)，g(x)＝1＋12sin2x.(1)设x＝x0是函数y＝f(x)图象的一条对称轴，求g(x0)的值；(2)求函数h(x)＝f(x)＋g(x)的单调递增区间．思维启迪(1)由x＝x0是y＝f(x)的一条对称轴知f(x0)是f(x)的最值，从而得2x0＋π6＝kπ(k∈Z)，即x0＝kπ2－π12(k∈Z)．(2)化简h(x)＝f(x)＋g(x)为h(x)＝Asin(ωx＋φ)或h(x)＝Acos(ωx＋φ)的形式．(3)根据正弦或余弦函数求单调递增区间.规范解答示例解(1)由题设知f(x)＝12[1＋cos(2x＋π6)]．因为x＝x0是函数y＝f(x)的图象的一条对称轴，所以2x0＋π6＝kπ(k∈Z)，即2x0＝kπ－π6(k∈Z)．所以g(x0)＝1＋12sin2x0＝1＋12sin(kπ－π6)．当k为偶数时，g(x0)＝1＋12sin(－π6)＝1－14＝34；当k为奇数时，g(x0)＝1＋12sinπ6＝1＋14＝54.(2)h(x)＝f(x)＋g(x)＝12[1＋cos(2x＋π6)]＋1＋12sin2x＝12[cos(2x＋π6)＋sin2x]＋32＝12(32cos2x＋12sin2x)＋32＝12sin(2x＋π3)＋32.当2kπ－π2≤2x＋π3≤2kπ＋π2(k∈Z)，即kπ－5π12≤x≤kπ＋π12(k∈Z)时，函数h(x)＝12sin(2x＋π3)＋32是增函数．故函数h(x)的单调递增区间是[kπ－5π12，kπ＋π12](k∈Z).构建答题模板第一步：三角函数式的化简，一般化成y＝Asin(ωx＋φ)＋h的形式或y＝Acos(ωx＋φ)＋h的形式．如：f(x)＝12cos(2x＋π6)＋12，h(x)＝12sin(2x＋π3)＋32.第二步：由三角函数值求角；由角求三角函数值．第三步：由sinx、cosx的单调性，将“ωx＋φ”看作一个整体，转化为解不等式问题．第四步：明确规范表述结论．第五步：反思回顾．查看关键点、易错点及解题规范．如本题中，由x0求g(x0)时，由于x0中含有变量k，应对k的奇偶进行讨论.模板2解析几何中的探索性问题例2已知定点C(－1,0)及椭圆x2＋3y2＝5，过点C的动直线与椭圆相交于A，B两点．(1)若线段AB中点的横坐标是－12，求直线AB的方程；(2)在x轴上是否存在点M，常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．思维启迪为使.MBMA(1)设过C(－1,0)的直线方程y＝k(x＋1)，利用待定系数法求k.（2）从假设存在点M（m,0）出发去求若能找到一个m值使为常数，即假设正确，否则不正确．.MBMAMBMA规范解答示例解(1)依题意，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y＝k(x＋1)，将y＝k(x＋1)代入x2＋3y2＝5，消去y整理得(3k2＋1)x2＋6k2x＋3k2－5＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由线段AB中点的横坐标是－12，得x1＋x22＝－3k23k2＋1＝－12，解得k＝±33，适合①.所以直线AB的方程为x－3y＋1＝0或x＋3y＋1＝0.②.136①,0)53)(13(4362221224kkxxkkk(2)假设在x轴上存在点M（m，0），使为常数.(ⅰ)当直线AB与x轴不垂直时，由(1)知x1＋x2＝－6k23k2＋1，x1x2＝3k2－53k2＋1.③所以＝(x1－m)(x2－m)＋y1y2＝(x1－m)(x2－m)＋k2(x1＋1)(x2＋1)＝(k2＋1)x1x2＋(k2－m)(x1＋x2)＋k2＋m2.将③代入，整理得＝(6m－1)k2－53k2＋1＋m2＝2m－13(3k2＋1)－2m－1433k2＋1＋m2＝m2＋2m－13－6m＋143(3k2＋1).MBMAMBMAMBMA注意到是与k无关的常数，从而有6m+14=0，此时（ⅱ）当直线AB与x轴垂直时，此时点A、B的坐标分别为当m=时，也有综上，在x轴上存在定点使为常数.MBMA.94MBMA),32,1()32,1(、37.94MBMA),0,37(MMBMA,37m构建答题模板第一步：假设结论存在．第二步：以存在为条件，进行推理求解．第三步：明确规范表述结论．若能推出合理结果，经验证成立即可肯定正确；若推出矛盾，即否定假设．第四步：反思回顾．查看关键点，易错点及解题规范．如本题中第(1)问容易忽略Δ>0这一隐含条件．第(2)问易忽略直线AB与x轴垂直的情况.模板3由数列的前n项和Sn与通项an的关系求通项an例3已知数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意的n∈N，满足关系式2Sn＝3an－3.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设数列{bn}的通项公式是bn＝1log3an·log3an＋1，前n项和为Tn，求证：对于任意的正整数n，总有Tn<1.思维启迪(1)求出数列{an}的递推关系，由递推关系求通项．(2)化简bn，裂项求和.规范解答示例(1)解①当n＝1时，由2Sn＝3an－3得，2a1＝3a1－3，∴a1＝3.②当n≥2时，由2Sn＝3an－3得，2Sn－1＝3an－1－3.两式相减得：2(Sn－Sn－1)＝3an－3an－1，即2an＝3an－3an－1，∴an＝3an－1，又∵a1＝3≠0，∴{an}是等比数列，∴an＝3n.验证：当n＝1时，a1＝3也适合an＝3n.∴{an}的通项公式为an＝3n.(2)证明∵bn＝1log3an·log3an＋1＝1log33n·log33n＋1＝1(n＋1)n＝1n－1n＋1，∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n－1n＋1)＝1－1n＋1<1.构建答题模板第一步：令n＝1，由Sn＝f(an)求出a1.第二步：令n≥2，构造an＝Sn－Sn－1，用an代换Sn－Sn－1(或用Sn－Sn－1代换an，这要结合题目特点)，由递推关系求通项．第三步：验证当n＝1时的结论适合当n≥2时的结论．第四步：写出明确规范的答案．第五步：反思回顾．查看关键点、易错点及解题规范．本题的易错点，易忽略对n＝1和n≥2分两类进行讨论，同时忽视结论中对二者的合并.模板4函数的单调性、最值、极值问题例4(2010·天津)已知函数f(x)＝ax3－32x2＋1(x∈R)，其中a>0.(1)若a＝1，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)若在区间[－12，12]上，f(x)>0恒成立，求a的取值范围．思维启迪(1)知解析式和切点求切线方程，先求斜率，用点斜式方程求切线方程．（2）根据导数求函数的参数.求导→求导函数的零点→确定导函数在区间中的正、负→确定函数中的参数范围.规范解答示例解(1)当a＝1时，f(x)＝x3－32x2＋1，f(2)＝3.f′(x)＝3x2－3x，f′(2)＝6，所以曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y－3＝6(x－2)，即y＝6x－9.(2)f′(x)＝3ax2－3x＝3x(ax－1)．令f′(x)＝0，解得x＝0或x＝1a.以下分两种情况讨论：①若00等价于f(－12)>0，f(12)>0，即5－a8>0，5＋a8>0.解不等式组得－52，则0<1a<12.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－12，0)0(0，1a)1a(1a，12)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值当x∈[－12，12]时，f(x)>0等价于f(－12)>0，f(1a)>0，即解不等式组得22