《两角和与差的正弦余弦正切公式》高一年级下册PPT课件(第1课时).pptx
两角和与差的正弦、余弦和正切公式第三章三角恒等变换3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式第1课时两角和与差的正弦、余弦自主预习学案互动探究学案课时作业学案010203栏目导航CONTENT自主预习学案第三章三角恒等变换01变脸是川剧艺术中塑造人物的一种特技,演员在熟练的动作之间,奇妙地变换着不同的脸谱,用以表现剧中人物的情绪、心理状态的突然变化,达到“相随心变”的艺术效果,那么在三角函数中,两角和与差的正弦余弦之间又有怎样的变换呢?和角、差角公式如下表:sinαcosβ-cosαsinβ名称公式简记差的正弦sin(α-β)=______________________________________S(α-β)差的余弦cos(α-β)=______________________________________C(α-β)和的正弦sin(α+β)=______________________________________S(α+β)和的余弦cos(α+β)=______________________________________C(α+β)cosαcosβ+sinαsinβsinαcosβ+cosαsinβcosαcosβ-sinαsinβ名称公式简记差的正弦sin(α-β)=______________________________________S(α-β)差的余弦cos(α-β)=______________________________________C(α-β)和的正弦sin(α+β)=______________________________________S(α+β)和的余弦cos(α+β)=______________________________________C(α+β)第三章三角恒等变换[知识点拨]1.两角和差的余弦公式以及正弦公式的结构特点(1)公式中的α、β均为任意角.(2)两角和与差的正、余弦公式可以看成是诱导公式的推广,诱导公式可以看成是两角和与差的正、余弦公式的特例.(3)两角和与差的正弦公式结构是“正余余正,加减相同”,两角和与差的余弦公式结构是“余余正正,加减相反”.2.使用公式时不仅要会正用,还要能够逆用公式,如化简sin(α+β)cosβ-cos(α+β)sinβ时,不要将sin(α+β)和cos(α+β)展开,而应采用整体思想,进行如下变形:sin(α+β)cosβ-cos(α+β)sinβ=sin[(α+β)-β]=sinα.这也体现了数学中的整体原则.√1.判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.(1)sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ对于任意角α,β均成立.()(2)不存在角α,β,使得sin(α-β)=cosαcosβ-sinαsinβ.()(3)sin(α+β)=sinα+sinβ一定不成立.()(4)已知sinα=-35,α是第四象限角,则sin(π4-α)=210.()×××1.判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.(1)sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ对于任意角α,β均成立.()(2)不存在角α,β,使得sin(α-β)=cosαcosβ-sinαsinβ.()(3)sin(α+β)=sinα+sinβ一定不成立.()(4)已知sinα=-35,α是第四象限角,则sin(π4-α)=210.()第三章三角恒等变换2.sin(30°+45°)=____________.[解析]sin(30°+45°)=sin30°cos45°+cos30°·sin45°=12×22+32×22=2+64.2+64[解析]sin(30°+45°)=sin30°cos45°+cos30°·sin45°=12×22+32×22=2+64.2+64互动探究学案第三章三角恒等变换02化简下列各式:(1)sin14°cos16°+sin76°cos74°;(2)sinπ12.命题方向1公式的正用与逆用⇨典例1化简下列各式:(1)sin14°cos16°+sin76°cos74°;(2)sinπ12.第三章三角恒等变换[解析](1)sin14°cos16°+sin76°cos74°=sin14°cos16°+cos14°sin16°=sin(14°+16°)=sin30°=12.(2)sinπ12=sin(π3-π4)=sinπ3cosπ4-cosπ3sinπ4.=32×22-12×22=6-24.[解析](1)sin14°cos16°+sin76°cos74°=sin14°cos16°+cos14°sin16°=sin(14°+16°)=sin30°=12.(2)sinπ12=sin(π3-π4)=sinπ3cosπ4-cosπ3sinπ4.=32×22-12×22=6-24.第三章三角恒等变换『规律总结』公式的巧妙运用①顺用:如本题中的(2);②逆用:如本题中的(1);③变用:变用涉及两个方面,一个是公式本身的变用,如cos(α+β)+sinαsinβ=cosαcosβ,一个是角的变用,也称为角的拆分变换,如α=(α+β)-β,2α=(α+β)+(α-β)等,从某种意义上来说,是一种整体思想的体现,如cos(α+β)cosβ+sin(α+β)sinβ=cos[(α+β)-β]=cosα.这些需要在平时的解题的中多总结,多研究,多留心.第三章三角恒等变换〔跟踪练习1〕求下列各式的值:(1)sin347°cos148°+sin77°cos58°;(2)3sinπ12+cosπ12.[解析](1)原式=sin(360°-13°)cos(180°-32°)+sin(90°-13°)cos(90°-32°)=sin13°cos32°+cos13°sin32°=sin(13°+32°)=sin45°=22.〔跟踪练习1〕求下列各式的值:(1)sin347°cos148°+sin77°cos58°;(2)3sinπ12+cosπ12.[解析](1)原式=sin(360°-13°)cos(180°-32°)+sin(90°-13°)cos(90°-32°)=sin13°cos32°+cos13°sin32°=sin(13°+32°)=sin45°=22.第三章三角恒等变换(2)原式=232sinπ12+12cosπ12=2sinπ12cosπ6+sinπ6cosπ12=2sinπ12+π6=2sinπ4=2.(2)原式=232sinπ12+12cosπ12=2sinπ12cosπ6+sinπ6cosπ12=2sinπ12+π6=2sinπ4=2.第三章三角恒等变换命题方向2给值求值⇨0典例2(1)已知α为锐角,sinα=35,β是第四象限角,cosβ=45,则sin(α+β)=______.(2)已知π2<β<α<3π4,cos(α-β)=1213,sin(α+β)=-35,求sin2α的值.[思路分析](1)先求出cosα,sinβ的值,再代入公式S(α+β).(2)由α、β的范围,确定α-β,α+β的范围,求出sin(α-β)、cos(α+β)的值,再由2α=(α-β)+(α+β)变形求值.(1)已知α为锐角,sinα=35,β是第四象限角,cosβ=45,则sin(α+β)=______.(2)已知π2<β<α<3π4,cos(α-β)=1213,sin(α+β)=-35,求sin2α的值.[思路分析](1)先求出cosα,sinβ的值,再代入公式S(α+β).(2)由α、β的范围,确定α-β,α+β的范围,求出sin(α-β)、cos(α+β)的值,再由2α=(α-β)+(α+β)变形求值.第三章三角恒等变换[解析](1)∵α为锐角,sinα=35,∴cosα=45.∵β为第四象限角,cosβ=45,∴sinβ=-35,sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=35×45+45×(-35)=0.(2)因为π2<β<α<3π4,所以0<α-β<π4,π<α+β<32π.[解析](1)∵α为锐角,sinα=35,∴cosα=45.∵β为第四象限角,cosβ=45,∴sinβ=-35,sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=35×45+45×(-35)=0.(2)因为π2<β<α<3π4,所以0<α-β<π4,π<α+β<32π.第三章三角恒等变换又cos(α-β)=1213,sin(α+β)=-35,所以sin(α-β)=1-cos2?α-β?=1-?1213?2=513,cos(α+β)=-1-sin2?α+β?=-1-?-35?2=-45.所以sin2α=sin[(α-β)+(α+β)]=sin(α-β)cos(α+β)+cos(α-β)sin(α+β)=513×(-45)+1213×(-35)=-5665.又cos(α-β)=1213,sin(α+β)=-35,所以sin(α-β)=1-cos2?α-β?=1-?1213?2=513,cos(α+β)=-1-sin2?α+β?=-1-?-35?2=-45.所以sin2α=sin[(α-β)+(α+β)]=sin(α-β)cos(α+β)+cos(α-β)sin(α+β)=513×(-45)+1213×(-35)=-5665.第三章三角恒等变换『规律总结』(1)当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式.(2)当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.第三章三角恒等变换〔跟踪练习2〕(2018·济南外国语学校期中)若0<α<π2,-π2<β<0,cos(π4+α)=13,cos(π4-β2)=33,求cos(α+β2).〔跟踪练习2〕(2018·济南外国语学校期中)若0<α<π2,-π2<β<0,cos(π4+α)=13,cos(π4-β2)=33,求cos(α+β2).第三章三角恒等变换[解析]∵0<α<π2,∴π4<π4+α<34π,∴sin(π4+α)=232,∵-π2<β<0,∴π4<π4-β2<π2,∴sin(π4-β2)=63.cos(α+β2)=cos[(π4+α)-(π4-β2)]=cos(π4+α)cos(π4-β2)+sin(π4+α)sin(π4-β2)=13×33+223×63=539.[解析]∵0<α<π2,∴π4<π4+α<34π,∴sin(π4+α)=232,∵-π2<β<0,∴π4<π4-β2<π2,∴sin(π4-β2)=63.cos(α+β2)=cos[(π4+α)-(π4-β2)]=cos(π4+α)cos(π4-β2)+sin(π4+α)sin(π4-β2)=13×33+223×63=539.辅助角公式及其运用(1)公式形式:公式asinα+bcosα=a2+b2sin(α+φ)(或asinα+bcosα)=a2+b2cos(α-φ)将形如asinα+bcosα(a,b不同时为零)的三角函数式收缩为同一个角的一种三角函数式.(2)形式选择:化为正弦还是余弦,要看具体条件而定,一般要求变形后角α的系数为正,这样更有利于研究函数的性质.(1)公式形式:公式asinα+bcosα=a2+b2sin(α+φ)(或asinα+bcosα)=a2+b2cos(α-φ)将形如asinα+bcosα(a,b不同时为零)的三角函数式收缩为同一个角的一种三角函数式.(2)形式选择:化为正弦还是余弦,要看具体条件而定,一般要求变形后角α的系数为正,这样更有利于研究函数的性质.第三章三角恒等变换(1)2cosπ12+6sinπ12的值是()A.2B.2C.22D.22(2)y=cosx+cos(x+π3)的最大值是______.典例3B3(1)2cosπ12+6sinπ12的值是()A.2B.2C.22D.22(2)y=cosx+cos(x+π3)的最大值是______.3第三章三角恒等变换[解析](1)原式=22(12cosπ12+32sinπ12)=22sin(π12+π6)=22sinπ4=2,故选B.(2)y=cosx+cosx·12-sinx·32=32cosx-32sinx=3(32cosx-12sinx)=-3(12sinx-32cosx)=-3sin(x-π3),当x=2kπ-π6时,(k∈Z),ymax=3.[解析](1)原式=22(12cosπ12+32sinπ12)=22sin(π12+π6)=22sinπ4=2,故选B.(2)y=cosx+cosx·12-sinx·32=32cosx-32sinx=3(32cosx-12sinx)=-3(12sinx-32cosx)=-3sin(x-π3),当x=2kπ-π6时,(k∈Z),ymax=3.已知sinα=55,sinβ=1010,且α、β为锐角,求α+β的值.由于角的范围过大致误典例4[错解]∵α为锐角,∴cosα=1-sin2α=255.又β为锐角,∴cosβ=1-sin2β=31010.∴sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=55×31010+255×1010=22.已知sinα=55,sinβ=1010,且α、β为锐角,求α+β的值.[错解]∵α为锐角,∴cosα=1-sin2α=255.又β为锐角,∴cosβ=1-sin2β=31010.∴sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=55×31010+255×1010=22.第三章三角恒等变换由于0°<α<90°,0°<β<90°,所以0°<α+β<180°,故α+β=45°或135°.[辨析]上述解法欠严密,仅由sin(α+β)=22以及0°<α+β<180°就得到α+β=45°或α+β=135°是不正确的,因为角α、β的范围是有一定限制的,事实上sinα=55<12,sinβ=1010<12,故α<30°,β<30°,从而0°<α+β<60°,故应仅有α+β=45°.为了避免出现上述失误我们可以选用两角和的余弦公式计算.[辨析]上述解法欠严密,仅由sin(α+β)=22以及0°<α+β<180°就得到α+β=45°或α+β=135°是不正确的,因为角α、β的范围是有一定限制的,事实上sinα=55<12,sinβ=1010<12,故α<30°,β<30°,从而0°<α+β<60°,故应仅有α+β=45°.为了避免出现上述失误我们可以选用两角和的余弦公式计算.第三章三角恒等变换[正解]∵α、β为锐角,sinα=55,sinβ=1010,∴cosα=1-sin2α=255,cosβ=1-sin2β=31010,∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=255×31010-55×1010=22,∵α、β为锐角,∴0°<α+β<180°,∴α+β=45°.[正解]∵α、β为锐角,sinα=55,sinβ=1010,∴cosα=1-sin2α=255,cosβ=1-sin2β=31010,∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=255×31010-55×1010=22,∵α、β为锐角,∴0°<α+β<180°,∴α+β=45°.第三章三角恒等变换[误区警示]此类题目是给值求角问题,解题的一般步骤是:(1)先确定角α的范围,且使这个范围尽量小;(2)根据(1)所得范围来确定求tanα、sinα、cosα中哪一个的值,尽量使所选函数在(1)得到的范围内是单调函数;(3)求α的一个三角函数值;(4)写出α的大小.1.计算sin43°cos13°-cos43°sin13°的结果等于()A.12B.33C.22D.32A[解析]∵sin43°cos13°-cos43°sin13°=sin(43°-13°)=sin30°=12.∴选A.1.计算sin43°cos13°-cos43°sin13°的结果等于()A.12B.33C.22D.32[解析]∵sin43°cos13°-cos43°sin13°=sin(43°-13°)=sin30°=12.∴选A.第三章三角恒等变换2.sin75°cos30°-sin15°sin150°的值等于()A.1B.12C.22D.32C[解析]原式=cos15°cos30°-sin15°sin30°=cos(15°+30°)=cos45°=22.2.sin75°cos30°-sin15°sin150°的值等于()A.1B.12C.22D.32[解析]原式=cos15°cos30°-sin15°sin30°=cos(15°+30°)=cos45°=22.课时作业学案第三章三角恒等变换03感谢您下载68素材平台上提供的PPT作品,为了您和68素材以及原创作者的利益,请勿复制、传播、销售;素材均来源于网络用户分享,故68素材不具备充分的监控能力来审查图片是否存在侵权等情节。68素材不拥有此类图片的版权,本站所有资源仅供学习与交流,不得用于任何商业用途的范围,用户应自觉遵守著作权法及其他相关法律的规定,不得侵犯本网站及权利人的合法权利,给68素材和任何第三方造成损失的,侵权用户应负全部责任。版权声明谢谢观看新课标导学数学必修④·人教A版
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