《等差数列的概念及简单的表示》高二年级上册PPT课件（第2.2.1课时）.pptx

某某市区县乡高级中学第二章数列主讲人：办公资源人教A版数学高一年级下册2.2.1等差数列等差数列的概念及简单的表示学习目标LEARNINGOBJECTIVES011.理解等差数列的概念(难点).2.掌握等差数列的通项公式及应用(重点、难点).3.掌握等差数列的判定方法(重点)．目录CONTENS01学习目标LEARNINGOBJECTIVES学习目标LEARNINGOBJECTIVES1．等差数列的概念(1)文字语言：如果一个数列从第2项起，每一项与它的的差等于，那么这个数列就叫做等差数列，这个叫做等差数列的，公差通常用字母表示．(2)符号语言：an＋1－an＝d(d为常数，n∈N)．前一项同一个常数常数公差d1．等差数列的概念(1)文字语言：如果一个数列从第2项起，每一项与它的的差等于，那么这个数列就叫做等差数列，这个叫做等差数列的，公差通常用字母表示．(2)符号语言：an＋1－an＝d(d为常数，n∈N)．学习目标LEARNINGOBJECTIVES2．等差中项(1)条件：如果a，A，b成等差数列．(2)结论：那么A叫做a与b的等差中项．(3)满足的关系式是．思考：观察所给的两个数之间，插入一个什么数后三个数就会成为一个等差数列：(1)2,4；(2)－1,5；(3)a，b；(4)0,0.[提示]插入的数分别为3,2，a＋b2，0.a＋b＝2A2．等差中项(1)条件：如果a，A，b成等差数列．(2)结论：那么A叫做a与b的等差中项．(3)满足的关系式是．思考：观察所给的两个数之间，插入一个什么数后三个数就会成为一个等差数列：(1)2,4；(2)－1,5；(3)a，b；(4)0,0.[提示]插入的数分别为3,2，a＋b2，0.学习目标LEARNINGOBJECTIVES3．等差数列的通项公式以a1为首项，d为公差的等差数列{an}的通项公式an＝思考：教材上推导等差数列的通项公式采用了不完全归纳法，还有其它方法吗？如何操作？[提示]还可以用累加法，过程如下：∵a2－a1＝d，a3－a2＝d，a4－a3＝d，……a1＋(n－1)d.3．等差数列的通项公式以a1为首项，d为公差的等差数列{an}的通项公式an＝思考：教材上推导等差数列的通项公式采用了不完全归纳法，还有其它方法吗？如何操作？[提示]还可以用累加法，过程如下：∵a2－a1＝d，a3－a2＝d，a4－a3＝d，……学习目标LEARNINGOBJECTIVESan－an－1＝d(n≥2)，将上述(n－1)个式子相加得an－a1＝(n－1)d(n≥2)，∴an＝a1＋(n－1)d(n≥2)，当n＝1时，a1＝a1＋(1－1)d，符合上式，∴an＝a1＋(n－1)d(n∈N)．an－an－1＝d(n≥2)，将上述(n－1)个式子相加得an－a1＝(n－1)d(n≥2)，∴an＝a1＋(n－1)d(n≥2)，当n＝1时，a1＝a1＋(1－1)d，符合上式，∴an＝a1＋(n－1)d(n∈N)．学习目标LEARNINGOBJECTIVES4．从函数角度认识等差数列{an}若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，则an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)．(1)点(n，an)落在直线y＝dx＋(a1－d)上；(2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加d.思考：由等差数列的通项公式可以看出，要求an，需要哪几个条件？[提示]只要求出等差数列的首项a1和公差d，代入公式an＝a1＋(n－1)d即可．4．从函数角度认识等差数列{an}若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，则an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)．(1)点(n，an)落在直线y＝dx＋(a1－d)上；(2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加d.思考：由等差数列的通项公式可以看出，要求an，需要哪几个条件？[提示]只要求出等差数列的首项a1和公差d，代入公式an＝a1＋(n－1)d即可．学习目标LEARNINGOBJECTIVES[基础自测]1．思考辨析(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．()(2)等差数列{an}的单调性与公差d有关．()(3)若三个数a，b，c满足2b＝a＋c，则a，b，c一定是等差数列．()[答案](1)×(2)√(3)√[基础自测]1．思考辨析(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．()(2)等差数列{an}的单调性与公差d有关．()(3)若三个数a，b，c满足2b＝a＋c，则a，b，c一定是等差数列．()[答案](1)×(2)√(3)√学习目标LEARNINGOBJECTIVES提示：(1)错误．若这些常数都相等，则这个数列是等差数列；若这些常数不全相等，则这个数列就不是等差数列．(2)正确．当d>0时为递增数列；d＝0时为常数列；d<0时为递减数列．(3)正确．若a，b，c满足2b＝a＋c，即b－a＝c－b，故a，b，c为等差数列．提示：(1)错误．若这些常数都相等，则这个数列是等差数列；若这些常数不全相等，则这个数列就不是等差数列．(2)正确．当d>0时为递增数列；d＝0时为常数列；d<0时为递减数列．(3)正确．若a，b，c满足2b＝a＋c，即b－a＝c－b，故a，b，c为等差数列．学习目标LEARNINGOBJECTIVES2．等差数列－6，－3,0,3，…的公差d＝________.3[(－3)－(－6)＝3，故d＝3.]3．下列数列：①0,0,0,0；②0,1,2,3,4；③1,3,5,7,9；④0,1,2,3，….其中一定是等差数列的有________个．3[①②③是等差数列，④只能说明前4项成等差数列．]2．等差数列－6，－3,0,3，…的公差d＝________.3[(－3)－(－6)＝3，故d＝3.]3．下列数列：①0,0,0,0；②0,1,2,3,4；③1,3,5,7,9；④0,1,2,3，….其中一定是等差数列的有________个．3[①②③是等差数列，④只能说明前4项成等差数列．]学习目标LEARNINGOBJECTIVES4．在△ABC中，三内角A、B、C成等差数列，则B等于________.60°[因为三内角A、B、C成等差数列，所以2B＝A＋C，又因为A＋B＋C＝180°，所以3B＝180°，所以B＝60°.]4．在△ABC中，三内角A、B、C成等差数列，则B等于________.60°[因为三内角A、B、C成等差数列，所以2B＝A＋C，又因为A＋B＋C＝180°，所以3B＝180°，所以B＝60°.]02合作探究COOPERATIVEINQUIRY合作探究COOPERATIVEINQUIRY等差中项例1、在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列.等差中项例1、在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列.合作探究COOPERATIVEINQUIRY[解]∵－1，a，b，c,7成等差数列，∴b是－1与7的等差中项，∴b＝－1＋72＝3.又a是－1与3的等差中项，∴a＝－1＋32＝1.又c是3与7的等差中项，∴c＝3＋72＝5.∴该数列为－1,1,3,5,7.[解]∵－1，a，b，c,7成等差数列，∴b是－1与7的等差中项，∴b＝－1＋72＝3.又a是－1与3的等差中项，∴a＝－1＋32＝1.又c是3与7的等差中项，∴c＝3＋72＝5.∴该数列为－1,1,3,5,7.合作探究COOPERATIVEINQUIRY[规律方法]三数a，b，c成等差数列的条件是b＝a＋c2或2b＝a＋c，可用来解决等差数列的判定或有关等差中项的计算问题.如若证{an}为等差数列，可证2an＋1＝an＋an＋2n∈N.[规律方法]三数a，b，c成等差数列的条件是b＝a＋c2或2b＝a＋c，可用来解决等差数列的判定或有关等差中项的计算问题.如若证{an}为等差数列，可证2an＋1＝an＋an＋2n∈N.合作探究COOPERATIVEINQUIRY[跟踪训练]1．若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差中项为5，求m和n的等差中项．[解]由m和2n的等差中项为4，得m＋2n＝8.又由2m和n的等差中项为5，得2m＋n＝10.两式相加，得m＋n＝6.所以m和n的等差中项为m＋n2＝3.[跟踪训练]1．若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差中项为5，求m和n的等差中项．[解]由m和2n的等差中项为4，得m＋2n＝8.又由2m和n的等差中项为5，得2m＋n＝10.两式相加，得m＋n＝6.所以m和n的等差中项为m＋n2＝3.合作探究COOPERATIVEINQUIRY等差数列的通项公式及其应用例2、(1)在等差数列{an}中，已知a4＝7，a10＝25，求通项公式an；(2)已知数列{an}为等差数列，a3＝54，a7＝－74，求a15的值.思路探究：设出基本量a1，d，利用方程组的思想求解，当然也可以利用等差数列的一般形式an＝am＋(n－m)d求解．等差数列的通项公式及其应用例2、(1)在等差数列{an}中，已知a4＝7，a10＝25，求通项公式an；(2)已知数列{an}为等差数列，a3＝54，a7＝－74，求a15的值.思路探究：设出基本量a1，d，利用方程组的思想求解，当然也可以利用等差数列的一般形式an＝am＋(n－m)d求解．合作探究COOPERATIVEINQUIRY[解](1)∵a4＝7，a10＝25，则a1＋3d＝7，a1＋9d＝25，得a1＝－2，d＝3，∴an＝－2＋(n－1)×3＝3n－5，∴通项公式an＝3n－5(n∈N)．(2)法一：(方程组法)由a3＝54，a7＝－74，得a1＋2d＝54，a1＋6d＝－74，解得a1＝114，d＝－34，∴a15＝a1＋(15－1)d＝114＋14×－34＝－314.[解](1)∵a4＝7，a10＝25，则a1＋3d＝7，a1＋9d＝25，得a1＝－2，d＝3，∴an＝－2＋(n－1)×3＝3n－5，∴通项公式an＝3n－5(n∈N)．(2)法一：(方程组法)由a3＝54，a7＝－74，得a1＋2d＝54，a1＋6d＝－74，解得a1＝114，d＝－34，∴a15＝a1＋(15－1)d＝114＋14×－34＝－314.合作探究COOPERATIVEINQUIRY法二：(利用am＝an＋(m－n)d求解)由a7＝a3＋(7－3)d，即－74＝54＋4d，解得d＝－34，∴a15＝a3＋(15－3)d＝54＋12×－34＝－314.[规律方法]1．应用等差数列的通项公式求a1和d，运用了方程的思想．一般地，可由am＝a，an＝b，得a1＋m－1d＝a，a1＋n－1d＝b，求出a1和d，从而确定通项公式．2．若已知等差数列中的任意两项am，an，求通项公式或其它项时，则运用am＝an＋(m－n)d较为简捷．法二：(利用am＝an＋(m－n)d求解)由a7＝a3＋(7－3)d，即－74＝54＋4d，解得d＝－34，∴a15＝a3＋(15－3)d＝54＋12×－34＝－314.[规律方法]1．应用等差数列的通项公式求a1和d，运用了方程的思想．一般地，可由am＝a，an＝b，得a1＋m－1d＝a，a1＋n－1d＝b，求出a1和d，从而确定通项公式．2．若已知等差数列中的任意两项am，an，求通项公式或其它项时，则运用am＝an＋(m－n)d较为简捷．合作探究COOPERATIVEINQUIRY[跟踪训练]2．(1)求等差数列8,5,2，…的第20项；(2)判断－401是不是等差数列－5，－9，－13，…的项，如果是，是第几项？[解](1)由a1＝8，d＝5－8＝－3，n＝20，得a20＝8＋(20－1)×(－3)＝－49.(2)由a1＝－5，d＝－9－(－5)＝－4，得这个数列的通项公式为an＝－5＋(n－1)×(－4)＝－4n－1.由题意，令－401＝－4n－1，得n＝100，即－401是这个数列的第100项．[跟踪训练]2．(1)求等差数列8,5,2，…的第20项；(2)判断－401是不是等差数列－5，－9，－13，…的项，如果是，是第几项？[解](1)由a1＝8，d＝5－8＝－3，n＝20，得a20＝8＋(20－1)×(－3)＝－49.(2)由a1＝－5，d＝－9－(－5)＝－4，得这个数列的通项公式为an＝－5＋(n－1)×(－4)＝－4n－1.由题意，令－401＝－4n－1，得n＝100，即－401是这个数列的第100项．合作探究COOPERATIVEINQUIRY等差数列的判定与证明[探究问题]1．在数列{an}中，若an－an－1＝d(常数)(n≥2且n∈N)，则{an}是等差数列吗？为什么？提示：由等差数列的定义可知满足an－an－1＝d(常数)(n≥2)是等差数列．等差数列的判定与证明[探究问题]1．在数列{an}中，若an－an－1＝d(常数)(n≥2且n∈N)，则{an}是等差数列吗？为什么？提示：由等差数列的定义可知满足an－an－1＝d(常数)(n≥2)是等差数列．合作探究COOPERATIVEINQUIRY2．在数列{an}中，若有2an＝an－1＋an＋1(n≥2，n∈N)成立，则{an}是等差数列吗？为什么？提示：是，由等差中项的定义可知．3．若{an}是公差为d的等差数列，那么{an＋an＋2}是等差数列吗？若是，公差是多少？提示：∵(an＋1＋an＋3)－(an＋an＋2)＝(an＋1－an)＋(an＋3－an＋2)＝d＋d＝2d.∴{an＋an＋2}是公差为2d的等差数列．2．在数列{an}中，若有2an＝an－1＋an＋1(n≥2，n∈N)成立，则{an}是等差数列吗？为什么？提示：是，由等差中项的定义可知．3．若{an}是公差为d的等差数列，那么{an＋an＋2}是等差数列吗？若是，公差是多少？提示：∵(an＋1＋an＋3)－(an＋an＋2)＝(an＋1－an)＋(an＋3－an＋2)＝d＋d＝2d.∴{an＋an＋2}是公差为2d的等差数列．合作探究COOPERATIVEINQUIRY例3、已知数列{an}，满足a1＝2，an＋1＝2anan＋2.(1)数列1an是否为等差数列？说明理由；(2)求an.思路探究：①要判断数列1an是否为等差数列，是否要先求1an＋1－1an的表达式？②能否求出数列1an的通项公式？例3、已知数列{an}，满足a1＝2，an＋1＝2anan＋2.(1)数列1an是否为等差数列？说明理由；(2)求an.思路探究：①要判断数列1an是否为等差数列，是否要先求1an＋1－1an的表达式？②能否求出数列1an的通项公式？合作探究COOPERATIVEINQUIRY[解](1)数列1an是等差数列，理由如下：∵a1＝2，an＋1＝2anan＋2，∴1an＋1＝an＋22an＝12＋1an，∴1an＋1－1an＝12，即1an是首项为1a1＝12，公差为d＝12的等差数列．(2)由上述可知1an＝1a1＋(n－1)d＝n2，∴an＝2n.[解](1)数列1an是等差数列，理由如下：∵a1＝2，an＋1＝2anan＋2，∴1an＋1＝an＋22an＝12＋1an，∴1an＋1－1an＝12，即1an是首项为1a1＝12，公差为d＝12的等差数列．(2)由上述可知1an＝1a1＋(n－1)d＝n2，∴an＝2n.合作探究COOPERATIVEINQUIRY母题探究：1.(变条件，变结论)将例题中的条件“a1＝2，an＋1＝2anan＋2”换为“a1＝4，an＝4－4an－1(n>1)，记bn＝1an－2”．(1)试证明数列{bn}为等差数列；(2)求数列{an}的通项公式．[解](1)证明：bn＋1－bn＝1an＋1－2－1an－2＝14－4an－2－1an－2＝an2an－2－1an－2＝an－22an－2＝12.又b1＝1a1－2＝12，∴数列{bn}是首项为12，公差为12的等差数列．(2)由(1)知bn＝12＋(n－1)×12＝12n.∵bn＝1an－2，∴an＝1bn＋2＝2n＋2.∴数列{an}的通项公式为an＝2n＋2.母题探究：1.(变条件，变结论)将例题中的条件“a1＝2，an＋1＝2anan＋2”换为“a1＝4，an＝4－4an－1(n>1)，记bn＝1an－2”．(1)试证明数列{bn}为等差数列；(2)求数列{an}的通项公式．[解](1)证明：bn＋1－bn＝1an＋1－2－1an－2＝14－4an－2－1an－2＝an2an－2－1an－2＝an－22an－2＝12.又b1＝1a1－2＝12，∴数列{bn}是首项为12，公差为12的等差数列．(2)由(1)知bn＝12＋(n－1)×12＝12n.∵bn＝1an－2，∴an＝1bn＋2＝2n＋2.∴数列{an}的通项公式为an＝2n＋2.合作探究COOPERATIVEINQUIRY2．(变条件)将例题中的条件“a1＝2，an＋1＝2anan＋2”换为“a1＝1，a2＝2,2an＋1＝2an＋3(n≥2，n∈N)”试判断数列{an}是否是等差数列．[解]当n≥2时，由2an＋1＝2an＋3，得an＋1－an＝32，但a2－a1＝1≠32，故数列{an}不是等差数列．[规律方法]等差数列的判定方法有以下三种：(1)定义法：an＋1－an＝d常数n∈N⇔{an}为等差数列；(2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2n∈N⇔{an}为等差数列；(3)通项公式法：an＝an＋ba，b是常数，n∈N⇔{an}为等差数列.但如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法.2．(变条件)将例题中的条件“a1＝2，an＋1＝2anan＋2”换为“a1＝1，a2＝2,2an＋1＝2an＋3(n≥2，n∈N)”试判断数列{an}是否是等差数列．[解]当n≥2时，由2an＋1＝2an＋3，得an＋1－an＝32，但a2－a1＝1≠32，故数列{an}不是等差数列．[规律方法]等差数列的判定方法有以下三种：(1)定义法：an＋1－an＝d常数n∈N⇔{an}为等差数列；(2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2n∈N⇔{an}为等差数列；(3)通项公式法：an＝an＋ba，b是常数，n∈N⇔{an}为等差数列.但如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法.03当堂达标REACHINGTHEGOALINCOURT当堂达标REACHINGTHEGOALINCOURT1．（2019年汕头期末）已知等差数列{1－3n}，则公差d等于()A．1B．3C．－3D．n【答案】C[∵an＝1－3n，∴a1＝－2，a2＝－5，∴d＝a2－a1＝－3.]1．（2019年汕头期末）已知等差数列{1－3n}，则公差d等于()A．1B．3C．－3D．n【答案】C[∵an＝1－3n，∴a1＝－2，a2＝－5，∴d＝a2－a1＝－3.]当堂达标REACHINGTHEGOALINCOURT2．（2019年宁波模拟）下列命题：①数列6,4,2,0是公差为2的等差数列；②数列a，a－1，a－2，a－3是公差为－1的等差数列；③等差数列的通项公式一定能写成an＝kn＋b的形式(k，b为常数)；④数列{2n＋1}是等差数列．其中正确命题的序号是()A．①②B．①③C．②③④D．③④【答案】C[②③④正确，①中公差为－2.]2．（2019年宁波模拟）下列命题：①数列6,4,2,0是公差为2的等差数列；②数列a，a－1，a－2，a－3是公差为－1的等差数列；③等差数列的通项公式一定能写成an＝kn＋b的形式(k，b为常数)；④数列{2n＋1}是等差数列．其中正确命题的序号是()A．①②B．①③C．②③④D．③④【答案】C[②③④正确，①中公差为－2.]当堂达标REACHINGTHEGOALINCOURT3．（2019年佛山模拟）在等差数列{an}中，若a1＝84，a2＝80，则使an≥0，且an＋1<0的n为()A．21B．22C．23D．24【答案】B[公差d＝a2－a1＝－4，∴an＝a1＋(n－1)d＝84＋(n－1)(－4)＝88－4n，令an≥0，an＋1<0，即88－4n≥0，88－4n＋1<0⇒21