《余弦定理》高二年级上册PPT课件（第1.1.2课时）.pptx

主讲人：办公资源第一章解三角形1.1.2余弦定理正弦定理和余弦定理目录CONTENS学习目标LEARNINGOBJECTIVES011.掌握余弦定理及其推论．(重点).2.掌握正、余弦定理的综合应用．(重点).3.能应用余弦定理判断三角形的形状．(易错点)01学习目标LEARNINGOBJECTIVES学习目标LEARNINGOBJECTIVES1．余弦定理文字表述三角形中任何一边的平方等于减去这两边与它们的的两倍公式表达a2＝，b2＝，c2＝变形cosA＝；cosB＝a2＋c2－b22ac；cosC＝.a2＋c2－2accosBa2＋b2－2abcosCb2＋c2－2bccosA其它两边的平方的和夹角的余弦的积b2＋c2－a22bca2＋b2－c22ab1．余弦定理文字表述三角形中任何一边的平方等于减去这两边与它们的的两倍公式表达a2＝，b2＝，c2＝变形cosA＝；cosB＝a2＋c2－b22ac；cosC＝.b2＋c2－a22bca2＋b2－c22ab学习目标LEARNINGOBJECTIVES思考：在△ABC中，若a2a2＋b2⇔C为；c2a2＋b2⇔C为；c2b2＋c2，则△ABC一定为钝角三角形．()(3)在△ABC中，已知两边和其夹角时，△ABC不唯一．()[答案](1)√(2)√(3)×提示：由余弦定理可知，已知△ABC的两边和其夹角时，第三边是唯一确定的，所以△ABC是唯一的，(3)错误．[基础自测]1．思考辨析(1)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此，它适应于任何三角形．()(2)在△ABC中，若a2>b2＋c2，则△ABC一定为钝角三角形．()(3)在△ABC中，已知两边和其夹角时，△ABC不唯一．()[答案](1)√(2)√(3)×提示：由余弦定理可知，已知△ABC的两边和其夹角时，第三边是唯一确定的，所以△ABC是唯一的，(3)错误．学习目标LEARNINGOBJECTIVES2．在△ABC中，已知a＝4，b＝6，C＝120°，则边c＝________.219[根据余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC＝16＋36－2×4×6×cos120°＝76，c＝219.]3．在△ABC中，a＝1，b＝3，c＝2，则B＝________.60°[cosB＝c2＋a2－b22ac＝4＋1－34＝12，B＝60°.]2．在△ABC中，已知a＝4，b＝6，C＝120°，则边c＝________.219[根据余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC＝16＋36－2×4×6×cos120°＝76，c＝219.]3．在△ABC中，a＝1，b＝3，c＝2，则B＝________.60°[cosB＝c2＋a2－b22ac＝4＋1－34＝12，B＝60°.]学习目标LEARNINGOBJECTIVES4．在△ABC中，若a2＝b2＋bc＋c2，则A＝________.120°[∵a2＝b2＋bc＋c2，∴b2＋c2－a2＝－bc，∴cosA＝b2＋c2－a22bc＝－bc2bc＝－12，又∵A为△ABC的内角，∴A＝120°.]4．在△ABC中，若a2＝b2＋bc＋c2，则A＝________.120°[∵a2＝b2＋bc＋c2，∴b2＋c2－a2＝－bc，∴cosA＝b2＋c2－a22bc＝－bc2bc＝－12，又∵A为△ABC的内角，∴A＝120°.]学习目标LEARNINGOBJECTIVES5．以下说法正确的是________(填序号)．①在三角形中，已知两边及一边的对角，可用正弦定理解三角形，但不能用余弦定理去解；②余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此，它适应于任何三角形；③利用余弦定理，可解决已知三角形三边求角问题；④在三角形中，勾股定理是余弦定理的一个特例．5．以下说法正确的是________(填序号)．①在三角形中，已知两边及一边的对角，可用正弦定理解三角形，但不能用余弦定理去解；②余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此，它适应于任何三角形；③利用余弦定理，可解决已知三角形三边求角问题；④在三角形中，勾股定理是余弦定理的一个特例．学习目标LEARNINGOBJECTIVES②③④[①错误．由正、余弦定理的特征可知在三角形中，已知两边及一边的对角，既可以用正弦定理，也可以用余弦定理求解．②正确．余弦定理反映了任意三角形的边角关系，它适合于任何三角形．③正确．结合余弦定理公式及三角函数知识可知正确．④正确．余弦定理可以看作勾股定理的推广．]②③④[①错误．由正、余弦定理的特征可知在三角形中，已知两边及一边的对角，既可以用正弦定理，也可以用余弦定理求解．②正确．余弦定理反映了任意三角形的边角关系，它适合于任何三角形．③正确．结合余弦定理公式及三角函数知识可知正确．④正确．余弦定理可以看作勾股定理的推广．]02合作探究COOPERATIVEINQUIRY合作探究COOPERATIVEINQUIRY已知两边与一角解三角形例1、在△ABC中，已知b＝3，c＝33，B＝30°，求角A，角C和边a.[解]法一：由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得32＝a2＋(33)2－2a×33×cos30°，∴a2－9a＋18＝0，得a＝3或6.当a＝3时，A＝30°，∴C＝120°.当a＝6时，由正弦定理sinA＝asinBb＝6×123＝1.∴A＝90°，∴C＝60°.已知两边与一角解三角形例1、在△ABC中，已知b＝3，c＝33，B＝30°，求角A，角C和边a.[解]法一：由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得32＝a2＋(33)2－2a×33×cos30°，∴a2－9a＋18＝0，得a＝3或6.当a＝3时，A＝30°，∴C＝120°.当a＝6时，由正弦定理sinA＝asinBb＝6×123＝1.∴A＝90°，∴C＝60°.合作探究COOPERATIVEINQUIRY法二：由bcsin30°＝33×12＝332知本题有两解．由正弦定理sinC＝csinBb＝33×123＝32，∴C＝60°或120°，当C＝60°时，A＝90°，由勾股定理a＝b2＋c2＝32＋332＝6，当C＝120°时，A＝30°，△ABC为等腰三角形，∴a＝3.法二：由bcsin30°＝33×12＝332知本题有两解．由正弦定理sinC＝csinBb＝33×123＝32，∴C＝60°或120°，当C＝60°时，A＝90°，由勾股定理a＝b2＋c2＝32＋332＝6，当C＝120°时，A＝30°，△ABC为等腰三角形，∴a＝3.合作探究COOPERATIVEINQUIRY[规律方法]已知三角形的两边及一角解三角形的方法,先利用余弦定理求出第三边，其余角的求解有两种思路：一是利用余弦定理的推论求出其余角；二是利用正弦定理(已知两边和一边的对角)求解.若用正弦定理求解，需对角的取值进行取舍，而用余弦定理就不存在这些问题(在(0，π)上，余弦值所对角的值是唯一的)，故用余弦定理求解较好.[规律方法]已知三角形的两边及一角解三角形的方法,先利用余弦定理求出第三边，其余角的求解有两种思路：一是利用余弦定理的推论求出其余角；二是利用正弦定理(已知两边和一边的对角)求解.若用正弦定理求解，需对角的取值进行取舍，而用余弦定理就不存在这些问题(在(0，π)上，余弦值所对角的值是唯一的)，故用余弦定理求解较好.合作探究COOPERATIVEINQUIRY[跟踪训练]1．在△ABC中，a＝23，c＝6＋2，B＝45°，解这个三角形.[解]根据余弦定理得，b2＝a2＋c2－2accosB＝(23)2＋(6＋2)2－2×23×(6＋2)×cos45°＝8，∴b＝22.又∵cosA＝b2＋c2－a22bc＝8＋6＋22－2322×22×6＋2＝12，∴A＝60°，C＝180°－(A＋B)＝75°.[跟踪训练]1．在△ABC中，a＝23，c＝6＋2，B＝45°，解这个三角形.[解]根据余弦定理得，b2＝a2＋c2－2accosB＝(23)2＋(6＋2)2－2×23×(6＋2)×cos45°＝8，∴b＝22.又∵cosA＝b2＋c2－a22bc＝8＋6＋22－2322×22×6＋2＝12，∴A＝60°，C＝180°－(A＋B)＝75°.合作探究COOPERATIVEINQUIRY已知三边解三角形例2、已知△ABC中，a∶b∶c＝2∶6∶(3＋1)，求△ABC的各角的大小．思路探究：已知三角形三边的比，可设出三边的长，从而问题转化为已知三边求三角，可利用余弦定理求解．[解]设a＝2k，b＝6k，c＝(3＋1)k(k>0)，利用余弦定理，有cosA＝b2＋c2－a22bc＝6k2＋3＋12k2－4k2263＋1k2＝22，∴∠A＝45°.同理可得cosB＝12，∠B＝60°.∴∠C＝180°－∠A－∠B＝75°.已知三边解三角形例2、已知△ABC中，a∶b∶c＝2∶6∶(3＋1)，求△ABC的各角的大小．思路探究：已知三角形三边的比，可设出三边的长，从而问题转化为已知三边求三角，可利用余弦定理求解．[解]设a＝2k，b＝6k，c＝(3＋1)k(k>0)，利用余弦定理，有cosA＝b2＋c2－a22bc＝6k2＋3＋12k2－4k2263＋1k2＝22，∴∠A＝45°.同理可得cosB＝12，∠B＝60°.∴∠C＝180°－∠A－∠B＝75°.合作探究COOPERATIVEINQUIRY[规律方法](1)已知三边求角的基本思路是：利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角；值为负，角为钝角，其思路清晰，结果唯一．(2)若已知三角形的三边的关系或比例关系，常根据边的关系直接代入化简或利用比例性质，转化为已知三边求解．[规律方法](1)已知三边求角的基本思路是：利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角；值为负，角为钝角，其思路清晰，结果唯一．(2)若已知三角形的三边的关系或比例关系，常根据边的关系直接代入化简或利用比例性质，转化为已知三边求解．合作探究COOPERATIVEINQUIRY[跟踪训练]2．在△ABC中，已知a＝7，b＝3，c＝5，求最大角和sinC.[解]∵a>c>b，∴A为最大角，由余弦定理的推论，得：cosA＝b2＋c2－a22bc＝32＋52－722×3×5＝－12，∴A＝120°，∴sinA＝sin120°＝32.由正弦定理asinA＝csinC，得：sinC＝csinAa＝5×327＝5314，∴最大角A为120°，sinC＝5314.[跟踪训练]2．在△ABC中，已知a＝7，b＝3，c＝5，求最大角和sinC.[解]∵a>c>b，∴A为最大角，由余弦定理的推论，得：cosA＝b2＋c2－a22bc＝32＋52－722×3×5＝－12，∴A＝120°，∴sinA＝sin120°＝32.由正弦定理asinA＝csinC，得：sinC＝csinAa＝5×327＝5314，∴最大角A为120°，sinC＝5314.合作探究COOPERATIVEINQUIRY正、余弦定理的综合应用[探究问题]1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2＋c2，则sin2A＝sin2B＋sin2C成立吗？反之说法正确吗？为什么？提示：设△ABC的外接圆半径为R.由正弦定理的变形，将a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，代入a2＝b2＋c2可得sin2A＝sin2B＋sin2C.反之将sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R代入sin2A＝sin2B＋sin2C可得a2＝b2＋c2.因此，这两种说法均正确．正、余弦定理的综合应用[探究问题]1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2＋c2，则sin2A＝sin2B＋sin2C成立吗？反之说法正确吗？为什么？提示：设△ABC的外接圆半径为R.由正弦定理的变形，将a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，代入a2＝b2＋c2可得sin2A＝sin2B＋sin2C.反之将sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R代入sin2A＝sin2B＋sin2C可得a2＝b2＋c2.因此，这两种说法均正确．合作探究COOPERATIVEINQUIRY2．在△ABC中，若c2＝a2＋b2，则C＝π2成立吗？反之若C＝π2，则c2＝a2＋b2成立吗？为什么？提示：因为c2＝a2＋b2，所以a2＋b2－c2＝0，由余弦定理的变形cosC＝a2＋b2－c22ab＝0，即cosC＝0，所以C＝π2，反之若C＝π2，则cosC＝0，即a2＋b2－c22ab＝0，所以a2＋b2－c2＝0，即c2＝a2＋b2.2．在△ABC中，若c2＝a2＋b2，则C＝π2成立吗？反之若C＝π2，则c2＝a2＋b2成立吗？为什么？提示：因为c2＝a2＋b2，所以a2＋b2－c2＝0，由余弦定理的变形cosC＝a2＋b2－c22ab＝0，即cosC＝0，所以C＝π2，反之若C＝π2，则cosC＝0，即a2＋b2－c22ab＝0，所以a2＋b2－c2＝0，即c2＝a2＋b2.合作探究COOPERATIVEINQUIRY例3、在△ABC中，若(a－c·cosB)·sinB＝(b－c·cosA)·sinA，判断△ABC的形状.[解]法一：(角化边)∵(a－c·cosB)·sinB＝(b－c·cosA)·sinA，∴由正、余弦定理可得：a－c·a2＋c2－b22ac·b＝b－c·b2＋c2－a22bc·a，整理得：(a2＋b2－c2)b2＝(a2＋b2－c2)a2，即(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，∴a2＋b2－c2＝0或a2＝b2.∴a2＋b2＝c2或a＝b.故△ABC为直角三角形或等腰三角形．法二：(边化角)根据正弦定理，原等式可化为：(sinA－sinCcosB)sinB＝(sinB－sinCcosA)sinA，即sinCcosBsinB＝sinCcosAsinA.∵sinC≠0，∴sinBcosB＝sinAcosA.∴sin2B＝sin2A.∴2B＝2A或2B＋2A＝π，即A＝B或A＋B＝π2.∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．例3、在△ABC中，若(a－c·cosB)·sinB＝(b－c·cosA)·sinA，判断△ABC的形状.[解]法一：(角化边)∵(a－c·cosB)·sinB＝(b－c·cosA)·sinA，∴由正、余弦定理可得：a－c·a2＋c2－b22ac·b＝b－c·b2＋c2－a22bc·a，整理得：(a2＋b2－c2)b2＝(a2＋b2－c2)a2，即(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，∴a2＋b2－c2＝0或a2＝b2.∴a2＋b2＝c2或a＝b.故△ABC为直角三角形或等腰三角形．法二：(边化角)根据正弦定理，原等式可化为：(sinA－sinCcosB)sinB＝(sinB－sinCcosA)sinA，即sinCcosBsinB＝sinCcosAsinA.∵sinC≠0，∴sinBcosB＝sinAcosA.∴sin2B＝sin2A.∴2B＝2A或2B＋2A＝π，即A＝B或A＋B＝π2.∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．合作探究COOPERATIVEINQUIRY母题探究：1.(变条件)将例题中的条件“(a－ccosB)·sinB＝(b－ccosA)·sinA”换为“acosA＋bcosB＝ccosC”其它条件不变，试判断三角形的形状．[解]由余弦定理知cosA＝b2＋c2－a22bc，cosB＝c2＋a2－b22ca，cosC＝a2＋b2－c22ab，代入已知条件得a·b2＋c2－a22bc＋b·c2＋a2－b22ca＋c·c2－a2－b22ab＝0，通分得a2(b2＋c2－a2)＋b2(a2＋c2－b2)＋c2(c2－a2－b2)＝0，展开整理得(a2－b2)2＝c4.∴a2－b2＝±c2，即a2＝b2＋c2或b2＝a2＋c2.根据勾股定理知△ABC是直角三角形．母题探究：1.(变条件)将例题中的条件“(a－ccosB)·sinB＝(b－ccosA)·sinA”换为“acosA＋bcosB＝ccosC”其它条件不变，试判断三角形的形状．[解]由余弦定理知cosA＝b2＋c2－a22bc，cosB＝c2＋a2－b22ca，cosC＝a2＋b2－c22ab，代入已知条件得a·b2＋c2－a22bc＋b·c2＋a2－b22ca＋c·c2－a2－b22ab＝0，通分得a2(b2＋c2－a2)＋b2(a2＋c2－b2)＋c2(c2－a2－b2)＝0，展开整理得(a2－b2)2＝c4.∴a2－b2＝±c2，即a2＝b2＋c2或b2＝a2＋c2.根据勾股定理知△ABC是直角三角形．合作探究COOPERATIVEINQUIRY2．(变条件)将例题中的条件“(a－ccosB)·sinB＝(b－ccosA)·sinA”换为“lga－lgc＝lgsinB＝－lg2且B为锐角”判断△ABC的形状．[解]由lgsinB＝－lg2＝lg22，可得sinB＝22，又B为锐角，∴B＝45°.由lga－lgc＝－lg2，得ac＝22，∴c＝2a.又∵b2＝a2＋c2－2accosB，∴b2＝a2＋2a2－22a2×22＝a2，∴a＝b，即A＝B.又B＝45°，∴△ABC为等腰直角三角形．[规律方法]判断三角形的形状应围绕三角形的边角关系进行思考，可用正、余弦定理将已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等方式得出边的相应关系，从而判断三角形的形状，也可利用正、余弦定理将已知条件转化为角与角之间的关系，通过三角变换，得出三角形各内角之间的关系，从而判断三角形形状.2．(变条件)将例题中的条件“(a－ccosB)·sinB＝(b－ccosA)·sinA”换为“lga－lgc＝lgsinB＝－lg2且B为锐角”判断△ABC的形状．[解]由lgsinB＝－lg2＝lg22，可得sinB＝22，又B为锐角，∴B＝45°.由lga－lgc＝－lg2，得ac＝22，∴c＝2a.又∵b2＝a2＋c2－2accosB，∴b2＝a2＋2a2－22a2×22＝a2，∴a＝b，即A＝B.又B＝45°，∴△ABC为等腰直角三角形．[规律方法]判断三角形的形状应围绕三角形的边角关系进行思考，可用正、余弦定理将已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等方式得出边的相应关系，从而判断三角形的形状，也可利用正、余弦定理将已知条件转化为角与角之间的关系，通过三角变换，得出三角形各内角之间的关系，从而判断三角形形状.03当堂达标REACHINGTHEGOALINCOURT学习目标REACHINGTHEGOALINCOURT1．（2018年淮安模拟）已知a，b，c是△ABC的三边长，若满足等式(a＋b－c)·(a＋b＋c)＝ab，则角C的大小为()A．60°B．90°C．120°D．150°【答案】C[由(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，得(a＋b)2－c2＝ab，∴c2＝a2＋b2＋ab＝a2＋b2－2abcosC，∴cosC＝－12，∴C＝120°.]2．（2019年驻马店模拟）在△ABC中，a＝7，b＝43，c＝13，则△ABC的最小角为()A.π3B.π6C.π4D.π12【答案】B[由三角形边角关系可知，角C为△ABC的最小角，则cosC＝a2＋b2－c22ab＝72＋432－1322×7×43＝32，所以C＝π6，故选B.]1．（2018年淮安模拟）已知a，b，c是△ABC的三边长，若满足等式(a＋b－c)·(a＋b＋c)＝ab，则角C的大小为()A．60°B．90°C．120°D．150°【答案】C[由(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，得(a＋b)2－c2＝ab，∴c2＝a2＋b2＋ab＝a2＋b2－2abcosC，∴cosC＝－12，∴C＝120°.]2．（2019年驻马店模拟）在△ABC中，a＝7，b＝43，c＝13，则△ABC的最小角为()A.π3B.π6C.π4D.π12【答案】B[由三角形边角关系可知，角C为△ABC的最小角，则cosC＝a2＋b2－c22ab＝72＋432－1322×7×43＝32，所以C＝π6，故选B.]学习目标REACHINGTHEGOALINCOURT3．（2019年昌平区模拟）在△ABC中，若a＝2bcosC，则△ABC的形状为________．【答案】等腰三角形[法一：∵a＝2bcosC＝2b·a2＋b2－c22ab＝a2＋b2－c2a，∴a2＝a2＋b2－c2，即b2＝c2，b＝c，∴△ABC为等腰三角形．法二：∵a＝2bcosC，∴sinA＝2sinBcosC，而sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC，∴cosBsinC＝sinBcosC，即sinBcosC－cosBsinC＝0，∴sin(B－C)＝0.又－180°