功能梯度双层悬臂梁的有限元建模分析

('龙源期刊网http://www.qikan.com.cn功能梯度双层悬臂梁的有限元建模分析作者：杨青张锴百林朱建新来源：《计算机辅助工程》2013年第06期摘要：为考察不同建模形式和界面处理方式对由功能梯度材料构成的双层悬臂梁计算结果的影响，通过有限元计算结果与理论解的对比发现，对于功能梯度悬臂梁，选取八节点二次单元能更好地消除剪力自锁现象，比四节点线性单元的求解结果更加精确；对于双材料理想界面，采取强制位移约束条件比消除重合节点的约束条件更符合真实情况；梁端部附近应力场的有限元解比理论解更加合理.关键词：双层悬臂梁；功能梯度材料；界面；非线性有限元；理论计算；Marc中图分类号：TU323.3文献标志码：BFiniteelementmodelingandanalysisonbi-layerfunctionallygradedcantileverbeamYANGQing，ZHANGKai，ZHENGBailin，ZHUJianxin（SchoolofAerospaceEngineeringandAppliedMechanics，TongjiUniversity，Shanghai200092，China）Abstract：Tostudytheeffectofdifferentmodelingandinterfacetreatmentonthecalculationresultsofafunctionallygradedbi-layercantileverbeam，thecomparisonoffiniteelementcalculationresultsandtheoreticalsolutionsindicatethat，theeight-nodesecond-orderelementismoreprecisethanthefour-nodelinearelementbecausetheformercouldeliminatetheshearself-lockingeffectively；astotheperfectinterfaceofdual-material，theconstraintcondition，forceddisplacementcouplingismoreinlinewiththeactualsituationthantheconstraintconditionofeliminatingcoincidentnodes，andthefiniteelementsolutionsofstressfieldaroundbeamendaremorerationalthanthetheorysolutions.Keywords：bi-layercantileverbeam；functionallygradedmaterial；interface；nonlinearfiniteelement；theoreticalcalculation；Marc收稿日期：2013-01-07修回日期：2013-07-11基金项目：国家自然科学基金（41072207）作者简介：杨青（1981—），男，浙江天台人，博士研究生，研究方向为固体力学与复合材料力学，（E-mail）117yangqing@tongji.edu.cn；郑百林（1966—），男，陕西岐山人，教授，博导，博士，研究方向为固体力学与复合材料力学，（E-mail）blzheng@tongji.edu.cn龙源期刊网http://www.qikan.com.cn0引言功能梯度材料的概念由日本科学家在20世纪80年代中期首先提出，旨在解决航天技术领域高温环境下的材料热应力问题.[1]功能梯度材料具有渐变的特点，可以消除由于材料性质不匹配以及结构设计缺陷所带来的失效问题，因此，随着材料科技和设计水平的不断提高，功能梯度材料在工程领域中的应用越来越广阔.[2-3]目前，关于功能梯度材料结构的理论计算和有限元计算已取得较为丰硕的成果.李永等[4]利用层合法，将功能梯度结构沿梯度方向分成若干层，每层等效为各向同性均匀材料进行计算；SANKAR[5]利用初等梁理论给出功能梯度简支梁受横向载荷作用下的弹性解；校金友等[6]利用应力函数法求得弹性模量沿梁厚度方向指数变化功能梯度简支梁的二维弹性解；ZHONG等[7]利用应力函数半逆解法求得模量以任意梯度函数变化时平面悬臂梁问题的解析解；YANG等[8]利用应力函数法求得模量以任意梯度函数变化时双层悬臂梁问题的解析解；张驰等[9]采用等参梯度元方法对功能梯度材料进行有限元分析；朱昊文等[10]求得功能梯度压电材料板的有限元解；张晓等[11]对一种新型功能梯度复合锚杆的延展性和协调性进行有限元分析；GO等[12]用有限元法分析旋转功能梯度圆盘的热弹性力学性能.本文使用Marc非线性分析软件，对双层功能梯度悬臂梁进行建模分析，同时与理论解进行对比，考察不同建模形式和界面处理方式对计算结果的影响.1基本方程与有限元模型1.1基本方程功能梯度双层悬臂梁模型见图1.图1中，长度为L，厚度为2h，上、下层均为功能梯度材料，每层厚度均为h，各自沿厚度方向以功能函数F1（y）和F2（y）变化.图1功能梯度双层悬臂梁模型Fig.1Modeloffunctionallygradedbi-layercantileverbeam采用弹性力学平面理论进行分析.假定该问题为平面应力问题，功能梯度材料本构方程中的柔度系数sjk不再是常数，而是关于坐标y的函数，即sjk=s（i）jk（y）=s（1）jk（y）=s（1）jk×F1（y），y≤0s（2）jk（y）=s（2）jk×F2（y），y≥0（1）式中：s（1）jk（y）为上层材料的梯度变化函数；s（2）jk（y）为下层材料的梯度变化函数；s（1）jk与s（2）jk分别为上、下层模量y=y0处的基准值，本文中基准坐标y0=0位于界面处.在基准坐标y0处，Fi（y0）=1.功能梯度材料平面问题的控制方程为2y2s112φiy2+s122φix2+ys443φix2y+s124φiy2x2+s224φix4=0（2）式中：i=1和2分别表示梁的上层和下层.龙源期刊网http://www.qikan.com.cn对于平面梁问题，可设应力函数φ（x，y）=nj=0xjfj（y）（3）式中：n由边界条件的具体形式而定.端部受集中弯矩与轴向力，n=0；端部受集中剪力，n=1；上面受均布载荷，n=2.对于平面层合梁，先求得单层梁的通解，然后根据理想界面连续条件与边界条件，将上、下层耦合，从而求出特解.理想界面连续条件为σ1y=σ2y，τ1yx=τ2yxu1=u2，w1=w2（4）1.2有限元模型由于功能梯度材料本构关系中引入模量梯度变化函数可能产生物理非线性，故针对功能梯度材料宜使用非线性分析方法.Marc作为分析工具，具有良好的非线性分析功能，可非常方便地设定弹性模量的函数关系，而无须通过用户端编子程序，分析效率高、适用范围广.与理论方法一致，有限元建模的分析类型也选用平面应力分析，建立二维平面分析模型.悬臂梁固定端选用位移固定边界条件，载荷采用力加载形式.为保证求解进度，单元划分应该较密，单元尺寸选取为厚度坐标的1/20，即h/20.单元类型分别选取四节点线性单元和八节点二次单元进行计算，双材料理想连接界面分别采取消除重合节点和强制位移约束，通过与理论解进行比较，考察上述建模方法的合理性.2算例和讨论本文理论解可参见文献[8].考察某悬臂梁l=10m，h=1m，上层功能梯度变化函数为F1（y）=eαy，下层功能梯度函数为F2（y）=eβy；在界面y=0，上层材料弹性模量为2.1×1011Pa，下层材料为1.1×1011Pa，取α=1，β=-2，泊松比ν=0.3.当悬臂梁端部受集中剪力P=1000N作用时，对应的边界条件为σ1x=σ2x=0，x=0（5）σ1y=0，y=-hσ2y=0，y=h（6）∫0-hτ1yxdy+∫h0τ2yxdy=P，x=0（7）τ1yx=0，y=-hτ2yx=0，y=h（8）ui=0，wi=0，wix=0，x=l，y=0（9）将线性单元和二次单元的计算结果与理论结果进行比较.不同单元类型对正应力σx的影响见图2，可知，对于正应力σx，线性单元和二次单元的计算结果与理论解结果差别很小.图2不同单元类型对正应力σx的影响Fig.2Effectofdifferentelementtypesonnormalstressσx不同单元类型对剪应力τxy的影响见图3，可知，关于横截面剪应力τxy，选取二次单元的计算结果与理论结果一致；而在梁的上、下表面以及界面处，线性单元的计算结果误差较大.龙源期刊网http://www.qikan.com.cn根据上、下表面的边界条件，剪应力在边界处应该为0，而线性单元计算结果显然不为0，在界面处的剪应力也不连续，与理论解和实际情况不符.图3不同单元类型对剪应力τxy的影响Fig.3Effectofdifferentelementtypesonshearstressτxy不同单元类型对挠度的影响见图4，可知，对于系统的挠度，二次单元的计算结果与理论解一致，而线性单元的挠度计算值较小.由上述对比可知，线性单元在计算剪应力和挠度时不够准确，主要是由于线性单元的边不能发生弯曲变形，而剪应变是单元水平边与垂直边之间的图4不同单元类型对挠度的影响Fig.4Effectofdifferentelementtypesondeflection夹角，这样，单元中就存在实际上不存在的、由于单元的数学描述而产生的剪应变.这种剪应变在梁的表面与界面处尤其显著，因此在梁的上、下表面与中间界面处计算误差较大；相应地，对挠度也造成影响.以上现象称为单元的剪力自锁，在梁的计算中需特别注意，可通过增加单元密度和选用二次单元消除，且后者更经济、高效.将界面强制位移约束和消除重合节点的有限元计算结果与理论解进行比较.不同界面约束方式对正应力σx的影响见图5，可知，这2种界面的处理方式对界面处正应力σx的影响很大.界面的存在使原本连续的弹性场发生变化，而这种变化可由式（4）定义的界面条件表征，即位移连续，剪应力连续，法向应力σy连续，而轴向正应力σx不连续.显然，由界面强制位移的约束条件所得到的结果与理论解一致，而消除共节点的界面处理方式，无法体现双材料的界面特性，是不合理的.图5不同界面约束方式对正应力σx的影响Fig.5Effectofdifferentconstraintwaysonnormalstressσx不同界面约束方式对剪应力τxy的影响见图6，不同界面约束方式对挠度的影响见图7，可知，2种界面的处理方式对于界面剪应力和挠度的分布影响不显著.通过对界面剪应力的有限元结果与理论解结果进行比较，可知，在远离端部的位置，理论解与有限元解非常吻合；而在端部附近，差别十分显著.由于约束的作用，梁在端部的应力状态非常复杂，尤其对于双层梁，在界面端的应力具有奇异性，应力状态更加复杂；而理论计算中，通常在端部应用圣维南原理，使用放松约束条件加以简化计算.因此，如果关心靠近端部附近的应力场，有限元的计算结果比理论计算更加合理，通过增加单元的密度可以得到较精确的结果.x轴界面处的剪应力τxy的分布见图8.图6不同界面约束方式对剪应力τxy的影响Fig.6Effectofdifferentconstraintwaysonnormalstressτxy龙源期刊网http://www.qikan.com.cn图7不同界面约束方式对挠度的影响Fig.7Effectofdifferentconstraintwaysondeflection图8x轴界面处的剪应力τxy的分布Fig.8Distributionofshearstressτxyoninterfacealongx-axis3结论通过有限元法对功能梯度双层复合悬臂梁的力学行为进行分析，并与理论解进行对比，得以下结论：（1）对于功能梯度悬臂梁，选取二次单元能更好地消除剪力自锁现象，求解更加精确.（2）对于双材料理想界面处理，采取强制位移约束条件比消除重合节点约束条件更符合真实情况.（3）由于理论解在端部处采用放松的圣维南边界条件，因此理论解并不能精确反映端部处的应力分布特性，也不能反映界面端的应力奇异情况.故在求解端部附近应力场方面，有限元解比理论解更加合理，如选取适当的单元尺寸，有限元法可以得到较精确的解.参考文献：[1]HIRAIT，CHENLeng.RecentandprospectivedevelopmentoffunctionallygradedmaterialsinJapan[J].MatSciForum，1999（308-311）：509-514.[2]ABRATES.Impactoncompositestructures[M].Cambridge：CambridgeUnivPr，1998：153.[3]ANDERSONTA.A3Delasticitysolutionforasandwichcompositewithfunctionallygradedcoresubjectedtotransverseloadingbyarigidsphere[J].CompositeStructures，2002，60（3）：265-274.[4]李永，宋健，张志民.功能梯度材料悬臂梁受复杂载荷作用的分层剪切理论[J].宇航学报，2002，23（4）：62-67.LIYong，SONGJian，ZHANGZhimin.Delaminationshearingtheoryfunctionallygradientmaterialslamintedbeamundercomplexloads[J].JAstronautics，2002，23（4）：62-67.[5]SANKARBV.Anelasticitysolutionforfunctionallygradedbeams[J].CompositesSci&Technol，2001，61（5）：689-696.[6]校金友，张铎，白宏伟.用应力函数法求功能梯度梁的弹性理论解[J].强度与环境，2005，32（4）：17-21.龙源期刊网http://www.qikan.com.cnXIAOJinyou，ZHANGDuo，BAIHongwei.Stressfunctionmethodforelasticitysolutionoffunctionallygradedbeams[J].Struct&EnvironmentEng，2005，32（4）：17-21.[7]ZHONGZheng，YUTao.Analyticalsolutionofacantileverfunctionallygradedbeam[J].CompositesSci&Technol，2007，67（3-4）：481-488.[8]YANGQing，ZHENGBailin.Analyticalsolutionofabilayerfunctionallygradedcantileverbeamwithconcentratedloads[J].ArchApplMech，2013，83（3）：455-466.[9]张驰，校金友.功能梯度材料的有限元方法研究[J].飞机设计，2007，27（4）：31-33.ZHANGChi，XIAOJinyou.Researchonfiniteelementmethodsforfunctionalgradedmaterial[J].AircraftDes，2007，27（4）：31-33.[10]朱昊文，李尧臣.杨昌锦.功能梯度压电材料板的有限元解[J].力学季刊，2005，26（4）：567-571.ZHUHaowen，LIYaochen，YANGChangjin.Finiteelementsolutionoffunctionallygradedpiezoelectricplates[J].ChinQMech，2005，26（4）：567-571.[11]张晓，郑百林，贺鹏飞.新型复合FRP锚杆延展性及协调性数值分析[J].计算机辅助工程，2010，19（3）：22-25.ZHANGXiao，ZHENGBailin，HEPengfei.NumericalanalysisonductilityandharmonyfornewcompositeFRPanchor[J].ComputAidedEng，2010，19（3）：22-25.[12]GOJ，AFSARAM，SONGJI.AnalysisofthermoelasticcharacteristicsofarotatingFGMcirculardiskbyfiniteelementmethod[J].AdvCompositeMat，2010，19（2）：197-213.（编辑陈锋杰）',)