第一讲：求直线和圆的方程方法总结

('第一讲求直线和圆的方程方法总结※求直线方程的若干方法：直线是数学中最常见的图形,直线方程数学中最常用方程,该知识点与其他知识点的融合是最紧密的,考查的题型和方法也多样，这里总结复习几种不同的求直线方程的方法.【关健词】直线方程方法一、知识要点概述:1、直线的方程、方程的直线概念；2、直线方程形式（1）点斜式：直线过点斜率为，直线方程：,它不包括垂直于轴直线；（2）斜截式：直线在轴上的截距为和斜率，直线方程：,它不包括垂直于轴直线；（3）两点式：直线经过、两点，直线方程：，它不包括垂直于坐标轴的直线；（4）截距式：直线在轴和轴上的截距为,直线方程：，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线；（5）一般式：任何直线均可写成(A,B不同时为0)的形式.提醒：(1)直线方程的各种形式都有局限性.（如点斜式不适用于斜率不存在的直线，还有截距式呢？）；(2)直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.直线两截距相等直线的斜率为-1或直线过原点；直线两截距互为相反数直线的斜率为1或直线过原点；直线两截距绝对值相等直线的斜率为或直线过原点.如过点，且纵横截距的绝对值相等的直线共有___条（答：3）二、解题方法指导:1、求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式，利用待定系数法求解直接写出直线方程设直线方程的一些常用技巧：（1）知直线纵截距，常设其方程为；（2）知直线横截距，常设其方程为(它不适用于斜率为0的直线)；（3）知直线过点，当斜率存在时，常设其方程为，当斜率不存在时，则其方程为；（4）与直线平行的直线可表示为；（5）与直线垂直的直线可表示为.（6）经过两条直线和的交点的直线系方程为：（为参数）.2、具体方法有：⑴利用公式求直线方程；⑵通过直线系求直线方程；⑶借助相关点求直线方程——轨迹法；⑷利用参数求直线方程；⑸通过分析结构求直线方程.三、范例剖析1、直接法例1、直线在轴上的截距为3，且倾斜角的正弦值为，求直线的方程.解：，，∴直线的斜率故所求直线的方程为，即或评注：由题意直接选择直线方程五种形式中的任何一个，写出形式适当的方程即为直接法.同时，求解本例时不要混淆概念，倾斜角应在内，从而有两个解.2、待定系数法（公式法）例2、过点P(2，1）作直线交正半轴于AB两点，当取到最小值时，求直线的方程.解法1：设直线的方程为：令＝0解得；令＝0，解得，∴A（，0），B（0，），∴＝当且仅当即时，取到最小值.又根据题意，∴所以直线的方程为：新疆学案王新敞方法2：由题设，可令直线l为：，分别令y=0和x=0可得，B（0，1-2k）.∴当且仅当即时，取最小值4.又∴k=-1，这时直线l的方程是x+y-3=0.1方法3：设直线l方程为，l过（2，1）点∴∴∴（以下略）.评述：此题在求解过程中运用了基本不等式，同时应注意结合直线与坐标轴正半轴相交而排除＝1的情形.引申1：过点P（2，1）作直线交轴、轴正方向于A、B，求使的面积最小时的直线的方程.解：设所求直线方程为，则由直线过点P（2，1），得即，由，得，所以当且仅当，即时，取得最小值为4此时所求直线方程为，即评注：由题意直接选择直线方程五种形式中最恰当的一种形式来假设方程，再求解方程，称为公式法.这里选择了截距式方程.引申2：在本例条件下，求求直线l在两坐标轴截距之和的最小值及其此时直线l的方程.（参考数学试题精编P54）3、直线系法：直线系的定义：具有某种共同性质的直线的集合，叫做直线系．它的方程叫做直线系方程.例3.求过与交点且与直线平行的直线方程.解：设与交点的直线方程为：即因为所求直线与平行，所以，解得2将代入()，得:所求直线方程为4、相关点法:利用相关点法求直线的方程实质上是轨迹法.例4、求直线关于直线的对称直线方程.解：设所求的对称直线上任意一点坐标为（x，y）关于直线的对称点为，则，解得，因为在直线上所以，，即5、参数法例5、直线l经过M（0，1），且被直线：x-3y+10=0和：2x+y-8=0所截得的线段恰以M为中点，求直线l的方程．解法1.：过点M且与x轴垂直的直线显然不合题意，故可设所求直线方程为y=kx+1,与已知直线，交于A，B两点，联立方程组：，由（I）解得=，由（II）解得=，点A平分线段AB，即：+=0，解得，故所求直线的方程为：x+4y-4=0.解法2：设l交于A（3t-10，t），l交于B（u，8－2u），利用中点坐标公式得：∴,∴A（-4，2）由直线方程的两点式可得，直线l的方程为：，即x+4y-4=0.解法3：设l与已知直线，交于A，B两点，点A（3t-10，t）在直线上，则由中点坐标公式得A关于M（0，1）的对称点B（10-3t，2-t），点B在直线上，∴，以下同解法2，此处略.解法4.设所求直线方程为y=kx+1,代入方程（x-3y+10）·（2x+y-8）=0得：，同解法1设所求直线与已知直线，交于A，B两点，由题意：=2=0，可得：，故所求直线的方程为：x+4y-4=0.注意：本题所求直线过点M（0，1），故只要设出直线方程的点斜式，由题中另一条件即可确定斜率，思路顺理成章.但是想在解题过程中不断地提高自己的逻辑思维能力以及分析问题，解决问题的能力，还应联系题中已知条件和相关知识，看能否找到新的解法，如解法2，解法3，而解法4在学习了后续知识后会有更深刻的体会.6、结构分析法：例6、已知两直线:a1x+b1y+1=0和：a2x+b2y+1=0的交点为P（2，3），求过两点Q1（a1，b1）、Q2（a2，b2）（a1≠a2）的直线方程.分析：利用点斜式或直线与方程的概念进行解答.解：∵P（2，3）在已知直线上，2a1+3b1+1=0，2a2+3b2+1=0.32∴（a1－a2）+3（b1－b2）=0，即=－.∴所求直线方程为y－b1=－（x－a1），∴2x+3y－（2a1+3b1）=0，即2x+3y+1=0.评述：此解法运用了整体代入的思想，方法巧妙.解法2：将与的交点P（2，3）代入与的方程，得，根据以上两式的结构特点易知：点与的坐标都适合方程2x+3y+1=0故经过点A、B的直线的方程为练习：若两条直线相交于点P（1，2），试求经过点与的直线方程.解：将与的交点P（1，2）代入与的方程，得，根据以上两式的结构特点易知：点与的坐标都适合方程故经过点A、B的直线的方程为巩固练习：1、过点P（3，0）作一直线，使它夹在两直线和之间的线段AB恰被P点平分，求此直线方程.解：设所求直线分别与交于A、B，因为A在直线上，故可设又P（3，0）为AB的中点，由中点坐标公式，得由B在上，得，解得，即由两点式得所求直线方程为.2、一直线被两直线：，：截得的线段的中点恰好是坐标原点，求该直线方程.解：设所求直线与，的交点分别是A、B，设A(），则B点坐标为()4新疆学案王新敞因为A、B分别在，上，所以①＋②得：，即点A在直线上，又直线过原点，所以直线的方程为.3、求过点P（2，3），并且在两轴上的截距相等的直线方程.解：在两轴上的截距都是0时符合题意，此时直线方程为3－2＝0若截距不为0，则设直线方程为＝1将点P（2，3）代入得＝1，解得a＝5∴直线方程为＝1，即＋＝5.4、直线方程的系数A、B、C满足什么关系时，这条直线有以下性质?(1)与两条坐标轴都相交；(2)只与轴相交;(3)只与轴相交；(4)是轴所在直线；(5)是轴所在直线.答：(1)当A≠0，B≠0，直线与两条坐标轴都相交.(2)当A≠0，B=0时，直线只与轴相交.(3)当A＝0，B≠0时，直线只与轴相交.(4)当A＝0，B≠0，C＝0，直线是轴所在直线.(5)当A≠0，B＝0，C＝0时，直线是轴所在直线.5、求与直线l：5x-12y+6=0平行且到l的距离为2的直线的方程.解：设所求直线的方程为5-12y+c=0.在直线5-12y+6=0上取一点P0（0，），点P0到直线5-12y+c=0的距离为：d=，由题意得=2.所以c=32或c=-20.所以所求直线的方程为5-12y+32=0和5-12y-20=0.\ue003※求圆方程的若干方法一、知识要点总结：51、圆的方程形式：⑴圆的标准方程：.⑵圆的一般方程：，⑶圆的参数方程：（为参数），其中圆心为，半径为.圆的参数方程的主要应用是三角换元：；.⑷为直径端点的圆方程2方法总结：求圆方程的主要方法是待定系数法，也经常数形结合来确定.例1、圆C与圆关于直线对称，则圆C的方程为____________（答：）；例2、圆心在直线上，且与两坐标轴均相切的圆的标准方程是__________（答：或）；例3（以下各题参考数学精编p63）求过两圆和交点，且圆心在直线y=x-4上的圆的方程.例4、求圆心在直线y=-2x上，且与直线y=1-x相切于点A（2，-1）的圆的方程.例5、圆心在直线y=2x-7上的圆C与y轴交于点A（0，-4），B（0，-2），求圆的方程.例6、半径为1的圆分别与y轴正半轴和射线相切，求圆的方程.例7、设圆方程满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长之比为3:1；③圆心到直线l：x-2y=0的距离为，求该圆的方程.6',)