2022-2023学年安徽省合肥市庐江县五校高三上学期期末联考数学试题(解析版)

('庐江县高三五校联考数学试卷一、选择题（每小题5分，共8小题40分）1.若，则（）A.-2B.-1C.1D.22.若集合，，则（）A.B.C.D.3.已知数列的前项和，则是为等比数列的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.已知，则（）A.B.C.D.5.已知圆台上底面半径为1，下底面半径为3，球与圆台的两个底面和侧面均相切，则该圆台的侧面积与球的表面积之比为（）A.B.C.D.6.某校对高三年级的学生进行体检，现将高三男生的体重（单位：kg）数据进行整理后分为五组，并绘制频率分布直方图（如图所示）．根据一般标准，高三男生的体重超过65kg属于偏胖，低于55kg属于偏瘦．已知图中从左到右第一、第三、第四、第五小组的纵坐标分别为0.05，0.04，0.02，0.01，第二小组的频数为400，则该校高三年级的男生总数和体重正常的频率分别为（）A.1000，0.50B.800，0.50，C.800，0.60D.1000，0.607.已知点，分别是椭圆为：的左、右焦点，过点作轴的垂线交椭圆的上半部分于点，过点作直线的垂线交直线于点，若直线与双曲线的一条渐近线平行，则椭圆的离心率为（）A.B.C.D.8.设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，.若，则（）A.B.C.D.二、多选题（每小题5分，共4小题20分，部分答对得2分）9.已知函数，其图像相邻对称中心间的距离为，直线是其中一条对称轴，则下列结论正确的是（）A.函数的最小正周期为B.函数在区间上单调递增C.点是函数图像的一个对称中心D.将函数图像上所有点横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标缩短为原来的一半，再把得到的图像向右平移个单位长度，可得到正弦函数的图像10.已知数列的首项为4，且满足，则（）A.为等比数列B.为递增数列C.的前项和D.的前项和11.在正方体中，，，分别是面，面，面的中心，则下列结论正确的是（）A.B.平面C.平面D.与所成的角是12.已知函数在上可导，且，其导函数满足，对于函数，下列结论正确的是（）A.函数在上为减函数B.是函数的极小值点C.函数必有2个零点D.三、填空题（每小题5分，共4小题20分）13.二项式展开式中的系数为__________.14.已知是边长为1的等边三角形，设向量，满足，，则__________.15.已知为双曲线：的右焦点，为的左顶点，为上的点，且垂直于轴，若的离心率为5，则的斜率为__________.16.已知关于的不等式有且仅有三个整数解，则实数的取值范围是__________.四、解答题（本大题共6小题，其中第17题10分，其余均为12分，共70分）17.在等比数列中，公比，等差数列满足，，.（1）求数列与的通项公式；（2）记，求数列的前项和.18.在中，角，，的对边分别为，，，已知.（1）求；（2）若，点在边上且，，求.19.为了研究新冠病毒疫苗，医务人员需进入实验室完成某项具有高危险的实验，每次只派一个人进去，且每个人只被派一次，工作时间不超过30分钟，如果某人30分钟不能完成实验则必须撤出再派下一个人，否则实验结束.现有甲、乙、丙、丁四人可派，他们各自完成实验的概率分别为、、、，且假定每人能否完成实验相互独立.（1）求实验能被完成的概率；（2）根据四人的身体健康状况，现安排四人按照丙丁乙甲的顺序实验，记参与实验人数为随机变量，求随机变量的分布列和期望.20.如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形（及其内部）以边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，是的中点.（1）设是上的一点，且，求的大小；（2）当，，求二面角的大小.21.已知椭圆：的四个顶点，，，所构成的菱形面积为6，且椭圆的焦点为抛物线与轴的交点.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线与椭圆交于，两点，若，且，求面积的最大值.22.已知为实数，函数.（1）若是函数的一个极值点，求实数的值.（2）设，若，使得成立，求实数的取值范围.参考答案一、选择题（每小题5分，共8小题40分）1.【答案】D【解析】，∴，∴，∴，故选D.2.【答案】B【解析】，，故，故选B.3.【答案】C【解析】若，，数列是以1为首项，2为公比的等比数列，故是为等比数列的充分条件，若数列为等比数列，当时，，当时，，则，解得.故是为等比数列的必要条件.4.【答案】B【解析】∵，∴，故选B.5.【答案】D【解析】设圆台的上底面半径为，下底面半径，母线长为，球的半径为，∵球与圆台的两个底面和侧面均相切，∴，，∴圆台的侧面积与球的表面积之比为，故选D.6.【答案】D【解析】第二小组的频率为0.40，所以该校高三年级的男生总数为（人）；体重正常的频率为.7.【答案】C【解析】将点代入：.得，∴，∵过点作直线的垂线交直线于点，.∴设，得，解得，∴，∵直线与双曲线的一条渐近线平行，∴，即，整理，得，∴.8.【答案】D【解析】∵为奇函数，∴关于中心对称，∴.因为偶函数，故关于轴对称，周期为4.∴，.即，.，.故.故选D.二、多选题（每小题5分，共4小题20分，部分答对得2分）9.【答案】B，C【解析】已知函数，其图像相邻对称中心间的距离为，故最小正周期，，直线是其中一条对称轴，有，，，由，∴，可以求得.最小正周期，选项A错误；时，是正弦曲线的单调递增区间，故选项B正确；由于，故点是函数图像的一个对称中心，选项C正确；将函数图像上所有点横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标缩短为原来的一半，再把得到的图像向右平移个单位长度，可得到，选项D错误.故选：BC.10.【答案】A，B，D【解析】对于A：因为，所以为等比数列，，故A正确.对于B：由于数列是以4为首项，2为公比的等比数列，所以，所以，则，故数列单调递增，故B正确；对于C：由于，故①，②，①-②得：，整理，故C错误；对于D：由于，所以，所以，，故D正确.11.【答案】A，B，D【解析】连接，，则是的中位线，∴，故选项A正确；连接，，则，∴平面，即平面，故选项B正确；连接，，，则平面即为平面，显然不垂直平面，故选项C错误；∵，∴即为与所成的角，，故选项D正确.故选ABD.12.【答案】A，B，D【解析】由题意得：；由知：当时，，即；当时，，即，∴在上单调递减，在上单调递增，A正确；∴是的极小值点，B正确；∵在上单调递增，∴，即，∴，D正确；∵，∴，若在或在上无零点，则无两个零点，C错误.故选ABD.三、填空题（每小题5分，共4小题20分）13.【答案】5【解析】，展开式中的系数为.14.【答案】【解析】法一：，则，，而，两边平方，可得，，所以.故答案为：.法二：因为，所以.故答案为：.15.【答案】【解析】设焦距为，则，，，因为的离心率为5，所以，的斜率为，又因为，且，所以.故答案为：.16.【答案】【解析】令，则，当时，，此时在单调递减；当时，，此时在单调递增；∴当时，有最小值为，显然有解，则，则，此时，故是原不等式的整数解.①当时，即时，，此时，故此时最多有两个整数解；②当时，即时，，此时，故是原不等式的整数解，则，解得，故.综上所述，实数的取值范围是.四、解答题（本大题共6小题，其中第17题10分，其余均为12分，共70分）17.【答案】见解析；【解析】（1）设等差数列的公差为，因为等比数列的公比为，，，，所以，则，解得或（舍），所以数列的通项公式为：；数列的通项公式为；（2）由（1）可得，所以数列的前项和.18.【答案】见解析【解析】（1）由正弦定理得：∵，∴，∴，即∵，∴（2）由余弦定理得：∵∴把，，带入得：∴，解得：.19.【答案】见解析【解析】（1）记实验能被完成为事件，丙丁乙甲顺利完成实验分别为事件、、、，则，，，，并且每人能否完成实验相互独立.则实验不能被完成为事件的概率为，∴实验能被完成的概率为.（2）设按照丙丁乙甲的顺序参加实验的人数为随机变量，所有可能的取值为1，2，3，4，，，，，则的分布列为1234∴的数学期望为.20.【答案】（1）.（2）.【解析】（1）因为，，平面，，所以平面，又平面，所以，又，因此.（2）以为坐标原点，分别以，，所在的直线为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.由题意得，，，，故，，，设是平面的一个法向量.由可得取，可得平面的一个法向量.设是平面的一个法向量.由可得取，可得平面的一个法向量.所以.因此所求的角为60°.21.【答案】略【解析】（Ⅰ）由，令，得，则，所以①又由题意，得，即②由①②解得，，故椭圆的方程.（Ⅱ）由题意可知直线斜率不为0，不妨设直线的方程为，，.由消去得，则，③.因为，所以由，得将，代入上式，得将③代入上式，解得或（舍）.所以（此时直线经过定点，与椭圆有两个交点），故设，则，则，所以当时，取得最大值.22.【答案】（1）（2）实数的取值范围为【解析】（1）函数的定义域为，.∵是函数的一个极值点，∴，解得.∴.（2）由，得.记，则，∴当时，，则在上单调递减；当时，，则在上单调递增.∴，∴.记，，∴.∵时，∴，∴.∴当时，，则在上单调递减；当时，，则在上单调递增.∴，∴.故实数的取值范围为',)