小学奥数-长方体表面积与展开图(教师版)

('长方体表面积与展开图【例1】★如下图，一个边长为3a厘米的正方体，分别在它的前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个截口是边长为a厘米的正方形的长方体（都和对面打通）．如果这个镂空的物体的表面积为2592平方厘米，试求正方形截口的边长．【解析】原来正方体的表面积为：6×3a×3a＝6×9a2（平方厘米）．六个边长为a的小正方形的面积为：6×a×a＝6a2（平方厘米）；挖成的每个长方体空洞的侧面积为：3a×a×4＝12a2（平方厘米）；三个长方体空洞重叠部分的校长为a的小正方体空洞的表面积为：a×a×4＝4a2（平方厘米）．根据题意：6×9a2－6a2＋3（12a2－4a2）＝2592，化简得：54a2－6a2＋24a2＝2592，解得a2＝36（平方厘米），故a＝6厘米．即正方形截口的边长为6厘米．【例2】★★有一些相同尺寸的正方体积木，准备在积木的各面上粘贴游戏所需的字母和数目字．但全部积木的表面总面积不够用，还需增加一倍，请你想办法，在不另添积木的情况下，把积木的各面面积的总和增加一倍．【解析】把每一块积木锯三次。【例3】★★一个长方体，前面和上面的面积之和是209平方厘米，这个长方体的长、宽、高是以厘米为单位的数，且都是质数．问这个长方体的体积和表面积各是多少?【解析】要求长方体的体积和表面积，就要求出长方体的长、宽、高．因为这个长方体的前面和上面的面积之和是209平方厘米，也就是长×宽+长×高=长×(宽+高)=209．根据已知条件，长、宽、高都是质数，我们把209分解质因数得到209=11×19．在11和19中，只有19可分拆为2与17两个质数的和．这样，我们可以确定长方体的长、宽、高分别是11、2、17或者11、17、2．由此可求得长方体的表面积和体积．【例4】★★如图11-3，一个正方体形状的木块，棱长l米，沿水平方向将它锯成3片，每片又锯成4长条，每条又锯成5小块，共得到大大小小的长方体60块．那么，这60块长方体表面积的和是多少平方米?【解析】我们知道每切一刀，多出的表面积恰好是原正方体的2个面的面积．现在一共切了(3-1)+(4-1)+(5-1)=9刀，而原正方体一个面的面积1×l=1(平方米)，所以表面积增加了9×2×1=18(平方米)．原来正方体的表面积为6×1=6(平方米)，所以现在的这些小长方体的表积之和为6+18=24(平方米)．【小试牛刀】右图是4×5×6正方体，如果将其表面涂成红色，那么其中一面、二面、三面被涂成红色的小正方体各有多少块？【解析】三面涂红色的只有8个顶点处的8个立方体；两面涂红色的在棱长处，共（4-2）×4+（5-2）×4+（6-2）×4=36块；一面涂红的表面中间部分：（4-2）×（5-2）×2+（4-2）×（6-2）×2+（5-2）×（6-2）×2=52块．【例5】★边长为1厘米的正方体，如图这样层层重叠放置，那么当重叠到第5层时，这个立体图形的表面积是多少平方厘米？【解析】图形所含块数的规律：第1层1块，第2层3块，第3层6块，第4层10块，第5层15块，依次增加2、3、4、5…，当重叠到第5层时，该立体图形的上下、左右、前后方向的表面面积都是15平方厘米，该图形的总表面积为90立方厘米。【小试牛刀】把19个棱长为1厘米的正方体重叠在一起，按右图中的方式拼成一个立体图形.求这个立体图形的表面积．【解析】从上下、左右、前后观察到的的平面图形如下面三图表示．因此，这个立体图形的表面积为：2个上面+2个左面+2个前面．上表面的面积为：9平方厘米，左表面的面积为：8平方厘米，前表面的面积为：10平方厘米．因此，这个立体图形的总表面积为：（9＋8＋10）×2＝54（平方厘米）．【例6】★★图2—36是一个立方体纸盒的展开图，当折叠成纸盒时，标志为1的点与哪些点重合?【解析】在图2—37所示的立方体上观察8个顶点，其中与A点不在一个表面上的只有B点，也就是说，沿着表面走，这两个点的路程最远．在展开图上，这两个点恰好是相邻两个小正方形所构成的长方形的对角线上的两个端点．解题过程：1、2、6点都距9点最远，也就是说，1、2、6点都与9点不在一个表面上·而与9点不在一个表面上的只有一个点，所以，1、2、6点是同一个点，即折叠成纸盒时，1、2、6三点重合．【例7】★★下图是正方体的11种展开图和2种伪装图（即它们不是正方体的展开图）．请你指出伪装图是哪两个？【解析】无论哪一个图中都有六个小正方形，都好像有道理，但当我们把相邻两边逐一拼合后，不能变成正方体的是（10）和（12），这两个图形，都是有五面在拼合时不成问题，但是最后一面总是挤在外面而成不了正方体．【小试牛刀】如下面的各图中均有若干个六面体，每小题图中的几个六面体上A、B、C、D、E、F六个字母的排列顺序完全相同（即每个小题中六面体上刻字母的方式是完全一样的）试判断各小题的图中A、B、C三个字母的对面依次是哪几个字母？【解析】（1）由图中可知，A与B、C、E、F都相邻，故A的对面是D．E、F的位置可按右手关系得出，伸出右手，伸直大拇指按（1）中右图所示，让四指方向从A转动而指向F，此时大拇指正好指向E（向上）．如果，判断为F在C对面，由（1）中左图所示，让四指的方向从A向F，此时大拇指指向B，与（1）中右图矛盾，故F在B的对面，E在C的对面．（2）～（6）按A、B、C顺序给出对面的字母：（2）E、D、F；（3）F、E、D；（4）D、F、E；（5）E、D、F；（6）F、E、D．【例8】★★有一块正方体的蛋糕．用刀子将它一刀切成两半，为了使切口成正六边形，应该怎样切呢？【解析】一般地，按照平常习惯的切法切下去，得到的切口成为上图中（1）的正方形或者像（2）、（3）那样的长方形．如果斜切下去时样子就不一样了，比如像（4）那样，以打算切的顶点作一方，将不相邻的某一边的中点作另一方，沿它的连接线来切，切口变成菱形．如果再进一步，连接相邻边的中点，沿着它的连线来切，如上图中（5）所示，因为切口的各边都是连接边和边的中点的直线，所以长度都相等，相邻边夹角也相等，边数是六，故是正六边形．【例9】★★★如右图，一个正方体形状的木块，棱长l米，沿水平方向将它锯成3片，每片又锯成4长条，每条又锯成5小块，共得到大大小小的长方体60块．那么，这60块长方体表面积的和是多少平方米?【解析】我们知道每切一刀，多出的表面积恰好是原正方体的2个面的面积．现在一共切了(3-1)+(4-1)+(5-1)=9刀，而原正方体一个面的面积1×l=1(平方米)，所以表面积增加了9×2×1=18(平方米)．原来正方体的表面积为6×1=6(平方米)，所以现在的这些小长方体的表积之和为6+18=24(平方米)．【例10】★★★一个长方体，六个面均涂满红色，沿着长边等距离切5刀，沿着宽边等距离切4刀，沿着高边等距离切n刀，试问：当。取什么值时，可使各个面上均没有红色的小方块有24块?【解析】题中已知各面上没有红色的有24块，而求全白的块数的方法，_可用每边切的刀数减1后的乘积去求．设高边上切了n刀，则【小试牛刀】如图2—53，棱长1分米的正方体，沿AB棱垂直切4刀，沿BF棱垂直切5刀，沿BD棱水平切6刀，共得大小长方体210个，问210个长方体的表面积之和是多少?【解析】210个长方体表面积的和由原正方体表面积和切口表面积两部分组成．其中每切1刀，就增加2个正方形，面积为2平方分米，共切15刀，增加了30个正方形，即面积增加了30平方分米·216个长方体表面积之和为1.右图是由18个边长为1厘米的小正方体拼成的，求它的表面积。【解析】如果一面一面去数，那么虽然可以得到答案，但太麻烦，而且容易出错。仔细观察会发现，这个立体的上面与下面、左面与右面、前面与后面的面积分别相等。如上图所示，可求得表面积为（9＋7＋8）×2=48（厘米2）。2.（小数报数学竞赛决赛）右图是一个表面被涂上红色的棱长为lO厘米的正方体木块，如果把它沿虚线切成8个正方体，这些小正方体中没有被涂上红色的所有表面的面积和是多少平方厘米？【解析】10×10×6=600(平方厘米)．3.右图是一个边长为4厘米的正方体，分别在前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个边长l厘米的正方体，做成一种玩具．它的表面积是多少平方厘米?【解析】原正方体的表面积是4×4×6=96(平方厘米)．每一个面被挖去一个边长是1厘米的正方形，同时又增加了5个边长是1厘米的正方体作为玩具的表面积的组成部分．总的来看，每一个面都增加了4个边长是1厘米的正方形．从而，它的表面积是：96+4×6=120平方厘米．4.（首师大附小升初考试分班试题）一个正方体木块，棱长是1米，沿着水平方向将它锯成2片，每片又锯成3长条，每条又锯成4小块，共得到大大小小的长方体24块，那么这24块长方体的表面积之和是多少？【解析】锯一次净增加两个面，锯的总次数转化为增加的面数的公式为：锯的总次数×2=增加的面数，原正方体表面积：1×1×6=6（平方米）一共据了多少次（2－1）＋（3－1）＋（4－1）=6次，6＋1×1×2×6=18（平方米）．',)