2020年北京市高考数学试卷(官方版)

('【数学大咖群】绝密★本科目考试启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学本试卷共5页，150分，考试时长120分钟，考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后，将本试卷和答题卡第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合，则（A）（B）（C）（D）（2）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（A）（B）（C）（D）（3）在的展开式中，的系数为（A）（B）（C）（D）（4）某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为（A）（B）（C）（D）（5）已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（A）4（B）5（C）6（D）7（6）已知函数，则不等式的解集是（A）（B）（C）（D）（7）设抛物线的顶点为，焦点为，准线为；是抛物线异己的一点，过做⊥于，则线段的垂直平分线（A）经过点（B）经过点（C）平行于直线（D）垂直于直线（8）在等差数列{}中，，，记，则数列{}（A）有最大项，有最小项（B）有最大项，无最小项（C）无最大项，有最小项（D）无最大项，无最小项（9）已知，则“存在，使得”是“”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（10）2020年3月14日是全球首个国际圆周率日。历史上，求圆周率的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似，数学家阿尔卡西的方法是：当正整数充分大时，计算单位圆的内接正边形的周长和外切正边形（各边均与圆相切的正边形）的周长，将它们的算术平均数作为的近似值。按照阿尔卡西的方法，的近似值的表达方式是（A）（B）（C）（D）第二部分（非选择题共110分）二、填空题5小题，每小题5分，共25分．（11）函数的定义域是________．（12）已知双曲线，则的右焦点的坐标为________；的焦点到其渐近线的距离是________．（13）已知正方形的边长为，点满足，则________；________．（14）若函数的最大值为，则常数的一个取值为________．（15）为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改．设企业的污水排放量与时间的关系为，用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱．已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示．给出下列四个结论：①在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；③在时刻，甲、乙两企业的污水排放量都已达标；④甲企业在，，这三段时间中，在的污水治理能力最强．其中所有正确结论的序号是________．三、解答题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（16）（本小题13分）如图，在正方体中，为的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．（17）（本小题13分）在中，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：（Ⅰ）的值；（Ⅱ）和的面积．条件①：，条件②，注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．（18）（本小题14分）某校为举办甲乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二、为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：男生女生支持不支持支持不支持方案一200人400人300人100人方案二350人250人150人250人假设所有学生对活动方案是否支持相互独立．（Ⅰ）分别估计该校男生支持方案一的概率，该校女生支持方案一的概率：（Ⅱ）从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率；（Ⅲ）将该校学生支持方案二的概率估计值记为,假设该校一年级有500名男生和300名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为，试比较与的大小．（结论不要求证明）（19）（本小题15分）已知函数（I）求曲线的斜率等于的切线方程；（II）设曲线在点处的切线与坐标轴围城的三角形面积为，求的最小值。（20）（本小题15分）已知椭圆过点，且（I）求椭圆的方程：（II）过点的直线交椭圆于点,直线分别交直线于点求的值（21）（本小题15分）已知是无穷数列，给出两个性质：①对于中任意两项，在中都存在一项，使得.②对于中任意一项，在都存在两项，使得（I）若,判断是否满足性质①，说明理由：（II）若，判断数列是否同时满足性质①和性质②，说明理由；（III）若是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明：为等比数列。',)