人教版九年级上册数学第21章-一元二次方程的根与系数的关系

新知探究人教版数学九年级上册时间：21.2.4一元二次方程的根与系数的关系11/13/20231.一元二次方程的求根公式是什么？224(40).2bbacxbaca【想一想】方程的两根x1和x2与系数a、b、c还有其他关系吗？2.如何用判别式b2-4ac来判断一元二次方程根的情况？对一元二次方程：ax2+bx+c=0(a≠0).b2-4ac>0时,方程有两个不相等的实数根.b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根.b2-4ac<0时,方程无实数根.复习巩固素养目标1.探索一元二次方程的根与系数的关系.2.利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.3.体会从特殊到一般的科学探究过程.填表，观察、猜想方程x1,x2x1+x2x1.x2x2-2x+1=0x2+3x-10=0x2+5x+4=0【思考】你发现什么规律？对于x2+bx+c=0的两根x1,,x2用式子表示你发现的规律.探究新知根与系数的关系知识点11,1212,-5-3-10-1,-4-54（1）由因式分解法可知，方程（x-x1)(x-x2)=0(x1,x2为已知数）的两根是x1和x2，将方程化为x2+px+q=0的形式，你能看出x1,x2与p,q之间的关系吗？(x-x1)(x-x2)=0.x2-(x1+x2)x+x1·x2=0x2+px+q=0，x1+x2=-p,x1·x2=q.探究新知【证明】如果二次项系数不为1呢?x1=，x2=。x1+x2=，242bbaca242bbaca22442222bbacbbacbbaaaa探究新知−?+√?2−4??2?⋅−?−√?2−4??2?¿¿¿?1?2=¿已知方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当b2-4ac≥0时，两根分别为一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）如果ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1、x2，那么归纳总结x1+x2=−??acx1x2=满足上述关系的前提条件b2-4ac≥0.例根据一元二次方程根与系数的关系，求下列方程两根x1，x2的和与积.(1)x2-6x-15=0(2)3x2+7x-9=0(3)5x-1=4x2解：(1)x1+x2=-(-6)=6,x1x2=-15121279(2),333xxxxxxxxxx21212(3)4510551,.444方程化为，一元二次方程的根与系数的关系的应用二在运用韦达定理求两根之和、两根之积时，先把方程化为一般式，再分别代入a、b、c的值即可.例2已知方程5x2+kx−6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值.解：设方程的两个根分别是x1、x2，其中x1=2.所以x1·x2=2x2=即x2=由于x1+x2=2+=得k=−7.答：方程的另一个根是，k=−7.5k-，3.5-3()5-35-65-，考点1：已知一根求另一根与参数的值变式：已知方程3x2−18x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值.解：设方程的两个根分别是x1、x2，其中x1=1.所以x1+x2=1+x2=6，即x2=5.由于x1·x2=1×5=得m=15.答：方程的另一个根是5，m=15.3m，例3不解方程，求方程2x2+3x-1=0的两根的平方和、倒数和.121231.22xxxx+=-×=-，解：根据根与系数的关系可知：()()22212112212,xxxxxx+=++∵()2221212122xxxxxx\+=+-231132;224æöæöç÷ç÷=--´-=ç÷ç÷èøèø()121212113123.22xxxxxxæöæö+ç÷ç÷+==-¸-=ç÷ç÷èøèø考点2：根与系数的关系变形运用总结常见的求值:12111.xx+=1212;xxxx+124.(1)(1)xx++=1212()1;xxxx+++12213.xxxx+221212xxxx+=2121212()2;xxxxxx+-=125.xx-=212()xx-21212()4.xxxx=+-2221212122.()2;xxxxxx+=+-设x1，x2为方程x2−4x+1=0的两个根，则：(1)x1+x2=，(2)x1·x2=，(3)，(4).411412221)xx(2212xx+=练一练求与方程的根有关的代数式的值时，一般先将所求的代数式化成含两根之和，两根之积的形式，再整体代入.归纳课堂小结根与系数的关系（韦达定理）内容如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、x2，那么变形222121212()2xxxxxx+=+-22121212()()4xxxxxx-=+-12121211xxxxxx++=×12bxxa+=-12cxxa=当堂练习1.已知一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为-2和1，则p=，q=.1−22.如果−1是方程2x2−x+m=0的一个根，则另一个根是___，m=____.32−33.已知方程3x2−19x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值.解：将x=1代入方程中3−19+m=0.解得m=16，设另一个根为x1，则：1×x1=∴x1=16.3ca=16.34.已知x1,x2是方程2x2+2kx+k-1=0的两个根，且(x1+1)(x2+1)=4；(1)求k的值；(2)求(x1−x2)2的值.解：(1)根据根与系数的关系得所以(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=解得k=−7.12xxk+=-，121.2kxx-=1()142kk-+-+=，(2)因为k=−7,所以则：124.xx=-127xx+=，222121212()()474(4)65.xxxxxx-=+-=-´-=5.设x1，x2是方程3x2+4x–3=0的两个根.利用根与系数之间的关系，求下列各式的值.(1)(x1+1)(x2+1)；(2).2112xxxx解：根据根与系数的关系得：(1)(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=(2)121241.3bcxxxxaa+=-=-×==-，441()1.33-+-+=-22221121212121212()234.9xxxxxxxxxxxxxx++-+===-6.当k为何值时，方程2x2−kx+1=0的两根差为1.解：设方程两根分别为x1，x2(x1>x2)，则x1−x2=1∵(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=1拓展提升由根与系数的关系，得12121,,22kxxxx+==2141,22kæö\-´=ç÷ç÷èø23,2kæö\=ç÷ç÷èø23.k\=±7.已知关于x的一元二次方程mx2−2mx+m−2=0.(1)若方程有实数根,求实数m的取值范围.(2)若方程两根x1，x2满足x1-x2=1，求m的值.解：(1)方程有实数根∵m≠0，∴m的取值范围为m＞0.(2)∵方程有实数根x1，x2，∵(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=1，解得m=8.经检验m=8是方程的解．()()2222424244880bacmmmmmmmD=-=--××-=-+=³121222,.mxxxxm-\+=×=22241.mm-\-´=