2021-2022学年人教版数学八年级下册16

16.1二次根式人教版·数学·八年级（下）第十六章二次根式第1课时二次根式的概念1.理解二次根式的概念。2.掌握二次根式有意义的条件，能运用二次根式的概念求被开方数中字母的取值范围。3.会利用二次根式的双重非负性解决相关问题。学习目标电视塔越高，从塔顶发射的电磁波传播得越远，从而能收看到电视节目的区域越广，电视塔高h（单位：km）与电视节目信号的传播半径r（单位：km）之间存在近似关系，其中地球半径R≈6400km．如果两个电视塔的高分别是h1km、h2km，那么它们的传播半径之比是.2=rRh1222RhRh公式中中的表示什么意义？2Rh2=rRh式子表示1222RhRh什么？导入新知2=rRh1222RhRh2Rh2=rRh1222RhRh（1）面积为3的正方形的边长为_______，面积为S的正方形的边长为_______．（2）一个长方形围栏，长是宽的2倍，面积为130m2，则它的宽为______m．（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t（单位：s）与开始落下时离地面的高度h（单位：m）满足关系h=5t2，如果用含有h的式子表示t，则t为_____．5h65S3新知一二次根式的定义和有意义的条件用带根号的式子填空，看一看写出的结果有何特点:合作探究5h65S3（1）这些式子分别表示什么意义？5h分别表示3，S，65，的算术平方根．①根指数都为2;②被开方数为非负数.（2）这些式子有什么共同特征？在前面的问题中，得到的结果分别是：，，，．S35h655hS35h65根据你的理解，猜想一下二次根式的定义应该有哪些条件？我们知道，一个正数有两个平方根；0的平方根为0；在实数范围内，负数没有平方根.因此，在实数范围内开平方的时候，被开方数只能是正数或0.一般地，我们把形如的式子叫做二次根式.“”称为二次根号.(0)aa两个必备特征①外貌特征：含有“”②内在特征：被开方数a≥0注意：a可以是数，也可以是式.归纳总结(0)aa例1下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？解：(1)(4)(6)均是二次根式，其中x2+4属于“非负数+正数”的形式一定大于零.(3)(5)(7)均不是二次是否含二次根号被开方数是不是非负数二次根式不是二次根式是是否否分析：典例精析1利用二次根式的定义识别二次根式（1）；（2）81；（3）；（4）;（5）;（6）；（7）.148.0--3(0)xx(mmnnn0，异号，）24x315148.0--3(0)xx(mmnnn0，异号，）24x315下列各式是二次根式吗?是是是是是（1）（2）（3）（4）（6）（5）（7）（8）（9）（10）3212-不是38不是24a不是)0(-mm12a不是223aa1-2x不是2431巩固新知3212-3824a)0(-mm12a223aa1-2x2431例2当x是怎样的实数时,在实数范围内有意义?2x解：由x-2≥0，得x≥2.当x≥2时，在实数范围内有意义.2x【思考】1.当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？解：由题意得x-1＞0，∴x＞1.典例精析2利用二次根式有意义的条件求字母的取值范围（1）;11x合作探究2x2x11x解：∵被开方数需大于或等于零，∴x+3≥0，∴x≥-3.∵分母不能等于零，∴x-1≠0，∴x≠1.∴x≥-3且x≠1.归纳小结：要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数≥0，列不等式求解即可.若二次根式为分式的分母时，应同时考虑分母不为零.（2）.13xx13xx【思考】2.当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？221;xx223.xx解：(1)∵无论x为任何实数，∴当x=1时，在实数范围内有意义.(2)∵无论x为任何实数，-x2-2x-3=-(x+1)2-2＜0，∴无论x为任何实数，在实数范围内都无意义.221xx223xx222110xxx≤，归纳小结：被开方数是多项式时，需要对组成多项式的项进行恰当分组凑成含完全平方的形式，再进行分析讨论.（1）（2）221;xx223.xx221xx223xx222110xxx≤，(1)单个二次根式如有意义的条件：A≥0；A(3)多个二次根式相加如有意义的条件：...ABN00...0ABN≥；≥；≥；(2)二次根式作为分式的分母如有意义的条件：A＞0；BA(4)二次根式与分式的和如有意义的条件：A≥0且B≠0.1AB二次根式有意义的条件应用的不同类型：归纳小结A...ABN00...0ABN≥；≥；≥；BA1ABx取何值时,下列二次根式有意义?3x21xxx31（1）（2）x≥1x≤0（3）1x（4）x为全体实数x>0（5）（6）x≥0x≠0x≥-1且x≠2(7)0)2(31xxx（9）12xx>0x为全体实数(8)xx224x巩固新知3x21xxx311x0)2(31xxx12xxx224x【新知思考】当x是怎样的实数时，在实数范围内有意义？2x新知二二次根式的双重非负性【回顾思考】二次根式的被开方数a的取值范围是什么？它本身的取值范围又是什么？a因为x²≥0，所以x可以为任意实数.要使x³≥0，必须x≥0.当a＞0时，表示a的算术平方根，因此；当a=0时，表示0的算术平方根，因此.这就是说，当a≥0时，.0a＝0a＞0a3x呢？合作探究2xa0a＝0a＞0a3x二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.对于任意一个二次根式，必须满足以下两条：a（1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a≥0；（2）表示一个数或式的算术平方根，可知≥0.aa二次根式的双重非负性二次根式的被开方数非负二次根式的值非负归纳小结aaa解：由题意可知a+3=0,b-2=0,c-1=0,解得a=-3,b=2,c=1.所以2a-b+3c=-3×2-2+3×1=-5.典例精析1利用二次根式的双重非负性求字母的值例1若，求2a-b+3c的值.0)1(232cba提示：多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零.初中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式.合作探究0)1(232cba已知3x-y-1和互为相反数，求x+4y的平方根．xy24解：由题意得3x-y-1=0且2x+y-4=0．解得x=1，y=2．∴x+4y=1+2×4=9，∴x+4y的平方根为±3.巩固新知xy24典例精析2二次根式的双重非负性和不等式求字母的值例2已知实数x、y满足等式，求x2-2xy+y2的值.533xxy解：由题意得解得：x=3.把x=3,代入得y=-5.所以x2-2xy+y2=(x-y)2=(3+5)2=64.-xx30,30,总结：若，则根据被开方数大于等于0，可得yaab合作探究533xxy-xx30,30,yaab已知y=,求3x+2y的算术平方根.xx338解：由题意得∴x=3，∴y=8，∴3x+2y=3×3＋2×8=25.∵25的算术平方根为5，∴3x+2y的算术平方根为5．3030xx≥，≥，巩固新知xx3383030xx≥，≥，1．(4分)下列各式中，一定是二次根式的是(C)A.37B.－5C．－5D.x2．(4分)下列各式中，不一定是二次根式的为(A)A.aB.b2＋1C.0D.（a－b）23．(4分)若m－33m是二次根式，则这个二次根式是__15__．课堂练习1．(4分)下列各式中，一定是二次根式的是(C)A.37B.－5C．－5D.x2．(4分)下列各式中，不一定是二次根式的为(A)A.aB.b2＋1C.0D.（a－b）23．(4分)若m－33m是二次根式，则这个二次根式是__15__．4．(8分)下列各式中，哪些是二次根式？并指出二次根式中的被开方数．15，－22，410，x－3(x≥3)，－y－1(y＞－1)，（x＋1）2，－x2－3，yx(xy＞0)．解：15，x－3(x≥3)，（x＋1）2，yx(xy＞0)是二次根式，其中被开方数依次是15，x－3，(x＋1)2，yx4．(8分)下列各式中，哪些是二次根式？并指出二次根式中的被开方数．15，－22，410，x－3(x≥3)，－y－1(y＞－1)，（x＋1）2，－x2－3，yx(xy＞0)．解：15，x－3(x≥3)，（x＋1）2，yx(xy＞0)是二次根式，其中被开方数依次是15，x－3，(x＋1)2，yx二次根式成立的条件5．(4分)(武汉中考)式子x－1在实数范围内有意义，则x的取值范围是(C)A．x<1B．x≥－1C．x≥1D．x>16．(4分)式子1x－3成立的条件是(C)A．x≠3B．x≥3C．x＞3D．x＜35．(4分)(武汉中考)式子x－1在实数范围内有意义，则x的取值范围是(C)A．x<1B．x≥－1C．x≥1D．x>16．(4分)式子1x－3成立的条件是(C)A．x≠3B．x≥3C．x＞3D．x＜38．(8分)当x取何值时，下列式子在实数范围内有意义？(1)－x；解：由－x≥0，得x≤0(2)5－2x；解：由5－2x≥0，得x≤52(3)x－2－5－x；解：由x－2≥0且5－x≥0，得2≤x≤5(4)x2＋1.解：由x2＋1≥0，得x为任意实数8．(8分)当x取何值时，下列式子在实数范围内有意义？(1)－x；解：由－x≥0，得x≤0(2)5－2x；解：由5－2x≥0，得x≤52(3)x－2－5－x；解：由x－2≥0且5－x≥0，得2≤x≤5(4)x2＋1.解：由x2＋1≥0，得x为任意实数二次根式有意义的条件和非负性二次根式的定义在有意义条件下求字母的取值范围抓住被开方数必须为非负数，从而建立不等式或不等式组求出其解集二次根式的双重非负性二次根式中,a≥0且≥0aa形如的式子叫做二次根式(0)aa归纳新知aa(0)aa1．在下列所有式子中，一定是二次根式的个数有(B)a，x2＋3，77，－62，（－9）2，32m2.A．2个B．3个C．4个D．5个2．(黄石中考)若式子x－1x－2在实数范围内有意义，则x的取值范围是(A)A．x≥1且x≠2B．x≤1C．x＞1且x≠2D．x＜1课后练习1．在下列所有式子中，一定是二次根式的个数有(B)a，x2＋3，77，－62，（－9）2，32m2.A．2个B．3个C．4个D．5个2．(黄石中考)若式子x－1x－2在实数范围内有意义，则x的取值范围是(A)A．x≥1且x≠2B．x≤1C．x＞1且x≠2D．x＜13．使式子－（m＋1）2有意义的实数m(B)A．不存在B．只有一个C．只有两个D．有无数个3．使式子－（m＋1）2有意义的实数m(B)A．不存在B．只有一个C．只有两个D．有无数个4．若整数x满足x≤3，则使7－x为整数的x的值是__3或－2__．5．已知y＝1＋1－2x＋2x－1，则2x＋3y的值为__4__．4．若整数x满足x≤3，则使7－x为整数的x的值是__3或－2__．5．已知y＝1＋1－2x＋2x－1，则2x＋3y的值为__4__．6．当x为何值时，下列各式在实数范围内有意义？(1)32x－1；解：(1)x＞12(2)21－x；解：(2)x≥0且x≠16．当x为何值时，下列各式在实数范围内有意义？(1)32x－1；解：(1)x＞12(2)21－x；解：(2)x≥0且x≠1(3)1－x；解：(3)－1≤x≤1(4)－（x－1）2.解：(4)x＝1(3)1－x；解：(3)－1≤x≤1(4)－（x－1）2.解：(4)x＝17．有一个长、宽之比为52∶的长方形过道，其面积为10m2.(1)求这个长方形过道的长和宽；(2)用40块大小相同的正方形地板砖刚好把这个过道铺满，求这种地板砖的边长．解：(1)设这个长方形的长为5xm，则宽为2xm．由题意得5x×2x＝10，解得x＝1；所以长发形的长为5m，宽为2m8．已知a，b分别为等腰三角形的两条边长，且a，b满足b＝4＋3a－6＋32－a，求此三角形的周长．解：∵3a－6≥0，2－a≥0，∴a＝2，b＝4.当边长为4，2，2时，不符合实际情况，舍去；当边长为4，4，2时，符合实际情况，4×2＋2＝10.故此三角形的周长为108．已知a，b分别为等腰三角形的两条边长，且a，b满足b＝4＋3a－6＋32－a，求此三角形的周长．解：∵3a－6≥0，2－a≥0，∴a＝2，b＝4.当边长为4，2，2时，不符合实际情况，舍去；当边长为4，4，2时，符合实际情况，4×2＋2＝10.故此三角形的周长为10再见