17-小结与复习

小结与复习第十七章勾股定理八年级数学下（RJ）教学课件要点梳理考点讲练课堂小结课后作业要点梳理1.如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.在直角三角形中才可以运用2.勾股定理的应用条件一、勾股定理3.勾股定理表达式的常见变形：a2＝c2－b2,b2＝c2－a2，222222,,cabacbbcaABCcab二、勾股定理的逆定理1.勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数.2.勾股数3.原命题与逆命题如果两个命题的题设、结论正好相反，那么把其中一个叫做原命题，另一个叫做它的逆命题.ABCcab例1在△ABC中，已知BD是高，∠B＝90°∠，A∠、B∠、C的对边分别是a、b、c，且a＝3，b＝4，求BD的长．【解析】这是在三角形中已知两边长求高的问题，可用勾股定理先求出第三边再求解．解：∵∠B＝90°，∴b是斜边，则在Rt△ABC中，由勾股定理，得又∵SABC△＝b•BD＝ac，2222437,cba6737.84acBDb1212考点讲练考点一勾股定理及其应用ACB43D在直角三角形中，已知两边的长求斜边上的高时，先用勾股定理求出第三边，然后用面积求斜边上的高较为简便．在用勾股定理时，一定要清楚直角所对的边才是斜边，如在本例中不要受勾股数3，4，5的干扰．方法总结1．已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（）A.25B.14C.7D.7或25针对训练D例2如图所示，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C1处，问怎样走路线最短？最短路线长为多少？【解析】蚂蚁由A点沿长方体的表面爬行到C1点，有三种方式：①沿ABB1A1和A1B1C1D1面；②沿ABB1A1和BCC1B1面；③沿AA1D1D和A1B1C1D1面，把三种方式分别展成平面图形如下：解：①在Rt△ABC1中，AC21＝AB2＋BC21＝42＋32＝52，∴AC1＝25.②在Rt△ACC1中，AC21＝AC2＋CC21＝62＋12＝37，∴AC1＝37.③在Rt△AB1C1中，AC21＝AB21＋B1C21＝52＋22＝29，∴AC1＝29.∵25＜29＜37，∴沿图①的方式爬行路线最短，最短路线长是5.用勾股定理解决立体图形的问题，常以长方体、正方体、圆柱、圆锥为背景，做题思路是“展曲为平”——把立体图形转化为平面图形，即将原图形的侧面展开转化为平面图形问题，再运用“平面上的两点之间线段最短”求解．要注意的是需要认真审题，确定出最短路线，有时容易忽视多种展开情况．方法总结针对训练2.如图，已知长方体的长宽高分别为4、2、1，一只蚂蚁沿长方体的表面，从点A爬到点B，最短路程为（）DA.B.C.D.5293721例3已如图，一架云梯25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，如果梯子的顶端下滑4米，那么梯子的底部在水平方向上滑动了（）【解析】由题意知AB=DE=25米，BC=7米，AD=4米，∵在直角△ABC中，AC为直角边，∴AC==24米，已知AD=4米，则CD=24-4=20（米），∵在直角△CDE中，CE为直角边，∴CE==15（米），BE=15-7=8（米）．故选C．A．4米B．6米C．8米D．10米22ABBC22DECDC针对训练3.如图，某住宅社区在相邻两楼之间修建一个上方是一个半圆，下方是长方形的仿古通道，现有一辆卡车装满家具后，高4米，宽2.8米，请问这辆送家具的卡车能否通过这个通道？在RtABO△中，由题意知OA＝2米，DC＝OB＝1.4米，所以AB2＝22－1.42＝2.04.因为4－2.6＝1.4，1.42＝1.96，2.04＞1.96，所以卡车可以通过．答：卡车可以通过，但要小心．解：如图，过半圆直径的中点O，作直径的垂线交下底边于点D，取点C，使CD＝1.4米，过C作OD的平行线交半圆直径于B点，交半圆于A点.例4已知在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，a＝n2－1，b＝2n，c＝n2＋1(n＞1)，判断△ABC是否为直角三角形．【解析】要证∠C＝90°，只要证△ABC是直角三角形，并且c边最大．根据勾股定理的逆定理只要证明a2＋b2＝c2即可．考点二勾股定理的逆定理及其应用解：由于a2＋b2＝(n2－1)2＋(2n)2＝n4＋2n2＋1，c2＝(n2＋1)2＝n4＋2n2＋1，从而a2＋b2＝c2，故可以判定△ABC是运用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形的一般步骤：①先判断哪条边最大；②分别用代数方法计算出a2＋b2和c2的值(c边最大)；③判断a2＋b2和c2是否相等，若相等，则是直角三角形；若不相等，则不是直角三角形．方法总结列各组数中，是勾股数的为（）1，2，3B．4，5，6C．3，4，5D．7，8，5.已知下列图形中的三角形的顶点都在正方形的格点上，可以判定三角形是直角三角形的有________．针对训练(2)(4)C例5B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60°方向以每小时8nmile的速度前进，乙船沿南偏东某个角度以每小时15nmile的速度前进，2h后，甲船到M岛，乙船到P岛，两岛相距34nmile，你知道乙船是沿哪个方向航行的吗？解：甲船航行的距离为BM=16（nmile）,乙船航行的距离为BP=30（nmile）．∵162+302=1156，342=1156,∴BM2+BP2=MP2,∴△MBP为直角三角形，∴∠MBP=90°,∴乙船是沿着南偏东30°方向航行的．6.如图，有一块地，已知，AD=4m，CD=3m，∠ADC=90°，AB=13m，BC=12m.则这块地的面积为.ABC341312D针对训练解析：连接AC.由AD=4m，CD=3m，∠ADC=90°，可得AC=5m.再由AB=13m，BC=12m，可知△ABC是直角三角形.于是这块地的面积为(12×5-3×4)÷2=24(cm2)24cm2考点三勾股定理与折叠问题例6已知如图，将长方形的一边BC沿CE折叠，使得点B落在AD边的点F处，已知AB=8，BC=10,求BE的长.问题：1.由AB=8，BC=10，你可以知道哪些线段长？2.在Rt△DFC中，你可以求出DF的长吗？3.由DF的长，你还可以求出哪条线段长？4.设BE=x，你可以用含有x的式子表示出哪些线段长？解:由折叠可知FC=BC=10，BE=FE.在长方形ABCD中，DC=AB=8，AD=BC=10，∠D=90°.∴DF=6，AF=4.设BE=FE=x，则AE=8-x.在Rt△AFE中，由勾股定理得∴，解得x=5.∴BE的长为5.2224(8)xx方法总结勾股定理可以直接解决直角三角形中已知两边求第三边的问题；如果只知一边和另两边的关系时，也可用勾股定理求出未知边，这时往往要列出方程求解．针对训练7.如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕是DE，则CD的长为．1.75cm课堂小结勾股定理直角三角形边长的数量关系勾股定理的逆定理直角三角形的判定互逆定理