高等数学：高斯公式---通量与散度

第六节Green公式Gauss公式推广一、高斯公式二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件三、通量与散度机动目录上页下页返回结束高斯公式通量与散度第十章一、高斯(Gauss)公式定理1.设空间闭区域由分片光滑的闭曲上有连续的一阶偏导数,yxRxzQzyPddddddzyxzRdddyxRdd下面先证:函数P,Q,R在面所围成,的方向取外侧,则有(Gauss公式)高斯目录上页下页返回结束231zyxyxD),,(yxRyxyxRdd),,(,),(:11yxzz证明:设,321zzRyxzyxzd),(),(21yxD),(2yxz),(1yxzyxRddyxD2zyxzRdddyxdd13yxRdd为XY型区域,),,(:22yxzz则yxyxRdd),,(yxDyxD),(2yxzyxyxRdd),,(),(1yxz定理1目录上页下页返回结束所以zyxzRdddyxRdd若不是XY–型区域,则可引进辅助面将其分割成若干个XY–型区域,故上式仍成立.正反两侧面积分正负抵消,在辅助面类似可证zyxyQdddyxRxzQzyPddddddzyxzRyQxPdddxzQddzyxxPdddzyPdd三式相加,即得所证Gauss公式：定理1目录上页下页返回结束使用Guass公式时应注意:1.RQP,,是对什么变量求偏导数;2.是否满足高斯公式的条件;3.Σ是取闭曲面的外侧.Gauss公式的实质表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系..)coscoscos()(dSRQPdvzRyQxP由两类曲面积分之间的关系知高斯公式的另一种形式：例1.用Gauss公式计算其中为柱面闭域的整个边界曲面的外侧.解:这里利用Gauss公式,得原式=zyxzyddd)(zrrzrddd)sin((用柱坐标)zzrrrd)sin(dd30102029x3oz1y,)(xzyP,0QyxR及平面z=0,z=3所围空间思考:若改为内侧,结果有何变化?若为圆柱侧面(取外侧),如何计算?机动目录上页下页返回结束例2.利用Gauss公式计算积分其中为锥面222zyxhozyx解:作辅助面,:1hz,:),(222hyxDyxyx取上侧1(I1Szyxd)coscoscos)(2220,21上在介于z=0及z=h之间部分的下侧.1,记h1所围区域为,则zyxzyxddd)(2yxhyxDdd2机动目录上页下页返回结束zyxzyxIddd)(2利用重心公式,注意0yxzyxzddd24hyxhyxDdd2421hhz022zzd4hhozyxh1机动目录上页下页返回结束例3..dddddd)(2223yxzxxzyzxzyxzxI设为曲面21,222zyxz取上侧,求解:作取下侧的辅助面1:1z1:),(22yxDyxyxI11zyxdddyxxdd)(2xyD)1(20d10dr202dcos12131zoxy211用柱坐标用极坐标机动目录上页下页返回结束coscoscoszvyvxv在闭区域上具有一阶和二阶连续偏导数,证明格林(Green)第一公式Sd例4.设函数uzyxddduzyxdddxuyuyvzuzv其中是整个边界面的外侧.uPxvuQyvuRzv分析:zyxzRyQxPdddyxRxzQzyPddddddxv高斯公式222222zvyvxv机动目录上页下页返回结束证:令uP,xvuQ,yvuR,zv由高斯公式得222222zvyvxvcoscoscoszvyvxvuSd移项即得所证公式.(见P171)yvzvxv机动目录上页下页返回结束二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件1.连通区域的类型设有空间区域G,•若G内任一闭曲面所围成的区域全属于G,则称G为空间二维单连通域;•若G内任一闭曲线总可以张一片全属于G的曲面,则称G为空间一维单连通域.例如,球面所围区域环面所围区域立方体中挖去一个小球所成的区域不是二维单连通区域.既是一维也是二维单连通区域;是二维但不是一维单连通区域;是一维但机动目录上页下页返回结束2.闭曲面积分为零的充要条件定理2.),,(),,,(),,,(zyxRzyxQzyxP设在空间二维单连通域G内具有连续一阶偏导数,为G内任一闭曲面,则0ddddddyxRxzQzyPGzyxzRyQxP),,(,0①证:“充分性”.根据高斯公式可知②是①的充分条件.的充要条件是:②“必要性”.用反证法.使假设存在,0GM00MzRyQxP已知①成立,机动目录上页下页返回结束因P,Q,R在G内具有连续一阶偏导数,则存在邻域,)(0GM,)(0上使在M0zRyQxP的边界为设)(0M则由高斯公式得yxRxzQzyPddddddzyxzRyQxPMddd)(00与①矛盾,故假设不真.因此条件②是必要的.取外侧,机动目录上页下页返回结束三、通量与散度引例.设稳定流动的不可压缩流体的密度为1,速度场为kzyxRjzyxQizyxPzyxv),,(),,(),,(),,(理意义可知,设为场中任一有向曲面,yxRxzQzyPdddddd单位时间通过曲面的流量为则由对坐标的曲面积分的物由两类曲面积分的关系,流量还可表示为SRQPdcoscoscosSnvd机动目录上页下页返回结束若为方向向外的闭曲面,yxRxzQzyPdddddd当>0时,说明流入的流体质量少于当<0时,说明流入的流体质量多于流出的,则单位时间通过的流量为当=0时,说明流入与流出的流体质量相等.n流出的,表明内有泉;表明内有洞;根据高斯公式,流量也可表为n机动目录上页下页返回结束③方向向外的任一闭曲面,记所围域为,设是包含点M且为了揭示场内任意点M处的特性,在③式两边同除以的体积V,并令以任意方式缩小至点M则有VMlimMzRyQxP此式反应了流速场在点M的特点:其值为正,负或0,分别反映在该点有流体涌出,吸入,或没有任何变化.机动目录上页下页返回结束定义:设有向量场kzyxRjzyxQizyxPzyxA),,(),,(),,(),,(其中P,Q,R具有连续一阶偏导数,是场内的一片有向则称曲面,其单位法向量n,SnAd为向量场A通过有向曲面的通量(流量).在场中点M(x,y,z)处称为向量场A在点M的散度.记作AdivzRyQxP机动目录上页下页返回结束0divA表明该点处有正源,0divA表明该点处有负源,0divA表明该点处无源,散度绝对值的大小反映了源的强度.0divA若向量场A处处有,则称A为无源场.例如,匀速场),,,(),,(为常数其中zyxzyxvvvvvvv0divv故它是无源场.P16目录上页下页返回结束说明:由引例可知,散度是通量对体积的变化率,且例5.置于原点,电量为q的点电荷产生的场强为rrqE3.divE求解:3ryy3rzz3522rxrq5223ryr5223rzr03rxx),,(3zyxrq)0(r计算结果与仅原点有点电荷的事实相符.)0(r机动目录上页下页返回结束qEdiv内容小结1.高斯公式及其应用公式:yxRxzQzyPddddddzyxzRyQxPddd应用:(1)计算曲面积分(非闭曲面时注意添加辅助面的技巧)(2)推出闭曲面积分为零的充要条件:0ddddddyxRxzQzyP0zRyQxP机动目录上页下页返回结束2.通量与散度设向量场P,Q,R,在域G内有一阶连续偏导数,则向量场通过有向曲面的通量为G内任意点处的散度为),,,(RQPASnAdzRyQxPAdiv机动目录上页下页返回结束一、利用高斯公式计算曲面积分:1、dxdyzdzdxydydzx333,其中为球面2222azyx外侧；2、zdxdyydzdxxdydz,其中是界于0z和3z之间的圆柱体922yx的整个表面的外侧；3、xzdydz,其中是上半球面222yxRz的上侧.练习题二、证明:由封闭曲面所包围的体积为dSzyxV)coscoscos(31,式中cos,cos,cos是曲面的外法线的方向余弦.三、求向量kxzjyxizxA22)2(,穿过曲面:为立方体ayax0,0,az0的全表面,流向外侧的通量.四、求向量场kxzjxyieAxy)cos()cos(2的散度.五、设),,(,),,(zyxvzyxu是两个定义在闭区域上的具有二阶连续偏导数的函数,nvnu,依次表示),,(,),,(zyxvzyxu沿的外法线方向的方向导数.证明:dSnuvnvudxdydzuvvu)()(其中是空间闭区域的整个边界曲面.(注222222zyx,称为拉普拉斯算子)练习题答案一、1、5512a；2、81；3、44R.三、)62(23aa.四、)sin(2)sin(2xzxzxyxyeAdivxy.思考与练习所围立体,判断下列演算是否正确?(1)yxrzxzryzyrxdddddd333333vRd324R(2)yxrzxzryzyrxdddddd333333vrzzryyrxxd33333331Ryxzxzyzyxdddddd33331Rvzyxd)(3222为机动目录上页下页返回结束