《平面向量基本定理》高一年级下册PPT课件.pptx

平面向量的基本定理及坐标表示第二章平面向量2.3.1平面向量基本定理栏目导航CONTENT自主预习学案01互动探究学案02课时作业学案03自主预习学案第二章平面向量01音乐是人们在休闲时候的一种选择，不管是通俗的流行歌曲、动感的摇滚音乐，还是高雅的古典音乐，它们都给了人们不同的享受、不一样的感觉．事实上，音乐有基本音符：DoReMiFaSoLaSi，所有的乐谱都是这几个音符的巧妙组合，音乐的奇妙就在于此．在多样的向量中，我们能否找到它的“基本音符”呢？音乐是人们在休闲时候的一种选择，不管是通俗的流行歌曲、动感的摇滚音乐，还是高雅的古典音乐，它们都给了人们不同的享受、不一样的感觉．事实上，音乐有基本音符：DoReMiFaSoLaSi，所有的乐谱都是这几个音符的巧妙组合，音乐的奇妙就在于此．在多样的向量中，我们能否找到它的“基本音符”呢？1．平面向量基本定理定理条件e1，e2是同一平面内的两个__________向量结论对于这一平面内的________向量a，____________一对实数λ1，λ2，使a＝______________________基底把__________的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组________不共线任意有且只有λ1e1＋λ2e2不共线基底定理条件e1，e2是同一平面内的两个__________向量结论对于这一平面内的________向量a，____________一对实数λ1，λ2，使a＝______________________基底把__________的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组________λ1e1＋λ2e2第二章平面向量[知识点拨](1)由平面向量基本定理可知，在平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量的和，且这样的分解是唯一的，同一个非零向量在不同的基底下的分解式是不同的，而零向量的分解式是唯一的，即0＝λ1e1＋λ2e2，且λ1＝λ2＝0.(2)对于固定的e1，e2(向量e1与e2不共线)而言，平面内任一确定的向量的分解是唯一的，但平面内的基底却不唯一，只要平面内的两个向量不共线，就可以作为基底，它有无数组．(3)这个定理可推广为：平面内任意三个不共线的向量中，任何一个向量都可表示为其余两个向量的线性组合且形式唯一．第二章平面向量∠AOB2．两向量的夹角与垂直定义已知两个非零向量a和b，作OA→＝a，OB→＝b，则____________叫做向量a与b的夹角图示特殊情况θ＝0°a与b________θ＝180°a与b________θ＝90°a与b________，记作__________同向反向垂直a⊥b2．两向量的夹角与垂直定义已知两个非零向量a和b，作OA→＝a，OB→＝b，则____________叫做向量a与b的夹角图示特殊情况θ＝0°a与b________θ＝180°a与b________θ＝90°a与b________，记作__________第二章平面向量[知识点拨](1)向量的夹角是针对非零向量定义的，零向量与任何向量都共线．(2)向量的夹角和直线的夹角范围是不同的，直线夹角的取值范围是[0°，90°]，而向量夹角的取值范围是[0°，180°]．(3)按照向量夹角的定义，只有两个向量的起点重合时，所对应的角才是两向量的夹角，如图，在△ABC中，∠BAC不是CA→与AB→的夹角，∠BAD才是CA→与AB→的夹角．[知识点拨](1)向量的夹角是针对非零向量定义的，零向量与任何向量都共线．(2)向量的夹角和直线的夹角范围是不同的，直线夹角的取值范围是[0°，90°]，而向量夹角的取值范围是[0°，180°]．(3)按照向量夹角的定义，只有两个向量的起点重合时，所对应的角才是两向量的夹角，如图，在△ABC中，∠BAC不是CA→与AB→的夹角，∠BAD才是CA→与AB→的夹角．1．判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内打“√”，错误的打“×”．(1)只有非零向量才能用平面内的一组基底e1，e2线性表示．()(2)同一向量用两组不同的基底表示时，表示方法是相同的．()(3)若ae1＋be2＝ce1＋de2(a，b，c，d∈R)，则必有a＝c，b＝d.()(4)若两个向量的夹角为θ，则当cosθ＝1时，两个向量共线．()(5)若向量a与b的夹角为60°，则向量－a与－b的夹角是60°.()×××√√第二章平面向量2．在正方形ABCD中，AC→与CD→的夹角等于()A．45°B．90°C．120°D．135°3．若a，b不共线，且λa＋μb＝0(λ，μ∈R)，则()A．a＝b，b＝0B．λ＝μ＝0C．λ＝0，b＝0D．a＝0，μ＝0DB2．在正方形ABCD中，AC→与CD→的夹角等于()A．45°B．90°C．120°D．135°3．若a，b不共线，且λa＋μb＝0(λ，μ∈R)，则()A．a＝b，b＝0B．λ＝μ＝0C．λ＝0，b＝0D．a＝0，μ＝0第二章平面向量4．设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，下列向量组：①AD→与AB→；②DA→与BC→；③CA→与DC→；④OD→与OB→，其中可作为表示这个平行四边形所在平面内所有向量的基底的是()A．①②B．①③C．①④D．③④B[解析]②中DA→与BC→和④中OD→与OB→为共线向量，不能作为基底．4．设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，下列向量组：①AD→与AB→；②DA→与BC→；③CA→与DC→；④OD→与OB→，其中可作为表示这个平行四边形所在平面内所有向量的基底的是()A．①②B．①③C．①④D．③④[解析]②中DA→与BC→和④中OD→与OB→为共线向量，不能作为基底．互动探究学案第二章平面向量02命题方向1对基底概念的理解⇨典例1如果e1、e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正．．确．的是()①a＝λe1＋μe2(λ、μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；②对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个；③若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则λ1λ2＝μ1μ2.④若实数λ、μ使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0.A．①②B．②③C．③④D．②B如果e1、e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正．．确．的是()①a＝λe1＋μe2(λ、μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；②对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个；③若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则λ1λ2＝μ1μ2.④若实数λ、μ使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0.A．①②B．②③C．③④D．②第二章平面向量[思路分析]应用平面向量基本定理解题时，要抓住基向量e1与e2不共线和平面内向量a用基底e1、e2表示的唯一性求解．[解析]由平面向量基本定理可知，①④是正确的．对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的．对于③，当λ1λ2＝0或μ1μ2＝0时不一定成立，应为λ1μ2－λ2μ1＝0.故选B．『规律总结』根据平面向量基底的定义知此类问题可转化为判断两个向量是否共线的问题．若不共线，则它们可作为一组基底；若共线，则它们不可能作为一组基底．第二章平面向量〔跟踪练习1〕设e1、e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e1与e1＋e2；②e1－2e2与e2－2e1；③e1－2e2与4e2－2e1；④e1＋e2与e1－e2.其中不能作为平面内所有向量的一组基底的是______.(写出所有满足条件的序号)③[解析]①设e1＋e2＝λe1，则λ＝1，1＝0，无解，∴e1＋e2与e1不共线，即e1与e1＋e2可作为一组基底；②设e1－2e2＝λ(e2－2e1)，则(1＋2λ)e1－(2＋λ)e2＝0，则1＋2λ＝0，2＋λ＝0，无解，∴e1－2e2与e2－2e1不共线，即e1－2e2与e2－2e1可作为一组基底；[解析]①设e1＋e2＝λe1，则λ＝1，1＝0，无解，∴e1＋e2与e1不共线，即e1与e1＋e2可作为一组基底；②设e1－2e2＝λ(e2－2e1)，则(1＋2λ)e1－(2＋λ)e2＝0，则1＋2λ＝0，2＋λ＝0，无解，∴e1－2e2与e2－2e1不共线，即e1－2e2与e2－2e1可作为一组基底；第二章平面向量③∵e1－2e2＝－12(4e2－2e1)，∴e1－2e2与4e2－2e1共线，即e1－2e2与4e2－2e1不可作为一组基底；④设e1＋e2＝λ(e1－e2)，则(1－λ)e1＋(1＋λ)e2＝0，∴1－λ＝0，1＋λ＝0，无解，∴e1＋e2与e1－e2不共线，即e1＋e2与e1－e2可作为一组基底．③∵e1－2e2＝－12(4e2－2e1)，∴e1－2e2与4e2－2e1共线，即e1－2e2与4e2－2e1不可作为一组基底；④设e1＋e2＝λ(e1－e2)，则(1－λ)e1＋(1＋λ)e2＝0，∴1－λ＝0，1＋λ＝0，无解，∴e1＋e2与e1－e2不共线，即e1＋e2与e1－e2可作为一组基底．第二章平面向量命题方向2求两向量的夹角⇨典例2在△ABC中，AB＝3，BC＝1，AC＝2，D是AC的中点．求：(1)AD→与BD→的夹角大小；(2)DC→与BD→的夹角大小．[思路分析]由勾股定理可知题中三角形为直角三角形，然后结合直角三角形相关知识和向量夹角知识解答本题．在△ABC中，AB＝3，BC＝1，AC＝2，D是AC的中点．求：(1)AD→与BD→的夹角大小；(2)DC→与BD→的夹角大小．[思路分析]由勾股定理可知题中三角形为直角三角形，然后结合直角三角形相关知识和向量夹角知识解答本题．第二章平面向量[解析](1)如图所示，在△ABC中，AB＝3，BC＝1，AC＝2，∴AB2＋BC2＝(3)2＋12＝22＝AC2，∴△ABC为直角三角形．∵tanA＝BCAB＝13＝33，∴A＝30°.∵D为AC的中点，∴∠ABD＝∠A＝30°，AD→＝DC→.[解析](1)如图所示，在△ABC中，AB＝3，BC＝1，AC＝2，∴AB2＋BC2＝(3)2＋12＝22＝AC2，∴△ABC为直角三角形．∵tanA＝BCAB＝13＝33，∴A＝30°.∵D为AC的中点，∴∠ABD＝∠A＝30°，AD→＝DC→.第二章平面向量『规律总结』求两向量夹角时，一定要让两向量共起点，否则会出现错误．在△ABD中，∠BDA＝180°－∠A－∠ABD＝180°－30°－30°＝120°.∴AD→与BD→的夹角为120°.(2)∵AD→＝DC→，∴DC→与BD→的夹角也为120°.在△ABD中，∠BDA＝180°－∠A－∠ABD＝180°－30°－30°＝120°.∴AD→与BD→的夹角为120°.(2)∵AD→＝DC→，∴DC→与BD→的夹角也为120°.第二章平面向量〔跟踪练习2〕如图，已知△ABC是等边三角形．(1)求向量AB→与向量BC→的夹角；(2)若E为BC的中点，求向量AE→与EC→的夹角．〔跟踪练习2〕如图，已知△ABC是等边三角形．(1)求向量AB→与向量BC→的夹角；(2)若E为BC的中点，求向量AE→与EC→的夹角．第二章平面向量[解析](1)∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝60°.如下图，延长AB至点D，使AB＝BD，则AB→＝BD→，∴∠DBC为向量AB→与BC→的夹角．∵∠DBC＝120°，∴向量AB→与BC→的夹角为120°.(2)∵E为BC的中点，∴AE⊥BC，∴AE→与EC→的夹角为90°.[解析](1)∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝60°.如下图，延长AB至点D，使AB＝BD，则AB→＝BD→，∴∠DBC为向量AB→与BC→的夹角．∵∠DBC＝120°，∴向量AB→与BC→的夹角为120°.(2)∵E为BC的中点，∴AE⊥BC，∴AE→与EC→的夹角为90°.用基底表示平面内任意向量的关键是，在进行运算时，一定要把所要表示的向量放在某一个三角形或平行四边形中，通过向量的加法或数乘运算将所求向量用基底表示出来．用基底表示平面向量典例3已知在梯形ABCD中，AB∥DC，且AB＝2CD，E、F分别是DC，AB的中点，设AD→＝a，AB→＝b，试以a、b为基底表示DC→、BC→、EF→.[思路分析]把要表示的向量放在三角形或平行四边形中，运用向量的加、减法及数乘向量求解．已知在梯形ABCD中，AB∥DC，且AB＝2CD，E、F分别是DC，AB的中点，设AD→＝a，AB→＝b，试以a、b为基底表示DC→、BC→、EF→.[思路分析]把要表示的向量放在三角形或平行四边形中，运用向量的加、减法及数乘向量求解．第二章平面向量[解析]如图，连接FD，∵DC∥AB，AB＝2CD，E，F分别是DC，AB的中点，∴DCFB，∴四边形DCBF为平行四边形．∴DC→＝FB→＝12AB→＝12b，BC→＝FD→＝AD→－AF→＝AD→－12AB→＝a－12b，EF→＝DF→－DE→＝－FD→－DE→＝－BC→－12DC→＝－(a－12b)－12×12b＝14b－a.[解析]如图，连接FD，∵DC∥AB，AB＝2CD，E，F分别是DC，AB的中点，∴DCFB，∴四边形DCBF为平行四边形．∴DC→＝FB→＝12AB→＝12b，BC→＝FD→＝AD→－AF→＝AD→－12AB→＝a－12b，EF→＝DF→－DE→＝－FD→－DE→＝－BC→－12DC→＝－(a－12b)－12×12b＝14b－a.第二章平面向量〔跟踪练习3〕如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，OP→＝xOA→＋yOB→，且BP→＝2PA→，则()A．x＝23，y＝13B．x＝13，y＝23C．x＝14，y＝34D．x＝34，y＝14A[解析]OP→＝OA→＋AP→＝OA→＋13AB→＝OA→＋13(OB→－OA→)＝23OA→＋13OB．∴x＝23，y＝13.〔跟踪练习3〕如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，OP→＝xOA→＋yOB→，且BP→＝2PA→，则()A．x＝23，y＝13B．x＝13，y＝23C．x＝14，y＝34D．x＝34，y＝14[解析]OP→＝OA→＋AP→＝OA→＋13AB→＝OA→＋13(OB→－OA→)＝23OA→＋13OB．∴x＝23，y＝13.已知e1≠0，λ∈R，a＝e1＋λe2，b＝2e1，则a与b共线的条件为()A．λ＝0B．e2＝0C．e1∥e2D．e1∥e2或λ＝0[错解]A[错因分析]在应用平面向量基本定理时，要注意a＝λ1e1＋λ2e2中，e1，e2不共线这个条件．若没有指明，则应对e1，e2共线的情况加以考虑．忽略两个向量作为基底的条件典例4第二章平面向量[思路分析]当e1∥e2时，a∥e1，又因为b＝2e1，所以b∥e1.又e1≠0，故a与b共线；当λ＝0时，则a∥e1.又因为b＝2e1，所以b∥e1.又因为e1≠0，故a与b共线．[正解]D[误区警示]当条件不明确时要分类讨论．第二章平面向量〔跟踪练习4〕已知向量e1、e2不共线，实数x、y满足(3x－4y)e1＋(2x－3y)e2＝6e1＋3e2，则x－y等于______.3[解析]∵e1，e2不共线，∴3x－4y＝62x－3y＝3解得x＝6y＝3，∴x－y＝3.[解析]∵e1，e2不共线，∴3x－4y＝62x－3y＝3解得x＝6y＝3，∴x－y＝3.1．向量的夹角θ的范围是()A．0°≤θ<180°B．0°≤θ≤180°C．0°<θ<180°D．0°<θ≤180°B第二章平面向量2．设e1、e2是同一平面内的两个向量，则有()A．e1、e2一定平行B．e1、e2的模相等C．同一平面内的任一向量a，都有a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R)D．若e1、e2不共线，则同一平面内的任一向量a，都有a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R)[解析]由平面向量基本定理可知，选项D正确．对于任意向量e1，e2，选项A、B不正确，而只有当e1与e2为不共线向量时，选项C不正确．D第二章平面向量3．AD与BE分别为△ABC的边BC，AC上的中线，且AD→＝a，BE→＝b，则BC→等于()A．43a＋23bB．23a＋43bC．23a－23bD．－23a＋23bB[解析]BC→＝BE→＋EC→＝BE→＋AE→＝BE→＋23AD→＋13BE→＝23a＋43b.3．AD与BE分别为△ABC的边BC，AC上的中线，且AD→＝a，BE→＝b，则BC→等于()A．43a＋23bB．23a＋43bC．23a－23bD．－23a＋23b[解析]BC→＝BE→＋EC→＝BE→＋AE→＝BE→＋23AD→＋13BE→＝23a＋43b.第二章平面向量4．在锐角△ABC中，关于向量夹角的说法，正确的是()A．AB→与BC→的夹角是锐角B．AC→与AB→的夹角是锐角C．AC→与BC→的夹角是钝角D．AC→与CB→的夹角是锐角B[解析]由向量夹角的定义可知，AB→与AC→的夹角为∠A，为锐角．4．在锐角△ABC中，关于向量夹角的说法，正确的是()A．AB→与BC→的夹角是锐角B．AC→与AB→的夹角是锐角C．AC→与BC→的夹角是钝角D．AC→与CB→的夹角是锐角[解析]由向量夹角的定义可知，AB→与AC→的夹角为∠A，为锐角．第二章平面向量5．在□ABCD中，设AC→＝a，BD→＝b，试用基底{a、b}表示AB→、BC→.[解析]如图，设AC、BD相交于点O，则有AO→＝OC→＝12a，BO→＝12BD→＝12b，∴AB→＝AO→＋OB→＝AO→－BO→＝12a－12b，BC→＝BO→＋OC→＝12a＋12b.5．在□ABCD中，设AC→＝a，BD→＝b，试用基底{a、b}表示AB→、BC→.[解析]如图，设AC、BD相交于点O，则有AO→＝OC→＝12a，BO→＝12BD→＝12b，∴AB→＝AO→＋OB→＝AO→－BO→＝12a－12b，BC→＝BO→＋OC→＝12a＋12b.感谢您下载68素材平台上提供的PPT作品，为了您和68素材以及原创作者的利益，请勿复制、传播、销售；素材均来源于网络用户分享，故68素材不具备充分的监控能力来审查图片是否存在侵权等情节。68素材不拥有此类图片的版权，本站所有资源仅供学习与交流，不得用于任何商业用途的范围，用户应自觉遵守著作权法及其他相关法律的规定，不得侵犯本网站及权利人的合法权利，给68素材和任何第三方造成损失的，侵权用户应负全部责任。版权声明课时作业学案第二章平面向量03谢谢观看新课标导学数学必修④·人教A版