《正弦函数余弦函数的性质》高一年级下册PPT课件（第2课时）.pptx

1.4.2正弦函数、余弦函数的性质第2课时正弦、余弦函数的性质(二)1.4三角函数的图象与性质CONTENTS自主预习学案互动探究学案课时作业学案010203栏目导航自主预习学案第一章三角函数01生活中许多美的事物都有对称性，如漂亮的蝴蝶，它停飞展翅就是一幅异常美丽的对称图案.数学中的对称美也比比皆是，如圆、等腰三角形、正方形、球、圆柱、正方体等等.正弦函数、余弦函数的图象也很美，它们有怎样的对称性？除此之外还有哪些性质呢？1．正弦函数的图象与性质正弦函数的图象与性质如下表所示：解析式y＝sinx图象定义域______R解析式y＝sinx图象定义域______第一章三角函数当x＝_______________时，y取最大值1值域___________当x＝_______________时，y取最小值1最小正周期________奇偶性______函数单调性在_______________________________上是增函数；在_______________________________上是减函数(k∈Z)[－1，1]2kπ＋π2(k∈Z)2kπ－π2(k∈Z)2π奇2kπ－π2，2kπ＋π22kπ＋π2，2kπ＋3π2当x＝_______________时，y取最大值1值域___________当x＝_______________时，y取最小值1最小正周期________奇偶性______函数单调性在_______________________________上是增函数；在_______________________________上是减函数(k∈Z)2kπ＋π2(k∈Z)2kπ－π2(k∈Z)2kπ－π2，2kπ＋π22kπ＋π2，2kπ＋3π2第一章三角函数[拓展]正弦曲线是中心对称图形，其所有的对称中心坐标为(kπ，0)(k∈Z)，即正弦曲线与x轴的所有交点；正弦曲线也是轴对称图形，其所有的对称轴方程是x＝kπ＋π2(k∈Z)，所有对称轴垂直于x轴，且与正弦曲线交点的纵坐标是正弦函数的最大(小)值．[拓展]正弦曲线是中心对称图形，其所有的对称中心坐标为(kπ，0)(k∈Z)，即正弦曲线与x轴的所有交点；正弦曲线也是轴对称图形，其所有的对称轴方程是x＝kπ＋π2(k∈Z)，所有对称轴垂直于x轴，且与正弦曲线交点的纵坐标是正弦函数的最大(小)值．第一章三角函数2．余弦函数的图象与性质余弦函数的图象与性质如下表所示：解析式y＝cosx图象定义域________R解析式y＝cosx图象定义域________第一章三角函数值域__________当x＝____________________时，y取最大值1当x＝________________________时，y取最小值1最小正周期________奇偶性______函数单调性在________________________________上是增函数；在______________________________上是减函数(k∈Z)[－1，1]2kπ(kZ)∈2kπ＋π(kZ)∈2π偶[(2kπ－1)π，2kπ][2kπ，(2k＋1)π]值域__________当x＝____________________时，y取最大值1当x＝________________________时，y取最小值1最小正周期________奇偶性______函数单调性在________________________________上是增函数；在______________________________上是减函数(k∈Z)第一章三角函数[拓展]余弦曲线是中心对称图形，其所有的对称中心坐标是(kπ＋π2，0)(k∈Z)，即余弦曲线与x轴的所有交点；余弦曲线也是轴对称图形，其所有的对称轴方程是x＝kπ(k∈Z)，所有对称轴垂直于x轴，且与余弦曲线交点的纵坐标是余弦函数的最大(小)值．[拓展]余弦曲线是中心对称图形，其所有的对称中心坐标是(kπ＋π2，0)(k∈Z)，即余弦曲线与x轴的所有交点；余弦曲线也是轴对称图形，其所有的对称轴方程是x＝kπ(k∈Z)，所有对称轴垂直于x轴，且与余弦曲线交点的纵坐标是余弦函数的最大(小)值．第一章三角函数[知识点拨]1.对正弦函数、余弦函数单调性的两点说明(1)正弦函数、余弦函数在定义域R上均不是单调函数，但存在单调区间．(2)由正弦函数、余弦函数的最小正周期为2π，所以任给一个正弦函数、余弦函数的单调区间，加上2kπ，(k∈Z)后，仍是单调区间，且单调性相同．2．对正弦函数、余弦函数最值的三点说明(1)明确正、余弦函数的有界性，即sinx≤1，cosx≤1.(2)函数y＝sinx，x∈D，(y＝cosx，x∈D)的最值不一定是1或－1，要依赖函数定义域D来决定．(3)形如y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数最值通常利用“整体代换”，即令ωx＋φ＝z，将函数转化为y＝Asinz的形式求最值．×1．判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内打“√”，错误的打“×”．(1)正弦函数在第一象限内是单调递增函数．()(2)函数y＝13cos2x的最大值是1.()×1．判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内打“√”，错误的打“×”．(1)正弦函数在第一象限内是单调递增函数．()(2)函数y＝13cos2x的最大值是1.()第一章三角函数√(3)函数y＝asinx在R上的最大值为a.()(4)余弦曲线的相邻两个对称中心之间的距离为π2.()(5)正弦曲线的相邻两条对称轴之间的距离为π.()(6)函数f(x)＝sin2x(x∈(π6，π4])的值域是(32，1]．()×√√(3)函数y＝asinx在R上的最大值为a.()(4)余弦曲线的相邻两个对称中心之间的距离为π2.()(5)正弦曲线的相邻两条对称轴之间的距离为π.()(6)函数f(x)＝sin2x(x∈(π6，π4])的值域是(32，1]．()第一章三角函数2．在下列区间中，使函数y＝sinx为增函数的是()A．[0，π]B．[π2，3π2]C．[－π2，π2]D．[π，2π]3．函数y＝2－sinx取得最大值时x的值为________________________.C[解析]∵y＝2－sinx，∴当sinx＝－1时，ymax＝3，此时x＝2kπ－π2(k∈Z)．4．函数y＝sinx(π6≤x≤4π3)的值域为________________.2kπ－π2(k∈Z)[－32，1]2．在下列区间中，使函数y＝sinx为增函数的是()A．[0，π]B．[π2，3π2]C．[－π2，π2]D．[π，2π]3．函数y＝2－sinx取得最大值时x的值为________________________.[解析]∵y＝2－sinx，∴当sinx＝－1时，ymax＝3，此时x＝2kπ－π2(k∈Z)．4．函数y＝sinx(π6≤x≤4π3)的值域为________________.2kπ－π2(k∈Z)[－32，1]互动探究学案第一章三角函数02求下列函数的单调递减区间：(1)y＝12cos(2x＋π3)；(2)y＝2sin(π4－x)．命题方向1三角函数的单调区间⇨典例1[思路分析](1)可采用整体换元法并结合正弦函数、余弦函数的单调区间求解；(2)可先将自变量x的系数转化为正数再求单调区间．求下列函数的单调递减区间：(1)y＝12cos(2x＋π3)；(2)y＝2sin(π4－x)．[思路分析](1)可采用整体换元法并结合正弦函数、余弦函数的单调区间求解；(2)可先将自变量x的系数转化为正数再求单调区间．第一章三角函数[解析](1)令z＝2x＋π3，而函数y＝cosz的单调递减区间是[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)．∴当原函数单调递减时，可得2kπ≤2x＋π3≤2kπ＋π(k∈Z)，解得kπ－π6≤x≤kπ＋π3(k∈Z)．∴原函数的单调递减区间是[2kπ－π6，kπ＋π3](k∈Z)．[解析](1)令z＝2x＋π3，而函数y＝cosz的单调递减区间是[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)．∴当原函数单调递减时，可得2kπ≤2x＋π3≤2kπ＋π(k∈Z)，解得kπ－π6≤x≤kπ＋π3(k∈Z)．∴原函数的单调递减区间是[2kπ－π6，kπ＋π3](k∈Z)．第一章三角函数(2)y＝2sin(π4－x)＝－sin(x－π4)．令z＝x－π4，则y＝－2sinz，求y＝－2sinz的单调递减区间，即求y＝sinz的单调递增区间．∴－π2＋2kπ≤z≤π2＋2kπ，k∈Z.即－π4＋2kπ≤x≤3π4＋2kπ，k∈Z.∴函数y＝2sin(π4－x)的单调递减区间是[－π4＋2kπ，3π4＋2kπ](k∈Z)．(2)y＝2sin(π4－x)＝－sin(x－π4)．令z＝x－π4，则y＝－2sinz，求y＝－2sinz的单调递减区间，即求y＝sinz的单调递增区间．∴－π2＋2kπ≤z≤π2＋2kπ，k∈Z.即－π4＋2kπ≤x≤3π4＋2kπ，k∈Z.∴函数y＝2sin(π4－x)的单调递减区间是[－π4＋2kπ，3π4＋2kπ](k∈Z)．第一章三角函数『规律总结』与正弦、余弦函数有关的单调区间的求解技巧：(1)结合正弦、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间．(2)确定函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)单调区间的方法：采用“换元”法整体代换，将ωx＋φ看作一个整体，可令“z＝ωx＋φ”，即通过求y＝Asinz的单调区间而求出函数的单调区间．若ω<0，则可利用诱导公式将x的系数转变为正数．第一章三角函数〔跟踪练习1〕求下列函数的单调区间：(1)函数y＝sin(x＋π4)的单调增区间；(2)函数y＝3sin(π3－2x)的单调减区间．〔跟踪练习1〕求下列函数的单调区间：(1)函数y＝sin(x＋π4)的单调增区间；(2)函数y＝3sin(π3－2x)的单调减区间．第一章三角函数[解析](1)∵函数y＝sinx在[－π2＋2kπ，π2＋2kπ](k∈Z)上是增函数，∴函数y＝sin(x＋π4)为增函数，当且仅当－π2＋2kπ≤x＋π4≤π2＋2kπ时，即－3π4＋2kπ≤x≤π4＋2kπ(k∈Z)．∴函数y＝sin(x＋π4)的单调增区间为：[－3π4＋2kπ，π4＋2kπ](k∈Z)．[解析](1)∵函数y＝sinx在[－π2＋2kπ，π2＋2kπ](k∈Z)上是增函数，∴函数y＝sin(x＋π4)为增函数，当且仅当－π2＋2kπ≤x＋π4≤π2＋2kπ时，即－3π4＋2kπ≤x≤π4＋2kπ(k∈Z)．∴函数y＝sin(x＋π4)的单调增区间为：[－3π4＋2kπ，π4＋2kπ](k∈Z)．第一章三角函数(2)令u＝π3－2x，则u是x的减函数．∵y＝sinu在[－π2＋2kπ，π2＋2kπ](k∈Z)上为增函数，∴原函数y＝3sin(π3－2x)在区间[－π2＋2kπ，π2＋2kπ](k∈Z)上递减，∴－π2＋2kπ≤π3－2x≤π2＋2kπ，即－π12＋kπ≤x≤5π12＋kπ(k∈Z)．∴原函数y＝3sin(π3－2x)的单调减区间为：[－π12＋kπ，5π12＋kπ](k∈Z)．(2)令u＝π3－2x，则u是x的减函数．∵y＝sinu在[－π2＋2kπ，π2＋2kπ](k∈Z)上为增函数，∴原函数y＝3sin(π3－2x)在区间[－π2＋2kπ，π2＋2kπ](k∈Z)上递减，∴－π2＋2kπ≤π3－2x≤π2＋2kπ，即－π12＋kπ≤x≤5π12＋kπ(k∈Z)．∴原函数y＝3sin(π3－2x)的单调减区间为：[－π12＋kπ，5π12＋kπ](k∈Z)．第一章三角函数命题方向2三角函数单调性的应用⇨典例2比较下列各组值的大小：(1)sin21π5与sin42π5；(2)sin15与cos5.[思路分析]比较三角函数值大小的一般思路是先判断三角函数值的正负，若同号，再利用诱导公式转化到同一单调区间内的同名函数值进行比较．比较下列各组值的大小：(1)sin21π5与sin42π5；(2)sin15与cos5.[思路分析]比较三角函数值大小的一般思路是先判断三角函数值的正负，若同号，再利用诱导公式转化到同一单调区间内的同名函数值进行比较．第一章三角函数[解析](1)sin215π＝sin(4π＋π5)＝sinπ5，sin425π＝sin(8π＋2π5)＝sin2π5.∵y＝sinx在[0，π2]上单增，又0<π5<2π5<π2，∴sinπ5cos(π2－15)，∴cos5>sin15.(2)∵cos5＝cos(2π－5)，sin15＝cos(π2－15)，∵y＝cosx在[0，π2]上递减，又∵0<2π－5<π2－15<π2，∴cos(2π－5)>cos(π2－15)，∴cos5>sin15.第一章三角函数『规律总结』比较三角函数值大小的步骤：(1)异名函数化为同名函数．(2)利用诱导公式把角化到同一单调区间上．(3)利用函数的单调性比较大小．第一章三角函数〔跟踪练习2〕比较下列各组数的大小：(1)sin194°与cos160°；(2)sinsin3π8与sincos3π8.〔跟踪练习2〕比较下列各组数的大小：(1)sin194°与cos160°；(2)sinsin3π8与sincos3π8.第一章三角函数[解析](1)sin194°＝sin(180°＋14°)＝－sin14°，cos160°＝cos(180°－20°)＝－cos20°＝－sin70°.∵0°<14°<70°<90°，∴sin14°－sin70°，即sin194°>cos160°.(2)∵cos3π8＝sinπ8，∴0－sin70°，即sin194°>cos160°.(2)∵cos3π8＝sinπ8，∴01，所以只需求u＝sin(x＋π3)的单调递增区间即可．于是－π2＋2kπ≤x＋π3≤π2＋2kπ，k∈Z，即－5π6＋2kπ≤x≤π6＋2kπ.所以函数y＝log2sin(x＋π3)的单调递增区间为－5π6＋2kπ，π6＋2kπ(k∈Z)．求函数y＝log2sin(x＋π3)的单调递增区间．[错解]因为2>1，所以只需求u＝sin(x＋π3)的单调递增区间即可．于是－π2＋2kπ≤x＋π3≤π2＋2kπ，k∈Z，即－5π6＋2kπ≤x≤π6＋2kπ.所以函数y＝log2sin(x＋π3)的单调递增区间为－5π6＋2kπ，π6＋2kπ(k∈Z)．第一章三角函数[错因分析]该解法错误的原因在于忘记考虑定义域，即未对sin(x＋π3)>0进行限制．[思路分析]先求出函数的定义域，单调区间是定义域的子集．[正解]由题意，得sin(x＋π3)>0，所以2kπ0进行限制．[思路分析]先求出函数的定义域，单调区间是定义域的子集．[正解]由题意，得sin(x＋π3)>0，所以2kπ1，所以求得u＝sin(x＋π3)的单调递增区间为－56π＋2kπ，π6＋2kπ(k∈Z)．所以函数y＝log2sin(x＋π3)的单调递增区间为－π3＋2kπ，π6＋2kπ(k∈Z)．[误区警示]解决与三角函数有关的复合函数问题时，定义域是首先要考虑的问题，要在定义域内思考问题．又因为2>1，所以求得u＝sin(x＋π3)的单调递增区间为－56π＋2kπ，π6＋2kπ(k∈Z)．所以函数y＝log2sin(x＋π3)的单调递增区间为－π3＋2kπ，π6＋2kπ(k∈Z)．[误区警示]解决与三角函数有关的复合函数问题时，定义域是首先要考虑的问题，要在定义域内思考问题．第一章三角函数〔跟踪练习5〕函数y＝1－2cosx的减区间为__________________________.[解析]由已知得1－2cosx≥0，∴cosx≤12，因此y＝1－2cosx的减区间即为y＝cosx的增区间且cosx≤12，所以所求区间为：[2kπ－π，2kπ－π3]k∈Z.[2kπ－π，2kπ－π3]k∈Z〔跟踪练习5〕函数y＝1－2cosx的减区间为__________________________.[解析]由已知得1－2cosx≥0，∴cosx≤12，因此y＝1－2cosx的减区间即为y＝cosx的增区间且cosx≤12，所以所求区间为：[2kπ－π，2kπ－π3]k∈Z.[2kπ－π，2kπ－π3]k∈Z1．函数f(x)＝sin(－x)的奇偶性是()A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数A第一章三角函数2．函数y＝sin2x的单调减区间是()A．π2＋2kπ，32π＋2kπ(k∈Z)B．kπ＋π4，kπ＋34π(k∈Z)C．π＋2kπ，3π＋2kπ(k∈Z)D．kπ－π4，kπ＋π4(k∈Z)B[解析]由2kπ＋π2≤2x≤2kπ＋3π2，k∈Z得kπ＋π4≤x≤kπ＋34π，∴y＝sin2x的单调减区间是[kπ＋π4，kπ＋3π4](k∈Z)．2．函数y＝sin2x的单调减区间是()A．π2＋2kπ，32π＋2kπ(k∈Z)B．kπ＋π4，kπ＋34π(k∈Z)C．π＋2kπ，3π＋2kπ(k∈Z)D．kπ－π4，kπ＋π4(k∈Z)[解析]由2kπ＋π2≤2x≤2kπ＋3π2，k∈Z得kπ＋π4≤x≤kπ＋34π，∴y＝sin2x的单调减区间是[kπ＋π4，kπ＋3π4](k∈Z)．第一章三角函数3．函数y＝2cosx－1的最大值、最小值分别是()A．2、－2B．1、－3C．1、－1D．2、－1B第一章三角函数B4．下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线x＝π3对称的函数是()A．y＝2sin(2x＋π3)B．y＝2sin(2x－π6)C．y＝2sin(x2＋π3)D．y＝2sin(2x－π3)[解析]根据函数的最小正周期为π，排除C，又图象关于x＝π3对称，则f(π3)＝2或f(π3)＝－2，代入检验得选B．4．下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线x＝π3对称的函数是()A．y＝2sin(2x＋π3)B．y＝2sin(2x－π6)C．y＝2sin(x2＋π3)D．y＝2sin(2x－π3)[解析]根据函数的最小正周期为π，排除C，又图象关于x＝π3对称，则f(π3)＝2或f(π3)＝－2，代入检验得选B．第一章三角函数5．函数y＝cos2x－4cosx＋5的值域为________________.[解析]令t＝cosx，由于x∈R，故－1≤t≤1.y＝t2－4t＋5＝(t－2)2＋1，当t＝－1时，即cosx＝－1时函数有最大值10；当t＝1，即cosx＝1时函数有最小值2.所以该函数的值域是[2,10]．[2,10]感谢您下载68素材平台上提供的PPT作品，为了您和68素材以及原创作者的利益，请勿复制、传播、销售；素材均来源于网络用户分享，故68素材不具备充分的监控能力来审查图片是否存在侵权等情节。68素材不拥有此类图片的版权，本站所有资源仅供学习与交流，不得用于任何商业用途的范围，用户应自觉遵守著作权法及其他相关法律的规定，不得侵犯本网站及权利人的合法权利，给68素材和任何第三方造成损失的，侵权用户应负全部责任。版权声明课时作业学案第一章三角函数03谢谢观看必修④·人教A版新课标导学