《等比数列》高二年级上册PPT课件（第2.4.2课时）.pptx

第二章数列主讲人：办公资源2.4.2等比数列等比数列的性质（第2课时）YOURLOGO学习目标LEARNINGOBJECTIVES011.掌握等比数列的性质及其应用(重点).2.熟练掌握等比数列与等差数列的综合应用(难点、易错点).3.能用递推公式求通项公式(难点)．目录CONTENS01学习目标LEARNINGOBJECTIVES学习目标LEARNINGOBJECTIVES1．推广的等比数列的通项公式{an}是等比数列，首项为a1，公比为q，则an＝，an＝(m，n∈N)．a1qn－1am·qn－m1．推广的等比数列的通项公式{an}是等比数列，首项为a1，公比为q，则an＝，an＝(m，n∈N)．学习目标LEARNINGOBJECTIVES2．“子数列”性质对于无穷等比数列{an}，若将其前k项去掉，剩余各项仍为，首项为，公比为；若取出所有的k的倍数项，组成的数列仍为，首项为，公比为.思考：如何推导an＝amqn－m?[提示]由anam＝a·qn－1a·qm－1＝qn－m，∴an＝am·qn－m.等比数列ak＋1q等比数列akqk2．“子数列”性质对于无穷等比数列{an}，若将其前k项去掉，剩余各项仍为，首项为，公比为；若取出所有的k的倍数项，组成的数列仍为，首项为，公比为.思考：如何推导an＝amqn－m?[提示]由anam＝a·qn－1a·qm－1＝qn－m，∴an＝am·qn－m.qk学习目标LEARNINGOBJECTIVES3．等比数列项的运算性质在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N)，则am·an＝.①特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N)时，am·an＝.②对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的，即a1·an＝a2·an－1＝…＝ak·an－k＋1＝….ap·aq积a2k3．等比数列项的运算性质在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N)，则am·an＝.①特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N)时，am·an＝.②对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的，即a1·an＝a2·an－1＝…＝ak·an－k＋1＝….a2k学习目标LEARNINGOBJECTIVES4．两等比数列合成数列的性质若数列{an}，{bn}均为等比数列，c为不等于0的常数，则数列{can}，{a2n}{an·bn}，anbn也为.等比数列4．两等比数列合成数列的性质若数列{an}，{bn}均为等比数列，c为不等于0的常数，则数列{can}，{a2n}{an·bn}，anbn也为.学习目标LEARNINGOBJECTIVES思考：等比数列{an}的前4项为1,2,4,8，下列判断正确的是(1){3an}是等比数列；(2){3＋an}是等比数列；(3)1an是等比数列；(4){a2n}是等比数列．[提示]由定义可判断出(1)，(3)，(4)正确．思考：等比数列{an}的前4项为1,2,4,8，下列判断正确的是(1){3an}是等比数列；(2){3＋an}是等比数列；(3)1an是等比数列；(4){a2n}是等比数列．[提示]由定义可判断出(1)，(3)，(4)正确．学习目标LEARNINGOBJECTIVES[基础自测]1．思考辨析(1)有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积．()(2)当q>1时，{an}为递增数列．()(3)当q＝1时，{an}为常数列．()[答案](1)√(2)×(3)√提示：(2)当a1>0且q>1时{an}为递增数列，故(2)错．[基础自测]1．思考辨析(1)有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积．()(2)当q>1时，{an}为递增数列．()(3)当q＝1时，{an}为常数列．()[答案](1)√(2)×(3)√提示：(2)当a1>0且q>1时{an}为递增数列，故(2)错．学习目标LEARNINGOBJECTIVES2．等比数列{an}中，a1＝3，q＝2，则a4＝________，an＝________.243×2n－1[a4＝a1q3＝3×23＝24，an＝a1qn－1＝3×2n－1.]3．在等比数列{an}中，a5＝4，a7＝6，则a9＝________.9[因为a7＝a5q2，所以q2＝32.所以a9＝a5q4＝a5(q2)2＝4×94＝9.]2．等比数列{an}中，a1＝3，q＝2，则a4＝________，an＝________.243×2n－1[a4＝a1q3＝3×23＝24，an＝a1qn－1＝3×2n－1.]3．在等比数列{an}中，a5＝4，a7＝6，则a9＝________.9[因为a7＝a5q2，所以q2＝32.所以a9＝a5q4＝a5(q2)2＝4×94＝9.]02合作探究COOPERATIVEINQUIRY合作探究COOPERATIVEINQUIRY灵活设项求解等比数列例1、已知4个数成等比数列，其乘积为1，第2项与第3项之和为－32，则此4个数为________．8，－2，12，－18或－18，12，－2,8[设此4个数为a，aq，aq2，aq3.则a4q6＝1，aq(1＋q)＝－32，①灵活设项求解等比数列例1、已知4个数成等比数列，其乘积为1，第2项与第3项之和为－32，则此4个数为________．8，－2，12，－18或－18，12，－2,8[设此4个数为a，aq，aq2，aq3.则a4q6＝1，aq(1＋q)＝－32，①合作探究COOPERATIVEINQUIRY所以a2q3＝±1，当a2q3＝1时，q>0，代入①式化简可得q2－14q＋1＝0，此方程无解；当a2q3＝－1时，q<0，代入①式化简可得q2＋174q＋1＝0，解得q＝－4或q＝－14.当q＝－4时，a＝－18；当q＝－14时，a＝8.所以这4个数为8，－2，12，－18或－18，12，－2,8.]所以a2q3＝±1，当a2q3＝1时，q>0，代入①式化简可得q2－14q＋1＝0，此方程无解；当a2q3＝－1时，q<0，代入①式化简可得q2＋174q＋1＝0，解得q＝－4或q＝－14.当q＝－4时，a＝－18；当q＝－14时，a＝8.所以这4个数为8，－2，12，－18或－18，12，－2,8.]合作探究COOPERATIVEINQUIRY[规律方法]巧设等差数列、等比数列的方法：(1)若三数成等差数列，常设成a－d，a，a＋d.若三数成等比数列，常设成aq，a，aq或a，aq，aq2.(2)若四个数成等比数列，可设为aq，a，aq，aq2.若四个正数成等比数列，可设为aq3，aq，aq，aq3.[规律方法]巧设等差数列、等比数列的方法：(1)若三数成等差数列，常设成a－d，a，a＋d.若三数成等比数列，常设成aq，a，aq或a，aq，aq2.(2)若四个数成等比数列，可设为aq，a，aq，aq2.若四个正数成等比数列，可设为aq3，aq，aq，aq3.合作探究COOPERATIVEINQUIRY[跟踪训练]1．有四个实数，前三个数依次成等比数列，它们的积是－8，后三个数依次成等差数列，它们的积为－80，求出这四个数.[解]由题意设此四个数为bq，b，bq，a，则有b3＝－8，2bq＝a＋b，ab2q＝－80，解得a＝10，b＝－2，q＝－2，或a＝－8，b＝－2，q＝52.所以这四个数为1，－2,4,10或－45，－2，－5，－8.[跟踪训练]1．有四个实数，前三个数依次成等比数列，它们的积是－8，后三个数依次成等差数列，它们的积为－80，求出这四个数.[解]由题意设此四个数为bq，b，bq，a，则有b3＝－8，2bq＝a＋b，ab2q＝－80，解得a＝10，b＝－2，q＝－2，或a＝－8，b＝－2，q＝52.所以这四个数为1，－2,4,10或－45，－2，－5，－8.合作探究COOPERATIVEINQUIRY等比数列的性质及应用例2、已知{an}为等比数列，(1)等比数列{an}满足a2a4＝12，求a1a23a5；(2)若an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5；(3)若an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值．思路探究：利用等比数列的性质，若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq求解．等比数列的性质及应用例2、已知{an}为等比数列，(1)等比数列{an}满足a2a4＝12，求a1a23a5；(2)若an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5；(3)若an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值．思路探究：利用等比数列的性质，若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq求解．合作探究COOPERATIVEINQUIRY[解](1)等比数列{an}中，因为a2a4＝12，所以a23＝a1a5＝a2a4＝12，所以a1a23a5＝14.(2)由等比中项，化简条件得a23＋2a3a5＋a25＝25，即(a3＋a5)2＝25，∵an>0，∴a3＋a5＝5.(3)由等比数列的性质知a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9，∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a10)＝log3[(a1a10)(a2a9)(a3a8)(a4a7)(a5a6)]＝log395＝10.[解](1)等比数列{an}中，因为a2a4＝12，所以a23＝a1a5＝a2a4＝12，所以a1a23a5＝14.(2)由等比中项，化简条件得a23＋2a3a5＋a25＝25，即(a3＋a5)2＝25，∵an>0，∴a3＋a5＝5.(3)由等比数列的性质知a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9，∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a10)＝log3[(a1a10)(a2a9)(a3a8)(a4a7)(a5a6)]＝log395＝10.合作探究COOPERATIVEINQUIRY[规律方法]有关等比数列的计算问题，基本方法是运用方程思想列出基本量a1和q的方程组，先解出a1和q，然后利用通项公式求解.但有时运算稍繁，而利用等比数列的性质解题，却简便快捷，为了发现性质，要充分发挥项的“下标”的指导作用.[规律方法]有关等比数列的计算问题，基本方法是运用方程思想列出基本量a1和q的方程组，先解出a1和q，然后利用通项公式求解.但有时运算稍繁，而利用等比数列的性质解题，却简便快捷，为了发现性质，要充分发挥项的“下标”的指导作用.合作探究COOPERATIVEINQUIRY[跟踪训练]2．(1)已知数列{an}为等比数列，a3＝3，a11＝27，求a7.(2)已知{an}为等比数列，a2·a8＝36，a3＋a7＝15，求公比q.[解](1)法一：a1q2＝3，a1q10＝27相除得q8＝9.所以q4＝3，所以a7＝a3·q4＝9.法二：因为a27＝a3a11＝81，所以a7＝±9，又a7＝a3q4＝3q4>0，所以a7＝9.(2)因为a2·a8＝36＝a3·a7，而a3＋a7＝15，所以a3＝3，a7＝12或a3＝12，a7＝3.所以q4＝a7a3＝4或14，所以q＝±2或q＝±22.[跟踪训练]2．(1)已知数列{an}为等比数列，a3＝3，a11＝27，求a7.(2)已知{an}为等比数列，a2·a8＝36，a3＋a7＝15，求公比q.[解](1)法一：a1q2＝3，a1q10＝27相除得q8＝9.所以q4＝3，所以a7＝a3·q4＝9.法二：因为a27＝a3a11＝81，所以a7＝±9，又a7＝a3q4＝3q4>0，所以a7＝9.(2)因为a2·a8＝36＝a3·a7，而a3＋a7＝15，所以a3＝3，a7＝12或a3＝12，a7＝3.所以q4＝a7a3＝4或14，所以q＝±2或q＝±22.合作探究COOPERATIVEINQUIRY由递推公式转化为等比数列求通项[探究问题]1．如果数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1，(n∈N)，你能判断出{an}是等差数列，还是等比数列吗？提示：由等差数列与等比数列的递推关系，可知数列{an}既不是等差数列，也不是等比数列．由递推公式转化为等比数列求通项[探究问题]1．如果数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1，(n∈N)，你能判断出{an}是等差数列，还是等比数列吗？提示：由等差数列与等比数列的递推关系，可知数列{an}既不是等差数列，也不是等比数列．合作探究COOPERATIVEINQUIRY2．在探究1中，若将an＋1＝2an＋1两边都加1，再观察等式的特点，你能构造出一个等比数列吗？提示：在an＋1＝2an＋1两边都加1得an＋1＋1＝2(an＋1)，显然数列{an＋1}是以a1＋1＝2为首项，以q＝2为公比的等比数列．2．在探究1中，若将an＋1＝2an＋1两边都加1，再观察等式的特点，你能构造出一个等比数列吗？提示：在an＋1＝2an＋1两边都加1得an＋1＋1＝2(an＋1)，显然数列{an＋1}是以a1＋1＝2为首项，以q＝2为公比的等比数列．合作探究COOPERATIVEINQUIRY3．在探究1中，若将an＋1＝2an＋1改为an＋1＝3an＋5，又应如何构造出一个等比数列？你能求出an吗？提示：设将an＋1＝3an＋5变形为an＋1＋x＝3(an＋x)．将该式整理为an＋1＝3an＋2x与an＋1＝3an＋5对比可知2x＝5，即x＝52；所以在an＋1＝3an＋5两边都加52，可构造出等比数列an＋52.利用等比数列求出an＋52即可求出an.3．在探究1中，若将an＋1＝2an＋1改为an＋1＝3an＋5，又应如何构造出一个等比数列？你能求出an吗？提示：设将an＋1＝3an＋5变形为an＋1＋x＝3(an＋x)．将该式整理为an＋1＝3an＋2x与an＋1＝3an＋5对比可知2x＝5，即x＝52；所以在an＋1＝3an＋5两边都加52，可构造出等比数列an＋52.利用等比数列求出an＋52即可求出an.合作探究COOPERATIVEINQUIRY例3、已知Sn是数列{an}的前n项和，且Sn＝2an＋n－4.(1)求a1的值．(2)若bn＝an－1，试证明数列{bn}为等比数列．思路探究：(1)由n＝1代入Sn＝2an＋n－4求得；(2)先由Sn＝2an＋n－4，利用Sn和an的关系得{an}的递推关系，然后构造出数列{an－1}利用定义证明．例3、已知Sn是数列{an}的前n项和，且Sn＝2an＋n－4.(1)求a1的值．(2)若bn＝an－1，试证明数列{bn}为等比数列．思路探究：(1)由n＝1代入Sn＝2an＋n－4求得；(2)先由Sn＝2an＋n－4，利用Sn和an的关系得{an}的递推关系，然后构造出数列{an－1}利用定义证明．合作探究COOPERATIVEINQUIRY[解](1)因为Sn＝2an＋n－4，所以当n＝1时，S1＝2a1＋1－4，解得a1＝3.(2)证明：因为Sn＝2an＋n－4，所以当n≥2时，Sn－1＝2an－1＋(n－1)－4，Sn－Sn－1＝(2an＋n－4)－(2an－1＋n－5)，即an＝2an－1－1，所以an－1＝2(an－1－1)，又bn＝an－1，所以bn＝2bn－1，且b1＝a1－1＝2≠0，所以数列{bn}是以b1＝2为首项，2为公比的等比数列．[解](1)因为Sn＝2an＋n－4，所以当n＝1时，S1＝2a1＋1－4，解得a1＝3.(2)证明：因为Sn＝2an＋n－4，所以当n≥2时，Sn－1＝2an－1＋(n－1)－4，Sn－Sn－1＝(2an＋n－4)－(2an－1＋n－5)，即an＝2an－1－1，所以an－1＝2(an－1－1)，又bn＝an－1，所以bn＝2bn－1，且b1＝a1－1＝2≠0，所以数列{bn}是以b1＝2为首项，2为公比的等比数列．合作探究COOPERATIVEINQUIRY母题探究：1.将本例条件“Sn＝2an＋n－4”改为“a1＝1，Sn＋1＝4an＋2”，“bn＝an－1”改为“bn＝an＋1－2an”，试证明数列{bn}是等比数列，并求{bn}的通项公式．[证明]an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－4an－2＝4an＋1－4an.bn＋1bn＝an＋2－2an＋1an＋1－2an＝4an＋1－4an－2an＋1an＋1－2an＝2an＋1－4anan＋1－2an＝2.母题探究：1.将本例条件“Sn＝2an＋n－4”改为“a1＝1，Sn＋1＝4an＋2”，“bn＝an－1”改为“bn＝an＋1－2an”，试证明数列{bn}是等比数列，并求{bn}的通项公式．[证明]an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－4an－2＝4an＋1－4an.bn＋1bn＝an＋2－2an＋1an＋1－2an＝4an＋1－4an－2an＋1an＋1－2an＝2an＋1－4anan＋1－2an＝2.合作探究COOPERATIVEINQUIRY所以数列{bn}是公比为2的等比数列，首项为a2－2a1.因为S2＝a1＋a2＝4a1＋2，所以a2＝5，所以b1＝a2－2a1＝3.所以bn＝3·2n－1.所以数列{bn}是公比为2的等比数列，首项为a2－2a1.因为S2＝a1＋a2＝4a1＋2，所以a2＝5，所以b1＝a2－2a1＝3.所以bn＝3·2n－1.合作探究COOPERATIVEINQUIRY2．将本例条件“Sn＝2an＋n－4”改为“a1＝1，a2n＋1＝2a2n＋anan＋1”，试证明数列{an}是等比数列，并求{an}的通项公式．[解]由已知得a2n＋1－anan＋1－2a2n＝0，所以(an＋1－2an)(an＋1＋an)＝0.所以an＋1－2an＝0或an＋1＋an＝0，(1)当an＋1－2an＝0时，an＋1an＝2.又a1＝1，所以数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列．所以an＝2n－1.(2)当an＋1＋an＝0时，an＋1an＝－1，又a1＝1，所以数列{an}是首项为1，公比为－1的等比数列，所以an＝1×(－1)n－1＝(－1)n－1.综上：an＝2n－1或(－1)n－1.2．将本例条件“Sn＝2an＋n－4”改为“a1＝1，a2n＋1＝2a2n＋anan＋1”，试证明数列{an}是等比数列，并求{an}的通项公式．[解]由已知得a2n＋1－anan＋1－2a2n＝0，所以(an＋1－2an)(an＋1＋an)＝0.所以an＋1－2an＝0或an＋1＋an＝0，(1)当an＋1－2an＝0时，an＋1an＝2.又a1＝1，所以数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列．所以an＝2n－1.(2)当an＋1＋an＝0时，an＋1an＝－1，又a1＝1，所以数列{an}是首项为1，公比为－1的等比数列，所以an＝1×(－1)n－1＝(－1)n－1.综上：an＝2n－1或(－1)n－1.合作探究COOPERATIVEINQUIRY[规律方法]1．已知数列的前n项和，或前n项和与通项的关系求通项，常用an与Sn的关系求解．2．由递推关系an＋1＝Aan＋B(A，B为常数，且A≠0，A≠1)求an时，由待定系数法设an＋1＋λ＝A(an＋λ)可得λ＝BA－1，这样就构造了等比数列{an＋λ}．[规律方法]1．已知数列的前n项和，或前n项和与通项的关系求通项，常用an与Sn的关系求解．2．由递推关系an＋1＝Aan＋B(A，B为常数，且A≠0，A≠1)求an时，由待定系数法设an＋1＋λ＝A(an＋λ)可得λ＝BA－1，这样就构造了等比数列{an＋λ}．03当堂达标REACHINGTHEGOALINCOURT当堂达标REACHINGTHEGOALINCOURT1．（2019年定州市模拟）在等比数列{an}中，a2＝4，a7＝116，则a3a6＋a4a5的值是()A．1B．2C.12D.14【答案】C[a3a6＝a4a5＝a2a7＝4×116＝14，∴a3a6＋a4a5＝12.]1．（2019年定州市模拟）在等比数列{an}中，a2＝4，a7＝116，则a3a6＋a4a5的值是()A．1B．2C.12D.14【答案】C[a3a6＝a4a5＝a2a7＝4×116＝14，∴a3a6＋a4a5＝12.]当堂达标REACHINGTHEGOALINCOURT2．（2019年邯郸校级月考）在正项等比数列{an}中，3a1，12a3,2a2成等差数列，则a2016－a2017a2014－a2015等于()A．3或－1B．9或1C．1D．9【答案】D[由3a1，12a3,2a2成等差数列可得a3＝3a1＋2a2，即a1q2＝3a1＋2a1q，∵a1≠0，∴q2－2q－3＝0.解得q＝3或q＝－1(舍)．∴a2016－a2017a2014－a2015＝a20161－qa20141－q＝a2016a2014＝q2＝9.]2．（2019年邯郸校级月考）在正项等比数列{an}中，3a1，12a3,2a2成等差数列，则a2016－a2017a2014－a2015等于()A．3或－1B．9或1C．1D．9【答案】D[由3a1，12a3,2a2成等差数列可得a3＝3a1＋2a2，即a1q2＝3a1＋2a1q，∵a1≠0，∴q2－2q－3＝0.解得q＝3或q＝－1(舍)．∴a2016－a2017a2014－a2015＝a20161－qa20141－q＝a2016a2014＝q2＝9.]当堂达标REACHINGTHEGOALINCOURT3．（2019年佛山期中）已知数列：4，a,12，b中，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，则b等于()A．20B．18C．16D．14【答案】B[由题意可得2a＝4＋12＝16⇒a＝8，又122＝8b⇒b＝18.]3．（2019年佛山期中）已知数列：4，a,12，b中，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，则b等于()A．20B．18C．16D．14【答案】B[由题意可得2a＝4＋12＝16⇒a＝8，又122＝8b⇒b＝18.]当堂达标REACHINGTHEGOALINCOURT4．（2019年厦门模拟）在12和8之间插入3个数，使它们与这两个数依次构成等比数列，则这3个数的积为________．【答案】8[设插入的3个数依次为a，b，c，即12，a，b，c,8成等比数列，由等比数列的性质可得b2＝ac＝12×8＝4，因为a2＝12b>0，∴b＝2(舍负)．所以这3个数的积为abc＝4×2＝8.]4．（2019年厦门模拟）在12和8之间插入3个数，使它们与这两个数依次构成等比数列，则这3个数的积为________．【答案】8[设插入的3个数依次为a，b，c，即12，a，b，c,8成等比数列，由等比数列的性质可得b2＝ac＝12×8＝4，因为a2＝12b>0，∴b＝2(舍负)．所以这3个数的积为abc＝4×2＝8.]当堂达标REACHINGTHEGOALINCOURT5．（2019年海南校级月考）已知数列{an}为等比数列，(1)若a1＋a2＋a3＝21，a1a2a3＝216，求an；(2)若a3a5＝18，a4a8＝72，求公比q.【答案】(1)∵a1a2a3＝a32＝216，∴a2＝6，∴a1a3＝36.又∵a1＋a3＝21－a2＝15，∴a1，a3是方程x2－15x＋36＝0的两根3和12.当a1＝3时，q＝a2a1＝2，an＝3·2n－1；当a1＝12时，q＝12，an＝12·12n－1.(2)∵a4a8＝a3q·a5q3＝a3a5q4＝18q4＝72，∴q4＝4，∴q＝±2.5．（2019年海南校级月考）已知数列{an}为等比数列，(1)若a1＋a2＋a3＝21，a1a2a3＝216，求an；(2)若a3a5＝18，a4a8＝72，求公比q.【答案】(1)∵a1a2a3＝a32＝216，∴a2＝6，∴a1a3＝36.又∵a1＋a3＝21－a2＝15，∴a1，a3是方程x2－15x＋36＝0的两根3和12.当a1＝3时，q＝a2a1＝2，an＝3·2n－1；当a1＝12时，q＝12，an＝12·12n－1.(2)∵a4a8＝a3q·a5q3＝a3a5q4＝18q4＝72，∴q4＝4，∴q＝±2.感谢您下载68素材平台上提供的PPT作品，为了您和68素材以及原创作者的利益，请勿复制、传播、销售；素材均来源于网络用户分享，故68素材不具备充分的监控能力来审查图片是否存在侵权等情节。68素材不拥有此类图片的版权，本站所有资源仅供学习与交流，不得用于任何商业用途的范围，用户应自觉遵守著作权法及其他相关法律的规定，不得侵犯本网站及权利人的合法权利，给68素材和任何第三方造成损失的，侵权用户应负全部责任。版权声明第二章数列主讲人：办公资源2.4.2等比数列谢谢各位同学倾听THANKYOUFORLISTENINGYOURLOGO