《三角函数1.1.2弧度制》高一年级下册PPT课件.pptx

1.1任意角和弧度制1.1.2弧度制第一章三角函数栏目导航1自主预习学案2互动探究学案3课时作业学案自主预习学案1第一章三角函数第一章三角函数炎炎夏日，用纸扇驱走闷热，无疑是一种好办法．扇子在美观设计上，可考虑用料、图案和形状．若从数学角度看，我们能否用黄金比例(0.618)去设计一把富有美感的纸扇？要探索这个问题首先要认识一种新的角度单位——弧度．情景导入第一章三角函数1．弧度制(1)定义：以________为单位度量角的单位制叫做弧度制．(2)度量方法：长度等于__________的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．如图所示，圆O的半径为r，AB︵的长等于r，∠AOB就是1弧度的角．弧度半径长新知导学1．弧度制(1)定义：以________为单位度量角的单位制叫做弧度制．(2)度量方法：长度等于__________的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．如图所示，圆O的半径为r，AB︵的长等于r，∠AOB就是1弧度的角．第一章三角函数[知识点拨]一定大小的圆心角α的弧度数是所对弧长与半径的比值，是唯一确定的，与半径大小无关．(3)记法：弧度单位用符号__________表示，或用“弧度”两个字表示．在用弧度制表示角时，单位通常省略不写．2．弧度数一般地，正角的弧度数是一个______数，负角的弧度数是一个______数，零角的弧度数是______.如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么角α的弧度数的绝对值是α＝______.rad正负0lrlr第一章三角函数[知识点拨]对于角度制和弧度制，在具体的应用中，两者可混用吗？如何书写才是规范的？角度制与弧度制是两种不同的度量制度，在表示角时不能混用，例如α＝k·360°＋π6(k∈Z)，β＝2kπ＋60°(k∈Z)等写法都是不规范的，应写为α＝k·360°＋30°(k∈Z)，β＝2kπ＋π3(k∈Z)．[知识点拨]对于角度制和弧度制，在具体的应用中，两者可混用吗？如何书写才是规范的？角度制与弧度制是两种不同的度量制度，在表示角时不能混用，例如α＝k·360°＋π6(k∈Z)，β＝2kπ＋60°(k∈Z)等写法都是不规范的，应写为α＝k·360°＋30°(k∈Z)，β＝2kπ＋π3(k∈Z)．第一章三角函数3．弧度与角度的换算公式(1)周角的弧度数是2π，而在角度制下的度数是360，于是360°＝2πrad，即根据以上关系式就可以进行弧度与角度的换算了．弧度与角度的换算公式如下：若一个角的弧度数为α，角度数为n，则αrad＝(180απ)°，n°＝n·π180rad.3．弧度与角度的换算公式(1)周角的弧度数是2π，而在角度制下的度数是360，于是360°＝2πrad，即根据以上关系式就可以进行弧度与角度的换算了．弧度与角度的换算公式如下：若一个角的弧度数为α，角度数为n，则αrad＝(180απ)°，n°＝n·π180rad.第一章三角函数一一对应(2)常用特殊角的弧度数0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°0__________________π2__________________π____________(3)角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起____________关系：每一个角都有唯一的一个________(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，任一个实数也都有唯一的一个______(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．π6π4π32π33π45π63π22π实数角(2)常用特殊角的弧度数0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°0__________________π2__________________π____________(3)角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起____________关系：每一个角都有唯一的一个________(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，任一个实数也都有唯一的一个______(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．π6π4π32π33π45π63π22π第一章三角函数[知识点拨]角度制与弧度制是两种不同的度量单位，在表示角时，二者不可混用.角度制用度作为单位来度量角的单位制角的大小与半径无关单位“°”不能省略角的正负与方向有关六十进制弧度制用弧度作为单位来度量角的单位制角的大小与半径无关单位“rad”可以省略角的正负与方向有关十进制第一章三角函数4.弧度制下的弧长公式与扇形面积公式(1)弧长公式在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角大小为α，则α＝lr，变形可得l＝____________，此公式称为弧长公式，其中α的单位是弧度．(2)扇形面积公式由圆心角为1rad的扇形面积为πr22π＝12r2，而弧长为l的扇形的圆心角大小为lrrad，故其面积为S＝lr×r22＝12lr，将l＝αr代入上式可得S＝12lr＝12αr2，此公式称为扇形面积公式．αr4.弧度制下的弧长公式与扇形面积公式(1)弧长公式在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角大小为α，则α＝lr，变形可得l＝____________，此公式称为弧长公式，其中α的单位是弧度．(2)扇形面积公式由圆心角为1rad的扇形面积为πr22π＝12r2，而弧长为l的扇形的圆心角大小为lrrad，故其面积为S＝lr×r22＝12lr，将l＝αr代入上式可得S＝12lr＝12αr2，此公式称为扇形面积公式．αr第一章三角函数[知识点拨]弧长公式及扇形面积公式的两种表示方法对比名称角度制弧度制弧长公式l＝nπr180l＝αr扇形面积公式S＝nπr2360S＝α2r2＝12lr注意事项r是扇形的半径，n是圆心角的角度数r是扇形的半径，α是圆心角的弧度数，l是弧长弧长公式与扇形的面积公式在角度制与弧度制下形式不同，解题时要看清角的度量制，选用相应的公式，切不可混淆．名称角度制弧度制弧长公式l＝nπr180l＝αr扇形面积公式S＝nπr2360S＝α2r2＝12lr注意事项r是扇形的半径，n是圆心角的角度数r是扇形的半径，α是圆心角的弧度数，l是弧长弧长公式与扇形的面积公式在角度制与弧度制下形式不同，解题时要看清角的度量制，选用相应的公式，切不可混淆．第一章三角函数1．判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内打“√”，错误的打“×”．(1)用弧度制表示角时，都是正角．()(2)在大小不等的圆中，1弧度的圆心角所对弧的长度是不同的．()(3)用角度制和弧度制表示角时，单位都可以省略不写．()(4)π弧度的角大于π°的角．()(5)扇形的半径为5，圆心角是60°，则弧长为300.()×√×√×预习自测第一章三角函数B2．－300°化为弧度是()A．－4π3B．－5π3C．－7π4D．－7π63．已知半径为10cm的圆上，有一条弧的长是40cm，则该弧所对的圆心角的弧度数是______.42．－300°化为弧度是()A．－4π3B．－5π3C．－7π4D．－7π63．已知半径为10cm的圆上，有一条弧的长是40cm，则该弧所对的圆心角的弧度数是______.第一章三角函数4．α＝－2rad，则α的终边在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[解析]∵1rad≈57.30°，∴－2rad≈－114.60°.故α的终边在第三象限．C互动探究学案2第一章三角函数第一章三角函数命题方向1⇨有关“角度”与“弧度”概念的理解①③④典例1下列命题中，正确的命题是__________.①1°的角是周角的1360，1rad的角是周角的12π；②1rad的角等于1度的角；③180°的角一定等于πrad的角；④“度”和“弧度”是度量角的两种单位．互动探究解疑下列命题中，正确的命题是__________.①1°的角是周角的1360，1rad的角是周角的12π；②1rad的角等于1度的角；③180°的角一定等于πrad的角；④“度”和“弧度”是度量角的两种单位．第一章三角函数[思路分析]从两种度量制的定义上，把握解题角度，从弧度制和角度制的定义出发解题．[解析]对于④，“度”与“弧度”是度量角的两种不同单位，故④正确；对于①，因为1°＝360°360，1＝2π2π，所以①正确；对于③，由弧度制规定知πrad＝180°，故③正确．[解析]对于④，“度”与“弧度”是度量角的两种不同单位，故④正确；对于①，因为1°＝360°360，1＝2π2π，所以①正确；对于③，由弧度制规定知πrad＝180°，故③正确．第一章三角函数•『规律总结』弧度与角度的概念的区别与联系区别(1)定义不同．(2)单位不同：弧度制以“弧度”为单位，角度制以“度”为单位．联系(1)不管以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的值．(2)“弧度”与“角度”之间可以相互转化.第一章三角函数〔跟踪练习1〕在半径不等的圆中，半径长的弦所对的圆心角()A．为1弧度B．各不相等，半径长则圆心角大C．各不相等，半径长则圆心角小D．都相等，为π3弧度D〔跟踪练习1〕在半径不等的圆中，半径长的弦所对的圆心角()A．为1弧度B．各不相等，半径长则圆心角大C．各不相等，半径长则圆心角小D．都相等，为π3弧度第一章三角函数命题方向2⇨角度制与弧度制的转化典例2(1)将下列各角化为弧度：①112°30′；②－315°；(2)将下列各弧度化为角度：①－5π12rad；②193π.[思路分析](1)将下列各角化为弧度：①112°30′；②－315°；(2)将下列各弧度化为角度：①－5π12rad；②193π.[思路分析]第一章三角函数[解析](1)①∵1°＝π180rad，∴112°30′＝π180×112.5rad＝5π8rad.②－315°＝－315×π180＝－7π4.(2)①∵1rad＝(180π)°，∴－5π12rad＝－5π12×180π°＝－75°.②193π＝(193π×180π)°＝1140°.[解析](1)①∵1°＝π180rad，∴112°30′＝π180×112.5rad＝5π8rad.②－315°＝－315×π180＝－7π4.(2)①∵1rad＝(180π)°，∴－5π12rad＝－5π12×180π°＝－75°.②193π＝(193π×180π)°＝1140°.第一章三角函数『规律总结』角度制与弧度制互化的关键与方法：(1)关键：抓住互化公式πrad＝180°是关键．(2)方法：度数×π180＝弧度数；弧度数×(180π)°＝度数．(3)角度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度．(4)角度化为弧度时，其结果写成π的形式，没特殊要求不必化成小数．『规律总结』角度制与弧度制互化的关键与方法：(1)关键：抓住互化公式πrad＝180°是关键．(2)方法：度数×π180＝弧度数；弧度数×(180π)°＝度数．(3)角度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度．(4)角度化为弧度时，其结果写成π的形式，没特殊要求不必化成小数．第一章三角函数〔跟踪练习2〕设α1＝－570°、α2＝750°、β1＝3π5、β2＝－π3.(1)将α1、α2用弧度制表示出来，并指出它们各自所在的象限；(2)将β1、β2用角度制表示出来，并指出它们各自所在象限．〔跟踪练习2〕设α1＝－570°、α2＝750°、β1＝3π5、β2＝－π3.(1)将α1、α2用弧度制表示出来，并指出它们各自所在的象限；(2)将β1、β2用角度制表示出来，并指出它们各自所在象限．第一章三角函数[解析](1)∵180°＝πrad，∴－570°＝－570π180＝－19π6，∴α1＝－19π6＝－2×2π＋5π6，α2＝750°＝750π180＝25π6＝2×2π＋π6.∴α1在第二象限，α2在第一象限．(2)β1＝3π5＝35×180°＝108°，β2＝－π3＝－60°，∴β1在第二象限，β2在第四象限．[解析](1)∵180°＝πrad，∴－570°＝－570π180＝－19π6，∴α1＝－19π6＝－2×2π＋5π6，α2＝750°＝750π180＝25π6＝2×2π＋π6.∴α1在第二象限，α2在第一象限．(2)β1＝3π5＝35×180°＝108°，β2＝－π3＝－60°，∴β1在第二象限，β2在第四象限．第一章三角函数用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界，如下图)．命题方向3⇨用弧度制表示区域角典例3第一章三角函数•[思路分析]①用弧度表示区域角时，需进行角度与弧度的换算．注意单位要统一．②在表示角的集合时，可以先写出如－π～π，0～2π范围内的角，再加上2kπ，注明k∈Z.③终边在同一条直线上的角的集合可以直接根据知识点4中的结论得出．[解析](1)OA是30°角的终边，30°＝π6rad，所以以OA为终边的角为π6＋2kπ(k∈Z)；OB是240°角的终边，也是－120°角的终边，－120°＝－23πrad，所以以OB为终边的角为－2π3＋2kπ(k∈Z)．∴阴影部分内的角的集合为α－2π3＋2kπ<α<π6＋2kπ，k∈Z.[解析](1)OA是30°角的终边，30°＝π6rad，所以以OA为终边的角为π6＋2kπ(k∈Z)；OB是240°角的终边，也是－120°角的终边，－120°＝－23πrad，所以以OB为终边的角为－2π3＋2kπ(k∈Z)．∴阴影部分内的角的集合为α－2π3＋2kπ<α<π6＋2kπ，k∈Z.第一章三角函数(2)如图②，OA是60°角的终边，60°＝π3rad，所以以OA为终边的角为π3＋2kπ(k∈Z)；OB是120°角的终边，120°＝23πrad，所以以OB为终边的角为2π3＋2kπ(k∈Z)；不妨设右边阴影部分所表示的集合为M1，左边阴影部分所表示的集合为M2，则M1＝α2kπ<α<π3＋2kπ，k∈Z，M2＝α2π3＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z.∴阴影部分所表示的集合为：M1∪M2＝α2kπ<α<π3＋2kπ或2π3＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z.(2)如图②，OA是60°角的终边，60°＝π3rad，所以以OA为终边的角为π3＋2kπ(k∈Z)；OB是120°角的终边，120°＝23πrad，所以以OB为终边的角为2π3＋2kπ(k∈Z)；不妨设右边阴影部分所表示的集合为M1，左边阴影部分所表示的集合为M2，则M1＝α2kπ<α<π3＋2kπ，k∈Z，M2＝α2π3＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z.∴阴影部分所表示的集合为：M1∪M2＝α2kπ<α<π3＋2kπ或2π3＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z.第一章三角函数『规律总结』解答本题时常犯以下三种错误．(1)弧度与角度混用．(2)终边在同一条直线上的角未合并．(3)将图①中所求的角的集合错误地写成{α43π＋2kπ<α<π3＋2kπ，k∈Z}，这是一个空集．对于区域角的书写，一定要看其区间是否跨越x轴的正半轴，若区间跨越x轴的正半轴，则在“前面”的角用负角表示，“后面”的角用正角表示；若区间不跨越x轴的正半轴，则无须这样写．『规律总结』解答本题时常犯以下三种错误．(1)弧度与角度混用．(2)终边在同一条直线上的角未合并．(3)将图①中所求的角的集合错误地写成{α43π＋2kπ<α<π3＋2kπ，k∈Z}，这是一个空集．对于区域角的书写，一定要看其区间是否跨越x轴的正半轴，若区间跨越x轴的正半轴，则在“前面”的角用负角表示，“后面”的角用正角表示；若区间不跨越x轴的正半轴，则无须这样写．第一章三角函数〔跟踪练习3〕用弧度制表示顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边落在阴影部分的角的集合(不包括边界)，如图所示．第一章三角函数[解析](1)330°和60°的终边分别对应－π6和π3，所表示的区域位于－π6与π3之间且跨越x轴的正半轴，所以终边落在阴影部分的角的集合为{θ2kπ－π6<θ<2kπ＋π3，k∈Z}．(2)210°和135°的终边分别对应－5π6和3π4，所表示的区域位于－5π6与3π4之间且跨越x轴的正半轴，所以终边落在阴影部分的角的集合为{θ2kπ－5π6<θ<2kπ＋3π4，k∈Z}．[解析](1)330°和60°的终边分别对应－π6和π3，所表示的区域位于－π6与π3之间且跨越x轴的正半轴，所以终边落在阴影部分的角的集合为{θ2kπ－π6<θ<2kπ＋π3，k∈Z}．(2)210°和135°的终边分别对应－5π6和3π4，所表示的区域位于－5π6与3π4之间且跨越x轴的正半轴，所以终边落在阴影部分的角的集合为{θ2kπ－5π6<θ<2kπ＋3π4，k∈Z}．第一章三角函数(3)30°＝π6，210°＝7π6，所表示的区域由两部分组成，即终边落在阴影部分的角的集合为{θ2kπ<θ<2kπ＋π6，k∈Z}∪{θ2kπ＋π<θ<2kπ＋7π6，k∈Z}＝{θ2kπ<θ<2kπ＋π6，k∈Z}∪{θ(2k＋1)π<θ<(2k＋1)π＋π6，k∈Z}＝{θnπ<θ