2022年全国统一高考数学试卷和答案(新高考ⅱ)

("2022年全国统一高考数学试卷和答案（新高考Ⅱ）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）已知集合A＝{﹣1，1，2，4}，B＝{xx﹣1≤1}，则A∩B＝（）A．{﹣1，2}B．{1，2}C．{1，4}D．{﹣1，4}2．（5分）（2+2i）（1﹣2i）＝（）A．﹣2+4iB．﹣2﹣4iC．6+2iD．6﹣2i3．（5分）图1是中国古代建筑中的举架结构，AA′，BB′，CC′，DD′是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举．图2是某古代建筑屋顶截面的示意图，其中DD1，CC1，BB1，AA1是举，OD1，DC1，CB1，BA1是相等的步，相邻桁的举步之比分别为＝0.5，＝k1，＝k2，＝k3．已知k1，k2，k3成公差为0.1的等差数列，且直线OA的斜率为0.725，则k3＝（）A．0.75B．0.8C．0.85D．0.94．（5分）已知向量＝（3，4），＝（1，0），＝+t，若＜，＞＝＜，＞，则t＝（）A．﹣6B．﹣5C．5D．65．（5分）甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有（）第1页（共23页）A．12种B．24种C．36种D．48种6．（5分）若sin（α+β）+cos（α+β）＝2cos（α+）sinβ，则（）A．tan（α﹣β）＝1B．tan（α+β）＝1C．tan（α﹣β）＝﹣1D．tan（α+β）＝﹣17．（5分）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为3和4，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A．100πB．128πC．144πD．192π8．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，且f（x+y）+f（x﹣y）＝f（x）f（y），f（1）＝1，则f（k）＝（）A．﹣3B．﹣2C．0D．1二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。（多选）9．（5分）已知函数f（x）＝sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图像关于点（，0）中心对称，则（）A．f（x）在区间（0，）单调递减B．f（x）在区间（﹣，）有两个极值点C．直线x＝是曲线y＝f（x）的对称轴D．直线y＝﹣x是曲线y＝f（x）的切线（多选）10．（5分）已知O为坐标原点，过抛物线C：y2＝2px（p＞0）焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点M（p，0）．若AF＝AM，则（）第2页（共23页）A．直线AB的斜率为2B．OB＝OFC．AB＞4OFD．∠OAM+∠OBM＜180°（多选）11．（5分）如图，四边形ABCD为正方形，ED⊥平面ABCD，FB∥ED，AB＝ED＝2FB．记三棱锥E﹣ACD，F﹣ABC，F﹣ACE的体积分别为V1，V2，V3，则（）A．V3＝2V2B．V3＝V1C．V3＝V1+V2D．2V3＝3V1（多选）12．（5分）若x，y满足x2+y2﹣xy＝1，则（）A．x+y≤1B．x+y≥﹣2C．x2+y2≤2D．x2+y2≥1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（5分）已知随机变量X服从正态分布N（2，σ2），且P（2＜X≤2.5）＝0.36，则P（X＞2.5）＝．14．（5分）曲线y＝lnx过坐标原点的两条切线的方程为，．15．（5分）设点A（﹣2，3），B（0，a），若直线AB关于y＝a对称的直线与圆（x+3）2+（y+2）2＝1有公共点，则a的取值范围是．16．（5分）已知直线l与椭圆+＝1在第一象限交于A，B两点，l与x轴、y轴分别相交于M，N两点，且MA＝NB，MN＝2，则l的方程为．四、答案题：本题共6小题，共70分。答案应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）已知{an}是等差数列，{bn}是公比为2的等比数列，且第3页（共23页）a2﹣b2＝a3﹣b3＝b4﹣a4．（1）证明：a1＝b1；（2）求集合{kbk＝am+a1，1≤m≤500}中元素的个数．18．（12分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为S1，S2，S3．已知S1﹣S2+S3＝，sinB＝．（1）求△ABC的面积；（2）若sinAsinC＝，求b．19．（12分）在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：（1）估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20，70）的概率；（3）已知该地区这种疾病的患者的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间[40，50）的人口占该地区总人口的16%．从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间[40，50），求此人患这种疾病的概率（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）．20．（12分）如图，PO是三棱锥P﹣ABC的高，PA＝PB，AB⊥AC，E为PB的中点．（1）证明：OE∥平面PAC；第4页（共23页）（2）若∠ABO＝∠CBO＝30°，PO＝3，PA＝5，求二面角C﹣AE﹣B的正弦值．21．（12分）已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（2，0），渐近线方程为y＝±x．（1）求C的方程；（2）过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点P（x1，y1），Q（x2，y2）在C上，且x1＞x2＞0，y1＞0．过P且斜率为﹣的直线与过Q且斜率为的直线交于点M．从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①M在AB上；②PQ∥AB；③MA＝MB．注：若选择不同的组合分别答案，则按第一个答案计分．22．（12分）已知函数f（x）＝xeax﹣ex．（1）当a＝1时，讨论f（x）的单调性；（2）当x＞0时，f（x）＜﹣1，求a的取值范围；（3）设n∈N，证明：++…+＞ln（n+1）．第5页（共23页）答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．【知识点】交集及其运算．【答案】解：x﹣1≤1，解得：0≤x≤2，∴集合B＝{x0≤x≤2}∴A∩B＝{1，2}．故选：B．2．【知识点】复数的运算．【答案】解：（2+2i）（1﹣2i）＝2﹣4i+2i﹣4i2＝6﹣2i．故选：D．3．【知识点】数列的应用；等差数列的通项公式．【答案】解：设OD1＝DC1＝CB1＝BA1＝1，则CC1＝k1，BB1＝k2，AA1＝k3，由题意得：k1＝k3﹣0.2，k2＝k3﹣0.1，且，解得k3＝0.9，故选：D．4．【知识点】数量积表示两个向量的夹角．【答案】解：∵向量＝（3，4），＝（1，0），＝+t，∴＝（3+t，4），∵＜，＞＝＜，＞，∴＝，∴＝，解得实数t＝5．故选：C．5．【知识点】排列、组合及简单计数问题．第6页（共23页）【答案】解：把丙和丁捆绑在一起，4个人任意排列，有＝48种情况，甲站在两端的情况有＝24种情况，∴甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有48﹣24＝24种，故选：B．6．【知识点】两角和与差的三角函数．【答案】解：解法一：因为sin（α+β）+cos（α+β）＝2cos（α+）sinβ，所以sin（）＝2cos（α+）sinβ，即sin（）＝2cos（α+）sinβ，所以sin（）cosβ+sinβcos（）＝2cos（α+）sinβ，所以sin（）cosβ﹣sinβcos（）＝0，所以sin（）＝0，所以＝kπ，k∈Z，所以α﹣β＝k，所以tan（α﹣β）＝﹣1．解法二：由题意可得，sinαcosβ+cosαsinβ+cosαcosβ﹣sinαsinβ＝2（cosα﹣sinα）sinβ，即sinαcosβ﹣cosαsinβ+cosαcosα+sinαsinβ＝0，所以sin（α﹣β）+cos（α﹣β）＝0，故tan（α﹣β）＝﹣1．故选：C．第7页（共23页）7．【知识点】球的体积和表面积．【答案】解：当球心在台体外时，由题意得，上底面所在平面截球所得圆的半径为，下底面所在平面截球所得圆的半径为，如图，设球的半径为R，则轴截面中由几何知识可得，解得R＝5，∴该球的表面积为4πR2＝4π×25＝100π．当球心在台体内时，如图，此时，无解．综上，该球的表面积为100π．故选：A．8．【知识点】抽象函数及其应用．【答案】解：令y＝1，则f（x+1）+f（x﹣1）＝f（x），即f（x+1）＝f（x）﹣f（x﹣1），∴f（x+2）＝f（x+1）﹣f（x），f（x+3）＝f（x+2）﹣f（x+1），∴f（x+3）＝﹣f（x），则f（x+6）＝﹣f（x+3）＝f（x），第8页（共23页）∴f（x）的周期为6，令x＝1，y＝0得f（1）+f（1）＝f（1）×f（0），解得f（0）＝2，又f（x+1）＝f（x）﹣f（x﹣1），∴f（2）＝f（1）﹣f（0）＝﹣1，f（3）＝f（2）﹣f（1）＝﹣2，f（4）＝f（3）﹣f（2）＝﹣1，f（5）＝f（4）﹣f（3）＝1，f（6）＝f（5）﹣f（4）＝2，∴，∴＝f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝﹣3．故选：A．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．【知识点】正弦函数的图象；正弦函数的单调性．【答案】解：因为f（x）＝sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象关于点（，0）对称，所以+φ＝kπ，k∈Z，所以φ＝kπ﹣，因为0＜φ＜π，所以φ＝，第9页（共23页）故f（x）＝sin（2x+），令2x+，解得﹣＜x＜，故f（x）在（0，）单调递减，A正确；x∈（﹣，），2x+∈（，），根据函数的单调性，故函数f（x）在区间（﹣，）只有一个极值点，故B错误；令2x+＝kπ+，k∈Z，得x＝﹣，k∈Z，C显然错误；结合正弦函数的图象可知，直线y＝显然与y＝sin（2x+）相切，故直线y＝显然是曲线的切线，故D正确．故选：AD．10．【知识点】抛物线的性质．【答案】解：如图，第10页（共23页）∵F（，0），M（p，0），且AF＝AM，∴A（，），由抛物线焦点弦的性质可得，则，则B（，﹣），∴，故A正确；，OF＝，OB≠OF，故B错误；AB＝＞2p＝4OF，故C正确；，，，，OM＝p，∵OA2+AM2＞OM2，OB2+BM2＞OM2，∴∠OAM，∠OBM均为锐角，可得∠OAM+∠OBM＜180°，故D正确．故选：ACD．11．【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【答案】解：设AB＝ED＝2FB＝2，∵ED⊥平面ABCD，∴ED为四棱锥E﹣ABCD的高，第11页（共23页）∵FB∥ED，∴FB为三棱锥F﹣ABC的高，∵平面ADE∥平面FBC，∴点E到平面FBC的距离等于点D到平面FBC的距离，即三棱锥E﹣FBC的高＝DC＝2，几何体的体积V＝VE﹣ABCD+VE﹣FBC+VE﹣ABF＝×SABCD×ED+×S△FBC×DC+×S△ABF×AB＝4，V1＝×S△ACD×ED＝，V2＝×S△ABC×FB＝，V3＝V﹣V1﹣V2＝2．故C、D正确，A、B错误．故选：CD．12．【知识点】基本不等式及其应用．【答案】解：方法一：由x2+y2﹣xy＝1可得，（x﹣）2+＝1，令，则，∴x+y＝＝2sin（）∈[﹣2，2]，故A错，B对，∵x2+y2＝＝＝∈[，2]，故C对，D错，方法二：对于A，B，由x2+y2﹣xy＝1可得，（x+y）2＝第12页（共23页）1+3xy≤1+3，即，∴（x+y）2≤4，∴﹣2≤x+y≤2，故A错，B对，对于C，D，由x2+y2﹣xy＝1得，x2+y2﹣1＝xy，∴x2+y2≤2，故C对，D错，故选：BC．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．【知识点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【答案】解：∵随机变量X服从正态分布N（2，σ2），∴P（2＜X≤2.5）+P（X＞2.5）＝0.5，∴P（X＞2.5）＝0.5﹣0.36＝0.14，故答案为：0.14．14．【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【答案】解：当x＞0时，y＝lnx，设切点坐标为（x0，lnx0），∵y'＝，∴切线的斜率k＝，∴切线方程为y﹣lnx0＝（x﹣x0），又∵切线过原点，∴﹣lnx0＝﹣1，∴x0＝e，∴切线方程为y﹣1＝，即x﹣ey＝0，当x＜0时，y＝ln（﹣x），与y＝lnx的图像关于y轴对称，∴切线方程也关于y轴对称，∴切线方程为x+ey＝0，综上所述，曲线y＝lnx经过坐标原点的两条切线方程分别为x﹣ey＝0，x+ey＝0，故答案为：x﹣ey＝0，x+ey＝0．15．【知识点】直线与圆的位置关系．第13页（共23页）【答案】解：点A（﹣2，3），B（0，a），kAB＝，所以直线AB关于y＝a对称的直线的斜率为：，所以对称直线方程为：y﹣a＝，即：（3﹣a）x﹣2y+2a＝0，（x+3）2+（y+2）2＝1的圆心（﹣3，﹣2），半径为1，所以，得12a2﹣22a+6≤0，解得a∈[，]．故答案为：[，]．16．【知识点】椭圆的性质．【答案】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点为E，由+＝1，+＝1，相减可得：＝﹣，则kOE•kAB＝•＝＝﹣，设直线l的方程为：y＝kx+m，k＜0，m＞0，M（﹣，0），N（0，m），∴E（﹣，），∴kOE＝﹣k，∴﹣k•k＝﹣，解得k＝﹣，∵MN＝2，∴＝2，化为：+m2＝12．∴3m2＝12，m＞0，解得m＝2．第14页（共23页）∴l的方程为y＝﹣x+2，即x+y﹣2＝0，故答案为：x+y﹣2＝0．四、答案题：本题共6小题，共70分。答案应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．【知识点】等差数列与等比数列的综合．【答案】解：（1）证明：设等差数列{an}的公差为d，由a2﹣b2＝a3﹣b3，得a1+d﹣2b1＝a1+2d﹣4b1，则d＝2b1，由a2﹣b2＝b4﹣a4，得a1+d﹣2b1＝8b1﹣（a1+3d），即a1+d﹣2b1＝4d﹣（a1+3d），∴a1＝b1．（2）由（1）知，d＝2b1＝2a1，由bk＝am+a1知，，∴，即2k﹣1＝2m，又1≤m≤500，故2≤2k﹣1≤1000，则2≤k≤10，故集合{kbk＝am+a1，1≤m≤500}中元素个数为9个．18．【知识点】解三角形；正弦定理．【答案】解：（1）S1＝a2sin60°＝a2，S2＝b2sin60°＝b2，S3＝c2sin60°＝c2，∵S1﹣S2+S3＝a2﹣b2+c2＝，解得：a2﹣b2+c2＝2，∵sinB＝，a2﹣b2+c2＝2＞0，即cosB＞0，∴cosB＝，第15页（共23页）∴cosB＝＝，解得：ac＝，S△ABC＝acsinB＝．∴△ABC的面积为．（2）由正弦定理得：＝＝，∴a＝，c＝，由（1）得ac＝，∴ac＝•＝已知，sinB＝，sinAsinC＝，解得：b＝．19．【知识点】频率分布直方图．【答案】解：（1）由频率分布直方图得该地区这种疾病患者的平均年龄为：＝5×0.001×10+15×0.002×10+25×0.012×10+35×0.017×10+45×0.023×10+55×0.020×10+65×0.017×10+75×0.006×10+85×0.002×10＝47.9岁．（2）该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20，70）的频率为：（0.012+0.017+0.023+0.020+0.017）×10＝0.89，∴估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20，70）的概率为0.89．（3）设从该地区中任选一人，此人的年龄位于区间[40，50）为事件B，此人患这种疾病为事件C，第16页（共23页）则P（CB）＝＝≈0.0014．20．【知识点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行．【答案】解：（1）证明：连接OA，OB，依题意，OP⊥平面ABC，又OA⊂平面ABC，OB⊂平面ABC，则OP⊥OA，OP⊥OB，∴∠POA＝∠POB＝90°，又PA＝PB，OP＝OP，则△POA≌△POB，∴OA＝OB，延长BO交AC于点F，又AB⊥AC，则在Rt△ABF中，O为BF中点，连接PF，在△PBF中，O，E分别为BF，BP的中点，则OE∥PF，∵OE⊄平面PAC，PF⊂平面PAC，∴OE∥平面PAC；（2）过点A作AM∥OP，以AB，AC，AF分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，由于PO＝3，PA＝5，由（1）知OA＝OB＝4，又∠ABO＝∠CBO＝30°，则，∴，又AC＝ABtan60°＝12，即C（0，12，0），设平面AEB的一个法向量为，又，则，则可取，设平面AEC的一个法向量为，又第17页（共23页），则，则可取，设锐二面角C﹣AE﹣B的平面角为θ，则，∴，即二面角C﹣AE﹣B正弦值为．21．【知识点】直线与双曲线的综合．【答案】解：（1）由题意可得＝，＝2，解得a＝1，b＝，因此C的方程为x2﹣＝1，（2）设直线PQ的方程为y＝kx+m，（k≠0），将直线PQ的方程代入x2﹣＝1可得（3﹣k2）x2﹣2kmx﹣m2﹣3＝0，Δ＝12（m2+3﹣k2）＞0，∵x1＞x2＞0第18页（共23页）∴x1+x2＝＞0，x1x2＝﹣＞0，∴3﹣k2＜0，∴x1﹣x2＝＝，设点M的坐标为（xM，yM），则，两式相减可得y1﹣y2＝2xM﹣（x1+x2），∵y1﹣y2＝k（x1﹣x2），∴2xM＝（x1+x2）+k（x1﹣x2），解得XM＝，两式相加可得2yM﹣（y1+y2）＝（x1﹣x2），∵y1+y2＝k（x1+x2）+2m，∴2yM＝（x1﹣x2）+k（x1+x2）+2m，解得yM＝，∴yM＝xM，其中k为直线PQ的斜率；若选择①②：设直线AB的方程为y＝k（x﹣2），并设A的坐标为（x3，y3），B的坐标为（x4，y4），则，解得x3＝，y3＝，同理可得x4＝，y4＝﹣，∴x3+x4＝，y3+y4＝，第19页（共23页）此时点M的坐标满足，解得XM＝＝（x3+x4），yM＝＝（y3+y4），∴M为AB的中点，即MA＝MB；若选择①③：当直线AB的斜率不存在时，点M即为点F（2，0），此时不在直线y＝x上，矛盾，当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝m（x﹣2）（m≠0），并设A的坐标为（x3，y3），B的坐标为（x4，y4），则，解得x3＝，y3＝，同理可得x4＝，y4＝﹣，此时xM＝（x3+x4）＝，∴yM＝（y3+y4）＝，由于点M同时在直线y＝x上，故6m＝•2m2，解得k＝m，因此PQ∥AB．若选择②③，设直线AB的方程为y＝k（x﹣2），并设A的坐标为（x3，y3），B的坐标为（x4，y4），则，解得x3＝，y3＝，同理可得x4＝，y4＝﹣，第20页（共23页）设AB的中点C（xC，yC），则xC＝（x3+x4）＝，yC＝（y3+y4）＝，由于MA＝MB，故M在AB的垂直平分线上，即点M在直线y﹣yC＝﹣（x﹣xC）上，将该直线y＝x联立，解得xM＝＝xC，yM＝＝yC，即点M恰为AB中点，故点M在直线AB上．22．【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的最值．【答案】解：（1）当a＝1时，f（x）＝xex﹣ex＝ex（x﹣1），f′（x）＝ex（x﹣1）+ex＝xex，∵ex＞0，∴当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（﹣∞，0）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．（2）令g（x）＝f（x）+1＝xeax﹣ex+1（x＞0），∵f（x）＜﹣1，f（x）+1＜0，∴g（x）＜g（0）＝0在x＞0上恒成立，又g′（x）＝eax+xaeax﹣ex，令h（x）＝g′（x），则h′（x）＝aeax+a（eax+axeax）﹣ex＝a（2eax+axeax）﹣ex，∴h′（0）＝2a﹣1，①当2a﹣1＞0，即a＞，h′（0）＝＝＞0，第21页（共23页）∴∃x0＞0，使得当x∈（0，x0），有＞0，∴g′（x）＞0，所以g（x）单调递增，g（x0）＞g（0）＝0，矛盾；②当2a﹣1≤0，即a≤，g′（x）＝eax+xaeax﹣ex＝（1+ax）eax﹣ex，若1+ax≤0，则g'（x）＜0，所以g（x）在[0，+∞）上单调递减，g（x）≤g（0）＝0，符合题意．若1+ax＞0，则g′（x）＝eax+xaeax﹣ex＝eax+ln（1+ax）﹣ex≤﹣ex≤＝0，所以g（x）在[0，+∞）上单调递减，g（x）≤g（0）＝0，符合题意．综上所述，实数a的取值范围是a≤．（3）由（2）可知，当a＝时，f（x）＝＜﹣1（x＞0），令x＝ln（1+）（n∈N）得，＜﹣1，整理得，，∴＞ln（1+），∴＞ln（），∴＞ln（）＝ln（第22页（共23页））＝ln（n+1），即++...+＞ln（n+1）．第23页（共23页）",)