12021-2022优化方案数学-选择性必修-第一册

('[A基础达标]1．若异面直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角为150°，则l1与l2所成的角为()A．30°B．150°C．30°或150°D．以上均不对解析：选A.直线l1与l2所成的角与其方向向量的夹角相等或互补，且异面直线所成角的范围为(0，90°].应选A.2．在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝2，BC＝2，DD1＝3，则AC与BD1所成角的余弦值为()A．0B．C．－D．解析：选A.以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则D1(0，0，3)，B(2，2，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0).所以BD1＝(－2，－2，3)，AC＝(－2，2，0).所以cos〈BD1，AC〉＝＝0.3．如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为()A．B．C．D．解析：选D.如图所示，以D为原点，建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，C1(0，2，1)，所以BC1＝(－2，0，1).连接AC，易证AC⊥平面BB1D1D，所以平面BB1D1D的一个法向量为a＝AC＝(－2，2，0).所以所求角的正弦值为cos〈a，BC1〉＝＝＝.4．在长方体ABCDA1B1C1D1中，B1C和C1D与底面所成角分别为60°和45°，则异面直线B1C和C1D所成角的余弦值为()A．B．C．D．解析：选A.以A1为原点建立如图所示的空间直角坐标系，可知∠CB1C1＝60°，∠DC1D1＝45°，设B1C1＝1，则CC1＝＝DD1.所以C1D1＝，则有B1(，0，0)，C(，1，)，C1(，1，0)，D(0，1，).所以B1C＝(0，1，)，C1D＝(－，0，).所以cos〈B1C，C1D〉＝＝＝.5．如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是BB1和DD1的中点，则平面ECF与平面ABCD所成的角的余弦值为()A．B．C．D．解析：选B.以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为2，则A(0，0，0)，E(2，0，1)，F(0，2，1)，C(2，2，0)，所以CE＝(0，－2，1)，CF＝(－2，0，1).所以平面ECF的一个法向量为n＝(1，1，2).设平面ECF与平面ABCD的夹角为θ.因为m＝(0，0，1)是平面ABCD的一个法向量，所以cosθ＝cos〈m，n〉＝.6．若直线l的方向向量a＝(－2，3，1)，平面α的一个法向量n＝(4，0，1)，则直线l与平面α所成角的正弦值为________．解析：由题意，得直线l与平面α所成角的正弦值为＝＝.答案：7．如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，E，F分别是BC，A1C1的中点．设D是线段B1C1(包括两个端点)上的动点，若直线BD与EF所成角的余弦值为，则线段BD的长为________．解析：以E为原点，EA，EC所在直线分别为x，y轴，平面BCC1B1内垂直于BC的直线为z轴建立空间直角坐标系，如图．则E(0，0，0)，F，B(0，－1，0)，设D(0，t，2)(－1≤t≤1)，则EF＝，BD＝(0，t＋1，2)，设直线BD与EF所成的角为θ，则cosθ＝＝＝，解得t＝1或t＝－(舍去)，所以BD＝＝2.答案：28.如图，在四棱锥PABCD中，PD⊥底面ABCD，四边形ABCD为正方形，且PD＝AB＝1，G为△ABC的重心，则PG与底面ABCD所成的角θ的余弦值为________．解析：以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0，0，1)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，所以G，PG＝.易知平面ABCD的一个法向量为n＝(0，0，1)，则cos〈PG，n〉＝＝－，所以PG与平面ABCD所成角的余弦值为＝.答案：9．在正方体ABCDA1B1C1D1中，求二面角ABD1C的大小．解：连接AD1，CD1，以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，则D(0，0，0)，A1(1，0，1)，C1(0，1，1).由题意知DA1是平面ABD1的一个法向量，且DA1＝(1，0，1)；DC1是平面BCD1的一个法向量，且DC1＝(0，1，1)，所以cos〈DA1，DC1〉＝＝.所以〈DA1，DC1〉＝60°.结合图形知二面角ABD1C为钝角，所以二面角ABD1C的大小为120°.10.如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，∠BCA＝90°，点F1是A1C1的中点，BC＝CA＝2，CC1＝1.(1)求异面直线AF1与CB1所成角的余弦值；(2)求直线AF1与平面BCC1B1所成的角．解：(1)如图所示，分别以C为原点，CA，CB，CC1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，由BC＝CA＝2，CC1＝1，得A(2，0，0)，B(0，2，0)，C1(0，0，1)，A1(2，0，1)，B1(0，2，1).因为F1为A1C1的中点，所以F1(1，0，1).所以CB1＝(0，2，1)，AF1＝(－1，0，1).所以cos〈CB1，AF1〉＝＝＝，即异面直线AF1与CB1所成角的余弦值为.(2)因为在直三棱柱ABCA1B1C1中，BB1⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，所以BB1⊥AC.因为∠BCA＝90°，所以BC⊥AC.因为BC∩BB1＝B，BC，BB1⊂平面BCC1B1，所以AC⊥平面BCC1B1.所以CA＝(2，0，0)是平面BCC1B1的一个法向量．设直线AF1与平面BCC1B1所成的角为θ，则sinθ＝cos〈AF1，CA〉＝＝，所以θ＝，所以直线AF1与平面BCC1B1所成的角为.[B能力提升]11.如图所示，已知点P为菱形ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝AC，点F为PC的中点，则二面角CBFD的正切值为()A．B．C．D．解析：选D.如图，连接BD交AC于点O，连接OF，因为四边形ABCD为菱形，所以O为AC的中点，AC⊥BD.因为F为PC的中点，所以OF∥PA，因为PA⊥平面ABCD，所以OF⊥平面ABCD.以O为原点，OB，OC，OF所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Oxyz，设PA＝AD＝AC＝1，则BD＝，所以B，F，C，D，结合图形可知，OC＝，且OC为平面BDF的一个法向量．由BC＝，FB＝，可求得平面BCF的一个法向量n＝(1，，).所以cos〈n，OC〉＝，sin〈n，OC〉＝，所以tan〈n，OC〉＝.12.如图，已知矩形ABCD与矩形ABEF全等，二面角DABE为直二面角，M为AB的中点，FM与BD所成的角为θ，且cosθ＝，则＝()A．1B．C．D．解析：选C.不妨设BC＝1，AB＝λ，则＝λ.记AF＝a，AB＝b，AD＝c，则FM＝b－a，BD＝c－b，根据题意，a＝c＝1，b＝λ，a·b＝b·c＝c·a＝0，所以FM·BD＝－b2＝－λ2，而FM＝，BD＝，所以cos〈FM，BD〉＝＝＝，得λ＝.故选C.13．(2021·北京市朝阳区模拟)已知在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别是棱BB1，DD1上的动点，且BE＝D1F＝λ(0<λ≤).设EF与AB所成的角为α，EF与BC所成的角为β，则α＋β的最小值为()A．不存在B．C．D．解析：选C.以点D为坐标原点建立空间直角坐标系(图略)，则A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，E(1，1，λ)，F(0，0，1－λ)，则EF＝(－1，－1，1－2λ)，AB＝(0，1，0)，BC＝(－1，0，0)，所以cosα＝＝，cosβ＝＝，所以α＝β.又当λ＝时，取得最大值，所以αmin＝βmin＝，所以(α＋β)min＝.14.在平面四边形ABCD中，AB＝BD＝CD＝1，AB⊥BD，CD⊥BD.将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图．(1)求证：AB⊥CD；(2)若M为AD的中点，求直线AD与平面MBC所成的角的正弦值．(1)证明：因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AB⊂平面ABD，AB⊥BD，所以AB⊥平面BCD.又因为CD⊂平面BCD，所以AB⊥CD.(2)解：过点B在平面BCD内作BE⊥BD，如图．由(1)知AB⊥平面BCD，因为BE⊂平面BCD，所以AB⊥BE.以点B为坐标原点建立空间直角坐标系，依题意得B(0，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，A(0，0，1)，M，则BC＝(1，1，0)，BM＝，AD＝(0，1，－1).设平面MBC的法向量为n＝(x0，y0，z0)，则即取z0＝1，得平面MBC的一个法向量n＝(1，－1，1).设直线AD与平面MBC所成的角为θ，则sinθ＝cos〈n，AD〉＝＝.故直线AD与平面MBC所成的角的正弦值为.[C拓展探究]15.如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G是的中点．(1)设P是上的一点，且AP⊥BE，求∠CBP的大小；(2)当AB＝3，AD＝2时，求平面AGE与平面ACG所成角的大小．解：(1)因为AP⊥BE，AB⊥BE，AB，AP⊂平面ABP，AB∩AP＝A，所以BE⊥平面ABP.又BP⊂平面ABP，所以BE⊥BP.又∠EBC＝120°，因此∠CBP＝30°.(2)以B为坐标原点，分别以BE，BP，BA所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．由题意得A(0，0，3)，E(2，0，0)，G(1,，3)，C(－1,，0)，故AE＝(2，0，－3)，AG＝(1，，0)，CG＝(2，0，3)，设m＝(x1，y1，z1)是平面AEG的一个法向量．由可得取z1＝2，可得平面AEG的一个法向量m＝(3，－，2).设n＝(x2，y2，z2)是平面ACG的一个法向量．由可得取z2＝－2，可得平面ACG的一个法向量n＝(3，－，－2).所以cos〈m·n〉＝＝.因此平面AGE与平面ACG所成的角为60°.',)