微分中值定理-拉格朗日中值定理教案

("\uf078yC)(xfy\uf03dABaOxb微分中值定理-拉格朗日中值定理【教学内容】拉格朗日中值定理【教学目的】1、熟练掌握中值定理，特别是拉格朗日中值定理的分析意义和几何意义；2、能应用拉格朗日中值定理证明不等式。3、了解拉格朗日中值定理的推论1和推论2【教学重点与难点】1、拉格朗日中值定理，拉格朗日中值定理的应用2、拉格朗日中值定理证明中辅助函数的引入。3、利用导数证明不等式的技巧。【教学过程】一、背景及回顾在前面，我们引进了导数的概念，详细地讨论了计算导数的方法。这样一来，类似于求已知曲线上点的切线问题已获完美解决。但如果想用导数这一工具去分析、解决复杂一些的问题，那么，只知道怎样计算导数是远远不够的，而要以此为基础，发展更多的工具。另一方面，我们注意到：（1）函数与其导数是两个不同的函数；（2）导数只是反映函数在一点的局部特征；（3）我们往往要了解函数在其定义域上的整体性态，需要在导数及函数间建立起联系――搭起一座桥，这个“桥”就是微分中值定理。由此我们学习了极值点的概念、费马定理、特别是罗尔定理，我们简单回忆一下罗尔定理的内容：若函数)(xf满足下列条件：x\uf078yC)(xfy\uf03dABaObMNx①在闭区间\uf05b\uf05dba,连续②在开区间\uf028\uf029ba,可导③)()(bfaf\uf03d则在\uf028\uf029ba,内至少存在一点c，使得0)('\uf03dcf二、新课讲解1797年，法国著名的数学家拉格朗日又给出一个微分中值定理，史称拉格朗日中值定理或微分中值定理，但未证明.拉格朗日中值定理具有根本的重要性，在分析中是许多定理赖以证明的工具，是导数若干个应用的理论基础，我们首先看一下拉格朗日中值定理的内容：2.1拉格朗日定理若函数)(xf满足下列条件：①在闭区间\uf05b\uf05dba,连续②在开区间\uf028\uf029ba,可导则在开区间\uf028\uf029ba,内至少存在一点c，使\uf028\uf029\uf028\uf029abafbfcf\uf02d\uf02d\uf03d)('注：a、深刻认识定理，是两个条件，而罗尔定理是三个条件。b、若加上)()(bfaf\uf03d，则\uf028\uf029\uf028\uf02900)('\uf03d\uf02d\uf03d\uf02d\uf02d\uf03dababafbfcf即：0)('\uf03dcf，拉格朗日定理变为罗尔定理，换句话说罗尔定理是拉格朗日定理的特例。c、形象认识（几何意义），易知\uf028\uf029\uf028\uf029abafbf\uf02d\uf02d为过A、B两点的割线的斜率，)('cf为曲线)(xf上过c点的切线的斜率；若\uf028\uf029\uf028\uf029abafbfcf\uf02d\uf02d\uf03d)('即是说割线的斜率等于切线的斜率。几何意义：若在闭区间\uf05b\uf05dba,上有一条连续的曲线，曲线上每一点都存在切线，则曲线上至少有一点))(,(cfcC，使得过点C的切线平行于割线AB。它表明“一个可微函数的曲线段，必有一点的切线平行于曲线端点的弦。”2.2拉格朗日定理的证明下面我们证明一下该定理。分析：如何来证明该定理呢？由于罗尔定理为拉格朗日定理的特例，我们考虑是否可将拉格朗日定理的证明转化到罗尔定理上来，为此需要构造一个辅助函数)(x\uf06a，使他满足罗尔定理的条件。注意罗尔定理的结果是0)('\uf03dcf，对应拉格朗日定理的结果是\uf028\uf029\uf028\uf029abafbfcf\uf02d\uf02d\uf03d)('，即\uf028\uf029\uf028\uf0290)('\uf03d\uf02d\uf02d\uf02dabafbfcf，实际上就是0)('\uf03dc\uf06a，即是说\uf028\uf029\uf028\uf029abafbfcfc\uf02d\uf02d\uf02d\uf03d)()(''\uf06a，两边积分得\uf028\uf029\uf028\uf029\uf028\uf029Cxabafbfxfx\uf02b\uf02d\uf02d\uf02d\uf03d)(\uf06a，注意)(x\uf06a要满足罗尔定理的三个条件，故取\uf028\uf029\uf028\uf029\uf028\uf029\uf028\uf029\uf028\uf029][)(axabafbfafxfx\uf02d\uf02d\uf02d\uf02b\uf02d\uf03d\uf06a证明：作辅助函数\uf028\uf029\uf028\uf029\uf028\uf029\uf028\uf029\uf028\uf029][)(axabafbfafxfx\uf02d\uf02d\uf02d\uf02b\uf02d\uf03d\uf06a，易知)(x\uf06a在闭区间\uf05b\uf05dba,连续，在开区间\uf028\uf029ba,可导，又)()(ba\uf06a\uf06a\uf03d，根据罗尔定理，)(x\uf06a在\uf028\uf029ba,内至少存在一点c，使得0)('\uf03dc\uf06a，而\uf028\uf029\uf028\uf029abafbfxfx\uf02d\uf02d\uf02d\uf03d)()(''\uf06a，于是\uf028\uf029\uf028\uf0290)()(''\uf03d\uf02d\uf02d\uf02d\uf03dabafbfcfc\uf06a，即\uf028\uf029\uf028\uf029abafbfcf\uf02d\uf02d\uf03d)('，命题得证。注：a、本定理的证明提供了一个用构造函数法证明数学命题的精彩典范；同时通过巧妙地数学变换，将一般化为特殊，将复杂问题化为简单问题的论证思想，也是数学分析的重要而常用的数学思维的体现，其中构造函数\uf028\uf029\uf028\uf029\uf028\uf029\uf028\uf029\uf028\uf029][)(axabafbfafxfx\uf02d\uf02d\uf02d\uf02b\uf02d\uf03d\uf06a中的\uf028\uf029\uf028\uf029\uf028\uf029\uf028\uf029axabafbfaf\uf02d\uf02d\uf02d\uf02b其实就是过两点A、B两点的割线方程。b、拉格朗日中值定理的中值点c是开区间（a,b）内的某一点，而非区间内的任意点或指定一点。换言之，这个中值定理都仅“定性“地指出了中值点c的存在性，而非”定量“地指明c的具体数值。c、拉格朗日中值定理的其他表达形式：（1）.).)(()()(时也成立当baabfafbf\uf03e\uf02d\uf0a2\uf03d\uf02d\uf078（2）xfxfxxf\uf044\uf0a2\uf03d\uf02d\uf044\uf02b)()()(\uf078之间和在xxx\uf02b\uf044\uf0782.3拉格朗日定理的应用例1:验证函数()fx\uf03d3x-3x在区间[0，2]上是否满足拉格朗日中值定理的条件，若满足，求使定理成立的\uf078的值.解:因3()=3fxxx\uf02d，在\uf05b\uf05d0,2上连续，在(0,2)内可导，满足定理的条件。而2()=33fxx\uf0a2\uf02d由\uf028\uf029\uf028\uf029\uf028\uf02902)(02'\uf02d\uf03d\uf02d\uf078fff得231\uf078\uf02d\uf03d3，233\uf078\uf03d注在验证拉格朗日中值定理时，必须注意：（1）该函数是否满足定理的两个条件。（2）是否存在一点\uf078∈（a,b）,使))(()()(abfafbf\uf02d\uf0a2\uf03d\uf02d\uf078成立.例2.)1ln(1,0xxxxx\uf03c\uf02b\uf03c\uf02b\uf03e时证明当分析：此题难以下手，由此考虑到使用拉格朗日中值定理。证明：设\uf028\uf029\uf028\uf029xxf\uf02b\uf03d1ln易知\uf028\uf029xf在],0[x上满足拉格朗日中值定理的条件故，\uf028\uf029\uf028\uf029\uf028\uf029\uf028\uf029\uf028\uf029xxffxf\uf03c\uf03c\uf02d\uf03d\uf02d\uf078\uf0780,00'又，\uf028\uf029\uf028\uf029xxff\uf02b\uf03d\uf03d11,00'，有上式得：\uf028\uf029\uf078\uf02b\uf03d\uf02b11lnxx又，111111110\uf03c\uf02b\uf03c\uf02b\uf0de\uf02b\uf03c\uf02b\uf03c\uf0de\uf03c\uf03c\uf078\uf078\uf078xxx则，xxxx\uf03c\uf02b\uf03c\uf02b\uf07811，即xxxx\uf03c\uf02b\uf03c\uf02b)1ln(1，命题得证。小结：用拉格朗日中值定理证明不等式，关键是选取适当的函数，并且该函数满足中值定理的条件。便得到)())(()()(baabfafbf\uf03c\uf03c\uf02d\uf0a2\uf03d\uf02d\uf078\uf078，再根据ba\uf03c\uf03c\uf078放大或缩小)(\uf078f\uf0a2，证出不等式。推论1如果()fx在区间(,)ab内的导数恒等于零，那么()fx在(,)ab内恒等于一个常数.（证明作为课外作业）证：在区间(,)ab内任意取两点1x，2x（设12xx\uf03c），则()fx在\uf05b\uf05d12,xx上满足拉格朗日中值定理条件.故有\uf028\uf0292121()()()fxfxxxfc\uf0a2\uf02d\uf03d\uf02d\uf0d712()xcx\uf03c\uf03c，由于()0fc\uf0a2\uf03d，所以21()()0fxfx\uf02d\uf03d，即21()()fxfx\uf03d.由于1x，2x是在(,)ab内任意取的两点，因此()fx在区间(,)ab内函数值总是相等的，这表明()fx在区间(,)ab内恒为一个常数.推论2若(,)xab\uf022\uf0ce有()()fxgx\uf0a2\uf0a2\uf03d，则(,)xab\uf022\uf0ce有()()fxgxc\uf03d\uf02b.（证明作为课外作业）证：(,)xab\uf022\uf0ce，\uf05b\uf05d()()()()0fxgxfxgx\uf0a2\uf0a2\uf0a2\uf02d\uf03d\uf02d\uf03d，根据推论1知()()fxgxc\uf02d\uf03d，即()()fxgxc\uf03d\uf02b.三、小结1、拉格朗日定理的内容2、拉格朗日定理的几何意义3、拉格朗日定理的证明过程——构造函数法4、拉格朗日定理的应用微分学基本定理1、极值点的概念定义：设函数)(xf在区间I上有定义。若Ix\uf0ce0，且存在0x的某邻域,)(0IxU\uf0cc)(0xUx\uf0ce\uf022，有\uf028\uf029\uf028\uf0290xfxf\uf0a3（\uf028\uf029\uf028\uf0290xfxf\uf0b3）则称0x是函数)(xf的极大点（极小点），\uf028\uf0290xf是函数)(xf的极大值（极小值）。2、费马定理设函数)(xf在区间I上有定义。若函数)(xf在0x点可导，且0x是函数)(xf的极值点，则0)(0'\uf03dxf3、罗尔定理若函数)(xf满足下列条件：①在闭区间\uf05b\uf05dba,连续②在开区间\uf028\uf029ba,可导③)()(bfaf\uf03d则在\uf028\uf029ba,内至少存在一点c，使得0)('\uf03dcf4、拉格朗日定理若函数)(xf满足下列条件：①在闭区间\uf05b\uf05dba,连续②在开区间\uf028\uf029ba,可导则在开区间\uf028\uf029ba,内至少存在一点c，使\uf028\uf029\uf028\uf029abafbfcf\uf02d\uf02d\uf03d)('5、柯西中值定理若函数)(xf和)(xg满足下列条件：①在闭区间\uf05b\uf05dba,连续②在开区间\uf028\uf029ba,可导，且),(bax\uf0ce\uf022，有0)('\uf0b9xg，则在\uf028\uf029ba,内至少存在一点c，使得\uf028\uf029\uf028\uf029\uf028\uf029\uf028\uf029\uf028\uf029\uf028\uf029agbgafbfcgcf\uf02d\uf02d\uf03d''",)