人教版九年级上册数学第21章-实际问题与一元二次方程-第2课时---面积问题、销售利润问题

人教版数学九年级上册时间：21.3实际问题与一元二次方程11/13/2023第2课时面积问题、销售利润问题学习目标1.掌握面积法建立一元二次方程的数学模型.（难点）2.能运用一元二次方程解决与面积有关的实际问题.（重点）(60+2x)(40+2x)=3500假如有一幅画长60cm，宽40cm，要给它四周裱上同样宽度的木框，使它总面积达到3500cm2，设木框宽度xcm，你能列出等式吗？导入新课讲授新课几何问题一引例：要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形.如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度？(精确到0.1cm)合作探究【阅读教材P20-21页】27cm21cm这本书的长宽之比9:7，正中央的矩形长宽之比也是9:7.设中央矩形的长和宽分别为9acm和7acm由此得到上下边衬宽度之比为：11(279):(217)22aa--9(3):7(3)9:7.aa=--=设上下边衬的宽为9xcm，左右边衬宽为7xcm，则中央的矩形的长为(27−18x)cm，宽为(21−14x)cm.分析：27cm21cm故上下边衬的宽度为故左右边衬的宽度为试一试：如果换一种设未知数的方法，是否可以更简单地解决上面的问题？设上、下边衬的均宽为9xcm，则左、右边衬的宽均为7xcm，依题意得解：3(2718)(2114)27214xx27cm21cm解得x1=（不符合题意，舍去），x2=63391.8,4-´»63371.4.4-´»解：设正中央的矩形两边别为9xcm，7xcm.依题意得解得故上下边衬的宽度为:332792795427321.8.224x-´--==»332172174221321.4.224x-´--==»故左右边衬的宽度为:方法二27cm21cm3972721,4xx×=´´22333322xx==-，（舍去）.几何图形与一元二次方程主要集中在几何图形的面积问题，这类问题的面积公式是等量关系.如果图形不规则应割或补成规则图形，找出各部分面积之间的关系，再运用规则图形的面积公式列出方程.方法点拨2032xx例1如图，在一块宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的两条道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540m2，则道路的宽为多少？典例精析2032xx解：设道路的宽为x米.20−x32−x(32−x)(20−x)=540整理，得x2−52x+100=0解得x1=2，x2=50当x=50时，32−x=−18，不合题意，舍去.∴取x=2.答：道路的宽为2米.在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540m2，则这种方案下的道路的宽为多少？解：设道路的宽为x米.(32−x)(20−x)=540可列方程为2032xxx20-x在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540m2，则这种方案下的道路的宽为多少？解：设道路的宽为x米.(32−2x)(20−x)=540可列方程为32-2x2032xxxx20322x2x32−2x20−2x在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路，余下的部分种上草坪,要使草坪的面积为540m2，则这种方案下的道路的宽为多少？解：设道路的宽为x米.(32−2x)(20−2x)=540可列方程为我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的性质，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些（目的是求出水渠的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）.方法点拨解：设AB长是xm.(58−2x)x=200x2−29x+100=0x1=25，x2=4x=25时，58−2x=8x=4时，58−2x=50答：羊圈的边长AB和BC的长各是25m，8m或4m，50m.例2如图，要利用一面墙(墙足够长)建羊圈，用58m的围栏围成面积为200m2的矩形羊圈，则羊圈的边长AB和BC的长各是多少米？DCBA解：设AB长是xm.(80−2x)x=600x2−40x+300=0x1=10，x2=30x=10时，80−2x=60>25，(舍去)x=30时，80−2x=20<25，答：羊圈的边长AB和BC的长各是30m，20m.变式如图，要利用一面墙(墙长为25m)建羊圈，用80m的围栏围成面积为600m2的矩形羊圈，则羊圈的边长AB和BC的长各是多少米？DCBA25m变式如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80平方米？住房墙1m解：设矩形猪舍垂直于住房墙的一边长为xm，由题意得x(25−2x+1)=80化简，得x2−13x+40=0解得x1=5，x2=8当x=5时，26−2x=16>12(舍去）当x=8时，26−2x=10<12故所围矩形猪舍的长为10m，宽为8m.则平行于住房墙的一边长(25−2x+1)m.围墙问题一般先设其中的一条边为x，然后用含x的代数式表示另一边，最后根据面积或周长公式列方程求解.需要注意联系实际问题选择合适的解.方法点拨1.在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（）A．x2+130x−1400=0B．x2+65x−350=0C．x2-130x−1400=0D．x2-65x−350=080cmxxxx50cmB当堂练习2.一块矩形铁板，长是宽的2倍，如果在4个角上截去边长为5cm的小正方形，然后把四边折起来，做成一个没有盖的盒子，盒子的容积是3000cm3，求铁板的长和宽．解：设铁板的宽为xcm,则长为2xcm.5(2x−10)(x−10)=3000x2−15x−250=0解得x1=25x2=−10(舍去）所以2x=50答：铁板的长50cm，宽为25cm.3.如图，要设计一个宽20cm，长为30cm的矩形图案，其中有两横两竖彩条，横竖彩条的宽度之比为2∶3，若使所有彩条的面积是原来矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？解：设横向彩条的宽度2xcm,竖向彩条的宽度3xcm.6x2−65x+50=02206304=600.3xx125=,=106xx552=,3=.32xx(舍去)则答：横竖条的宽度分别是55cm,cm.324.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm.点P沿AC边从点A向终点C以1cm/s的速度移动；同时点Q沿CB边从点C向终点B以2cm/s的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动.问点P，Q出发几秒后，可使△PCQ的面积为9cm²？根据题意得AP=xcm，PC=(6−x)cm，CQ=2xcm解：若设出发xs后可使△PCQ的面积为9cm².整理，得解得x1=x2=3答：点P，Q出发3s后可使△PCQ的面积为9cm².能力提升1(6)2=92xx26+9=0xx课堂小结几何图形与一元二次方程问题几何图形常见几何图形面积是等量关系类型课本封面问题彩条/小路宽度问题常采用图形平移能聚零为整方便列方程动点面积问题