第4课时-因式分解,因式分解第三课时教案

首页课件目录末页第一部分数与代数第二章代数式考点管理中考再现课时作业归类探究第4课时因式分解首页课件目录末页考点管理1．因式分解的概念因式分解：把一个多项式化为几个的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．因式分解与整式乘法互为逆变形．注意：因式分解分解的是多项式，分解的结果是积的形式．整式的积首页课件目录末页2．因式分解的方法公因式：一个多项式的各项都含有的公共的，叫做这个多项式各项的公因式．注意：公因式的系数是各项系数的最大公约数，字母取各项相同的字母，且相同字母的次数“就低不就高”．提公因式法：一般地，如果多项式的各项有，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成因式相乘的形式，即ma＋mb＋mc＝．因式公因式m(a＋b＋c)首页课件目录末页注意：提公因式时，若有一项全部被提出，括号内的项应保留1，而不是0.公式法：平方差公式：a2－b2＝；完全平方公式：a2±2ab＋b2＝.二次三项式型：x2＋(p＋q)x＋pq＝．方法：分解因式时，首先应考虑是否有公因式，如果有公因式，一般要先提公因式，再考虑是否能用公式法分解．(a＋b)(a－b)(a±b)2(x＋p)(x＋q)首页课件目录末页中考再现1．[2019·株洲]下列各选项中因式分解正确的是()A．x2－1＝(x－1)2B．a3－2a2＋a＝a2(a－2)C．－2y2＋4y＝－2y(y＋2)D．m2n－2mn＋n＝n(m－1)2D【解析】选项A是平方差公式应该是(x＋1)(x－1)，错误；选项B公因式应该是a，错误；选项C提取公因式－2y后，括号内各项都要变号，错误．故选D.首页课件目录末页2．[2019·岳阳]分解因式：ax－ay＝．【解析】提公因式a可得ax－ay＝a(x－y)．3．[2019·怀化]分解因式：a2－b2＝．【解析】a2－b2＝(a－b)(a＋b)．4．[2019·永州]分解因式：x2＋2x＋1＝.【解析】x2＋2x＋1是完全平方式，∴x2＋2x＋1＝(x＋1)2.a(x－y)(a－b)(a＋b)(x＋1)2首页课件目录末页5．[2019·张家界]分解因式：x2y－y＝．【解析】本题考查了分解因式，x2y－y＝y(x＋1)(x－1)．6．[2019·长沙]am2－9a＝．【解析】先提取公因式a，再应用平方差公式进行因式分解．am2－9a＝a(m＋3)(m－3)．7．分解因式：x2y－4y3＝．【解析】x2y－4y3＝y(x－4y2)＝y(x＋2y)(x－2y)．y(x＋1)(x－1)a(m＋3)(m－3)y(x＋2y)(x－2y)首页课件目录末页归类探究类型之一因式分解[2019·齐齐哈尔]因式分解：a2＋1－2a＋4(a－1)．【解析】先将前三项结合，构成完全平方公式，再提取公因式(a－1)完成因式分解．解：a2＋1－2a＋4(a－1)＝(a－1)2＋4(a－1)＝(a－1)(a－1＋4)＝(a－1)(a＋3)．首页课件目录末页1．[2019·潍坊]下列因式分解正确的是()A．3ax2－6ax＝3(ax2－2ax)B．－x2＋y2＝(－x＋y)(－x－y)C．a2＋2ab＋4b2＝(a＋2b)2D．－ax2＋2ax－a＝－a(x－1)2【解析】选项A.3ax2－6ax＝3ax(x－2)；选项B.－x2＋y2＝(－x＋y)(x＋y)；选项C不能分解因式；选项D正确．故选D.D首页课件目录末页2．[2019·菏泽]将a3b－ab进行因式分解，正确的是()A．a(a2b－b)B.ab(a－1)2C．ab(a＋1)(a－1)D.ab(a2－1)【解析】a3b－ab＝ab(a2－1)＝ab(a＋1)(a－1)．故选C.C首页课件目录末页3．分解因式：(1)[2019·广元]a3－4a＝；(2)[2019·眉山]3a3－6a2＋3a＝；(3)[2019·威海]2x2－2x＋12＝；(4)[2019·南京](a－b)2＋4ab＝；(5)[2019·广安]3a4－3b4＝；(6)[2019·宜宾]b2＋c2＋2bc－a2＝．a(a＋2)(a－2)3a(1－a)22x－122(a＋b)23(a2＋b2)(a＋b)(a－b)(b＋c＋a)(b＋c－a)首页课件目录末页【点悟】(1)因式分解时有公因式的一般要先提公因式，再考虑是否能用公式法或其他方法继续分解．(2)提公因式时，若括号内合并后的项有公因式可以再次提取；注意符号的变换y－x＝－(x－y)，(y－x)2＝(x－y)2等．(3)应用公式法因式分解时，要牢记平方差公式和完全平方公式及其特点．(4)分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止．首页课件目录末页类型之二因式分解的运用[2018·苏州]若a＋b＝4，a－b＝1，则(a＋1)2－(b－1)2的值为.12【解析】先化简，再整体代入．(a＋1)2－(b－1)2＝(a＋b)(a－b＋2)＝4×3＝12.首页课件目录末页4．[2019·原创]已知m＋n＝12，m－n＝2，则m2－n2＝，m2＋n2＝.【解析】∵m＋n＝12，m－n＝2，∴m2－n2＝(m＋n)(m－n)＝12×2＝24.mn＝14m＋n2－m－n2＝14×122－22＝35，m2＋n2＝m＋n2－2mn＝122－2×35＝74.2474首页课件目录末页5．[2019·常德]若x2＋x＝1，则3x4＋3x3＋3x＋1的值为.【解析】∵x2＋x＝1，∴3x4＋3x3＋3x＋1＝3x2(x2＋x)＋3x＋1＝3x2＋3x＋1＝3(x2＋x)＋1＝3＋1＝4.【点悟】(1)因式分解的运用：利用因式分解解决求值问题、证明问题、简化计算问题等．(2)两数的和、差、平方和、平方差、积都与乘法公式有联系，解此类有关的代入求值问题时，一般先因式分解，再通过整体代入法进行求值．4首页课件目录末页类型之三因式分解的开放创新题[2019·随州]若一个两位数十位和个位上的数字分别为m，n，我们可将这个两位数记为mn，易知mn＝10m＋n，同理，一个三位数、四位数等均可以用此种记法，如abc＝100a＋10b＋c.首页课件目录末页【基础训练】(1)解方程填空：①若2x＋x3＝45，则x＝；②若7y－y8＝26，则y＝；③若t93＋5t8＝13t1，则t＝.【能力提升】(2)交换任意一个两位数mn的个位数字与十位数字，可得到一个新数nm，则mn＋nm一定能被整除，mn－nm一定能被整除，mn·nm－mn一定能被整除(请从大于5的整数中选择合适的数填空)．24711910首页课件目录末页【探索发现】(3)北京时间2019年4月10日21时，人类拍摄的首张黑洞照片问世，黑洞是一种引力极大的天体，连光都逃脱不了它的束缚，数学中也存在有趣的黑洞现象：任选一个三位数，要求个、十、百位的数字各不相同，把这个三位数的三个数字按大小重新排列，得出一个最大的数和一个最小的数，用得出的最大的数减去最小的数得到一个新数(例如若选的数为3,2,5，则用532－235＝297)，再将这个新数按上述方式重新排列，再相减，像这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数，这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数”．①该“卡普雷卡尔黑洞数”为；②设任选的三位数为abc(不妨设a>b>c)，试说明其均可产生该“黑洞数”．495首页课件目录末页解：(1)∵mn＝10m＋n，∴2x＋x3＝20＋x＋10x＋3＝11x＋23＝45，解得x＝2，同理可得y＝4，t＝7.(2)mn＋nm＝10m＋n＋10n＋m＝11(m＋n)，故一定被11整除；同理mn－nm一定被9整除；mn·nm－mn一定能被10整除．首页课件目录末页(3)①反复运算可得495；∵②a>b>c，∴第一次运算得到100a＋10b＋c－(100c＋10b＋a)＝99(a－c)，可以看出结果必为99的倍数，∵a>b>c，∴a≥b＋1，b≥c＋1，即a≥b＋1≥c＋2，首页课件目录末页∴a－c≥2,9≥a>c，∴a－c≤9，则a－c＝2,3,4,5,6,7,8,9，∴第一次运算得到的99(a－c)可以是198,297,396,495,594,693,792,891，再让这些数字依据“卡普雷卡尔黑洞数”的推算规则进行运算，分别可以得到：981－189＝792,972－279＝693,963－369＝594,954－459＝495,954－459＝495，以后均重复运算，故任选三位数均可产生“黑洞数”495.首页课件目录末页课时作业(70分)一、选择题(每题5分，共20分)1．[2019·无锡]分解因式4x2－y2的结果是()A．(4x＋y)(4x－y)B.4(x＋y)(x－y)C．(2x＋y)(2x－y)D.2(x＋y)(x－y)【解析】本题考查了公式法分解因式，4x2－y2＝(2x－y)(2x＋y)．故选C.C首页课件目录末页2．[2019·泸州]把2a2－8分解因式，结果正确的是()A．2(a2－4)B.2(a－2)2C．2(a＋2)(a－2)D.2(a＋2)2【解析】2a2－8＝2(a2－4)＝2(a＋2)(a－2)．故选C.C首页课件目录末页3．[2019·原创]把多项式x2＋ax＋b分解因式，得(x＋1)(x－3)，则a，b的值分别是()A．2,3B.－2，－3C．－2,3D.2，－3B首页课件目录末页4．已知14m2＋14n2＝n－m－2，则1m－1n的值等于()A．1B.0C．－1D.－14【解析】由题意，得14m2＋m＋1＋14n2－n＋1＝0，即12m＋12＋12n－12＝0.∴m＝－2，n＝2.∴1m－1n＝1－2－12＝－1.C首页课件目录末页二、填空题(每题5分，共25分)5．[2019·黄冈]分解因式：3x2－27y2＝．【解析】3x2－27y2＝3(x2－9y2)＝3(x＋3y)(x－3y)．6．[2018·株洲]分解因式：a2(a－b)－4(a－b)＝．【解析】a2(a－b)－4(a－b)＝(a－b)(a2－4)＝(a－b)(a＋2)(a－2)．7．[2019·广州]分解因式：x2y＋2xy＋y＝.【解析】原式＝y(x2＋2x＋1)＝y(x＋1)2.3(x＋3y)(x－3y)(a－b)(a＋2)(a－2)y(x＋1)2首页课件目录末页8．[2019·金华]当x＝1，y＝－13时，代数式x2＋2xy＋y2的值是.49【解析】当x＝1，y＝－13时，x2＋2xy＋y2＝(x＋y)2＝232＝49.9．[2019·徐州]若a＝b＋2，则代数式a2－2ab＋b2的值为.4首页课件目录末页三、解答题(共25分)10．(10分)[2018·大庆]已知：x2－y2＝12，x＋y＝3，求2x2－2xy的值．解：x2－y2＝(x＋y)(x－y)＝12.∵x＋y＝3①，∴x－y＝4②.由①＋②，得2x＝7.∴2x2－2xy＝2x(x－y)＝7×4＝28.首页课件目录末页11．(15分)[2018·临安区]阅读下列题目的解题过程：已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2c2－b2c2＝a4－b4，试判断△ABC的形状．解：∵a2c2－b2c2＝a4－b4，(A)∴c2(a2－b2)＝(a2＋b2)(a2－b2)．(B)∴c2＝a2＋b2.(C)∴△ABC是直角三角形．首页课件目录末页问：(1)上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号：；(2)错误的原因：；(3)本题正确的结论为：．C没有考虑a＝b的情况△ABC是等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形首页课件目录末页(15分)12．(5分)[2018·黄冈]若a－1a＝6，则a2＋1a2的值为.【解析】a2＋1a2＝a2＋1a2－2·a·1a＋2·a·1a＝a－1a2＋2＝(6)2＋2＝8.8首页课件目录末页13．(10分)[2017·大庆]已知非零实数a，b满足a＋b＝3，1a＋1b＝32，求代数式a2b＋ab2的值．解：∵1a＋1b＝a＋bab＝32，a＋b＝3，∴ab＝2.∴a2b＋ab2＝ab(a＋b)＝2×3＝6.首页课件目录末页(15分)14．(15分)[2017·河北]【发现】任意五个连续整数的平方和是5的倍数．【验证】(1)(－1)2＋02＋12＋22＋32的结果是5的几倍？(2)设五个连续整数的中间一个数为n，写出这五个连续整数的平方和，并说明其是5的倍数．【延伸】任意三个连续整数的平方和被3除的余数是几呢？请写出理由．首页课件目录末页解：【验证】(1)(－1)2＋02＋12＋22＋32＝15,15÷5＝3，即(－1)2＋02＋12＋22＋32的结果是5的3倍．(2)设五个连续整数的中间一个数为n，则其余的四个整数分别是n－2，n－1，n＋1，n＋2，它们的平方和为(n－2)2＋(n－1)2＋n2＋(n＋1)2＋(n＋2)2＝n2－4n＋4＋n2－2n＋1＋n2＋n2＋2n＋1＋n2＋4n＋4＝5n2＋10，∵5n2＋10＝5(n2＋2)，又∵n是整数，∴n2＋2是整数．∴这五个连续整数的平方和是5的倍数．首页课件目录末页【延伸】设三个连续整数的中间一个数为n，则其余的两个整数是n－1，n＋1，它们的平方和为(n－1)2＋n2＋(n＋1)2＝n2－2n＋1＋n2＋n2＋2n＋1＝3n2＋2，∵n是整数，∴n2是整数．∴任意三个连续整数的平方和被3除的余数都是2.