第30课时-直线与圆的位置关系

首页课件目录末页第二部分图形与几何第九章圆考点管理中考再现课时作业归类探究第30课时实数的有关概念首页课件目录末页考点管理1．直线与圆的位置关系关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d.直线l和⊙O⇔dr.相交相切相离首页课件目录末页2．圆的切线判定定理：经过半径的并且这条半径的直线是圆的切线．其他方法：(1)与圆有唯一公共点的直线是圆的切线；(2)圆心到直线的距离等于该圆的半径，则这条直线是这个圆的切线．性质定理：圆的切线垂直于的半径．外端垂直于过切点首页课件目录末页性质推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．性质推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．规律：(1)当直线与圆的公共点已知时，连半径，证垂直；(2)当直线与圆的公共点未知时，作垂直，证半径；(3)连接圆心和切点，构造直角三角形解题．首页课件目录末页3．切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，的长，叫做这点到圆的切线长．注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不可度量，而切线长是切线上一条线段的长，可以度量．定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长，这一点与圆心的连线平分两条切线的．这点与切点之间线段相等夹角首页课件目录末页基本图形：如图，点P是⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于点A，B，弦AB交PO于点C.(1)PA＝PB；(2)∠APO＝∠BPO＝∠OAC＝∠OBC，∠AOP＝∠BOP＝∠CAP＝∠CBP；(3)AB⊥OP且AC＝BC.首页课件目录末页4．三角形的内切圆定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条的交点，叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．角平分线首页课件目录末页易混点：三角形的外心和内心.定义确定方法图形性质外心(三角形外接圆的圆心)三角形三边垂直平分线的交点(1)OA＝OB＝OC；(2)外心不一定在三角形的内部内心(三角形内切圆的圆心)三角形三条角平分线的交点(1)ID＝IE＝IF；(2)IA，IB，IC分别平分∠BAC，∠ABC，∠ACB；(3)内心在三角形的内部首页课件目录末页常用公式：如图，⊙I内切于△ABC，切点分别为D，E，F.△ABC的三边长为BC＝a，AC＝b，AB＝c，⊙I的半径为r.(1)∠BIC＝90°＋12∠A；(2)S△ABC＝12(a＋b＋c)r；(3)AE＝AF＝12(b＋c－a)；BD＝BF＝12(c＋a－b)；CD＝CE＝12(a＋b－c)．首页课件目录末页中考再现1．[2019·益阳]平面内，⊙O的半径为1，点P到O的距离为2，过点P可作⊙O的切线条数为()A．0条B.1条C．2条D.无数条C【解析】∵⊙O的半径为1，点P到圆心O的距离为2，∴d>r，∴点P与⊙O的位置关系是点P在⊙O外．∵过圆外一点可以作圆的2条切线．故选C.首页课件目录末页2．[2019·益阳]如图，PA，PB为圆O的切线，切点分别为A，B，PO交AB于点C，PO的延长线交圆O于点D，下列结论不一定成立的是()A．PA＝PBB.∠BPD＝∠APDC．AB⊥PDD.AB平分PDD首页课件目录末页【解析】∵PA，PB为圆O的切线，切点分别为A，B，PO交AB于点C，PO的延长线交圆O于点D，∴PA＝PB，∠BPD＝∠APD，故A，B正确；∵PA＝PB，∠BPD＝∠APD，∴PD⊥AB，PD平分AB，但AB不一定平分PD，故C正确，D错误．故选D.首页课件目录末页3．[2018·长沙]如图，点A，B，D在⊙O上，∠A＝20°，BC是⊙O的切线，B为切点，OD的延长线交BC于点C，则∠OCB＝.50°【解析】由圆周角定理，得∠O＝2∠A＝40°.∵BC与⊙O相切，∴OB⊥BC，∠OBC＝90°.∴∠OCB＝90°－∠O＝50°.首页课件目录末页4．[2018·益阳]如图，在⊙O中，AB为直径，AD为弦，过点B的切线与AD的延长线交于点C，AD＝DC，则∠C＝.45°首页课件目录末页【解析】∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.∵BC是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°.∵AD＝DC，∴BD垂直平分AC.∴AB＝BC.∴△ABC为等腰直角三角形．∴∠C＝45°.首页课件目录末页5．[2018·益阳]如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝3.按以下步骤作图：①以A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，AC于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于12MN的长为半径作弧，两弧相交于点E；③作射线AE；④以同样的方法作射线BF，AE交BF于点O，连接OC，则OC＝.2首页课件目录末页【解析】如答图，过点O作OD⊥AC，垂足为点D.由作图可知AE，BF分别是∠BAC和∠ABC的平分线，∴点O为△ABC的内心，OC平分∠ACB.∵AB＝5，AC＝4，BC＝3，32＋42＝52，∴△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°.首页课件目录末页∵OD为内切圆半径，∴OD＝3＋4－52＝1.∵∠OCD＝12∠ACB＝45°，∴△OCD为等腰直角三角形．∴OC＝2OD＝2.首页课件目录末页归类探究类型之一直线与圆的位置关系[2018·湘西州]已知⊙O的半径为5cm，圆心O到直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的位置关系为()A．相交B.相切C．相离D.无法确定B首页课件目录末页【点悟】判断直线与圆的位置关系，常根据圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系确定：(1)若dr，则直线与圆相离．首页课件目录末页类型之二切线的性质[2019·毕节]如图，点P在⊙O外，PC是⊙O的切线，C为切点，直线PO与⊙O相交于点A，B.(1)若∠A＝30°，求证：PA＝3PB；(2)小明发现，∠A在一定范围内变化时，始终有∠BCP＝12(90°－∠P)成立．请你写出推理过程．首页课件目录末页【解析】(1)由PC为圆O的切线，利用弦切角等于夹弧所对的圆周角得到∠BCP＝∠A，由∠A的度数求出∠BCP的度数，进而确定出∠P的度数，再由PB＝BC，AB＝2BC，等量代换确定出PB与PA的关系即可；(2)由三角形内角和定理及圆周角定理即可确定出两角的关系．首页课件目录末页(1)证明：∵AB是直径，∴∠ACB＝90°.∵∠A＝30°，∴AB＝2BC，∠ABC＝60°.∵PC是⊙O切线，∴∠BCP＝∠A＝30°，∴∠P＝30°，∴PB＝BC，∴PA＝3PB.首页课件目录末页(2)解：∵点P在⊙O外，PC是⊙O的切线，C为切点，直线PO与⊙O相交于点A，B，∴∠BCP＝∠A.∵∠A＋∠P＋∠ACB＋∠BCP＝180°，且∠ACB＝90°，∴2∠BCP＝90°－∠P，∴∠BCP＝12(90°－∠P)．首页课件目录末页1．[2019·嘉兴]如图，已知⊙O上三点A，B，C，半径OC＝1，∠ABC＝30°，切线PA交OC的延长线于点P，则PA的长为()A．2B.3C．2D.12B首页课件目录末页【解析】如答图，连接OA.∵∠ABC＝30°，∴∠AOC＝60°.又∵PA为切线，∴∠OAP＝90°.∵OC＝OA＝1，∴PA＝3.故选B.首页课件目录末页2．[2019·贺州]如图，BD是⊙O的直径，弦BC与OA相交于点E，AF与⊙O相切于点A，交DB的延长线于点F，∠F＝30°，∠BAC＝120°，BC＝8.(1)求∠ADB的度数；(2)求AC的长度．首页课件目录末页解：(1)∵AF与⊙O相切于点A，∴∠FAO＝90°.∵∠F＝30°，∴∠AOB＝60°.∴∠ADB＝30°.首页课件目录末页(2)∵∠C＝∠D＝30°，∠BAC＝120°，∴∠ABC＝∠C＝30°.由(1)得△OAB为等边三角形．∴∠BAE＝60°，∴∠BEA＝90°，∴AO⊥BC.∵BC＝8，∴BE＝12BC＝4.∴AC＝AB＝BEsin60°＝833.首页课件目录末页类型之三切线的判定[2019·淮安]如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O交于点F，弦AD平分∠BAC，DE⊥AC，垂足为点E.(1)试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若⊙O的半径为2，∠BAC＝60°，求线段EF的长．首页课件目录末页解：(1)直线DE与⊙O相切．理由如下：如答图，连接OD，则OA＝OD，∴∠ODA＝∠BAD.∵弦AD平分∠BAC，∴∠FAD＝∠BAD.∴∠FAD＝∠ODA，∴OD∥AF.首页课件目录末页又∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，∴直线DE与⊙O相切．(2)如答图，连接BD.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.首页课件目录末页∵AD平分∠BAC，∠BAC＝60°，∴∠FAD＝∠BAD＝30°，∠B＝60°，∴∠DFE＝∠B＝60°.∵⊙O的半径为2，∴AB＝4，首页课件目录末页∴AD＝AB·cos30°＝4×32＝23，∴DE＝AD·sin30°＝23×12＝3，∴EF＝DEtan60°＝33＝1.首页课件目录末页3．[2019·常德]如图，⊙O与△ABC的AC边相切于点C，与AB，BC边分别交于点D，E，DE∥OA，CE是⊙O的直径．(1)求证：AB是⊙O的切线；(2)若BD＝4，CE＝6，求AC的长．首页课件目录末页(1)证明：如答图，连接OD.∵DE∥OA，∴∠AOC＝∠OED，∠AOD＝∠ODE.∵OD＝OE，∴∠OED＝∠ODE，∴∠AOC＝∠AOD.又∵OA＝OA，OC＝OD，∴△AOC≌△AOD(SAS)，∴∠ADO＝∠ACO.首页课件目录末页∵CE是⊙O的直径，AC为⊙O的切线，∴OC⊥AC，∴∠OCA＝90°，∴∠ADO＝90°，∴OD⊥AB.∵OD为⊙O的半径，∴AB是⊙O的切线．首页课件目录末页(2)解：∵CE＝6，∴OD＝OC＝3.∵∠BDO＝90°，∴BO2＝BD2＋OD2.∵BD＝4，∴OB＝42＋32＝5，∴BC＝8.∵∠BDO＝∠BCA＝90°，∠B＝∠B，∴△BDO∽△BCA，∴BDBC＝ODAC，即48＝3AC，∴AC＝6.首页课件目录末页【点悟】证某直线为圆的切线时，如果已知直线与圆有公共点，即可作出过该点的半径，证明直线垂直于该半径，即“作半径，证垂直”；如果不能确定某直线与已知圆有公共点，则过圆心作直线的垂线段，证明垂足到圆心的距离等于半径，即“作垂直，证半径”．首页课件目录末页类型之四切线长定理[2019·甘肃]如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE交AC于点E.(1)求证：∠A＝∠ADE；(2)若AD＝8，DE＝5，求BC的长．首页课件目录末页(1)证明：如答图，连接OD.∵DE是⊙O的切线，∴∠ODE＝90°，∴∠ADE＋∠BDO＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠A＋∠B＝90°.∵OD＝OB，∴∠B＝∠BDO，∴∠ADE＝∠A.首页课件目录末页(2)解：如答图，连接CD.∵∠ADE＝∠A，∴AE＝DE.∵BC是⊙O的直径，∠ACB＝90°，∴EC是⊙O的切线，∴ED＝EC，∴AE＝EC.首页课件目录末页∵DE＝5，∴AC＝2DE＝10，在Rt△ADC中，DC＝6.在Rt△BDC中，设BD＝x，BC2＝x2＋62，在Rt△ABC中，BC2＝(x＋8)2－102，∴x2＋62＝(x＋8)2－102，解得x＝92，∴BC＝62＋922＝152.首页课件目录末页4．[2019·台州]如图，等边三角形ABC的边长为8，以BC边上点O为圆心的圆分别与边AB，AC相切，则⊙O的半径为()A．23B.3C．4D.4－3A首页课件目录末页【解析】如答图，AB，AC分别与⊙O相切于点D，E，连接OD，OE，OA，∵⊙O与AB，AC相切，∴OD⊥AB，OE⊥AC.又∵OD＝OE，∴∠DAO＝∠EAO.又∵AB＝AC，∴BO＝CO，∴BO＝4，∴OD＝BO·sinB＝4×32＝23.故选A.首页课件目录末页5．[2019·资阳]如图，AC是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，且∠APB＝60°.(1)求∠BAC的度数；(2)若PA＝1，求点O到弦AB的距离．首页课件目录末页解：(1)∵PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，∴PA＝PB，∠PAC＝90°.∵∠APB＝60°，∴△APB是等边三角形，∴∠BAP＝60°，∴∠BAC＝90°－∠BAP＝30°.首页课件目录末页(2)如答图，作OD⊥AB于点D.则AD＝BD＝12AB，由(1)，得△APB是等边三角形，∴AB＝PA＝1，∴AD＝12.∵∠BAC＝30°，∴AD＝3OD＝12，∴OD＝36.即点O到弦AB的距离为36.首页课件目录末页类型之五三角形的内切圆《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著．书中有下列问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“今有直角三角形，勾(短直角边)长为8步，股(长直角边)长为15步，问该直角三角形能容纳圆形(内切圆)的直径是多少？”该问题的答案是()A．3步B.5步C．6步D.8步C首页课件目录末页【解析】方法一：如答图．∵BC＝8，AC＝15，∴AB＝82＋152＝17.由S△ABC＝12AC·BC＝12AB·r＋12AC·r＋12BC·r＝12(AB＋AC＋BC)r，首页课件目录末页得r＝AC·BCAB＋AC＋BC＝15×817＋15＋8＝3.∴直径为6步．故选C.方法二：对于Rt△ABC，若其三边长为a，b，c(斜边)，则其内切圆半径为r＝a＋b－c2.根据勾股定理得，斜边c＝82＋152＝17，∴r＝a＋b－c2＝8＋15－172＝3.故直径为6步．首页课件目录末页【点悟】(1)在解决与三角形内切圆有关的问题时，常用到面积法：S△ABC＝12(a＋b＋c)r，其中r为△ABC的内切圆半径，a，b，c为△ABC的三条边的长度．(2)已知直角三角形的三边长为a，b，c(其中c为斜边)，则其内切圆半径为r＝a＋b－c2.(3)解三角形与圆相切的问题时，常利用切线长定理及勾股定理等列方程(组)来求半径的长．首页课件目录末页6．[2019·荆门]如图，△ABC的内心为I，连接AI并延长交△ABC的外接圆于点D，则线段DI与DB的关系是()A．DI＝DBB.DI>DBC．DI