NA-5-3-高斯(Gauss)求积公式

数值分析前面介绍的n+1个节点的Newton-Cotes求积公式其特征是节点是等距的。这种特点使得求积公式便于构造，复化求积公式易于形成。但同时也限制了公式的精度。n是偶数时，代数精度为n+1，n是奇数时，代数精度为n。我们知道n+1个节点的插值型求积公式的代数精确度不低于n。设想：能不能在区间[a,b]上适当选择n+1个节点x0x1,x2,……,xn,使插值求积公式的代数精度高于n？答案是肯定的，适当选择节点，可使公式的精度最高达到2n+1，这就是本节所要介绍的高斯求积公式。第四节高斯(Gauss)求积公式数值分析数值分析0()()()()nbkkakIfxfxdxAfx考虑更一般形式的数值积分问题定义：若求积公式对一切不高于m次的多项式p(x)都等号成立，即R(p)=0;而对于某个m+1次多项式等号不成立，则称此求积公式的代数精度为m.0()()()nbkkakxfxdxAfx一、构造高斯型求积公式的基本原理和方法数值分析数值分析定理1：设节点x0,x1…,xn[∈a,b]，则求积公式的代数精度最高为2n+1次。0()()()nbkkakxfxdxAfx分别取f(x)=1,x，x2，...xr代入公式，并让其成为等式，得：A0+A1+……+An=∫ab1dx.=b-ax0A0+x1A1+……+xnAn=∫abxdx.=（b2-a2)/2......x0rA0+x1rA1+……+xnrAn=∫abxrdxr=(br+1-ar+1)()1,x取特殊情形证明：数值分析数值分析事实上,取2n+2次多项式g(x)=(x-x0)2(x-x1)2….(x-xn)2代入求积公式,这里x0,x1…,xn是节点，有0()()0()0nbkkakxgxdxAgx左，右左右,故等式不成立,求积公式的代数精度最高为2n+1次。证毕.上式共有r+1个等式，2n+2个待定系数(变元),要想如上方程组有唯一解，应有方程的个数等于变元的个数,即r+1=2n+2,这样导出求积公式的代数精度至少是2n+1,下面证明代数精度只能是2n+1.数值分析数值分析定义:使求积公式达到最高代数精度2n+1的求积公式称为Guass求积公式。Guass求积公式的节点xk称为Guass点,系数Ak称为Guass系数.0()()()nbkkakxfxdxAfx因为Guass求积公式也是插值型求积公式,故有结论:n+1个节点的插值型求积公式的代数精度d满足：nd2n+1。数值分析数值分析111221()()()(1)fxdxcfxcfx例：选择系数与节点，使求积公式（1）成为Gauss公式。解：n=1,由定义，若求积公式具有3次代数精度，则其是Gauss公式。为此，分别取f(x)=1,x，x2，x3代入公式，并让其成为等式，得c1+c2=2c1x1+c2x2=0c1x12+c2x22=2/3c1x13+c2x23=0求解得：12121,33,33ccxx1133()()()33fxdxff所求Gauss公式为：(1)用待定系数法构造高斯求积公式数值分析数值分析设Pn(x)，n=0,1,2,…,为正交多项式序列，Pn(x)具有如下性质：1）对每一个n,Pn(x)是n次多项式。n=0,1,…2）()()()0,()bijaxPxPxdxij(正交性)()()()0,1bnaxPxPxdxn3）对任意一个次数≤n-1的多项式P(x)，有4）Pn(x)在(a,b)内有n个互异零点。（2）利用正交多项式构造高斯求积公式数值分析数值分析定理2设x0,x1,…,xn是n+1次正交多项式Pn+1(x)的n+1个零点,则插值型求积公式是Guass型求积公式。证明：只要证明求积公式的代数精确度为2n+1,即对任意一个次数≤2n+1的多项式求积公式都精确成立。00()()(),()nnbbikkkaakikiikxxxfxdxAfxAxdxxx设f(x)为任意一个次数≤2n+1的多项式，则有f(x)=q(x)Pn+1(x)+r(x)，满足f(xk)=r(xk)这里，Pn+1(x)是n+1次正交多项式，q(x)、r(x)均是次数≤n的多项式。1()()()()()()()bbbnaaaxfxdxxqxPxdxxrxdx数值分析数值分析由性质3）及(4)式，有11()()()()()()()0()()()bbbnaaanbkkakxfxdxxqxPxdxxrxdxxrxdxAfx由于n+1个节点的插值型求积公式的代数精确度不低于n，故有00()()()()(4)nnbkkkkakkxrxdxArxAfx即对f(x)为任意一个次数≤2n+1的多项式求积公式都精确成立。证毕数值分析数值分析利用正交多项式构造高斯求积公式的基本步骤：高斯点），作为积分点次正交多项式的零点以(,,1.110nxxxnniiinxfxlxfLagrangexfxxx010)()()()(,,.2插值多项式作对用高斯点代入积分式)()()())()()(()()(00inibaibaniiibaxfdxxlxdxxfxlxdxxfx因此，求积系数为baiinidxxlxA),1,0()()(数值分析数值分析1211(),.xfxdx对于积分（）试构造两点高斯求积公式例2111xx首先在，上构造带权（）的解：正交多项式012011021110(),(),().()1()()()()()()()xxxxxxxxxxxx0)1()1())(),(())(),((11211200001dxxxdxxxxxxx数值分析0)1()1())(),(())(),((11211200001dxxxdxxxxxxx12221011212001(1)(,)2()(,)5(1)xxdxxxxxdx20122(),55xxx的零点为数值分析20122(),55xxx以的零点作为高斯点。其成为等式。依次代入上式两端，令将形如次代数精度，求积公式应有两点高斯公式xxfxfAxfAdxxfxn,1)()()()()1(3,11111002)52()52()1()1(1011210112AAxdxxAAdxx3410AA联立解出)52()52(34)()1(112ffdxxfx为得到两点高斯求积公式数值分析数值分析常用的高斯求积公式1.Gauss-Legendre求积公式其中高斯点为Legendre多项式的零点110()()nkkkfxdxAfxGuass点xk,Guass系数Ak都有表可以查询.数值分析数值分析数值分析数值分析110()()nkkkfxdxAfx110,()2(0)nfxdxf111()(0.5773502692)(0.5773502692)nfxdxff112()0.555555556(0.7745966692)0.888888889(0)0.555555556(0.7745966692)nfxdxfff数值分析数值分析11:1.5xdx运用三点高斯-勒让德求积公式与辛卜生求积公式计算积分例111.50.555556(0.7254032.274596)0.8888891.52.39970:9xdx由三点高斯-勒让德求积公式有解1111.5(0.541.52.5)2.3957423xdx由三点辛卜生求积公式有111.52.399529xdx该积分的准确值数值分析数值分析一般区间的Gauss-Legendre求积公式如果积分区间是[a,b]，用线性变换11()()222bababaabfxdxftdt这样就可以用Gauss-Legendre求积公式计算一般区间的积分.将积分区间从[a,b]变成[-1,1],由定积分的换元积分法有22baabxt数值分析数值分析11()(0.577)(0.577)GaussLegendreFtdtFF由两点求积公式100101100110()1,,()()()fxdxnGaussLegendreGaussxxAAfxdxAfxAfxGauss对积分，试利用的两点求积公式构造型求积公式。例即确定和使为型求积公式。1110111111()()(1),(0,1)2222111()((1))()222xabbattabdxdtfxdxftdtFtdt先作变量代换于是解：1101111111()((1))((10.577))((10.577))222222fxdxftdtff得数值分析数值分析111012301231()()()()()()FtdtGaussLegendreFtdtAFtAFtAFtAFt对积分用四点求积公式10012301231001122330()3,,,,,,()()()()()fxdxnGaussLegendreGaussxxxxAAAAfxdxAfxAfxAfxAfxGauss对积分，试利用的四点求积公式构造型求积公式。即确定和使为型求例积公式。1110111111()()(1),2222111()((1))()222xabbattdxdtfxdxftdtFtdt先作变量代换于是解：数值分析数值分析,(0,1,2,3)iitAi可查表得到和原积分110101230123012012331()()21(()()()())21111(((1))((1))((1))22221((1)))211(1)0,1,2,322iiiifxdxFtdtAFtAFtAFtAFtAftAftAftAftxtAAi即有数值分析数值分析10()0.173927(0.069432)0.326073(0.330009)0.326073(0.669991)0.173927(0.930518)fxdxffff于是01230.8611360.3399810.3399810.8611360.3478550.6521450.6521450.3478550.0694320.3300090.6699910.9305680.1739270.3260730.3260730.173927iiiiitAxA列表如下：11(1)0,1,2,322iiiixtAAi数值分析数值分析例利用高斯求积公式计算解:令x=1/2(1+t),则用高斯-Legendre求积公式计算.取n=4积分精确值为I=ln2=0.69314718…由此可见，高斯公式精确度是很高的.101dxx110113dxdtIxt0.69314719I数值分析数值分析例:分别用不同方法计算如下积分,并做比较各种做法比较如下：1、用Newton-Cotes公式当n=1时，即用梯形公式，I≈0.9270354当n=2时,即用Simpson公式,I≈0.9461359当n=3时,I≈0.9461090当n=4时,I≈0.9460830当n=5时,I≈0.946083010sinxIdxxI准数值分析数值分析10sin(0)2()(7)(1)20.94569086xhdxffhfhfx2:用复化梯形公式令h=1/8=0.1253：用复化辛卜生公式令h=1/8=0.12510sin(0)4()(7)2(2)(6)(1)30.9460833xdxxhffhfhfhfhfI准=0.9460831数值分析数值分析4、用Romberg公式KTnSnCnRn00.920735510.93979330.946145920.94451350.94608690.940083030.94569060.94608330.94608310.9460831I准=0.9460831数值分析数值分析1sin(0.77459071)20.55555560.77459071I5、用Gauss公式解：令x=(t+1)/2,9460411.015773503.0)15773503.0(21sin15773503.0)15773503.0(21sinI1sin20.8888889011sin(0.77459071)20.55555560.94608310.7745907111sin(1)/21tIdttI准=0.9460831（2）用3个节点的Gauss公式（1）用2个节点的Gauss公式数值分析数值分析算法比较此例题的精确值为0.9460831...由例题的各种算法可知：对Newton-cotes公式，当n=1时只有1位有效数字，当n=2时有3位有效数字，当n=5时有7位有效数字。对复化梯形公式有2位有效数字，对复化辛卜生公式有6位有效数字。用复合梯形公式，对积分区间[0，1]二分了11次用2049个函数值，才可得到7位准确数字。用Romberg公式对区间二分3次，用了9个函数值，得到同样的结果。用Gauss公式仅用了3个函数值，就得到结果。数值分析数值分析2.Gauss-Chebyshev公式1120()()1niiifxdxAfxx(0)(0,1,)121cos(0,1,)2(1)iixinnChebychevixinn其中是阶多项式的零点(0,1,,)1iAinn求积系数是21(),1,11xxx权常用的高斯求积公式数值分析()cos(cos)nTxnarccx数值分析3.Gauss-Laguerre公式00()()nxiiiefxdxAfx000000()()()()()()()xxxnxiiiifxdxfxdxeefxdxeFxdxAFxFxefx求某一个无穷区间，上的积分,其中(1)95,(),0,.xxex积分点和求积系数查表权()00[,)(0)(),[,)[0,)()()()xaxatataaaefxdxxatxatGaussLaguerreefxdxefatdteefatdt对区间上的积分，通过变量代换将变为，再用求积公式计算(2)积分数值分析()()nnxxndndxLxeex数值分析4.Gauss-Hermite公式20()()(0,1,,)96nxiiiiiefxdxAfxxAin同前，求积分其中，积分点和求积系数可查表数值分析2212()(1)()(0,1,)2!(1,2,)()nnnxxdndxnknkHxeennAknHx数值分析(22)0(22)211011(),()()()()()()()(22)!(,),()(()()3)nnbkkaknbnannfxabxfxdxAfxfRfxwxdxnabwxxxxxxx（）若在上连续，则高斯求积公式的截断误差为：其中定理：012121''2121,,,()21(),()()(0,1,,)()()(0,1,,)nnniiniinnxxxfxHermitenHxHxfxinHxfxin因为阶高斯求积公式有次代数精度，因此，用点对作插值，得到次插值多项式并且满足：证明：二、高斯型求积公式的截断误差和稳定性分析数值分析数值分析已知Hermite插值误差是(22)2210(22)2210()()()()(22)!()()()()()()()(22)!nnniinnbbbniaaaiffxHxxxnfxfxdxxHxdxxxxdxn因为对2n+1次多项式求积公式准确成立，即niiiniinibanxfAxHAdxxHx001212)()()()(代入上式baniinniiibadxxxxnfxfAdxxfx02)22(0)()()!22()()()()(即有babaniinniiidxxxxnfxfAdxxfxfR02)22(0)()()!22()()()()()(数值分析数值分析以下将证明高斯形求积公式的求积系数恒正()()0biiaAxlxdx即：022220()()()()()()2,()()()bnkkkaiibnikikikaxfxdxAfxfxlxlxnxlxdxAlxA在高斯求积公式中，取，为次多项式，求积公式等式成立2()()()()0bbiiiaaAxlxdxxlxdx0()1,()bnkkafxxdxA取有数值分析数值分析0()()()nniiiiiiAfxfxfx在求积公式中，若计算有误差，变为，则求积公式也有误差，变为00000(())()maxmax()nniiiinnniiiinbiiiaininiIAfxIIAAAxdx利用了的恒正性质)(1)(max0abIIxnnini，则有，特别取记数值分析数值分析将积分区间[a,b]n等分，在每个小子区间上使用一个节点数较少的Gauss型求积公式,然后把它们加起来，就得到整个区间上Gauss型求积公式的复化形式。复化Gauss求积公式的基本思想：下面用Gauss-Legender求积公式推导复化Gauss型求积公式.将积分区间[a,b]n等分，,,0,1,...,kbahxakhknn三、复化Gauss求积公式数值分析数值分析11122[,][1,1].kkkkkkxxxxxtxx作变换将小区间变换到标准区间1111101,()221((1))21()(((1)))22kkkknbakxxxxhakhxakthhfxdxfakthdt由于所以从而有110()()kknbxaxkfxdxfxdx数值分析数值分析例如,用2点的Gauss-Legender求积公式复合,由表,取n=1,得Aj=1,xj=0.5773502692代入到上式中,得2点的复化Gauss-Legender求积公式10()(((0.211325)((0.788675))2bankfxdxhfakhfakh再将上式应用Gauss-Legender求积公式就得到了复化Gauss型求积公式.数值分析