中考专项复习锐角三角函数,中考锐角三角函数应用题

第二十三讲锐角三角函数一、三角函数的定义在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,则sinA=,cosA=,tanA=.acbcab二、特殊角的三角函数值α30°45°60°sinα_________cosα_________tanα_________1222323222123313三、直角三角形中的边角关系1.三边之间的关系:________.2.两锐角之间的关系:_____________.3.边角之间的关系:sinA=cosB=__,sinB=cosA=__,tanA=__,tanB=__.a2+b2=c2∠A+∠B=90°acbcabba四、解直角三角形的应用1.仰角和俯角:如图1,在同一铅垂面内视线和水平线间的夹角,视线在水平线_____的叫做仰角,在水平线_____的叫做俯角.上方下方2.坡度(坡比)和坡角:如图2,通常把坡面的铅直高度和_________之比叫做坡度(或叫做坡比),用字母__表示,即i=__;坡面与_______的夹角叫做坡角,记作α.所以i=__=tanα.水平宽度lihlhl水平面3.方位角:指北或指南的方向线与目标方向所成的小于90°的角叫做方位角.【自我诊断】(“√”“打或×”)1.锐角三角函数是一个比值.()2.直角三角形各边长扩大3倍,其正弦值也扩大3倍.()3.由cosα=,得锐角α=60°.()√×√124.锐角α的正弦值随角度的增大而增大.()5.锐角α的余弦值随角度的增大而增大.()6.坡比是坡面的水平宽度与铅直高度之比.()7.解直角三角形时,必须有一个条件是边.()√××√考点一求三角函数值【例1】(2017·怀化中考)如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(3,4),那么sinα的值是()世纪金榜导学号161043533344A.B.C.D.5453【思路点拨】作AB⊥x轴于点B,先利用勾股定理计算出OA=5,然后在Rt△AOB中利用正弦的定义求解.【自主解答】选C.作AB⊥x轴于点B,如图,∵点A的坐标为(3,4),∴OB=3,AB=4,∴OA==5,在Rt△AOB中,sinα=2234AB4OA5．【名师点津】根据定义求三角函数值的方法(1)分清直角三角形中的斜边与直角边.(2)正确地表示出直角三角形的三边长,常设某条直角边长为k(有时也可以设为1),在求三角函数值的过程中约去k.(3)正确应用勾股定理求第三条边长.(4)应用锐角三角函数定义,求出三角函数值.(5)求一个角的三角函数值时,若不易直接求出,也可把这个角转化成和它相等且位于直角三角形中的角.【题组过关】1.(2017·湖州中考)如图,已知在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=3,则cosB的值是()3434A.B.C.D.55432.(2017·金华中考)在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=3,则tanA的值是()3434A.B.C.D.4355【解析】选A.在Rt△ABC中,根据勾股定理,得AC=再根据正切的定义,得tanA=2222ABBC534，BC3AC4．3.(2017·滨州中考)如图,在△ABC中,AC⊥BC,∠ABC=30°,点D是CB延长线上的一点,且BD=BA,则tan∠DAC的值为世纪金榜导学号16104354()A23B23C33D33．＋．．＋．【解析】选A.设AC=a,则AB=a÷sin30°=2a,BC=a÷tan30°=a,BD=AB=2a.∴tan∠DAC=3(23)a23a＋．4.(2017·泸州中考)如图,在矩形ABCD中,点E是边BC的中点,AE⊥BD,垂足为F,则tan∠BDE的值是()2112A.B.C.D.4433【解析】选A.∵四边形ABCD是矩形,∴AD=BC,AD∥BC,∵点E是边BC的中点,∴BE=BC=AD,∴△BEF∽△DAF,∴∴EF=AF,∴EF=AE,∵点E是边BC的中点,∴由矩形的对称性得:AE=DE,1212EFBE1AFAD2，1213∴EF=DE,设EF=x,则DE=3x,∴DF=∴tan∠BDE=1322DEEF22x，EFx2.DF422x考点二特殊锐角三角函数值的应用【例2】已知α,β均为锐角,且满足=0,则α+β=________.【思路点拨】根据非负数的性质求出sinα,tanβ的值,然后根据特殊角的三角函数值求出两个角的度数,进一步求和.21sin(tan1)2【自主解答】∵=0,∴sinα=,tanβ=1,又∵α,β均为锐角,∴α=30°,β=45°,则α+β=30°+45°=75°.答案:75°21sin(tan1)212【名师点津】熟记特殊角的三角函数值的两种方法(1)按值的变化:30°,45°,60°角的正余弦的分母都是2,正弦的分子分别是1,余弦的分子分别是1,正切分别是2,3,3,2,3,1,3.3(2)特殊值法:①在直角三角形中,设30°角所对的直角边为1,那么三边长分别为1,,2;②在直角三角形中,设45°角所对的直角边为1,那么三边长分别为1,1,.32【题组过关】1.(2017·天津中考)cos60°的值等于()【解析】选D.由特殊角的三角函数值得cos60°=.21A.3B1CD22．．．122.(2016·无锡中考)sin30°的值为()【解析】选A.sin30°=1323A.B.C.D.222312．3.(2017·六盘水中考)三角形的两边a,b的夹角为60°且满足方程x2-3x+4=0,则第三边长的长是()世纪金榜导学号161043552A.6B.22C.23D.32【解析】选A.解方程x2-3x+4=0,得x1=2,x2=,假设a=2,b=,如图所示,22222在直角三角形ACD中,CD=cos60°=,DB=2-=,AD=sin60°=,∴AB=2222223222622222632ADDB()()6.224.(2015·庆阳中考)在△ABC中,若角A,B满足+(1-tanB)2=0,则∠C的大小是()A.45°B.60°C.75°D.105°3cosA2【解析】选D.由题意得,cosA=,tanB=1,则∠A=30°,∠B=45°,则∠C=180°-30°-45°=105°.32考点三解直角三角形【例3】(2016·连云港中考)如图,在△ABC中,∠C=150°,AC=4,tanB=.世纪金榜导学号1610435618(1)求BC的长.(2)利用此图形求tan15°的值(精确到0.1,参考数据:≈1.4,≈1.7,≈2.2)235【思路点拨】(1)过点A作AD⊥BC交BC的延长线于D.由∠ACB的度数→∠ACD的度数→AC=4→AD的长→CD的长→tanB=→BD的长→BC的长.(2)在BC边上取M,使CM=AC,连接AM→∠AMC=∠MAC=15°→tan15°=→化简→得结论.18ADMD【自主解答】(1)过A作AD⊥BC,交BC的延长线于点D,如图1所示:在Rt△ADC中,AC=4,∵∠ACB=150°,∴∠ACD=30°,∴AD=AC=2,CD=AC·cos30°=4×在Rt△ABD中,tanB=∴BD=16,∴BC=BD-CD=16-123232，AD21BDBD8，23.(2)在BC边上取一点M,使得CM=AC,连接AM,如图2所示:∵∠ACB=150°,∴∠AMC=∠MAC=15°,tan15°=tan∠AMD=AD211MD21.742323【名师点津】解直角三角形的类型及方法(1)已知斜边和一个锐角(如c,∠A),其解法:∠B=90°-∠A,a=csinA,b=ccosA(或b=).(2)已知一直角边和一个锐角(如a,∠A),其解法:∠B=90°-∠A,c=,b=(或b=).22caasinAatanA22ca(3)已知斜边和一直角边(如c,a),其解法:b=,由sinA=求出∠A,∠B=90°-∠A.(4)已知两条直角边a和b,其解法:c=,由tanA=得∠A,∠B=90°-∠A.22caac22abab【题组过关】1.(2017·烟台中考)在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=2,BC=,则sin=__________.【解析】在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=2,BC=,∴sinA=,∴∠A=60°,∴sin=.答案:3A2332A212122.(2017·广州中考)如图,Rt△ABC中,∠C=90°,BC=15,tanA=,则AB=________________.世纪金榜导学号16104357158【解析】因为BC=15,tanA=,所以AC=8,由勾股定理得,AB=17.答案:17BC15AC83.(2016·上海中考)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=3,点D在边AC上,且AD=2CD,DE⊥AB,垂足为点E,连接CE,求:世纪金榜导学号16104358(1)线段BE的长.(2)∠ECB的余切值.【解析】(1)∵AD=2CD,AC=3,∴AD=2.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=3,∴∠A=45°,AB=∵DE⊥AB,∴∠AED=90°,∠ADE=∠A=45°,∴AE=AD·cos45°=.∴BE=AB-AE=2,即线段BE的长是2.22ACBC32.222(2)过点E作EH⊥BC,垂足为点H,在Rt△BEH中,∠EHB=90°,∠B=45°,∴EH=BH=EB·cos45°=2,又BC=3,∴CH=1.在Rt△ECH中,cot∠ECB=即∠ECB的余切值是.CH1EH2，12考点四解直角三角形的应用【考情分析】利用解直角三角形解决实际问题是各地中考的热点,这一类题的题型通常以解答题为主,利用直角三角形求物体的高度(宽度),解决航海问题等.命题角度1:利用直角三角形解决和高度(或宽度)有关的问题【例4】(2017·鄂州中考)小明想要测量学校食堂和食堂正前方一棵树的高度,他从食堂楼底M处出发,向前走3米到达A处,测得树顶端E的仰角为30°,他又继续走下台阶到达C处,测得树的顶端E的仰角是60°,再继续向前走到大树底D处,测得食堂楼顶N的仰角为45°.已知A点离地面的高度AB=2米,∠BCA=30°,且B,C,D三点在同一直线上.(1)求树DE的高度.(2)求食堂MN的高度.【思路点拨】(1)先在△ABC中求AC的长,再求出∠ACE=90°,在△ACE中求CE的长,最后在△CDE中求DE的长.(2)延长NM交BC于点G.先求GB,BC,CD的长,得到GD的长,再在△DNG中求NG的长,最后求MN的长.【自主解答】(1)由题意,得AF∥BC.∴∠FAC=∠BCA=30°.∴∠EAC=∠EAF+∠CAF=30°+30°=60°.∵∠ACE=180°-∠BCA-∠DCE=180°-30°-60°=90°.∴∠AEC=180°-∠EAC-∠ACE=180°-60°-90°=30°.在Rt△ABC中,∵∠BCA=30°,AB=2,∴AC=2AB=4.在Rt△ACE中,∵∠AEC=30°,AC=4,∴EC=AC=4.33在Rt△CDE中,∵sin∠ECD=,∠ECD=60°,EC=4,∴sin60°=∴ED=4sin60°=4×=6(米).答:树DE的高度为6米.EDEC3ED43．3332(2)延长NM交BC于点G,则GB=MA=3.在Rt△ABC中,∵AB=2,AC=4,∴BC=在Rt△CDE中,∵CE=4,DE=6,∴CD=∴GD=GB+BC+CD=2222ACAB4223．32222CEDE(43)623．32323343＋＋．在Rt△GDN中,∵∠NDG=45°,∴NG=GD=3+4.∴MN=NG-MG=NG-AB=3+4-2=(1+4)米.答:食堂MN的高度为(1+4)米.3333命题角度2:利用直角三角形解决航海问题【例5】(2017·十堰中考)如图,海中有一小岛A,它周围8海里内有暗礁,渔船跟踪鱼群由西向东航行,在B点测得小岛A在北偏东60°方向上,航行12海里到达D点,这时测得小岛A在北偏东30°方向上.如果渔船不改变航线继续向东航行,有没有触礁的危【思路点拨】作AC⊥BD于点C,设AC=x海里,由三角函数计算BC,CD的长,进而求得AC的长,通过比较AC的长度与8海里的大小关系进行作答.【自主解答】作AC⊥BD于C,由题意知∠ABC=30°,∠ADC=60°,设AC=x海里,则BC=x海里,DC=x海里,因为BC-CD=x-x=12,所以x=6海里.因为6>8,所以渔船不改变航线继续向东航行,没有触礁的危险.33333333命题角度3:利用直角三角形解决坡度问题【例6】(2017·达州中考)如图,信号塔PQ座落在坡度i=1∶2的山坡上,其正前方直立着一警示牌.当太阳光线与水平线成60°角时,测得信号塔PQ落在斜坡上的影子QN长为2米,落在警示牌上的影子MN长为3米,5【思路点拨】过点M作MF⊥PQ于点F,过点Q作QE⊥MN于点E,分别解Rt△QEN和Rt△MFP,求出EN,PF即可求出PQ的高.【自主解答】过点M作MF⊥PQ于点F,过点Q作QE⊥MN于点E,∵i=1∶2,设EN=k,QE=2k,由勾股定理可得QN=∴k=2,∴EN=2,FM=QE=4,∴FQ=ME=MN-NE=3-2=1.在Rt△PFM中,∵∠FPM=180°-90°-60°=30°,22k(2k)5k25,∴∠PMF=60°,∴PF=FM×tan60°=4,∴PQ=FQ+PF=(1+4)米.答:信号塔PQ的高为(1+4)米.333【名师点津】解决解直角三角形的实际问题,有图的要先将题干中的已知量在图中表示出来,再根据以下方法和步骤解决:(1)根据题目中的已知条件,将实际问题抽象为解直角三角形的数学问题,画出平面几何图形,弄清已知条件中各量之间的关系.(2)若三角形是直角三角形,根据边角关系进行计算,若三角形不是直角三角形,可通过添加辅助线构造直角三角形来解决.解直角三角形的实际应用问题关键是要根据实际情况建立数学模型,正确画出图形找准三角形.【题组过关】1.(2017·温州中考)如图,一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米,已知cosα=,则小车上升的高度是()A.5米B.6米C.6.5米D.12米1213【解析】选A.在直角三角形中,小车水平行驶的距离为13×cosα=12米,则由勾股定理得到其上升的高度为=5(米).2213122.(2017·烟台中考)如图,数学实践活动小组要测量学校附近楼房CD的高度,在水平地面A处安置测倾器测得楼房CD顶部点D的仰角为45°,向前走20米到达A′处,测得点D的仰角为67.5°.已知测倾器AB的高度为2A.34.14米B.34.1米C.35.7米D.35.74米【解析】选C.设BB′交DC于点C′,则∵BB′=BC′-B′C′,∴解得DC′≈34.14.∴DC≈34.14+1.6≈35.7.DCDCBCBC.tan45tan67.5，DCDC20.tan45tan67.5－3.(2017·山西中考)如图,创新小组要测量公园内一棵树的高度AB,其中一名小组成员站在距离树10米的点E处,测得树顶A的仰角为54°.已知测角仪的架高CE=1.5米,则这棵树的高度为________米(结果保留一位小数.参考数据:sin54°≈0.8090,cos54°≈0.5878,tan54°≈1.3764).世纪金榜导学号16104360【解析】由题知BD=CE=1.5,在Rt△ADC中,由锐角三角函数可得AD=CDtan∠ACD=10tan54°≈10×1.3764=13.764,所以AB=AD+BD≈13.764+1.5=15.264≈15.3.答案:15.34.(2017·天津中考)如图,一艘海轮位于灯塔P的北偏东64°方向,距离灯塔120海里的A处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处,求BP和BA的长(结果取整数).(参考数据:sin64°≈0.90,cos64°≈0.44,tan64°≈2.05,取1.414.)2【解析】如图,过点P作PC⊥AB,垂足为C,由题意可知,∠A=64°,∠B=45°,PA=120,在Rt△APC中,sinA=cosA=∴PC=PA·sinA=120×sin64°,AC=PA·cosA=120×cos64°,PC,PAACPA，在Rt△BPC中,∴BP=BC==PC=120×sin64°,∴BA=BC+AC=120×sin64°+120×cos64°≈120×0.90+120×0.44≈161.答:BP的长约为153海里,BA的长约为161海里.PCPCsinB,tanBBPBC，PC120sin641200.90153sinBsin4522，PCPCtanBtan455.(2017·广安中考)如图,线段AB,CD分别表示甲、乙两建筑物的高,BA⊥AD,CD⊥DA,垂足分别为A,D.从D点测得B点的仰角α为60°,从C点测得B点的仰角β为30°,甲建筑物的高AB=30米.世纪金榜导学号16104361(1)求甲、乙两建筑物之间的距离AD.(2)求乙建筑物的高CD.【解析】(1)根据题意得,在Rt△ABD中,∠BDA=∠α=60°,AB=30米,∴AD=(米).答:甲、乙两建筑物之间的距离AD为10米.AB30103tan6033(2)如图,过点C作CE⊥AB于点E.根据题意,得∠BCE=∠β=30°,CE=AD=10,CD=AE.在Rt△BEC中,tan∠BCE=∴tan30°=,∴BE=10米,∴CD=AE=AB-BE=30-10=20(米).答:乙建筑物的高CD为20米.3BE,CEBE103