高数极限习题50题分步骤详解

('高数极限习题50题分步骤详解1.求极限解：依题意，对算式进行变形，得到原式＝＝＝【注：当时，】＝＝12.求极限xxxexxsin1lim3202\uf02d\uf02d\uf0ae解：本题为型未定式，可运用洛必达法则求极限。因为所以原式＝＝（洛必达法则）＝＝（洛必达法则）＝＝3.求极限解：本题属于“幂指函数”，不适合直接应用洛必达法则求导。应先对算式适当变形，再求极限。过程如下：原式＝（注：表达式的分子加1减1，恒等变形。）＝-（注：和差的极限，等于极限的和差。）＝-＝+＝（注：当，）4.求极限解：本题看似很复杂，其实完全可以通过两次运用洛必达法则求出极限，具体过程如下：因为所以原式＝＝（第一次运用洛必达法则）＝（第二次运用洛必达法则）＝35.求极限解：本题可运用洛必达法则，但建议优先采用等价无穷小替换。方法如下：因为，所以＝＝6.求极限解：包含变上限积分的函数求极限，通常要运用洛必达法则。过程如下：原式＝（注：洛必达法则）＝（注：对分子分母均运用等价无穷小替换）＝（注：对分子再次运用了等价无穷小替换）＝7.求极限解：本题求极限，首先应用三角函数和差化积公式，将表达式转化为乘积的形式，然后再求出极限。过程如下：因为＝＝＝（注：当时，）＝所以＝＝0（注意：为有界函数，，有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小。所以，原式的极限值为0）8.求极限解：本题求极限首先应考虑到为有界函数。因为所以＝0（有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小。）9.求极限解：本题可应用等价无穷小替换求极限。因为所以＝＝＝010.求极限解：本题求极限，可直接运用洛必达法则，但采用等价无穷小替换更佳。因为所以＝＝11.求极限解：本题仍推荐等价无穷小替换，过程如下：因为所以＝＝12.求极限解：本题求极限，首先应将函数化为乘积的形式，这里要特别注意：。求解过程如下：因为＝＝＝所以＝＝（分子分母同时除以n）13.求极限解：本题求极限，首先应将函数表达式去根号。具体过程如下：＝＝原式＝＝（将分子分母同时除以）＝214.设函数，试确定的值，使时，为无穷小。解：本题的意思就是求解a,b为何值时，。为此，令，将原式作如下变形：原式＝＝＝＝0（的系数必须等于0，否则极限不存在。）求得a=1，或者a=-1.当a=1时，代回前面的算式，可得：＝＝（洛必达法则）＝（洛必达法则）＝04+2b=0，得到b=-2.同理，当a=-1时，得到b=2.所以，（a,b）=(1,-2),或（a,b）=(-1,2)15.求极限解：本题求极限，可采用洛必达法则与等价无穷小替换相结合的方式，过程如下：＝（洛必达法则）＝＝-＝-（注：当时，）＝-（注：当时，）＝-＝16.求极限解：本题求极限优先推荐等价无穷小替换。＝＝原式＝＝17.求极限解：本题可利用自然对数求极限。过程如下：令，得到原式＝＝＝原式＝（三角函数和差化积）因此，求解得本题的极限为原式＝＝（注：本题原式n为非连续变量，不可直接套用洛必达法则！）18.求极限解：本题求极限，依然推荐等价无穷小替换。过程如下：令，得到原式＝＝＝原式＝＝（注：第16、18题都用到了等价无穷小替换：当时，。）19.求极限解：本题可通过两次运用洛必达法则求出极限，但还是优先推荐等价无穷小替换。具体运算过程如下：＝＝-＝-＝7注：本题求极限用到了等价无穷小替换：当时，。另外还运用到了和（差）的极限等于极限的和（差）这一运算法则。20.求极限（其中：p为常数且。）解：本题可通过运用洛必达法则求极限。＝（洛必达法则）＝（）21.求极限解：令，并且当时，所以可得：原式＝原式＝＝22.设，求证存在。证明：判断数列的极限是否存在，关键是要确定数列是否单调且有界。本题的证明过程如下：数列有（上）界。数列严格单调增加。综合上述两个方面的因素，可知数列严格单调增加且有（上）界，因此推断必然存在。23.设，（1）证明；（2）求极限。解：（1）证明，可用数学归纳法。显然n=1时，，即成立。假设n=k时，成立，那么n=k+1时，＝（前面已假设成立。）＝（这一步只是为了看得更清楚，可以省略。）＝（这一步也是为了看得更清楚，同样可以省略。）＝即n=k+1时，结论仍成立。所以，对于一切，均有成立。（2）求极限：＝0（注：“两加夹”定理）24.求极限（）解：本题求极限，需先对算式适当变形。过程如下：＝原式＝＝25.求极限（）解：本题可直接运用洛必达法则求极限。过程如下：原式＝＝＝26.求极限解：本题求极限可利用自然对数。求解过程如下：＝原式＝＝（洛必达法则）＝＝27.求极限解：本题属与“幂指函数”，不宜直接套用洛必达法则。求解过程如下：＝＝（当时，）＝＝（当时，）＝（洛必达法则）＝＝28.求极限解：本题求极限需对表达式进行变形，求解过程如下：＝＝原式＝＝（洛必达法则）＝29.求极限解：本题属于“幂指函数”，应先对表达式变形，然后再求极限。＝＝＝＝（注：当时，。）＝30.求极限解：本题仍然是“幂指函数”，应先对表达式变形，然后再求极限。＝＝（注：当时，）原式＝＝（洛必达法则）＝31.求极限解：本题建议采用等价无穷小替换求极限。＝原式＝＝32.求极限解：令，得到原式＝＝＝（注：当时，~2，。）＝233.求极限解：本题求极限，可以直接套用洛必达法则，但采用等价无穷小替换应为更佳。时，，原式＝。＝-＝-1（注：当时，）＝34.求极限解：本题求极限，关键是要去掉绝对值号。过程如下：（1）当时，原式＝＝（注：当时，。）＝（2）当时，原式＝＝（注：当时，。）＝综合以上两种情况，无论趋向，均有＝35.求极限解：这道题看起来很“吓人”，其实一点也不可怕。计算过程如下：时，原式＝时，原式＝＝（洛必达法则）＝（注：时，）＝36.求极限解：令，将算式变形，得到原式＝＝＝0（注：时，，为有界函数，有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小。）37.求极限]（）解：将x提到极限表达式的外面，得到]显然，上述极限表达式就是一个首项为1，公比为的等比级数。所以，可得]38.求极限]（，）解：显然，本题的极限表达式是一个首项为1，公比为的等比级数。为了使级数能够收敛，须限定公比，即（，），否则级数发散。对于一般的等比级数，其求和公式为：（注：为级数的首项，q为公比，且）所以，可知本题的极限为：39.求极限解：由于，所以，，所以40.求极限解：本题求极限，详细过程如下：（1）将等式的两端同时乘以2，得到（2）将相乘后得到的算式减去原式，得到（注意：分母相同的各项分别相减）=2+，＝041.求极限解：本题分为与两种情况。（1）当时，原式＝＝＝＝0（注：为有界函数，有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小。）（2）当时，原式＝＝＝=0综合上述（1）、（2）两种情况，可知＝042.解：本题求极限，关键是如何处理表达式的一般项。解题过程如下：令＝＝＝＝……＝＝将上列各项等号两边分别相加，可得（除首尾各两项，中间均为0）＝所以，求得极限为原式＝＝43.求极限（）解：本题求极限，需用到积分的定义。求解过程如下：原式＝＝＝＝＝44.求极限解：本题解法有二，分述如下：（1）常用解法，表达式“去根号”。原式＝＝＝（2）直接采用等价无穷小替换，此法可免去复杂的计算，值得推荐。原式＝＝＝（注：当时，）45.求极限解：本题为“3次根号”，涉及到根号运算通常会比较繁琐，所以推荐采用等价无穷小替换。过程如下：原式＝＝（注：当时，＝）＝＝46.求极限解：本题要用到“两边夹”定理。＝047.求极限解：本题要与前面第46题有点相似，但用“两边夹”定理却无法给出正确答案。求解本题的极限需要用到（定）积分的定义。过程如下：将原式的分子提取公因子n，分母提取公因子，得到原式＝＝＝（定积分定义）＝＝-＝+＝-48.求极限解：本题求极限推荐采用等价无穷小替换，解题过程如下：＝＝＝原式＝＝149.求极限解：令，可利用泰勒展开式求出本题的极限。运算过程如下：原式＝＝＝,（泰勒展开式）原式＝＝＝(注：本题n为非连续变量，不可套用洛必达法则！)50.求极限解：本题看上去似乎很复杂，其实可用等价无穷小替换结合洛必达法则求极限。过程如下：原式＝＝（等价无穷小替换）＝＝（洛必达法则）＝＝注：',)