高斯曲率的计算公式汇总,高斯曲率和平均曲率计算公式

('第二章曲面论高斯曲率的计算公式高斯曲率绝妙定理LN-MEG-F2（匚山，5）•EG-F2N=nrw所以（ru,「v,「vv）\\EG-F2LN-MEG-F2注意M二nrUv（ru,rv,rUv）\\EG-F2，利用行列式的转置性质和矩阵乘法性质，得2(ru,rv,ruu)(「u,rv,rvv)-(ru,rv,ruv)ru■ruru■rvrur■vvru■ruru■rvrur1uvr■rurv■rvrvr1vv—rv■rurvrr1uvEFrr1u1vvEFrur1FGrr1v1vv—FGrr1uvruu%ruu^vrr■uu1vvruv\'「uruv\'rruvr1（其中用到行列式按第三行展开计算的性V1rv___(「uJvJvv)-rvrr(ru,rv,ruv)ruurwEFrunrFGruurvrruvrurwrhvuu-u・uu-v・uuhv—「uvruvruEFruvru・uv・vruvFGruvrruvruruvrv^uv0ruvrvruururuurv质。）二（Fu-2Ev）v-如u二Fuv-1E「v「v2Ev由于「uurvv一rUv「u厂（ruurwrurWu^亿rw^rr^）或者ruvruv（「uu「v）v（「v「uv）u二（-（二（Fv-2Gu）u-（lEv）v二Fvu2Guu利用ruF,可得「uruu4Eu4Gu，rvrvv2Gv，「UFvfGu2于是得到1一1EFFv-—GuEF_22FG^GvFG-Gu22-EuFu—11Fuv——Evv——Guu丄-Gu0222222(1)公式被称为高斯定理，且被誉为高斯绝妙定理。将上式中的行列式按第二列展开，并化简，可得12K二4(EG_F2)2[E(EvGv-2几厲Q2)F(EuGv-EvGu-2EvFv4FulV2FuGu)G(EG2EuFvEv2)-2(EG-F2)(E『2FuvGQ,(2)高斯绝妙定理断言一个曲面的高斯曲率可以只用第一类基本量及其导数表示，从而K事实上是曲面的一个内蕴不变量。]「(EG^高斯曲率用第一类基本量明确的表达式由Brioschi公式(1)给出。存在等距对应的两曲面，曲面上对应点处的高斯曲率必相等。球面片与平面片之间不存在等距对应。EFrr1u1vvEFru■ruvFGrr1v1vv—FG■ruvruuTuruuTvuurvvruvruvruv叽0「122EFr112r222—FGr21211rr0Fuv-匚-Guu11221222111■111-211r1122EFr1112r—FG「F」E^-：Guur■112r1212022FG211O特别地，当曲面z:―r(u,v)上的坐标曲线网是正交网时，F=0,此时11M(EvvGuu)2(EEvGvEuGuGEQGuEvGEv)],2EG4(EG)即得11KT応(Evv6一髙(EEvGvEuGuGEGuGuEvGEv)]经过观察，通过凑微分，得到111-TEG[^2Evv）-聞GBu+Egv]K「EG)12110-GuE0Ev2u2G2Gv—0G2Gu1Ev1E--GJvv—^uu丄轨0222221(EG)2-[12EG(EvvGuu)14(EG)2(EEvGvEGGEGUGUEVGEV)]11111111产产)2Gu2EuG十E尹尹u—?E勺Ev)]_JEG[2J；GGUUGU（2\'JEG）U2、EGEvvEv（2、；G）vl111■0;K=0;K<0分成三种类型•而属于同一类型的曲面它们的内在几何是相同的•平面作为高斯曲率为零的代表；球面作为高斯曲率为正常数的代表.换句话说,高斯曲率为零的曲面都可以与平面建立等距对应，高斯曲率为正常数的曲面都可以与球面建立等距对应•那么自然会问什么曲面可以作为高斯曲率为负常数的代表？1设K=「孑,我们可以在旋转曲面中找出这个代表•设旋转曲面的待定母线为Oxz平面中的曲线z=z(x).把它绕z轴旋转后形成了旋转面r二(x(t)cosjx(t)sinjz(t))，t=x；代入旋转曲面的高斯曲率公式[x(t)z(t)-x(t)z(t)]z(t)K222x(t)[(x\'(t))+(z\'(t))]得其高斯曲率为z(x)z(X)x[1(z(x))2]2为了使这个曲面的高斯曲率所以待定函数“z(x)就必须满足下列方程：z(x)z(x)1x[1(z(x))]a\'将其改写成取积分常数Gf于是可解出x2(z(x)x)2=a2，由此得出z(x)=-3，x?dz=—dxx，令x二asint，2则dz「叱acostdfaddtasintsint11=a(-sint)dt=a(sint)dtsintt2t2tan一cos一22于是z=a(lntan-cost)2因此，以母线x=asint两边积分后得到11(z(x))=-^2x2Gaz=a(lntan-cost)I2绕z-轴旋转后所得的旋转曲面的高斯曲率正好等于负常数a我们把母线（4.4）称为曳物线.而把曳物线绕z-轴旋转后所得的曲面称为伪球面.由著名的高斯定理,曲面的高斯曲率K被其第一基本形式完全确定.因此，若两个曲面可建立等距对应则对应点的高斯曲率必相等•但反之则不然.【例一1】证明：曲面S:（ucosv,usinv,v）,（正螺面）S：r厂(Uicosvi,5sinvjnuj,(旋转曲面）在点(u,v)与(ui,Vi)处的高斯曲率相等，但曲面S与S不存在等距对应.【证明】容易算出正螺面S与旋转曲面S的第一基本形式分别为■-=(du)?(u21)(dv)2，1222厂(12)(duJ2u/gw)2Ui再利用正交网时高斯曲率的计算公式(即高斯方程)肃噜u唱)V]经过计算得出曲面S和S的高斯曲率分别为(u21)2，Ki(u；1)2因此取对应点(u,v)>(Ui，Vi),便成立K=Kio但是曲面S与3不存在等距对应.我们用反证法•若曲面S与Si之间存在等距对应，它的对应关系为忙:黑,卜1=屮(u,v),则对应点的高斯曲率必相等，所以得出Ki(u,v)=K(u,v)，即(u21)2=(Ui21)2，或(U21)=_(ui21)；(1)右(u2")=(uj■1)则u2=uj或U=u。因此对应关系为这时S的第一基本形式1222厂(1p)(duj2u12(dw)2u1=(1W)(du)2u2Cudu‘-vdv)2u=(12u^\\2)(du)22u2\'「Jvdudvu2-j(dv)2,u1因为是等距对应,故=1,比较得出1+—+u吩=1,uu知他=0,U?屮/=u?+1,由其中第二式得出\'-^0或-v=0,再由第一式或第三式得出12=0或uu21=0，这显然不可能成立.因此这种情况不可能•(2)右(u2-(u,21)，则U「U12--2。这显然不可能成立•因此曲面S与S之间不能存在等距对应•尽管在对应点具有相同高斯曲率的曲面不能建立等距对应，但是对高斯曲率为常数的曲面，若在对应点具有相同高斯曲率是必可建立等距对应的.定理4.1(Minding定理)具有相同常数高斯曲率的曲面总可建立局部等距对应.证明设曲面S的高斯曲率K是常数,。在S上取任意点P和过P点的任意测地线：，把：作为V--曲线u=0；且从P点起的弧长为v.再取与：正交的测地线族为u--曲线，另取这测地线族的正交轨线为V--曲线，则得一半测地坐标网。对于这个半测地坐标网而言，(注意，这时：u=0的曲线也是测地线)。因此曲面的第一基本形式可以简化为=(du)?G(u,v)(dv)2，根据假设V是：的弧长，所以(dv)2=G(0,v)(dv)2,于是G(0,v)=1(4:1)又因：是测地线，根据Liouville公式知即成立G(0,v)=0(4:2)另一方面，将E=1代入高斯方程得K…1出VG£u2，E2A/G"/~\'或〒KG=O，其中G(u,v)满足条件G(0,v)=1,Gu(0,v)=0kgvu=02PEuu=0这个微分方程的通解可按高斯曲率K的符号分为三种情形：Liouville形式的高斯方程4g2其中g二EG-F2在[2届(Guu“4(花严(EGuEuG)Ev(EGvBGv)u-EFG1]',)